【高三总复习】2013高中数学技能特训：3-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(人教B版) 含解析

3-2同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固强化1.(文)若cos α＝－35，π2<α<π，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－43 D ．－34 [答案] C[解析] 依题意得，sin α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，选C. (理)已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A.15 B ．－15 C ．－75 D.75 [答案] A[解析] 由于cos α＝45，α∈(－π4，0)， 所以sin α＝－35，所以sin α＋cos α＝15，故选A.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α＝( ) A ．－78 B.78 C ．－3132 D.3132 [答案] A[解析] sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78. 3．已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1[答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210° ＝1－2a 2，故选A.4．(2011·天津模拟)若cos(2π－α)＝53且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝( )A ．－53B ．－23C ．－13D ．±23 [答案] B[解析] ∵cos(2π－α)＝53，∴cos α＝53， ∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－23， ∴sin(π－α)＝sin α＝－23.5．(2011·杭州二检)若a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° [答案] C[解析] 依题意得32×13－sin αcos α＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝45，则tan2α等于( )A ．－247 B.247 C ．－724 D.724 [答案] A[解析] ∵－π2<α<0，cos α＝45，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选A.7．已知tan(π4＋α)＝12，则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.[答案] －56[解析] ∵tan(π4＋α)＝12，∴tan α＝tan[(π4＋α)－π4]＝tan (π4＋α)－tan π41＋tan (π4＋α)·tan π4＝－13，则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α ＝tan α－12＝－56.8．(2012·唐山二模)若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin2θ的值是________．[分析] 利用诱导公式可将条件式化简得到sin θ＝k cos θ(或tan θ＝k )结合sin 2θ＋cos 2θ＝1可求得sin θ与cos θ代入待求值式可获解(或将待求式除以1＝sin 2θ＋cos 2θ，分子分母都化为tan θ的表示式获解)．[答案] 65[解析] ∵3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sin θ－cos θ＝0，即tan θ＝13.∴cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ1＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋(13)2＝43109＝65. [点评] 形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α、cos α的一次齐次式和二次齐次式．若已知tan α＝m ，求涉及它们的三角式的值时，常作①1的代换，②sin α＝m cos α代入，③选择题常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、分母同除以cos k α(k ＝1,2，…)变形．9．(文)设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝________. [答案] 1213[解析] ∵α为第三象限角，tan α＝512， ∴cos α＝－1213，∴cos(π－α)＝－cos α＝1213.(理)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x 等于________．[答案] 4[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－cos2x ＝sin 2x －cos 2x ＝35， 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＝45，cos 2x ＝15.∴tan 2x ＝sin 2xcos 2x ＝4.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan A＝12，cos B＝31010.(1)求tan C的值；(2)若△ABC最长的边为1，求b.[解析](1)∵cos B＝31010>0，∴B为锐角，sin B＝1－cos2B＝1010∴tan B＝sin Bcos B＝13.∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan A·tan B＝－12＋131－12·13＝－1.(2)由(1)知C为钝角，所以C是最大角，所以最大边为c＝1∵tan C＝－1，∴C＝135°，∴sin C＝22.由正弦定理：bsin B＝csin C得，b＝c sin Bsin C＝1·101022＝55.能力拓展提升11.(2011·绵阳二诊)已知tanθ>1，且sinθ＋cosθ<0，则cosθ的取值范围是()A．(－22，0) B．(－1，－22)C．(0，22) D．(22，1)[答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.12．(文)(2012·大纲全国理，7)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( )A ．－53 B ．－59 C.59 D.53[答案] A[解析] 由sin α＋cos α＝33平方得：1＋sin2α＝13， 即sin2α＝－23.又α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－153.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝33×(－153)＝－53.故选A.解答本题要注意到sin α±cos α与sin αcos α之间的关系． (理)(2011·湖北联考)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12 C.5－12 D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52，∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C.13．(2012·银川第一次质检)已知α∈(0，π2)，sin α＝35，则1cos2α＋tan2α的值为________．[答案] 7[解析] 由题意知，cos α＝1－sin 2α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝725，tan α＝sin αcos α＝34，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝247，因此1cos2α＋tan2α＝257＋247＝7.14．(文)(2011·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos(π12－α)＝________.[答案] －223[解析] ∵－π<α<－π2，∴－7π12<5π12＋α<－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223， ∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)] ＝sin(5π12＋α)＝－223.(理)设a ＝22(cos31°－sin31°)，b ＝1－tan 231°1＋tan 231°，c ＝1＋cos50°2，则a 、b 、c 的大小关系为________(从小到大排列)．[答案] a <b <c[解析] a ＝sin14°，b ＝cos 231°－sin 231°＝cos62°＝sin28°，c ＝cos25°＝sin65°，∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，∴a <b <c . 15．已知tan(α＋π4)＝2，α∈(0，π2)． (1)求tan α的值； (2)求sin(2α＋4π3)的值．[解析] (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α，tan(α＋π4)＝2，∴tan α＋11－tan α＝2.解得tan α＝13.(2)由tan α＝13，α∈(0，π2)，可得sin α＝1010，cos α＝31010.因此sin2α＝2sin αcos α＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝45，sin(2α＋4π3)＝sin2αcos 4π3＋cos2αsin 4π3＝－35×12－45×32＝－3－4310. [点评] 求第(2)问时，可由tan α＝13得，sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝45，再求sin(2α＋4π3)．16．(文)已知向量a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，且a ⊥b .(1)求sin α的值； (2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解析] (1)∵a ＝(cos α，1)，b ＝(－2，sin α)，且a ⊥b . ∴a ·b ＝(cos α，1)·(－2，sin α)＝－2cos α＋sin α＝0. ∴cos α＝12sin α.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝45.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－255.(2)由(1)可得cos α＝－55，则tan α＝2. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－3. (理)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝2326，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)的值．[解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以， f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12， 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π. 又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32α＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋12 ＝cos α＋12＝2326， 解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213，所以，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos (4π＋2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22·1cos α－sin α＝－13214.1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且∠A ＝2∠B ，则sin Bsin3B 等于( )A.b cB.c bC.b aD.a c [答案] A[解析] ∵A ＝2B ，∴sin B sin3B ＝sin Bsin (A ＋B )＝sin B sin (π－C )＝sin B sin C ＝b c.2．(2011·石家庄质检)已知x ∈(π2，π)，cos2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a2 B ．－1－a 2 C.1＋a 2D ．－1＋a 2[答案] D[解析] a ＝cos2x ＝2cos 2x －1， ∵x ∈(π2，π)，∴cos x <0，∴cos x ＝－a ＋12.3．(2012·广东六校联考)sin (－250°)cos70°cos 2155°－sin 225°的值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－sin (270°－20°)cos (90°－20°)cos 225°－sin 225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝cos50°2cos50°＝12，故选C.4．(2012·大纲全国文)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425[答案] A[解析] 此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．∵sin α＝35，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－(35)2＝－45，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.[点评] 使用同角基本关系式求值时要注意角的范围． 5．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( ) A.k 1＋k 2 B.11＋k 2 C ．－k1＋k2 D ．－11＋k2 [答案] C[解析] k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°， ∴tan40°＝－k ，∴k <0，sin40°＝－k cos40°， sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°， ∵sin 240°＋cos 240°＝1， ∴k 2cos 240°＋cos 240°＝1，∴cos40°＝1k 2＋1，∴sin40°＝－k k 2＋1.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______.[答案] 78[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝78. 7．若sin76°＝m ，则cos7°＝______. [答案]2m ＋22[解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ，即2cos 27°－1＝m ，∴cos7°＝2＋2m2.8．设a ＝2tan70°1＋tan 270°，b ＝1＋cos109°2，c ＝32cos81°＋12sin99°，将a 、b 、c 用“<”号连接起来________．[答案] b <c <a[解析] a ＝2tan70°1＋tan 270°＝2sin70°cos70°cos 270°＋sin 270°＝sin140°，b ＝1＋cos109°2＝1－cos71°2＝sin35.5°＝sin144.5°， c ＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°， ∵y ＝sin x 在(90°，180°)内单调递减， ∴a >c >b .。