点面距离的几种求法

求点到面的距离的几种方法求点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。

在实际应用中，我们经常需要计算一个点到一个平面的距离，这个距离可以用来判断点是否在平面上，或者用来计算点到平面的投影等。

下面介绍几种常用的求点到面距离的方法：1. 点到平面的投影点到平面的投影是求点到面距离的一种常用方法。

它的基本思想是将点沿着法向量投影到平面上，然后计算投影点到原点的距离。

具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。

2. 点到平面的距离公式点到平面的距离公式是另一种常用的求点到面距离的方法。

它的基本思想是将点到平面的距离分解为点到平面法向量的投影和平面法向量的长度两部分，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。

3. 点到三角形的距离点到三角形的距离是求点到面距离的一种特殊情况。

它的基本思想是将点到三角形所在平面的距离和点到三角形的距离两部分相加，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是三角形所在平面上的任意一点，n是三角形所在平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。

求点到面距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。

在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来求解点到面的距离，以满足不同的需求。

点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。

本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。

2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。

同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。

3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。

在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。

3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。

具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。

3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。

具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。

1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。

求点面距离的几种常用方法
陈浩
【期刊名称】《中学理科园地》
【年(卷),期】2005()1
【摘要】点面距离是高中立几中的一个重点内容，也是高考的热点之一。

从平面
外一点引平面的垂线段,垂足的位置不好确定，解决垂线段的位置问题是求点面距
离的关键所在。

转化思想是一种极其重要的数学思想,尤其在立几当中更是体现得
淋漓尽致，例如把空间问题转化为平面问题，把证“线面垂直”转化为证“线线垂直”，把证“线面平行”转化为证“线线平行”，把点面距离转化为点线距离等等。

下面根据我多年的教学体会，从转化的角度把求点面距离的方法大致归结为三类。

【总页数】2页(P44-45)
【关键词】距离;常用方法;转化思想;数学思想;平面问题;问题转化;教学体会;平面外【作者】陈浩
【作者单位】晋江市季延中学
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.求两条异面直线间距离的几种方法 [J], 巩有良
2.求两条异面直线距离的常用方法 [J], 蒋雪英
3.求异面直线间距离的几种常用方法 [J], 王斌
4.求“点面距离”常用的几种基本方法 [J], 潘继军
5.求异面直线距离的几种常用方法 [J], 王成君
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求平面上两点的距离平面上两点的距离是数学中一个基本的概念，也是计算几何中一个重要的问题。

在平面上，任意两个点之间的距离可以使用距离公式来计算。

本文将详细介绍平面上两点的距离的计算方法及其应用。

平面上任意两点的距离可以用直线距离来表示。

假设平面上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，即斜边平方等于两直角边平方和，我们有以下公式：d = √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2其中，d表示两点之间的距离。

在计算平面上两点的距离时，我们需要知道两点的坐标。

通过这个公式，我们可以得到两点之间的直线距离。

除了使用勾股定理，我们还可以使用其他方法来计算两点之间的距离。

例如，我们可以将平面上的两点A和B连接起来，将得到的线段分割成若干小段，然后使用勾股定理计算每个小段的长度之和。

这种方法被称为分段近似，可以更精确地计算两点之间的距离。

当我们需要计算非常长的直线距离时，分段近似可以提供更准确的结果。

在实际应用中，计算平面上两点之间的距离具有广泛的用途。

例如，在地理信息系统中，我们可以使用距离计算来测量两个地点之间的实际距离。

这对于规划路线、测量土地面积和监测地理数据非常重要。

在建筑设计中，计算两点之间的距离可以帮助我们确定建筑物的尺寸和形状，确保在有限的土地上合理安排空间。

在计算机图形学中，我们可以使用距离计算来确定图形的位置和大小，从而实现图像的渲染和变换。

另外，我们还可以通过两点间的距离来解决几何中的一些问题。

例如，在平面上给定三个点A、B和C，如果我们知道点A到点C的距离和点B到点C的距离，我们可以使用这些信息来确定点C的位置。

同样地，如果我们知道一个点和几个已知点的距离，我们可以使用这些距离关系来确定这个点的位置。

这在地理定位、航行和三角测量中都有应用。

最后，在现实生活中，计算平面上两点之间的距离还可以根据需要扩展到三维空间。

我们可以将上述公式和方法应用于空间中的点之间的距离计算。

AP n po n
P
n
A
O

例3、如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别 是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且 GC＝2，求点B到平面EFG的距离。
G
D E A B
C
F
如图，以D为原点，以DA,DC所在直线为X轴，Y轴垂直 解： 于平面ABCD的直线为Z轴,建立空间直角坐标系， 则 E（2，0，0） ,F（4，2，0），B（4，4，0） G（0，4，2） GF (4， 2， 2） FB (0， 2， 0） GE ( 2,4,2) , 设平面的法向量 n ( x，y，z） 则GE n 0， GF n 0 G 2x 4 y 2z 0 z
HA HB HC ,
即H是△ABC的外心 在Rt △OBH中，
2
A B
2 2 2
BH 2 3
H C
OH OB BH 4 (2 3) 2 (cm) ,
即点O到三角形所在平面的距离为2 cm.
例2.点P为平面 外一点，点A为平面 内任一点， PO为平面 的垂线，其中 n为平面 的法向量， 的距离 求证：点P到平面 d=
AB 3 2
A0
BPO 3
3
2
(3 2 ) 2
3

6
2.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O， C为圆周上一点，若AB＝5，AC＝2，求 B到平面PAC的距离。
BC 21
小结： 什么叫点到平面的距离？直线到平面的距离?
空间距离多可转化为点面距离
求点面距离的常用方法有有那几种？ 1、用空间向量方法求解 2、利用有关结论，确定垂足的位置

点面距离的几种求法距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。

而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。

求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。

下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法：1、利用定义作垂线，解三角形。

例1，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点P 在棱1CC 上，且1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。

解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。

过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面C C BB 11,PM 面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。

AB1C B =B ，1C 1D 1A PM D AB C1B ，∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵0!45BCC ，43!P C ,在PM C R t !中，82343224510PM P C PM Sin . 2、转化成其它点到面的距离：2B DCB C BC A AA.a 433、向量法：（其中，为平面α的法向量）例3、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点E, F 分别是11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。

∥⊥解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法向量=(x,y,z),则：A CD 1A 1D EFn n n ABd ，B xyz1B 1C n )1,21,0(),0,21,1(DF DE∵解得=（1,2，-1）∴= 4、利用三棱锥等体积法：点P 到平面BQD 的距离。

★点面距离的求法：线面→点面距离←面面距离⒈直接作垂线法：即直接由点作垂线，求垂线段的长。

这种方法通常要考虑垂足的位置⒉分点转化法：如果平面的一条斜线段被这个平面平分，那么由全等三角形知识可知，这条斜线段的两个端点到这个平面的距离相等。

（推广）如果平面的一条斜线段上各分点到斜足的距离对应成比例，那么由相似可知，这些分点到该平面的距离也对应成比例。

利用这个结论可以快速地将点面距离转化为求斜线上的另一个分点到这个平面的距离。

⒊转化为求平面的平行直线与平面之间的距离⒋体积法：※利用三棱锥的体积公式求点到平面的距离，大致分为以下几步：①把点到平面的距离看作一个三棱锥的高； ②求与此高对应的底面的面积； ③转换顶点或用割补法求此三棱锥的体积；④利用三棱锥体积的自等性，列出方程求高；⒌转化为两平行平面之间的距离⒍向量法※设是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为||n d =1.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC1D 1的距离为( )A.12B.24C.22D.322．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为AA 1的中点，则直线BD 与平面GB 1D 1的距离为( ) A.33 B.263 C.63 D.233 3.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为a ，侧棱长为22a ，D 是棱A 1C 1的中(1)求证：BC 1∥平面AB 1D ；(2)求二面角A 1－AB 1－D 的大小；(3)求点C 1到平面AB 1D 的距离．4. 5.6.已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=o ，2,AB EC ==AE BE ==O 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到面AEC 的距离．。

点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。

算 机 专业 的教 学 中 ， 常 合理 使 用 该教 学 法 ， 以使 学生 在 学 习 经 可 时任 务 明确 ， 时发现 并 很好 地解 决 问题 。既让 学 生掌 握 了 当前 及
以任 务作 为 驱动 。 学 生通 过 自己的 操 作 。 书上 的理 论 变成 现 让 把 实 的应 用 。教 师的 引导 、 点拨 更 多 的是 把知 识 加 以引 申 。 使学 生 能够 触类 旁通 ， 面结 合 、 点 以点 带面 、 『带新 。这种 教 学模 式较 以Ｅ ｌ
Ｂ 面 Ｐ Ｃ， Ｐ Ｃ上面 Ｐ Ｄ， Ａ作 Ｐ ＤＪ ＿ Ａ 面 Ａ Ｂ 过 Ｃ垂 线 交 于 Ｍ 则
ＡＭ 上面 Ｐ Ｄ。 Ｂ
即 Ａ 为所 求 ，易知 Ａ 、 ａ Ｒ ＡＰ Ｃ 中由等面 积 Ｍ Ｃ＝ ／ 。 ｔ Ｂ 用 不同 的底面 积和 高 的乘积 的 倍 相等 （ 为三 棱锥 体 积 ） 均 。
【 声】 ｌ 学 新 心 教法 法 探ｌ
解 析 点 面距 的求 法
● 张 国 新
求点 到面 的距离 是立体 几何 中最 常见 的 问题 ，在高 考 中 作 为重要 的知识 点 ， 几乎每 年必 有。而 且其 他如 线面 距离 、 面
面 距离均 可转化 为点 面距 离 ，因而学 好这 一 内容 是 立体 几何 中重要 的一环 。 下面就 几种 常见 的方 法加 以总结供 同仁参 考 。
一
解 ： 知 Ｅ ／Ｂ 则 Ｂｂ／ Ｅ Ｇ。 Ａ 交 Ｂ 易 Ｆ／ Ｄ， ｉ 面 Ｆ 设 Ｃ ／ Ｄ于 Ｏ， 故
Ｂ到 Ｅ Ｇ距 离等 于 Ｏ 到面 Ｅ Ｇ 距离 。 Ｆ Ｆ 容 易证 面 ＭＧＣ上面 Ｅ Ｇ。作 ＯＰ上ＭＧ， ＯＰ为所 求 ， Ｆ 则 ＡＧＣ 中可 求 ＯＰ Ｍ ：
ｌ ｌ

易得 A1 E = 2． 所 以 由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法二（ 等体积法） ： 欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离， 只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法三 （ 直 接 法 ） ： 直 接 找 出 C 点 到 平 面 A1 ABB1 的 距离．
如图 4 所 示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连 接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC． 所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角． 因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ） 如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB． 所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与 底面 ABC 所成二面角的平面角． 由 AB⊥BCEO∥BC，又因
（ a）
（ b）
图1
（ 3） 如图 1 （ b） 所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ． 所以 A，B 两点到平面 α 的距 离可以相互转化．
三、等体积法

“点面距离”的四种常用解法(2课时)(高三一轮复习内容)课题: 点面距离背景:在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年高考的热考点，”点面距离”的概念是距离概念的一种形成过程。

教学目标：探索空间距离如何定义，掌握点面距离公式及典型解题方法教学重、难点：空间距离定义，距离公式的证明及典型解题方法教学过程：【例题】已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC=2，求点B到平面EFG的距离.解法1：如图所示，设四边形ABCD的对角线相交于点O，AC与EF交于H.∵EF∥BD，∴BD∥平面EFG，∴点B到平面EFG的距离等于点O到平面EFG的距离，记为h.∵EG=FG，∴GH⊥EF.又ABCD是正方形，故BD⊥AC，从而EF⊥AC.所以EF⊥平面GHO.在平面GHO内，过点O作OK⊥GH于点K，则由EF⊥平面GHO得EF⊥OK，从而OK⊥平面EFG，故h=OK，在△GHO中，OH×GC=GH×OK，得即点B到平面EFG的距离为解法2：设四边形ABCD的对角线相交于点O，AC与EF交于H，则H是EF的中点.又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，记点B 到平面EFG 的距离为h故点B 到平面EFG 的距离为：解法3：以点C 为坐标原点，以CB 为ｘ轴，以CD 为ｙ轴，以CG 为ｚ轴，建立空间直角坐标系。

∵正方形ABCD 的边长为4，且GC=2∴B （4，0，0） G （0，0，2） E （4，2，0） F （2，4，0）∴EF → =（—2，2，0） FG → =（—2，—4，2） GB →=（4，0，—2）设面EFG 的法向量为n →=（ｘ，ｙ，ｚ）∴EF n →→•=—2ｘ+2ｙ=0 FG n →→• =—2ｘ—4ｙ+2ｚ=0∴3ｘ=3ｙ=ｚ令ｘ=1,则ｙ=1, ｚ=3∴n →=（1, 1, 3）∴GB →在法向量n →上的射影 =GB nn →→→• = 222141023113⨯+⨯+-⨯∣++∣ =21111故点B 到面EFG 的距离为：解法4：以点C 为坐标原点，以CB 为x 轴，以CD 为y 轴，以CG 为z 轴，建立空间直角坐标系。

1点面距离的求解的策略空间的距离主要有以下七种:(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行直线之间的距离.(5)两条异面直线之间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.实际是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小者.它们之间有密切联系,有些可以相互转化,如两条平行直线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离.求点到平面的距离是重点.现对其求解策略归纳如下:一、 先作后求由该点向平面作垂线，直接计算垂线段的长，用此法的关键在于如何找到这一垂线的位置及垂足的位置．例１．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离 分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A ′D ′= A ′A,∴点A ′在 平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心,连接A ′C ′、B ′D ′交点E ，连接 AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE 上，由于等边三角形的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E 点，在等边三角形AB ′D ′中，AE=a 223⋅，AH=ａ３ＡＥ＝３２6 在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝a AH 33A A'22=- 即A ′到平面AB ′D ′的距离为a 33 （法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′C ′⊥D ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥AD ′ 。

于是A ′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H 点，由面面垂直的性质定理可知A ′H 的长即为所求。

求解略。

评注：求点到面的距离的关键是证出或作出点到面的垂线段，确定垂线段要注意确定垂足位置和有正确的理论根据，法1应用斜线段相等，射影长也相等的结论，确定了射影的位置，法2应用面面垂直的性质即过该点找一个平面与已知平面垂直，则该点到交线的垂线段即为该点到面的垂线段。

点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。

点面距离空间向量求法以《点面距离空间向量求法》为标题，写一篇3000字的中文文章点面距离空间向量求法是一种空间向量研究方法，可以帮助我们确定表面上有多少距离，它利用特定的点和面来表示某物体的位置和形状。

在物体研究中，它通常用于识别物体的尺寸和形状等参数的计算，以及基于空间的理解和模拟操作。

就点面距离空间向量求法而言，它的基本概念是在一个三维空间中，一个物体的位置可以用一个向量来表示，而物体的外部形状也可以用另一个向量来表示。

这两个向量之间的距离可以用来测量物体的体积或形状，其基本公式如下：d（点，面）=||V1-V2||其中，V1是点的位置向量，V2是面的位置向量，||V1-V2||它们之间的向量差的模长，也就是它们之间的距离。

就应用而言，点面距离空间向量求法可以应用于几何学、机械设计、机器人技术等诸多领域。

在几何学中，点面距离空间向量求法可以用来求解形状特征，如物体的表面面积、体积等，以及表面上表现出的形状特征，如法线、垂直等。

在机械设计领域，它可以用来测量不同部件之间的距离或偏移，进而用来判断机器设计的准确性。

此外，它还可以用于机器人技术的发展，例如机器人的运动路径的规划以及机器人的夹持任务的计算。

在实际应用中，点面距离空间向量求法通常使用软件工具，如AutoCAD、SolidWorks等来实现，该软件可以实现形状特征的计算，以及表面上点与面之间的距离或偏移量的测量。

另外，它还可以与其他辅助软件，如激光扫描、特殊数字化模型等结合起来，实现更加精确的物体测量或研究。

总之，点面距离空间向量求法是一种常用的物体研究方法，它可以帮助我们更好地了解物体的形状，以及确定物体上某一点与某一面之间的距离或偏移量。

它的应用范围广泛，既可以在几何学、机械设计、机器人技术中使用，也可以与其他辅助软件结合使用，实现更多精密的物体测量研究。

点到面的距离如何算在几何学中，我们经常会遇到求点到面的距离的问题。

点到面的距离是指从给定的点到最近的面的距离，它是一个重要的几何概念，广泛应用于计算机图形学、机器人技术、三维建模等领域。

本文将介绍几种常见的计算点到面距离的方法。

1. 点到平面距离的概念首先，让我们定义点到平面距离的概念。

考虑一个平面，假设平面上有一点P，其坐标为(xp, yp, zp)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。

那么点P到平面的距离就是点P到平面的垂直距离，即点P到平面的最短距离。

2. 点到平面距离的计算方法接下来，我们将介绍几种常见的计算点到平面距离的方法。

2.1 平面法向量法计算距离首先，我们可以使用平面的法向量来计算点到平面的距离。

平面的法向量可以通过平面方程的系数得到，即法向量为(Nx, Ny, Nz) = (A, B, C)。

对于给定的点P(xp, yp, zp)，我们可以使用以下公式来计算点P到平面的距离：distance = |Axp + Byp + Czp + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|Axp + Byp + Czp + D|为平面方程的值，sqrt(A^2 + B^2 + C^2)为法向量的模长。

2.2 点到平面的投影距离另一种常见的方法是计算点到平面的投影距离。

我们可以首先计算点P在平面上的投影点Q(xq, yq, zq)。

通过将点P投影到平面的垂直方向上，我们可以得到点Q。

然后，我们可以计算点P到点Q的距离，这个距离就是点P到平面的距离。

2.3 点到三角形面的距离当我们需要计算点到三角形面的距离时，可以使用以下方法。

首先，将这个问题转化为点到平面的距离问题，即计算点到平面的距离。

然后，我们需要判断点P是否在三角形的投影内部。

通过判断点P在三角形投影内的位置，我们可以得到点P到三角形的距离。

这个过程涉及到一些几何计算，包括点的投影计算、点在多边形内的判断等。

点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。

下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。

一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。

例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。

解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。

2、直接过点作平面内某一直线的垂线。

例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。

二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。

分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。