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![2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]](https://uimg.taocdn.com/e13ff43c3186bceb18e8bbe0.webp)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m（ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2003年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=23．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．25．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．C．D．7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1]D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，）11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．612．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是（用数字作答）14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=c x在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O 为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（2003•全国）（1）设{a n}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{b n}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b k=1160，求k．2003年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GS：二倍角的三角函数；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】11 ：计算题．【分析】首先把圆锥曲线方程转化为直角坐标系的方程，然后根据抛物线的准线方程的公式求出准线方程，再转化为极坐标方程即得到答案．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线x2=8y，则准线方程为y=﹣2，再转化为极坐标方程为ρsinθ=﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化，以及抛物线的准线方程的求解问题，属于综合性的问题有一定的难度．3．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】11 ：计算题．【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】GS：二倍角的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值．【解答】解：∵y=2sinx（sinx+cosx）∴y=2sin2x+2sinxcosx∴y=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1∵当x∈R时，sin（2x﹣）∈[﹣1，1]∴y的最大值为+1，故选：A．【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难．为了学生掌握这一单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式．5．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1，圆心到直线的距离：1=∴故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是基础题．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．C．D．【考点】7F：基本不等式及其应用．【分析】将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值【解答】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有∴h=3R﹣3r∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr=﹣4π（r2﹣Rr）=﹣4π（r﹣）2+πR2∴当r=时，S取的最大值πR2．故选：B．【点评】考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【考点】83：等差数列的性质；73：一元二次不等式及其应用．【专题】11 ：计算题．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q的性质．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选：D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．9．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1]D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]【考点】HV：反三角函数；4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】先用诱导公式求出f（x）=sin（π﹣x），x∈，然后可以反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x）=sinx，x∈所以：函数f（x）=sin（π﹣x），x∈可得π﹣x=arcsiny y∈[﹣1，1]∴f﹣1（x）=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]故选：D．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】16 ：压轴题．【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选：C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．6【考点】6F：极限及其运算；D5：组合及组合数公式．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】利用组合数的性质对原式进行等价转化，得到．【解答】解：∵C22+C32+C42+…+C n2=C33+C32+C42++C n2=C43+C42+…+C n2═C n+13，，∴．故选：B．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意组合数的计算和应用．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方=4πR2，体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故选：A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题．【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，有T r+1令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是（﹣1，0）．【考点】4H：对数的运算性质；7E：其他不等式的解法．【专题】13 ：作图题；44 ：数形结合法．【分析】在坐标系中画出函数f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，图象，结合图象判定即可．【解答】解：利用作图法可以判断f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，相交于（﹣1，0）前者是单调递减，后者是单调递增．所以只有﹣1＜x＜0时，log2（﹣x）＜x+1成立故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查对数函数的图象，数形结合法解不等式，是中档题．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72种．（以数字作答）【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论．【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法：C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是①④⑤（写出所有符合要求的图形序号）．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】能得出l⊥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与1垂直的直线，逐一判断即可．【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，∴l⊥MN．同理，l⊥MP．∴l⊥平面MNP．故①符合．在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l ⊥NE．又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D，∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴题图③不符合．在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点．∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．答案：①④⑤【点评】点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合考查同学们的各种能力转化．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【考点】A1：虚数单位i、复数；87：等比数列的性质；A8：复数的模．【专题】11 ：计算题．【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r，整理得r2+2r﹣1=0．解得r=﹣1，r=﹣﹣1（舍去）．即|z|=﹣1．【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【考点】MI：直线与平面所成的角；L2：棱柱的结构特征；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连接EF、FC，∵D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，∵EF=1，∴FD=．于是ED=，EG=∵FC=，CD=1∴AB=2，A1B=2，EB=，∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；（Ⅱ）连接A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则，，．∴，即A1到平面AED的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=c x在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．【分析】函数y=c x在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c 的取值范围．【解答】解：函数y=c x在R上单调递减⇔0＜c＜1．不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．∵x+|x﹣2c|=∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．如果P不正确，且Q正确，则c＞1．∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O 为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【考点】J3：轨迹方程；K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设=k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．22．（14分）（2003•全国）（1）设{a n}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{b n}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b k=1160，求k．【考点】8B：数列的应用．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）①用（t，s）表示2t+2s，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数；②解法一：因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a100位于第14行第8列，即可求出a100．解法二：直接把设a100=2s0+2t0，再利用条件确定对应的正整数s0，t0即可．（2）利用上面的结论可以快速找到{b n}的规律，再结合组合数对其求解即可．【解答】（1）解：用（t，s）表示2t+2s，下表的规律为3（0，1）5（0，2）6（1，2）9（0，3）10（1，3）12（2，3）①第四行17（0，4）18（1，4）20（2，4）24（3，4）第五行33（0，5）34（1，5）36（2，5）40（3，5）48（4，5）②解法一：因为100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a100=（8，14）=28+214=16640解法二：设a100=2s0+2t0，只须确定正整数s0，t0．数列{a n}中小于2t0的项构成的子集为{2t+2s|0≤s＜t＜t0}，其元素个数为，依题意．满足等式的最大整数t0为14，所以取t0=14．因为100﹣C142=s0+1，由此解得s0=8，∴a100=214+28=16640．（2）解：b k=1160=210+27+23，令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t}）因M={c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210+27}∪{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}．现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}={2r&+2s+2t|0≤r＜s＜t＜10}，其元素个数为C103：{c∈B|210＜c＜210+27}={210&+2s+2r|0≤r＜s＜7}．某元素个数为C72：{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}={210+27+2r|0≤r＜3}某元素个数为C107：k=C103+C72+C32+1=145．另法：规定2r+2t+2s=（r，t，s），b k=1160=210+27+23=（3，7，10）则b1=20+21+22=（0，1，2）C22依次为（0，1，3）（0，2，3）（1，2，3）C32（0，1，4）（0，2，4）（1，2，4）（0，3，4）（1，3，4）（2，3，4）C42（0，1，9）（0，2，9）（6，8，9）（7，8，9）C92（0，1，10）（0，2，10）（0，7，10）（1，7，10）（2，7，10）（3，7，10）C72+4k=（C22+C32++C92）+C72+4=145．【点评】本题考查数列的应用是数列这一块的难题，适合做压轴题．考点卡片1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．2．指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y=a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．3．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①=N；②log a a N=N（a＞0且a≠1）．log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M﹣log a N；log a M n=nlog a M；log a=log a M．4．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0}且f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．5．极限及其运算【知识点的知识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，a n=0，当|a|=1时，若a=1，则a n=1；若a=﹣1，则a n=（﹣1）n不存在当|a|＞1时，a n=不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．=a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作=a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）=在x=1处无定义，但存在，因为在x=1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么。
2003 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 ．（ 5 分）已知，，，则等于A ．B ．C ．D ．2 ．（ 5 分）圆锥曲线的准线方程是A ．B ．C ．D ．3 ．（ 5 分）设函数若，则的取值范围是A ．B ．C ．，，D ．，，4 ．（5 分）函数的最大值为A ．B ．C ．D ． 25 ．（ 5 分）已知圆及直线，当直线被截得的弦长为时，则等于A ．B ．C ．D ．6 ．（ 5 分）已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A ．B ．C ．D ．7 ．（ 5 分）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于A ． 1B ．C ．D ．8 ．（ 5 分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A ．B ．C ．D ．9 ．（ 5 分）函数，的反函数A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，10 ．（ 5 分）已知长方形的四个项点，，和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到．和上的点．和（入射角等于反射角），设坐标为，，若，则的取值范围是A ．，B ．，C ．，D ．，11 ．（ 5 分）等于A ． 3B ．C ．D ． 612 ．（ 5 分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A ．B ．C ．D ．二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满 16 分）13 ．（ 4 分）在的展开式中，的系数是（用数字作答）14 ．（ 4 分）使成立的的取值范围是．15 ．（ 4 分）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）16 ．（ 4 分）下列五个正方体图形中，是正方形的一条对角线，点、、分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 ．（ 12 分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项．求．18 ．（ 12 分）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心．（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点到平面的距离．19 ．（ 12 分）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为．如果和有且仅有一个正确，求的取值范围．20 ．（ 12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21 ．（ 12 分）已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22 ．（ 14 分）（ 1 ）设是集合且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12① 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；② 求（ 2 ）设是集合，且，，中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求．2003 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 ．（ 5 分）已知，，，则等于A ．B ．C ．D ．【解答】解：，，，．．．故选：．2 ．（ 5 分）圆锥曲线的准线方程是A ．B ．C ．D ．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线，则准线方程为，再转化为极坐标方程为．故选：．3 ．（ 5 分）设函数若，则的取值范围是A ．B ．C ．，，D ．，，【解答】解：当时，，则，当时，则，故的取值范围是，，，故选：．4 ．（5 分）函数的最大值为A ．B ．C ．D ． 2【解答】解：当时，，的最大值为，故选：．5 ．（ 5 分）已知圆及直线，当直线被截得的弦长为时，则等于A ．B ．C ．D ．【解答】解：圆的圆心，半径是 2 ，半弦长是，则弦心距是 1 ，圆心到直线的距离：故选：．6 ．（ 5 分）已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A ．B ．C ．D ．【解答】解：设内接圆柱的底面半径为，高为，全面积为，则有当时，取的最大值．故选：．7 ．（ 5 分）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于A ． 1B ．C ．D ．【解答】解：设 4 个根分别为、、、，则，，由等差数列的性质，当时，．设为第一项，必为第 4 项，可得数列为，，，，，．．故选：．8 ．（ 5 分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A ．B ．C ．D ．【解答】解：设双曲线方程为．将代入，整理得．由韦达定理得，则．又，解得，，所以双曲线的方程是．故选：．9 ．（ 5 分）函数，的反函数A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，【解答】解：函数，所以：函数，可得，，，故选：．10 ．（ 5 分）已知长方形的四个项点，，和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到．和上的点．和（入射角等于反射角），设坐标为，，若，则的取值范围是A ．，B ．，C ．，D ．，【解答】解：考虑由射到的中点上，这样依次反射最终回到，此时容易求出，由题设条件知，，则，排除．．，故选：．11 ．（ 5 分）等于A ． 3B ．C ．D ． 6【解答】解：，，．故选：．12 ．（ 5 分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A ．B ．C ．D ．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（ 1 ）一个正方体可以内接一个正四面体；（ 2 ）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径，球的表面积为，故选：．二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满 16 分）13 ．（ 4 分）在的展开式中，的系数是（用数字作答）【解答】解：根据题意，对于，有，令，可得，当时，有，故答案．14 ．（ 4 分）使成立的的取值范围是．【解答】解：利用作图法可以判断和，相交于前者是单调递减，后者是单调递增．所以只有时，成立故答案为：．15 ．（ 4 分）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种．（以数字作答）【解答】解：由题意，选用 3 种颜色时：涂色方法种4 色全用时涂色方法：种所以不同的着色方法共有 72 种．故答案为： 7216 ．（ 4 分）下列五个正方体图形中，是正方形的一条对角线，点、、分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是①④⑤ （写出所有符合要求的图形序号）．【解答】解：如图，设正方体为．在题图① 中，连结，则，又是在面内的射影，．同理，．平面．故① 符合．在题图② 中，延长交的延长线于，连结，若面，则．又是在平面内的射影，，．平面，矛盾．② 不符合．在题图③ 中，平面与题图① 中的平面不是同一平面，它们又过同一点，题图③ 不符合．在题图④ 中，，，平面．延长交于，取的中点，则，平面．连结交于，则平面，可证是的中点．题图④ 与题图⑤ 中的平面实为同一平面．⑤ 也符合．答案：①④⑤三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 ．（ 12 分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项．求．【解答】解：设，则复数的实部为．由题设，即：，整理得．解得，（舍去）．即．18 ．（ 12 分）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心．（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点到平面的距离．【解答】解：（Ⅰ）连接，则是在面的射影，即是与平面所成的角．设为中点，连接、，，分别是，的中点，又平面，为矩形，连接，是的重心，，在直角三角形中，，，．于是，，，，，与平面所成的角是；（Ⅱ）连接，有，，又，平面，设到平面的距离为，则，，．，即到平面的距离为．19 ．（ 12 分）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为．如果和有且仅有一个正确，求的取值范围．【解答】解：函数在上单调递减．不等式的解集为函数在上恒大于 1 ．函数在上的最小值为．不等式的解集为．如果正确，且不正确，则．如果不正确，且正确，则．的取值范围为，，．20 ．（ 12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以为原点，正东方向为轴正向．在时刻：台风中心的坐标为令是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是，其中，若在时，该城市受到台风的侵袭，则有，即，即，解得．答： 12 小时后该城市开始受到台风侵袭．21 ．（ 12 分）已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：根据题设条件，首先求出点坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点到定点距离的和为定值．按题意有，，，设，由此有，，．直线的方程为：，①直线的方程为：．②从① ，② 消去参数，得点坐标满足方程，整理得．当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值．22 ．（ 14 分）（ 1 ）设是集合且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12① 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；② 求（ 2 ）设是集合，且，，中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求．【解答】（ 1 ）解：用表示，下表的规律为，，，，，① 第四行，，，，第五行，，，，，② 解法一：因为，所以解法二：设，只须确定正整数，．数列中小于的项构成的子集为，其元素个数为，依题意．满足等式的最大整数为 14 ，所以取．因为，由此解得，．（ 2 ）解：，令（其中，因．现在求的元素个数：，其元素个数为．某元素个数为某元素个数为．另法：规定，，，， 7 ，则， 1 ，依次为， 1 ，， 2 ，， 2 ，， 1 ，， 2 ，， 2 ，， 3 ，， 3 ，， 3 ，， 1 ，， 2 ，， 8 ，， 8 ，， 1 ，， 2 ，， 7 ，， 7 ，， 7 ，， 7 ，．。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国旧课程卷）理科数学一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪全国旧课程▪理）已知(2x π∈-，0)，4cos 5x =，则tan 2x = A.724 B.724- C.247 D.247- 2. （2003▪全国旧课程▪理）圆锥曲线28sin cos θρθ=的准线方程是 A.cos 2ρθ=- B.cos 2ρθ= C.sin 2ρθ=- D.sin 2ρθ=3. （2003•全国旧课程•理）设函数12210()0x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.(1-，1)B.(1-，)+∞C.(-∞，2)(0-，)+∞ D.(-∞，1)(1-，)+∞ 4. （2003▪全国旧课程▪理）函数2sin (sin cos )y x x x =+的最大值为A.1+1D.2 5. （2003▪全国旧课程▪理）已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线l ：x y -+30=，当直线l 被C截得的弦长为a =B.2116. （2003▪全国旧课程▪理）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是A.22R πB.294R πC.283R πD.252R π 7. （2003▪全国旧课程▪理）已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则||m n -= A.1 B.34 C.12 D.388. （2003▪全国旧课程▪理）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.22134x y -= B.22143x y -= C.22152x y -= D.22125x y -= 9. （2003▪全国旧课程▪理）函数()sin f x x =，[2x π∈，3]2π的反函数1()f x -=A.arcsin x -，[1x ∈-，1]B.arcsin x π--，[1x ∈-，1]C.arcsin x π+，[1x ∈-，1]D.arcsin x π-，[1x ∈-，1]10. （2003▪全国旧课程▪理）已知长方形的四个项点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1)，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD ，DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为4(x ，0)，若41x < 2<，则tan θ的取值范围是 A.1(3，1) B.1(3，2)3 C.2(5，1)2 D.2(5，2)311. （2003▪全国旧课程▪理）22222341111234lim ()n n n C C C C n C C C C →∞++++=++++ A.3 B.13 C.16D.6 12. （2003▪全国旧课程▪则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13. （2003▪全国旧课程▪理）在291()2x x-的展开式中，9x 的系数是________（用数字作答）.14. （2003▪全国旧课程▪理）使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是_________.15. （2003▪全国旧课程▪理）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种．（以数字作答）16. （2003▪全国旧课程▪理）下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条体对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形的序号是_______（写出所有符合要求的图形序号）.三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+12+14=74分）17. （2003▪全国旧课程▪理）已知复数z 的辐角为60︒，且|1|z -是||z 和|2|z -的等比中项.求||z .18. （2003▪全国旧课程▪理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，侧棱12AA =，D 、E 分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G .⑴求1A B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； ⑵求点1A 到平面AED 的距离.19. （2003▪全国旧课程▪理）已知0c >，设P ：函数x y c =在R 上单调递减，Q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.20. （2003▪全国旧课程▪理）在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南(arccos 10θθ=方向300km 的海面P 处，并以20 km /h 的速度向西偏北45︒方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10/km h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21. （2003▪全国旧课程▪理）已知常数0a >，在矩形ABCD 中，4AB =，4BC a =，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22. （2003▪全国旧课程▪理）⑴设{}n a 是集合{22|0t s s t +≤<，且s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，612a =，….将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12… … … …… … … … ……………①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求100a .⑵（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设{}n b 是集合{222|0t s rr s t ++≤<<，且r ，s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160k b =，求k .2003年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2【分析】首先把圆锥曲线方程转化为直角坐标系的方程，然后根据抛物线的准线方程的公式求出准线方程，再转化为极坐标方程即得到答案．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线x2=8y，则准线方程为y=﹣2，再转化为极坐标方程为ρsinθ=﹣2．故选择C．【点评】此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化，以及抛物线的准线方程的求解问题，属于综合性的问题有一定的难度．3．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．2【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值．【解答】解：∵y=2sinx（sinx+cosx）∴y=2sin2x+2sinxcosx∴y=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1∵当x∈R时，sin（2x﹣）∈[﹣1，1]∴y的最大值为+1，故选A．【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难．为了学生掌握这一单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式．5．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1，圆心到直线的距离：1=∴故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是基础题．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2 B．C．D．【分析】将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值【解答】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有∴h=3R﹣3r∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr=﹣4π（r2﹣Rr）=﹣4π（r﹣）2+πR2∴当r=时，S取的最大值πR2．故选B．【点评】考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q 时，am+an=ap+aq的性质．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x ﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．9．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1] B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1] D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]【分析】先用诱导公式求出f（x）=sin（π﹣x），x∈，然后可以反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x）=sinx，x∈所以：函数f（x）=sin（π﹣x），x∈可得π﹣x=arcsiny y∈[﹣1，1]∴f﹣1（x）=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]故选D．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．6【分析】利用组合数的性质对原式进行等价转化，得到．【解答】解：∵C22+C32+C42+…+Cn2=C33+C32+C42++Cn2=C43+C42+…+Cn2═Cn+13，，∴．故选B．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意组合数的计算和应用．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是（﹣1，0）．【分析】在坐标系中画出函数f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，图象，结合图象判定即可．【解答】解：利用作图法可以判断f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，相交于（﹣1，0）前者是单调递减，后者是单调递增．所以只有﹣1＜x＜0时，log2（﹣x）＜x+1成立故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查对数函数的图象，数形结合法解不等式，是中档题．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72 种．（以数字作答）【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法：C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．16．（4分）（2003•全国）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是①③（写出所有符合要求的图形序号）．【分析】能得出AB∥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与AB平行的直线，或者有没有过AB的平面与平面MNP平行．逐一判断即可．【解答】解：①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP．②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行．③易知AB∥MP，∴AB∥面MNP．④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，∴AB与面MNP不平行．故答案为：①③【点评】本题考查直线与平面平行的判定，是基础题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r，整理得r2+2r﹣1=0．解得r=﹣1，r=﹣﹣1（舍去）．即|z|=﹣1．【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD 所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连接EF、FC，∵D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，∵EF=1，∴FD=．于是ED=，EG=∵FC=，CD=1∴AB=2，A1B=2，EB=，∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；（Ⅱ）连接A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则，，．∴，即A1到平面AED的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．【分析】函数y=cx在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c的取值范围．【解答】解：函数y=cx在R上单调递减⇔0＜c＜1．不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．∵x+|x﹣2c|=∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．如果P不正确，且Q正确，则c＞1．∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设=k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．22．（14分）（2003•全国）（1）设{an}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{bn}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知bk=1160，求k．【分析】（1）①用（t，s）表示2t+2s，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数；②解法一：因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a100位于第14行第8列，即可求出a100．解法二：直接把设a100=2s0+2t0，再利用条件确定对应的正整数s0，t0即可．（2）利用上面的结论可以快速找到{bn}的规律，再结合组合数对其求解即可．【解答】（1）解：用（t，s）表示2t+2s，下表的规律为3（0，1）5（0，2） 6（1，2）9（0，3） 10（1，3） 12（2，3）①第四行17（0，4） 18（1，4） 20（2，4） 24（3，4）第五行33（0，5） 34（1，5） 36（2，5） 40（3，5） 48（4，5）②解法一：因为100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a100=（8，14）=28+214=16640 解法二：设a100=2s0+2t0，只须确定正整数s0，t0．数列{an}中小于2t0的项构成的子集为{2t+2s|0≤s＜t＜t0}，其元素个数为，依题意．满足等式的最大整数t0为14，所以取t0=14．因为100﹣C142=s0+1，由此解得s0=8，∴a100=214+28=16640．（2）解：bk=1160=210+27+23，令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t}）因M={c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210+27}∪{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}．现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t＜10}，其元素个数为C103：{c∈B|210＜c＜210+27}={210+2s+2r|0≤r＜s＜7}．某元素个数为C72：{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}={210+27+2r|0≤r＜3}某元素个数为C107：k=C103+C72+C32+1=145．另法：规定2r+2t+2s=（r，t，s），bk=1160=210+27+23=（3，7，10）则b1=20+21+22=（0，1，2）C22依次为（0，1，3）（0，2，3）（1，2，3） C32（0，1，4）（0，2，4）（1，2，4）（0，3，4）（1，3，4）（2，3，4） C42 （0，1，9）（0，2，9）（6，8，9）（7，8，9）C92（0，1，10）（0，2，10）（0，7，10）（1，7，10）（2，7，10）（3，7，10）C72+4k=（C22+C32++C92）+C72+4=145．【点评】本题考查数列的应用是数列这一块的难题，适合做压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：zhwsd；xiaolizi；minqi5；涨停；qiss；wdnah；wzj123；zlzhan；geyanli；danbo7801；豫汝王世崇；xintrl；庞会丽（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
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2003年高考真题——数学(理科)真题及答案[全国卷I]2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知$x\in (-\pi/2,0)$，$cosx=4$，则$tan2x=$text{(A)}\frac{7}{24}\quad\text{(B)}-\frac{7}{24}\quad\text{(C)}\frac{24}{7}\quad\text{(D)}-\frac{247}{25}2.圆锥曲线$\rho=2cos\theta$的准线方程是text{(A)}\rho cos\theta=-2\quad\text{(B)}\rhocos\theta=2\quad\text{(C)}\rho sin\theta=2\quad\text{(D)}\rho sin\theta=-23.设函数$f(x)=\begin{cases}1,&x1$，则$x$的取值范围是text{(A)}(-1,1)\quad\text{(B)}(-1,+\infty)\quad\text{(C)}(-\infty,-2)\cup[0,+\infty)\quad\text{(D)}(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)4.函数$y=2sinx(sinx+cosx)$的最大值为text{(A)}1+2\sqrt{2}\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2\quad\text{(D)}2\sqrt{2}5.已知圆$C:(x-a)^2+(y-2)^2=4(a>0)$及直线$l:x-y+3=0$，当直线$l$被$C$截得的弦长为23时，则$a=$text{(A)}2\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2^{-1}\quad\text{(D)}2+\sqrt{2}6.已知圆锥的底面半径为$R$，高为$3R$，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是text{(A)}2\pi R\quad\text{(B)}\pi R^2\quad\text{(C)}\piR\sqrt{2}\quad\text{(D)}\pi R\sqrt{3}7.已知方程$(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0$的四个根组成一个首项为1的等差数列，则$|m-n|=$text{(A)}1\quad\text{(B)}3\quad\text{(C)}\frac{1}{2}\quad\t ext{(D)}\frac{4}{3}8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为$F(7,0)$，直线$y=x-1$与其相交于$M$、$N$两点，$MN$中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$，则此双曲线的方程是text{(A)}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{8}=1\quad\text{(B)}\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{8}=1\quad\text{(C)}\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1\quad\text{(D)}\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{9}=19.函数$f(x)=\sin x$，$x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$的反函数$f^{-1}(x)$是text{(A)}-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(B)}-\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(C)}\pi+\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(D)}\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]10.已知长方形的四个顶点$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$和$D(0,1)$，一质点从$AB$的中点$P$沿与$AB$的夹角$\theta$的方向射到$BC$上的点$Q$，则$\theta$的取值范围是text{(A)}\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\quad\text{(B)}\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{(C)}\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]\quad\text{(D)}\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]2.将文章进行修正和改写：2、P3和P4是点P在CD、DA和AB上的反射点，入射角等于反射角。
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)-同湖南一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共 有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a sn 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321Λ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b st n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos οοr r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)31262,.2,22,23, 3.3622sin .arcsin .3D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠==⋅=∴Q Q L L Q 分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又Θ.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x Θ20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
2003高考全国Ⅰ理科数学试卷及答案2003年普通高等学校招生考试全国?理科数学一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,41(已知，0)，，则 ( ) tgx2,(x,,socx,25247724 (A) (B) (C) (D) ,,724247,8sin2(圆锥曲线的准线方程是 ( ) ,,2cos,(A) (B) (C) (D) ,cos,,,2,cos,,2,sin,,2,sin,,,2,x,,21x,0,13(设函数，若，则的取值范围是 ( ) xf(x),1,f(x),002x,0,x,(A)(，1) (B)(，) ，,,1,1(C)(，)(0，) (D)(，)(1，) ，,，,,,,,,,,2,14(函数的最大值为 ( ) y,2sinx(sinx，cosx)(A) (B) (C) (D)2 1，22,12225(已知圆C:()及直线:，当直线被C截得的弦长为23a,0ll(x,a)，(y,2),4x,y，3,0时，则 ( ) a(A) (B) (C) (D) 22，12,12,26(已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )3829222 (A) (B) (C) (D) 2,RR,R,R,2342217(已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则 |m,n|,(x,2x，m)(x,2x，n),04( )313 (A)1 (B) (C) (D) 8248(已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线与其相交于M、N两点，MN中点的7y,x,12横坐标为，则此双曲线的方程是 ( ) ,322222222xyxyxyxy (A) (B) (C) (D) ,,1,,1,,1,,1344352253,,,19(函数，的反函数 ( ) f(x),f(x),sinxx,[,]22,arcsinx,,,arcsinx (A) ，1] (B) ，1] x,[,1x,[,1,，arcsinx,,arcsinx (C) ，1] (D) ，1] x,[,1x,[,1P10(已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点沿与0,PAB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等PPP3124,于反射角)，设的坐标为(，0)，若，则tg的取值范围是 Px1,x,2444( )2121212 (A)(，1) (B)(，) (C)(，) (D)(，) 33523352222CCC？C，，，，234n11( ( ) lim,1111,,nn(CCC？C)，，，，234n2003年普通高等学校招生考试全国?理科数学11 (A)3 (B) (C) (D)66312(一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为( ) 2(A) (B) (C) (D) 3,4,6,33,二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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2003年高考理科数学真题及答案[全国卷I]2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247-（C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22R π （B ）249Rπ （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m（ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ） 求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ） 求点1A 到平面AED 的距离19．（本小题满分12分） 已知0>c，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分） 已知常数0>a，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且D E KB CABAFC G P GD FEC y θO 北 东y线岸 O xPrP45︒海DADC CD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. （2003▪北京▪理）设集合2{|10}A x x =->，2{|log 0}B x x =>，则A B =A.{|1}x x >B.{|0}x x >C.{|1}x x <-D.{|1x x >或1}x <-2. （2003▪北京▪理）设0.914y =，0.4828y =， 1.531()2y -=，则A.312y y y >>B.213y y y >>C.123y y y >>D.132y y y >>3. （2003▪北京▪理）“cos 2α=”是“512k παπ=+，k Z ∈”的 A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4. （2003▪北京▪理）已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是A.若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥B.若m ∥α，n αβ=，则m ∥nC.若m α⊥，m β⊥，则α∥βD.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥5. （2003▪北京▪理）极坐标方程2cos 22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线6. （2003▪北京▪理）若z C ∈且|22|1z i +-=，则|22|z i --的最小值是A.2B.3C.4D.57. （2003▪北京▪理）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为A.2πB.32πC.3D.12π 8. （2003▪北京▪理）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有A.24种B.18种C.12种D.6种9. （2003▪北京▪理）若数列{}n a 的通项公式是32(1)(32)2n n n n n n a ----++--=，n =1，2，…，则12lim(n a a →∞++…)n a += A.1124 B.1724 C.1924 D.252410. （2003▪北京▪理）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令10ij i j a i j ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选，其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为A.1112a a ++…12122k a a a ++++…2k a +B.1121a a ++…11222k a a a ++++…2k a +C.11122122a a a a ++…12k k a a +D.11211222a a a a ++…12k k a a +二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11. （2003▪北京▪理）函数2()lg(1)f x x =+，21()0||121x x g x x x x +<-⎧⎪=≤⎨⎪-+>⎩，()tan 2h x x =中，______是偶函数.12. （2003▪北京▪理）已知双曲线方程为221169x y -=，则以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程为_________.13. （2003▪北京▪理）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是__________.14. （2003▪北京▪理）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________.三、解答题：本大题共6小题，共13+13+15+15+14+14=84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （2003▪北京▪理）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值.16. （2003▪北京▪理）已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵令()n n n b a x x R =∈，求数列{}n b 前n 项和的公式.17. （2003▪北京▪理）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，侧棱12AA =，D 是CB 延长线上一点，且BD BC =.⑴求证：直线1BC ∥平面1AB D ；⑵求二面角1B AD B --的大小；⑶求三棱锥11C ABB -的体积．18. （2003▪北京▪理）如图，椭圆的长轴12A A 与x 轴平行，短轴12B B 在y 轴上，中心为(0M ，)(0)r b r >>.⑴写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；⑵设直线1y k x =与椭圆交于亮点1(C x ，1)y ，2(D x ，22)(0)y y >，直线2y k x=与椭圆交于两点3(G x ，3)y ，4(H x ，44)(0)y y >.求证：2341121234k x x k x x x x x x =++； ⑶对于⑵中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OP OQ =.（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）19. （2003▪北京▪理）有三个新兴城镇分别位于A 、B 、C 三点处，且AB AC a ==，2BC b =，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处（建立坐标系如图）．⑴若希望点P 到三镇距离的平方和最小，则P 应位于何处？⑵若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？20. （2003▪北京▪理）设()y f x =是定义在区间[1-，1]上的函数，且满足条件：①(1)(1)0f f -==；②对任意的u 、[1v ∈-，1]，都有|()()|||f u f v u v -≤-. ⑴证明：对任意的[1x ∈-，1]，都有1()1x f x x -≤≤-；⑵证明：对任意的u 、[1v ∈-，1]，都有|()()|1f u f v -≤；⑶在区间[1-，1]上是否存在满足题设条件的奇函数()y f x =，且使得当u ，[0v ∈，1]2时，|()()|||f u f v u v -<-，当u ，1[2v ∈，1]时，|()()|||f u f v u v -=-.若存在请举一例，若不存在，请说明理由.2003年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）（2003•北京）设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|log2x＞0|}，则A∩B等于（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}【分析】先化简集合，即解一元二次不等式x2＞1，和对数不等式log2x＞0，再求交集．【解答】解：根据题意：集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，集合B={x|x＞1}∴A∩B={x|x＞1}．故选A【点评】本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，属于基础题．2．（5分）（2003•北京）设，，，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【分析】分别将三个幂值进行化简，转化为以2为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性进行判断．【解答】解：，，．因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．故选D．【点评】本题主要考查了指数幂的大小比较，将不同底的指数幂转化为同底的指数幂．然后利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键．3．（5分）（2003•北京）“”是“”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义去判断．【解答】解：由，得，即，所以，是“”的必要不充分条件．故“”是“”的必要不充分条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握判断充要条件的①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．4．（5分）（2003•北京）已知α，β是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【分析】根据线面平行性质定理，得A项不正确，根据线面垂直的性质与判定，可得B项正确；根据面面平行的性质与线面垂直的性质，可得C项正确；根据线面垂直的定义，可得D项正确．由此可得本题答案．【解答】解：对于A，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n但条件中缺少“m⊂β”，故不一定有m∥n成立，故A不正确；对于B，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，可得若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故B正确；对于C，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故C正确；对于D，若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线都垂直故若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故D正确因此，不正确的命题只有A故选：A【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要找出其中的假命题．着重考查了空间直线与平面平行与垂直、平面与平面平行与垂直等位置关系的认识与理解，属于中档题．5．（5分）（2003•北京）极坐标方程ρ2cos2θ﹣2ρcosθ=1表示的曲线是（）A．圆B．椭圆 C．抛物线D．双曲线【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论【解答】解：极坐标方程ρ2cos2θ﹣2ρcosθ=1可化为：ρ2（cos2θ﹣sin2θ）﹣2ρcosθ=1，∴x2﹣y2﹣2x=1，即（x﹣1）2﹣y2=2，它表示中心在（1，0）的双曲线．∴极坐标方程ρ2cos2θ﹣2ρcosθ=1表示的曲线是双曲线．故选D．【点评】研究极坐标问题，我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究．6．（5分）（2003•北京）若z∈C，且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据式子|Z+2﹣2i|=1的几何意义，表示以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差．【解答】解：由题意知，|Z+2﹣2i|=1表示：复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1即以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|表示：圆上的点到（2，2）的距离的最小值，即圆心（﹣2，2）到（2，2）的距离减去半径1，则|2﹣（﹣2）|﹣1=3故选B．【点评】本题考查复数代数形式有关式子的几何意义，关键是把式子转化为几何意义，考查了转化思想．7．（5分）（2003•北京）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A．2πB．C．D．【分析】设圆台上、下底面圆半径为r、R，则母线l=2（R﹣r），高h=（R﹣r），由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比．【解答】解：∵圆台的母线与底面成60°角，∴设上底圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得l=2（R﹣r）因此，圆台的侧面积为S侧=π（r+R）l=2π（R2﹣r2）又∵圆台的高h=（R﹣r）∴圆台的轴截面面积为S轴=（2r+2R）h=（R2﹣r2）由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为2π（R2﹣r2）：（R2﹣r2）=故选：C【点评】本题给出母线与底面成60°角的圆台，求它的侧面积与轴截面面积的比值．着重考查了圆台侧面积公式、梯形面积公式和解三角形等知识，属于基础题．8．（5分）（2003•北京）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种【分析】根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案．【解答】解：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，∴种法共有C32•A33=18种，【点评】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解．9．（5分）（2003•北京）若数列{an}的通项公式是an=，n=1，2，…，则（a1+a2+…+an）等于（）A．B．C．D．【分析】由题意知an=由此可知（a1+a2++an）=+，计算可得答案．【解答】解：an=即an=∴a1+a2+…+an=（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a1+a2+…+an）=+=，故选C．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．10．（5分）（2003•北京）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB．a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2C．a11a12+a21a22+…+ak1ak2D．a11a21+a12a22+…+a1ka2k【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数为它们对应相乘再相加．【解答】解：第1，2，…，k名学生是否同意第1号同学当选依次由a11，a21，a31，…，ak1来确定（aij=1表示同意，aij=0表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由a12，a22，…，ak2确定，而是否同时同意1，2号同学当选依次由a11a12，a21a22，…，ak1ak2确定，故同时同意1，2号同学当选的人数为a11a12+a21a22+…+ak1ak2，故选C．【点评】本题主要考查了矩阵的应用，考查学生阅读理解、分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．（4分）（2003•北京）函数f（x）=lg（1+x2），g（x）=，h（x）=tan2x中，f（x）、g（x）是偶函数．【分析】用函数奇偶性定义判断．f（x），h（x）判断时，先看定义域，再研究关系；g（x）判断时，要注意从三种情况判断，即从1°当﹣1≤x≤1时2°当x＜﹣1时3°当x＞1时判断．【解答】解：∵f（﹣x）=lg[1+（﹣x）2]=lg（1+x2）=f（x），∴f（x）为偶函数．又∵1°当﹣1≤x≤1时，﹣1≤﹣x≤1，∴g（﹣x）=0．又g（x）=0，∴g（﹣x）=g（x）．2°当x＜﹣1时，﹣x＞1，∴g（﹣x）=﹣（﹣x）+2=x+2．又∵g（x）=x+2，∴g（﹣x）=g（x）．3°当x＞1时，﹣x＜﹣1，∴g（﹣x）=（﹣x）+2=﹣x+2．又∵g（x）=﹣x+2，∴g（﹣x）=g（x）．综上，对任意x∈R都有g（﹣x）=g（x）．∴g（x）为偶函数．h（﹣x）=tan（﹣2x）=﹣tan2x=﹣h（x），∴h（x）为奇函数．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，要注意分段函数的判断，分几段就从几个方面判断．12．（4分）（2003•北京）已知双曲线方程为，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为y2=36（x+4）．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的左顶点和右焦点，进而根据抛物线的性质可求得抛物线的p，可得方程．【解答】解：根据双曲线方程可知a=4，b=3∴c==5，∴左顶点坐标为（﹣4，0），右焦点坐标为（5，0），∵抛物线顶点为双曲线的左顶点，焦点为右焦点，∴p=18，焦点在顶点的右侧，在x轴上∴抛物线方程y2=36（x+4）．故答案为：y2=36（x+4）．【点评】本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质．考查了学生对圆锥曲线基本知识的理解和掌握．13．（4分）（2003•北京）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是πr2（a+b）．【分析】用补形法：两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．求出总体积的一半即可．【解答】解：取两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．所求几何体的体积：=故答案为：【点评】本题考查几何体的体积，考查转化思想，是基础题．14．（4分）（2003•北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．【分析】正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点﹣﹣一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．【解答】解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1﹣x，半径r=．∴S正=（）2=，S圆=π•．∴S正+S圆=（0＜x＜1）．∴当x=时有最小值．答案：【点评】本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）（2003•北京）已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）根据平方关系、二倍角、两角和的余弦公式化简解析式，再求出函数的周期；（Ⅱ）由x的范围求出“”的范围，再根据余弦函数的最值，求出此函数的最值以及x的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x∴f（x）的最小正周期．（Ⅱ）∵，∴当时，f（x）取最大值为，当时，f（x）取最小值为﹣1∴的最大值为1，最小值为﹣【点评】本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及余弦函数的性质等基本知识，考查运算能力．16．（13分）（2003•北京）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式．【分析】（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果．（2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12．又a1=2，得d=2．∴an=2n．（2）当x=0时，bn=0，Sn=0，当x≠0时，令Sn=b1+b2+…+bn，则由bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2++（2n﹣2）xn﹣1+2nxn，①xSn=2x2+4x3++（2n﹣2）xn+2nxn+1．②当x≠1时，①式减去②式，得（1﹣x）Sn=2（x+x2++xn）﹣2nxn+1=﹣2nxn+1．∴Sn=﹣．当x=1时，Sn=2+4++2n=n（n+1）．综上可得，当x=1时，Sn=n（n+1）；当x≠1时，Sn=﹣．【点评】数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备．17．（15分）（2003•北京）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC．（1）求证：直线BC1∥平面AB1D；（2）求二面角B1﹣AD﹣B的大小；（3）求三棱锥C1﹣ABB1的体积．【分析】（1）根据三棱柱的性质，可以证出BC1∥DB1，结合线面平行的判定定理可以证出直线BC1∥平面AB1D；（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1，根据三垂线定理得∠B1EB是二面角B1﹣AD﹣B 的平面角．在Rt△BB1E中，利用三角函数的定义可算出∠B1EB=60°，即二面角B1﹣AD﹣B的大小为60°．（3）过A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性质定理，可得AF⊥平面BB1C1C，即AF等于点A到平面B1C1B的距离．利用等边三角形计算出AF的长为，结合三角形B1C1B的面积等于，用锥体体积公式可以算出三棱锥C1﹣ABB1的体积．【解答】解：（1）∵CB∥C1B1，且BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，可得BC1∥DB1．又B1D⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴直线BC1∥平面AB1D（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1∵BB1⊥平面ABD，∴BE是B1E在平面ABD内的射影结合BE⊥AD，可得B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1﹣AD﹣B的平面角．∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=AC=．在Rt△BB1E中，tan∠B1EB===∴∠B1EB=60°，即二面角B1﹣AD﹣B的大小为60°（3）过A作AF⊥BC于F，∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面BB1C1C∴平面BB1C1C⊥平面ABC∵AF⊥BC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC∴AF⊥平面BB1C1C，即AF为点A到平面BB1C1C的距离．∵正三角形ABC中，AF=×3=，∴三棱锥C1﹣ABB1的体积VC1﹣ABB1=VA﹣C1BB1=××=．【点评】本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积并求二面角的大小，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．18．（15分）（2003•北京）如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y 轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（Ⅱ）设直线y=k1x与椭圆交于C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0），直线y=k2x与椭圆次于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．求证：；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）【分析】（Ⅰ）根据椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），即可得椭圆方程，从而可得焦点坐标与离心率；（Ⅱ）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，利用韦达定理，可得；将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得，由此可得结论；（Ⅲ）设点P（p，0），点Q（q，0），由C、P、H共线，得；由D、Q、G共线，可得，由此可得结论．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），∴椭圆方程为焦点坐标为，离心率（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得整理得根据韦达定理，得，，所以①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得②由①、②得=所以结论成立（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）由C、P、H共线，得解得由D、Q、G共线，同理可得∴由=变形得=所以|p|=|q|即|OP|=|OQ|【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查不等式的证明，认真审题，细心计算是关键．19．（14分）（2003•北京）有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？【分析】（I）设出P的坐标，表示出P至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论；（II）记，表示出P至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件a＞b＞0，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为=所以，当时，函数f（y）取得最小值．答：点P的坐标是（Ⅱ）记P至三镇的最远距离为由解得，记，于是当，即h≥b时，因为在[y*，+∞）上是增函数，而|h﹣y|在（﹣∞，y*]上是减函数．所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．点P的坐标是当，即h＜b时，因为在[y*，+∞）上当y=0函数g（y）取得最小值b，而|h﹣y|在（﹣∞，y*]上是减函数，且|h﹣y|＞b，所以y=0时，函数g（y）取得最小值．答：当h≥b时，点P的坐标是；当h＜b时，点P的坐标是（0，0），其中【点评】本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．20．（14分）（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的函数，且满足条件，①f（﹣1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|≤|u﹣v|（Ⅰ）证明：对任意x∈[﹣1，1]，都有x﹣1≤f（x）≤1﹣x（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[﹣1，1]都有|f（u）﹣f（v）|≤1（Ⅲ）在区间[﹣1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用条件②，可得当x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤|x﹣1|=1﹣x，从而可得结论；（II）分类讨论，利用条件②，即可得到结论；（III）利用反证法，利用条件引出矛盾，即可得解．【解答】（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤|x﹣1|=1﹣x，即x﹣1≤f（x）≤1﹣x．（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[﹣1，1]，当|u﹣v|≤1时，有|f（u）﹣f（v）|≤|u﹣v|≤1当|u﹣v|＞1时，u•v＜0，不妨设u∈[﹣1，0），v∈（0，1]，则v﹣u＞1从而有|f（u）﹣f（v）|≤|f（u）﹣f（﹣1）|+|f（v）﹣f（1）|≤|u+1|+|v﹣1|=2﹣（v﹣u）＜1综上可知，对任意的u，v∈[﹣1，1]，都有|f（u）﹣f（v）|≤1（Ⅲ）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，则由|f（u）﹣f（v）|=|u﹣v|．得又f（1）=0，所以①又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，由条件|f（u）﹣f（v）|＜|u﹣v|．得所以②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．【点评】本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．参与本试卷答题和审题的老师有：733008；maths；ywg2058；minqi5；gongjy；danbo7801；zlzhan；zwx097；wodeqing；qiss；ying_0011；涨停；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题共60 分）一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知x(2，0）， cos x4，则 tg 2x（）5（A ）7（ B ）7 （C ）24（D ）242424772．圆锥曲线8 sin 的准线方程是（）2cos（A ） cos2 （ B ） cos2 （C ）sin2（D ）sin 23．设函数f (x)2 x1x，若f ( x 0 )1，则x 0 的取值范围是（）1x 2x 0（A ）（ 1， 1）（B ）（ 1， ）（ C ）（ ， 2 ）（0， ）（D ）（，1）（ 1，）4．函数 y2 sin x(sin x cos x)的最大值为（ ）（A ） 1 2 （B ） 2 1（C ） 2（D ）25．已知圆 C ： (xa) 2 ( y2) 2 4 （ a0 ）及直线 l ： xy 30 ，当直线 l 被 C 截得的弦长为 23 时，则 a（）（A ）2（B ） 2 2（C ）21 （D ）216．已知圆锥的底面半径为R ，高为 3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）2 R2（B ）9R2（C ）8R2（D ） 3R24327．已知方程 ( 2 2)( 22) 0 的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则 | m n |xxm xx n4（ ）（A ） 1（B ）3（C ） 1（D ） 34288．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7 ，0），直线 yx 1 与其相交于 M 、N 两点， MN 中点的横坐标为2 ，则此双曲线的方程是（ ）3（A ） x2y 21（ B ） x2y 21（ C ） x2y 21 （ D ） x2y 2 13 44352259．函数f ( x)sin x ，x [ , 3] 的反函数 f 1 ( x)（）2 2（A ）arcsin x x [ 1， 1]（B ）arcsin x x [ 1，1]（C ）arcsin x x [ 1，1]（ D ）arcsin xx[ 1，1]10．已知长方形的四个顶点A （ 0，0），B （ 2，0），C （ 2，1）和D （ 0，1），一质点从 AB 的中点P 0 沿与 AB的夹角的方向射到BC 上的点P 1 后，依次反射到CD 、DA 和 AB 上的点P 2、 P 和 P 4 （入射角等于反3射角），设 P 4的 坐 标 为 （ x 4 ， 0 ）， 若 1 x 42 ， 则 tg的取值范围是（）（A ）（ 1， 1）（B ）（1，2）（C ）（2，1）（D ）（ 2， 2）3335253222211． limC 2C 3C 4C n（）1111nn(C 2C 3 C 4C n )（A ） 3（B ）1（ C ）1（D ） 66312．一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ） 3（B ） 4（C ）3 3（D ） 6二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003▪辽宁）与曲线11y x =-关于原点对称的曲线为 A.11y x =+ B.11y x =-+ C.11y x=- D.11y x =-- 2. （2003▪辽宁）已知(2x π∈-，0)，54cos =x ，则tan 2x = A.247 B.724- C.724 D.247- 3. （2003▪辽宁）=+-2)3(31i i A.i 4341+ B.i 4341--C.i 2321+D.i 2321-- 4. （2003▪辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =A.()AB AD λ+，(0λ∈，1)B.()AB BC λ+，(0λ∈，C.()AB AD λ-，(0λ∈，1)D.()AB BC λ-，(0λ∈，25. （2003▪辽宁）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是A.1(-，)1B.1(-，)∞+C.-∞(，0()2 -，)∞+D.-∞(，1()1 -，)∞+6. （2003▪辽宁）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为 A.48 B.49 C.50 D.517. （2003▪辽宁）函数1ln1x y x +=-，1(∈x ，)∞+的反函数为 A.11x x e y e -=+，0(∈x ，)∞+ B.11x x e y e +=-，0(∈x ，)∞+ C.11x x e y e -=+，-∞∈(x ，)0 D.11x x e y e +=-，-∞∈(x ，)0 8. （2003▪辽宁）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33a B.43a C.63a D.123a9. （2003▪辽宁）设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线)(x f y =在点0(x P ，))(0x f 处的切线的倾斜角的取值范围为0[，]4π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为A.[0，1]aB.[0，1]2aC.[0，||]2b a D.[0，1||]2b a-10. （2003▪辽宁）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0)，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 11. （2003▪辽宁）已知长方形的四个顶点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和(0D ，1).一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为4(x ，0)，若412x <<，则θtan 的取值范围是 A.1(3，1) B.1(3，23） C.2(5，1)2 D.2(5，2)312. （2003▪辽宁）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3πB.4πC.D.6π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003▪辽宁）92)21(xx -展开式中9x 的系数是________________. 14. （2003▪辽宁）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、__________、__________辆.15. （2003▪辽宁）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_________种．（以数字作答）16. （2003▪辽宁）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB AC =，BD CD =，则BC AD ⊥；②若AB CD =，AC BD =，则BC AD ⊥；③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥；④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+14+12=74分）17. （2003▪辽宁）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.⑴证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线；⑵求点1D 到面BDE 的距离.18. （2003▪辽宁）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(4M π，0)对称，且在区间[0，]2π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19. （2003▪辽宁）设0a >，求函数()ln()f x x a +，(0x ∈，)+∞的单调区间.20. （2003▪辽宁）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是1A ，2A ，3A ，B 队队员是1B ，2B ，3B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负分分别为ξ、η.⑴求ξ、η的概率分布；⑵求E ξ，E η.21. （2003▪辽宁）设0a 为常数，且1*132()n n n a a n N --=-∈. ⑴证明对任意1n ≥，11[3(1)5n n n a -=+-•2](1)n n +-•02n a ； ⑵假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围. 22. （2003▪辽宁）已知常数0a >，向量(0c =，)a ，(1i =，0)，经过原点O 以c iλ+为方向向量的直线与经过定点(0A ，)a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E F 、，使得||||PE PF +为定值.若存在，求出E F 、的坐标；若不存在，说明理由.2003年辽宁省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为（）A．B． C．D．【分析】题目中：“曲线关于原点对称的曲线”，只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，即可得到新曲线的函数解析式．【解答】解：∵曲线关于原点对称的曲线，∴只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，即可得到新曲线的函数解析式，即﹣y=，整理，得．故选A．【点评】本题考查函数图象的变换，由于使用了数形结合的方法，使问题便迎刃而解，且解法简捷．2．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．3．（5分）（2003•天津）=（）A． B．C． D．【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．【解答】解：=故选B．【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题．4．（5分）（2003•辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则=（）A．B．C．D．【分析】先过P分别作AD、AB的平行线，可得，，运用向量的加法运算可得=λ（+），λ∈（0，1）．【解答】解：设P是对角线AC上的一点（不含A、C），过P分别作AD、AB的平行线，则可得．设，则λ∈（0，1）且．于是=λ（+），λ∈（0，1）．故选A．【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量加法的几何意义．属基础题．5．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．6．（5分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）A．48 B．49 C．50 D．51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．【解答】解：设{an}的公差为d，∵，a2+a5=4，∴+d++4d=4，即+5d=4，解得d=．∴an=+（n﹣1）=，令an=33，即=33，解得n=50．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．7．（5分）（2003•天津）函数，x∈（1，+∞）的反函数为（）A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）C．，x∈（﹣∞，0）D．，x∈（﹣∞，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域．【解答】解：由已知，解x得，令，当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），则，∴函数，x∈（1，+∞）的反函数为，x∈（0，+∞）故选B．【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化求x，二是函数，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得．8．（5分）（2003•天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：．故选C．【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．9．（5分）（2003•天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[0，||] D．[0，||]【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0，]，∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈[0，]．故选：B．【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．10．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．11．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1） B．（，）C．（，）D．（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tan θ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故答案选A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•天津）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、30 辆、10 辆．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．15．（4分）（2003•天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有120 种．（以数字作答）【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥同色，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种．∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种．故答案为：120【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见．根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A43×5=120．16．（4分）（2003•辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．其中真命题的序号是①④．（写出所有真命题的序号）【分析】证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直．①的证明可转借化证明BC ⊥面AHD．④的证明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD．②③条件下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对．【解答】证明：如图对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；对于②条件不足备，证明不出结论；对于③条件不足备，证明不出结论；对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．综上知①④正确，故应填①④．【点评】本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明，三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．18．（12分）（2003•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．【分析】由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点对称可得函数关系，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且w＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以解得φ=，由f（x）的图象关于点M对称，得，取x=0，得f（）=sin（）=cos，∴f（）=sin（）=cos，∴cos=0，又w＞0，得=+kπ，k=0，1，2，3，…∴ω=（2k+1），k=0，1，2，…当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）=cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意；当k=2时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．19．（12分）（2003•天津）设a＞0，求函数f（x）=﹣ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．【分析】由题意函数f（x）=﹣ln（x+a），首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论．【解答】解：由题意得，令f′（x）=0，即x2+（2a﹣4）x+a2=0，其中△=4（a﹣2）2﹣4a2=8﹣8a，（i）当a＞1时，△＜0成立，对所有x＞0，有x2+（2a﹣4）+a2＞0．即f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；（ii）当a=1时，△=0成立，对x≠1，有x2+（2a﹣4）x+a2＞0，即f′（x）＞0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；（iii）当0＜a＜1时，△＞0成立，令f′（x）＞0，即x2+（2a﹣4）x+a2＞0，解得x＜2﹣a﹣2或x＞2﹣a+2，因此，函数f（x）在区间，内也单调递增．令f′（x）＜0，即x2+（2a﹣4）x+a2＜0，解得，因此，函数f（x）在区间内单调递减．【点评】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．20．（12分）（2003•天津）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η．（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ，Eη．【分析】（1）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，根据相互独立事件同时发生的概率做出变量ξ的分布列，根据两者之间和为3，得到另一个变量的分布列．（2）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，两个变量的期望之间也有这种关系，两个变量的期望的和是3，解出一个，另一个用做差来解．【解答】解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0．，，．根据题意知ξ+η=3，∴P（η=0）=P（ξ=3）=，P（η=1）=P（ξ=2）=，P（η=2）=P（ξ=1）=，P（η=3）=P（ξ=0）=．（2），∵ξ+η=3，∴．【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大．21．（14分）（2003•天津）设an为常数，且an=3n﹣1﹣2an﹣1（n∈N*）．（1）证明对任意n≥1，有；（2）假设对任意n≥1有an＞an﹣1，求a0的取值范围．【分析】（1）选择利用数学归纳法为妥，需要注意的是有归纳假设ak到ak+1的变形，利用归纳假设，注意目标的形式就能得到结果；另外可以利用递推数列来求得通项公式，当然需要对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的处理要合适；这种形式的一般处理方法是：两边同时除以pn+1或者是构造一个等比数列，构造法有一定的技巧，如本题可设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），（2）由（1）的结论可作差an﹣an﹣1＞0并代入运算，由于含有（﹣1）n的形式要注意对n=2k﹣1和n=2k进行讨论，只需取k=1，2时得到a0的取值范围即可，另外一个思路是只需取n=1，2时得到a0的范围，然后分n=2k﹣1和n=2k进行证明an﹣an﹣1＞0．具体解法参见参考答案．【解答】解：（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1﹣2a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则，那么=．也就是说，当n=k+1时，等式也成立．根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立．证法二：如果设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），用an=3n﹣1﹣2an﹣1代入，可解出．所以是公比为﹣2，首项为的等比数列．∴．即．（2）解法一：由an通项公式．∴an＞an﹣1（n∈N）等价于．①（i）当n=2k﹣1，k=1，2，时，①式即为即为．②式对k=1，2，都成立，有．（ii）当n=2k，k=1，2时，①式即为．即为．③式对k=1，2都成立，有．综上，①式对任意n∈N*，成立，有．故a0的取值范围为．解法二：如果an＞an﹣1（n∈N*）成立，特别取n=1，2有a1﹣a0=1﹣3a0＞0．a2﹣a1=6a0＞0．因此．下面证明当．时，对任意n∈N*，an﹣an﹣1＞0．由an的通项公式5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+（﹣1）n﹣13×2n﹣1+（﹣1）n5×3×2n﹣1a0．（i）当n=2k﹣1，k=1，2时，5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1a0＞2×2n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1=0（ii）当n=2k，k=1，2时，5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1﹣3×2n﹣1+5×3×2n﹣1a0＞2×3n﹣1﹣3×2n﹣1≥0．故a0的取值范围为．【点评】本题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的考查是一个难点，同时除以pn+1得到，然后用累加法得到的等式可得结果，或者是构造一个等比数列an+1+kf（n）=p（an+kf（n））（不具有普适性）．22．（12分）（2003•天津）已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以﹣2λ为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．【分析】根据和，求得+λ和﹣2λ进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点．【解答】解：∵=（0，a），=（1，0），∴+λ=（λ，a），﹣2λ=（1，﹣2λa）．因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．整理得．①因为a＞0，所以得：（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．参与本试卷答题和审题的老师有：yhx01248；zhwsd；qiss；wsj1012；minqi5；jj2008；liuerq；rxl；wzj123；geyanli；danbo7801；gongjy；涨停；xintrl；zhiyuan；于其才（排名不分先后）菁优网2017年5月28日。
密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于 （ ）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 3．“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ ）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）A ．π2B ．π23C ．π332 D ．π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则 )(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（ ）A ．2411 B ．2417 C ．2419 D ．2425 10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ） A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++ B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.12．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 13．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么 圆柱被截后剩下部分的体积是 . 14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.. 16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积. 18．（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形） 19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图） （Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小， 点P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12． )4(362--=x y 13．)(212b a r +π 14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1. 所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.2 16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n=（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n nn nx xx x nxx x x S x所以.12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x时，.12)1()1(212x nx x x x Sn n n----=+ 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ， ∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。
