透视点到平面距离的求法

透视点到平面距离的求法

一、定义法求点到平面距离(直接法)

定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:

(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。

(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。

(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

例 如图4所示，所示的正方体ABCDABCD 棱长为a，求点A到平面ABD的距离。(注:本文所有解法均使用本例)

图4

解法一(定义法):如图5所示，连结交BD于点E，再连结AE，过点A作AH垂直于AE，垂足为H，下面证明AH平面ABD。

图5

QAA平面ABCD BDAA

又Q在正方形ABCD中，对角线BDAC，且AAACAI

AA平面AAE, AC平面AAE 由线面垂直的判定定理知道BD平面AAE

QAH平面AAE AHBD

又由AH的作法知道AHAE，且有BDIAEE，

BD平面ABD，AE平面ABD

由线面垂直的判定定理知道AH平面ABD

根据点到平面距离定义，AH的长度即为点A到平面ABD的距离，下面求AH的长度。

ABD中，容易得到2ABBDDAa，从而ABD为正三角形，060ABD。

进而在RtABE中，06sin2sin602AEABABDaa。

由1122AAESAAAEAEAH得到

112322362AAACaAAAEAHaAEAE

从而A到平面ABD的距离为33a。

二、转化法求点到平面距离

有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。

转化法依据主要有以下两点：

(1)若直线l//平面，则直线l上所有点到平面的距离均相等。

(2)若直线AB与平面交于点M，则点A、B到平面的距离之比为:AMBM。特别地，当M为AB中点时，A、B到平面的距离相等。

下面用转化法重解上面例题

解法二(转化法)

如图6所示，连结AC、AC、AC、AB、AB，AC交BD于点E，连结AE交AC于点H，延长AC至点G使得12CGAC，连结CG。

图6 QCB平面AABB，从而斜线AC在平面AABB的射影为AB．

QAB、AB为正方形AABB对角线，ABAB，

由三垂线定理知道ABAC

同理可以得到ADAC

又QABADAI，AB平面ABD，AD平面ABD

AC平面ABD

AH平面ABD，即点H为A在平面ABD的射影，AH的长度为所求

Q//ACAC即//ACEG，且1122EGECCGACACACAC

四边形ACGE为平行四边形，//AECG

在ACG由等比性质有 13AHAEACEG，13AHAC

而在正方体ABCDABCD中对角线2223ACAAABBCa

33AHa

在本例中，未直接计算垂线段AH的长度，而是找出了其与正方体ABCDABCD中对角线AC的数量关系，从而转化为求正方体ABCDABCD对角线AC长度，而AC长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。

三、等体积法求点到平面距离

用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式13VSh求出点到平面的距离h。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.

解法三(等体积法):如图7所示，作AH垂直于平面ABD于点H，则ABD长度为所求。对于四面体AABD，易见底面ABD的高为AH，底面ABD的高为AA。对四面体AABD的体积而言有：

AABDAABDVV

图7

即有: 1133ABDABDAASAHS，也即: ABDABDAASAHS

由2ABBDDAa，从而ABD为正三角形，060ABD，进而可求得

202113sin(2)sin60222ABDSABADABDaa

又易计算得到RtABD的面积为212ABDSa

所以22132332ABDABDaaAASAHaSa

我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。

四、利用二面角求点到平面距离

如图8所示，l为二面角l的的棱，AOB为二面角l的一个平面角。下面考虑点B到平面的距离。作BHOA，垂足为H，下面证明BH平面。

图8

QAOB为二面角l的一个平面角，OAl、OBl

又QOAOBOI，l平面AOB

又QBH平面AOB，BHl

又Q BHOA，=OAlOI，OA平面，l平面，BH平面

在RtOBH中，有sinBHOBBOH .....................①

这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。

下面利用二面角法求解上面例子。

解法四(二面角法):如图9所示，连结AB、AB，AB与AB相交于点O，连结DO。

QAB与AB为正方形ABBA的对角线

ABAB（即AOAB），O为AB中点

图9

又QABD中ADBD， DOAB

AOD为二面角AABD的平面角

设A到平面ABD的距离为d，OA是过点A的关于平面ABD的一条斜线，又上面得到的公式 ①有 sindOAAOD

易见，DA平面ABBA，从而.DAOA在RtAOD中有

tan222ADaAODOAa

从而点A到平面ABD的距离为

2223sinsin(arctan2)2233dOAAODaaa

五、向量法求点到平面的距离

向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论: 点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接的向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。

证明:如图10所示，P为平面外一点，Q为平面上任意一点，PO平面于点O，nr为平面的单位法向量。

Q||||cos,||cos,PQnPQnPQnPQPQnuuuruuuuruuuruuuuruuurrrrrgg

图10

||||cos|||cos,||||cos,|||POPQQPOPQPQnPQPQnPQnuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuruuurrrrgg 即||||POPQnuuuruuurrg .....................②

这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。

下面用向量法从新求解上面例子

解法五(向量法) 如图11所示以D点为原点，DAuuur，DCuuur，DDuuuur所在的正方向分别x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系。

图11

由所给条件知道坐标点(,0,0)Aa、(,0,)Aaa，(,,)Baaa，(0,0,)Da，从而有(0,,)ABaauuur，(,0,)ADaauuuur，(0,0,)AAauuur。设平面ABD的任意一个法向量为0(,,)nxyzuur,则有0nABuuruuur，0nADuuruuuur， 即 0000nABnADuuruuurguuruuuurg

代入已知得到00ayazaxaz

这是一个关于,,xyz的不定方程，为了方便起见，不妨设1z，这样上式变为

00ayaaxa，解该式得到1,1xy

这样就得到平面ABD的一个法向量为1(1,1,1)nr，将其单位化得到平面ABD的一个单位法向量为11111(,,)||333nnnrrr。设点A到平面ABD的距离为d，结合②式所给出的结论有

1113|||00|3333dAAnarg

即点A到平面ABD的距离为33。