2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数 学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}，N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ） A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2. 已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） A. i −B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==−，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=− C. 1λμ= D. 1λμ=−4. 设函数()()2x x a f x −=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2−∞−B. [)2,0−C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A.3B.C.D.6. 过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B.4C.4D.47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ−==，则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19−D. 79−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为0.99m 的球体 B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D −中，1112,1,AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=−=． （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为150︒时，求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =−−，2{|60}N x x x =−−≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}−− （B ）{0,1,2} （C ）{2}− （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x −−≥⇔+−≥⇔≤−或3x ≥，所以(,2][3,)N =−∞−+∞， 又{2,1,0,1,2}M =−−，所以{2}MN =−.（2023·新高考Ⅰ卷·2·★）已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） （A ）i − （B ）i （C ）0 （D ）1 答案：A解析：由题意，221i (1i)(22i)22i 2i 2i 4i 1i22i (22i)(22i)44i 82z −−−−−+−=====−++−−，所以1i 2z =，故11i i i 22z z −=−−=−. （2023·新高考Ⅰ卷·3·★）已知向量(1,1)=a ，(1,1)=−b ，若()()λμ+⊥+a b a b ，则（ ） （A ）1λμ+= （B ）1λμ+=− （C ）1λμ= （D ）1λμ=− 答案：D解析：向量垂直可用数量积为0来翻译，此处可先求两个向量的坐标，再算数量积，但若注意到0⋅=a b ，则会发现直接展开计算量更小，因为()()λμ+⊥+a b a b ，所以22()()()0λμλμλμ+⋅+=++⋅+=a b a b a a b b ①，又(1,1)=a ，(1,1)=−b ，所以222112=+=a ，2221(1)2=+−=b ，111(1)0⋅=⨯+⨯−=a b ， 代入①得：220λμ+=，所以1λμ=−.（2023·新高考Ⅰ卷·4·★★）设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]−∞− （B ）[2,0)− （C ）(0,2] （D ）[2,)+∞ 答案：D解析：函数()y f x =由2u y =和()u x x a =−复合而成，可由同增异减准则分析单调性， 因为2u y =在R 上，所以要使()()2x x a f x −=在(0,1)上，只需()u x x a =−在(0,1)上，二次函数2()u x x a x ax =−=−的对称轴为2a x =，如图，由图可知应有12a≥，解得：2a ≥.x =（2023·新高考Ⅰ卷·5·★）设椭圆2212:1(1)x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若21e =，则a =（ ）（A （B （C （D 答案：A解析：由题意，1e =，22e ==，因为21e =，解得：a =. （2023·新高考Ⅰ卷·6·★★）过点(0,2)−与圆22410x y x +−−=相切的两直线的夹角为α，则sin α=（ ） （A ）1 （B（C（D答案：B解析：2222410(2)5x y x x y +−−=⇒−+=，圆心为(2,0)C，r =，记(0,2)P −，两切点分别为A ，B ， 如图，P A ，PB 的夹角APB απ=−∠，所以sin sin()sin APB APB απ=−∠=∠，注意到2APB APC ∠=∠，故要求sin APB ∠，可先在Rt PAC ∆中求sin APC ∠和cos APC ∠，再用二倍角公式，因为PC ==AC r ==，所以PA =从而cos PA APC PC∠==，sin AC APC PC∠==故sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==.（2023·新高考Ⅰ卷·7·★★★）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列，乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 答案：C解析：判断是否为等差数列，就看通项是否为pn q +或前n 项和是否为2An Bn +的形式，故直接设形式来分析，先看充分性，若{}n a 为等差数列，则可设2n S An Bn =+， 此时nS An B n=+，满足等差数列的形式特征， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故充分性成立；再看必要性，此时可将nS n设为等差数列的通项形式，看看n S 是否满足等差数列的形式特征， 若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则可设n S pn q n =+，所以2n S pn qn =+，满足等差数列前n 项和的形式特征， 从而{}n a 是等差数列，必要性成立，故选C.【反思】{}n a 是等差数列的充要条件是通项为pn q +的形式，或前n 项和n S 为2An Bn +的形式，熟悉这一特征可巧解一些等差数列的概念判断题.（2023·新高考Ⅰ卷·8·★★★）已知1sin()3αβ−=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=（ ）（A ）79 （B ）19（C ）19− （D ）79− 答案：B解析：只要求出cos()αβ+或sin()αβ+，就能用二倍角公式算cos(22)αβ+，而已知的cos sin αβ是sin()αβ+展开才有的结构，故先算sin()αβ+，将sin()αβ−展开也会出现cos sin αβ，于是展开， 由题意，1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ−=−= ①， 又1cos sin 6αβ=，代入①可求得1sin cos 2αβ=， 所以112sin()sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=， 故2221cos(22)12sin ()12()39αβαβ+=−+=−⨯=.（2023·新高考Ⅰ卷·9·★★★）（多选）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） （A ）2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 （B ）2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 （C ）2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 （D ）2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差 答案：BD解析：A 项，1x 和6x 偏离平均数的程度不一定相同，所以去掉它们后，平均数可能发生变化，故能想象A 项错误，我们举个例子，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6， 则原平均数023*******x +++++==， 去掉0和6之后的平均数2345742x x +++'==≠， 故A 项错误；B 项，不妨假设126x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，则2345,,,x x x x 和126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数都是342x x +，故B 项正确； C 项，1x 和6x 偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，故通过直观想象能得出C 项错误， 举个例子，不妨设这组数据为1，2，3，5，6，7， 则12356746x +++++==，2221[(14)(24)6s =−+−+222214(34)(54)(64)(74)]3−+−+−+−=，去掉1和7后，235644x +++'==， 2222215[(24)(34)(54)(64)]42s '=−+−+−+−=，所以22s s '<，从而s s '<，故C 项错误；D 项，沿用B 项的假设，则2345,,,x x x x 的极差为52x x −，126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差为61x x −， 要比较两个极差的大小，可再将它们作差判断正负，因为61526521()()()()0x x x x x x x x −−−=−+−≥，所以5261x x x x −≤−，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·10·★★★）（多选）噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级020lgP pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（ ） （A ）12p p ≥ （B ）2310p p > （C ）30100p p = （D ）12100p p ≤ 答案：ACD解析：因为我们要比较的是1p ，2p ，3p 的一些大小情况，所以先由所给等式解出p ，由题意，020lg P p L p =⨯，所以0lg20P L p p =，从而20010PL p p =，故20010P Lp p = ①， A 项，由式①可以看到，P L 越大，则p 也越大，由表中数据可知燃油汽车的声压级P L 大于等于混合动力汽车的声压级，所以12p p ≥，故A 项正确； B 项，由表中数据可知506020200201010p p p ≤≤，所以0201000p p ≤≤ ①， 又402030010100p p p ==，所以2310p p ≤，故B 项错误，C 项正确；D 项，由表中数据可知609020200101010p p p ≤≤，所以0101000p p ≤≤，而由①可得020*********p p ≤≤， 所以12100p p ≤，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·11·★★★）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） （A ）(0)0f = （B ）(1)0f = （C ）()f x 是偶函数 （D ）0x =为()f x 的极小值点 答案：ABC解析：A 项，给出22()()()f xy y f x x f y =+这类性质，让求一些具体的函数值，常用赋值法， 令0x y ==可得22(00)0(0)0(0)f f f ⨯=+，所以(0)0f =，故A 项正确；B 项，令1x y ==可得22(11)1(1)1(1)f f f ⨯=+，所以(1)0f =，故B 项正确；C 项，要判断奇偶性，就看()f x −与()f x 的关系，为了产生()f x −，可将y 取成1−， 令1y =−可得2()()(1)f x f x x f −=+− ①，所以还得算(1)f −，继续赋值，令1x y ==−可得222((1))(1)(1)(1)(1)f f f −=−−+−−，所以(1)2(1)f f =−，结合(1)0f =可得(1)0f −=， 代入①得()()f x f x −=，所以()f x 是偶函数，故C 项正确；D 项，ABC 都对，可大胆猜测D 项错误，正面推理判断此选项较困难，可尝试举个反例，观察发现常值函数()0f x =满足所给等式，故可用它来判断选项，令()0f x =，经检验，满足22()()()f xy y f x x f y =+，显然此时0x =不是()f x 的极小值点，故D 项错误.（2023·新高考Ⅰ卷·12·★★★★）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） （A ）直径为0.99m 的球体（B ）所有棱长均为1.4m 的正四面体 （C ）底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体 （D ）底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体 答案：ABD解析：A 项，因为正方体的内切球直径为1m ，所以直径为0.99m 的球体可以放入正方体容器，故A 项正确； B 项，看到正方体和正四面体，要想到由正方体的面对角线可以构成正四面体，如图1，，比1.4大，从而所有棱长均为1.4m 的正四面体可以放入正方体容器，故B 项正确；C 项，注意到圆柱的底面直径很小，圆柱很细长，不妨将其近似成线段，故先看1.8m 的线段能否放入正方体， 如图1，正方体的棱长为1，则正方体表面上任意两点之间距离的最大值为1 1.8BD =<，所以高为1.8m 的圆柱不可能放入该正方体，故C 项错误；D 项，注意到圆柱的高很小，不妨将圆柱近似看成圆，故先分析直径为1.2m 的圆能否放入正方体，为了研究这一问题，我们得先找正方体的尽可能大的截面，正方体有一个非常特殊的截面，我们不妨来看看， 如图2，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为所在棱的中点，则EFGHIJ的正六边形， 其内切圆如图3，其中K 为HI中点，则内切圆半径r OK ===，直径2 1.2r =>， 所以可以想象，底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体能放进正方体容器，故D 项正确.1A 1B 1C 1D AB CD1图2图1A 1B 1C 1D A B CDE FGHIJ E F GHIJOK 3图（2023·新高考Ⅰ卷·13·★★）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选2门或3门课，并且每类选修课至少选1门，则不同的选课方案共有_____种.（用数字作答） 答案：64解析：由于一共可以选2门或3门，所以据此分类，若选2门，则只能体育类、艺术类各选1门，有1144C C 16=种选法；若选3门，则可以体育1门艺术2门，或体育2门，艺术1门，有12214444C C C C 48+=种选法；由分类加法计数原理，不同的选课方案共有164864+=种.（2023·新高考Ⅰ卷·14·★★★）在正四棱台1111ABCD A B C D −中，2AB =，111A B =，1AA =积为_____.答案：7√66解析：求正四棱台的体积只差高，由于知道侧棱长，故在包含高和侧棱的截面11AAC C 中来分析， 设正四棱台的高为h ，如图，作1A E AC ⊥于点E ，1C F AC ⊥于点F ，则11A E C F h ==， 因为111A B =，2AB =，所以11EF AC ==AC =1()2AE AC EF =−=，又1AA =，所以1A E ==h =，正四棱台的上、下底面积分别为1S '=，4S =，所以正四棱台的体积1(3V S S h '=++=1A 1B 1C 1D ABCDEF（2023·新高考Ⅰ卷·15·★★）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_____. 答案：[2,3)解析：()0cos 10cos 1f x x x ωω=⇔−=⇔=，所以问题等价于cos y x ω=在[0,2]π恰有3个最大值点， 函数cos y x ω=的图象容易画出，故直接画图来看， 如图，要使cos y x ω=在[0,2]π上有恰有3个最大值点，应有462πππωω≤<，解得：23ω≤<.（2023·新高考Ⅰ卷·16·★★★）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥，2223F A F B =−，则C 的离心率为_____.解析：如图，条件中有2223F A F B =−，不妨设一段长度，看能否表示其余线段的长，设22AF m =，因为2223F A F B =−，所以23BF m =，故225AB AF BF m =+=，由对称性，123BF BF m ==， 又11F A F B ⊥，所以14AF m ==，1AF 和2AF 都有了，用双曲线的定义可找到m 和a 的关系，于是用双余弦法建立方程求离心率，由图可知A 在双曲线C 的右支上，所以1222AF AF m a −==，从而m a =，故123BF BF a ==， 又122F F c =，所以在12BF F ∆中，由余弦定理推论， 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +−∠=⋅222222994922339a a c a c a a a +−−==⨯⨯，在1ABF ∆中，1133cos 55BF m ABF ABm ∠===， 因为112ABF F BF ∠=∠，所以22292395a c a −=， 故双曲线C的离心率c e a ==.（2023·新高考Ⅰ卷·17·★★★）已知在ABC ∆中，3A B C +=，2sin()sin A C B −=. （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高.解：（1）由题意，3A B C C π+=−=，所以4C π=，（要求的是sin A ，故用4C π=和34A B π+=将2sin()sin A C B −=的消元，把变量统一成A ） 由334A B C π+==可得34B A π=−，代入2sin()sin A C B −=可得32sin()sin()44A A ππ−=−， 所以332(sin coscos sin )sin cos cos sin 4444A A A A ππππ−=−，整理得：1cos sin 3A A =， 代入22sin cos 1A A +=可得221sin sin19A A +=，所以sin A =0A π<<可得sin A =.（2）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则5c AB ==，如图，AB 边上的高sin CD CD a B == ①， （已知A ，C ，故sin B 可用内角和为π来求）3sin sin()422B A A A π=−=+=， （再求a ，已知条件有C ，c ，sin A ，故用正弦定理求a ） 由正弦定理，sin sin a c A C =，所以sin sin c Aa C==代入①得6CD ==，故AB 边上的高为6.ABCa5c =（2023·新高考Ⅰ卷·18·★）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，2AB =，14AA =. 点2A ，2B ，2C ，2D 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =. （1）证明：22B C ∥22A D ；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为o 150时，求2B P .1A 1B 1C 1D ABC DP 2B 2C2D 2A解：（1）（正四棱柱底面为正方形，侧棱垂直于底面，故天然就有三条两两垂直的直线，可建系证明） 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0,2,2)B ，2(0,0,3)C ，2(2,2,1)A ，2(2,0,2)D ， 所以22(0,2,1)B C =−，22(0,2,1)A D =−，故2222B C A D =， 由图可知直线22B C 与22A D 不重合，所以22B C ∥22A D .（2）（点P 在棱1BB 上运动时，只有z 坐标会变，故可直接设其坐标，用于计算平面22PA C 的法向量） 设(0,2,)(04)P a a ≤≤，则22(2,2,2)A C =−−，2(0,2,3)C P a =−，22(2,0,1)C D =−， 设平面22PA C 和平面222A C D 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则2211121122202(3)0A C x y z C P y a z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩m m ， 令13y a =−，则1112x a z =−⎧⎨=−⎩，所以(1,3,2)a a =−−−m 是平面22PA C 的一个法向量，222222222222020A C x y z C D x z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n ，令21x =，则2212y z =⎧⎨=⎩， 所以(1,1,2)=n 是平面222A C D 的一个法向量， 因为二面角222P A C D −−为o 150，所以cos ,⋅<>===⋅m n m n m n， 解得：3a =或1，所以221B P a =−=.（2023·新高考Ⅰ卷·19·★★★）已知函数()(e )x f x a a x =+−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+. 解：（1）由题意，()e 1x f x a '=−，（1()0ln f x x a'=⇒=，但这个零点只在0a >时有意义，故据此讨论） 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，11()0e 10e ln x x f x a x a a '<⇔−<⇔<⇔<，1()0ln f x x a'>⇔>， 所以()f x 在1(,ln )a −∞上单调递减，在1(ln ,)a+∞上单调递增.（2）由（1）可得当0a >时，()f x 有最小值1ln 2111(ln )(e )ln ()ln 1ln a f a a a a a a a a a a=+−=++=++，（要证3()2ln 2f x a >+，只需证13(ln )2ln 2f a a >+，此不等式中ln a 已孤立，故直接移项构造函数分析） 令13()(ln )2ln (0)2g a f a a a =−−>，则21()ln 2g a a a =−−，所以2121()2a g a a a a−'=−=，故()0g a a '>⇔>，()00g a a '<⇔<<， 所以()g a在上单调递减，在)+∞上单调递增，故11()(ln ln 022222g a g ≥=−−=−>，所以13(ln )2ln 2f a a >+， 又因为1(ln )f a是()f x 的最小值，所以3()2ln 2f x a >+.（2023·新高考Ⅰ卷·20·★★★★）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >，令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d .解：（1）（所给条件容易用公式翻译，故直接代公式，建立关于1a 和d 的方程组并求解） 因为21333a a a =+，所以1113()3(2)a d a a d +=++，整理得：1a d = ①， 又311323332S a d a d ⨯=+=+，3123123111261226122T b b b a a a a a d a d=++=++=++++， 代入3321S T +=可得1111261233212a d a a d a d++++=++ ②， 将①代入②整理得：327d d+=，解得：3d =或12，又由题意，1d >，所以3d =，结合①可得13a =， 所以1(1)3n a a n d n =+−=.（2）（条件{}n b 为等差数列怎样翻译？可先由1b ，2b ，3b 为等差数列建立方程找1a 和d 的关系） 由题意，112b a =，216b a d=+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，故111122122a d a a d=+++， （上式要化简，同乘以3个分母即可）所以11111112(2)2()(2)12()a a d a d a d a a d +=++++， 整理得：11()(2)0a d a d −−=，所以1a d =或12a d =，（求d 肯定要由999999S T −=来建立方程，故讨论上述两种情况，分别求出n S 和n T ）若1a d =，则1(1)n a a n d nd =+−=，1()()(1)222n n n a a n d nd n n S d +++===，21n n n n b nd d++==， 所以121()()(3)222n n n n n b b n n d d T d++++===，故999999S T −=即为9951995099d d ⨯⨯−=，解得：5150d =或1−（舍去）； 若12a d =，则1(1)(1)n a a n d n d =+−=+，1()[2(1)](3)222n n n a a n d n d n n S d ++++===，2(1)n n n nb n d d+==+，所以11()()(1)222n n nn n b b n n d d T d+++===， 故999999S T −=即为9950995199d d ⨯⨯−=，解得：5051d =−或1，均不满足1d >，舍去； 综上所述，d 的值为5150.（2023·新高考Ⅰ卷·21·★★★★）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第二次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且(1)1(0)i i i P X P X q ==−==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，则11()nni i i i E X q ===∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次）投篮中甲投篮的次数为Y ，求()E Y .解：（1）（第一次投篮的人可能是甲，也可能是乙，两种情况下第二次投篮的人是乙的概率都是已知的，故按第一次投篮的人是谁划分样本空间，套用全概率公式）记第(1,2,3,)i i =⋅⋅⋅次投篮的人是甲为事件i A ，第2次投篮的人是乙为事件B ， 由全概率公式，1111()()(|)()(|)0.5(10.6)0.50.80.6P B P A P B A P A P B A =+=⨯−+⨯=.（2）（要分析第i 次投篮的人是甲的概率，先看第1i −次的情况，不外乎是甲或乙投篮，且两种情况下第i 次投篮的人是甲的概率都已知，故根据第1i −次由谁投篮划分样本空间，套用全概率公式来建立递推公式） 当2i ≥时，由全概率公式，111111()()(|)()(|)()0.6[1()]0.2i i i i i i i i i P A P A P A A P A P A A P A P A −−−−−−=+=⨯+−⨯， 整理得：121()()55i i P A P A −=+ ①， （要由此递推公式求()i P A ，可用待定系数法构造等比数列，设12()[()]5i i P A P A λλ−+=+，展开化简得123()()55i i P A P A λ−=−，与121()()55i i P A P A −=+对比可得3155λ−=，所以13λ=−） 由①可得1121()[()]353i i P A P A −−=−，又11()0.52P A ==，所以111()36P A −=，故1()3i P A ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是等比数列， 首项为16，公比为25，所以1112()()365i i P A −−=⨯，故1121()()653i i P A −=⨯+，即第i 次投篮的人是甲的概率为1121()653i −⨯+.（3）（题干给出了一个期望的结论，我们先把它和本题的背景对应起来. 所给结论涉及两点分布，那本题背景下有没有两点分布呢？有的，在第i 次的投篮中，若设甲投篮的次数为i X ，则i X 的取值为1（表示第i 次投篮的是甲）或0（表示第i 次投篮的是乙），所以i X 就服从两点分布，且前n 次投篮的总次数即为1ni i X =∑，故直接套用所给的期望公式就能求得答案）设第i 次投篮中，甲投篮的次数为i X ，则(1)()i i P X P A ==，且12n Y X X X =++⋅⋅⋅+， 所以12()()n E Y E X X X =++⋅⋅⋅+，由所给结论， 01112121121121()()()()()()()653653653n n E Y P A P A P A −=++⋅⋅⋅+=⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+ 01121()12221525[()()()][1()]26555363185315nn n n n n −−=++⋅⋅⋅++=⨯+=−+−.（2023·新高考Ⅰ卷·22·★★★★）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,)2的距离，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于解：（1）设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. （2）方法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅−+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+−+ ⎪⎝=+⎭==<−， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =−，则1m n=−， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n−=−=−=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=−−≥−=+ ⎝0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =,2n m ==,且((b a b a −=−m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.方法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k−，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =−++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩得220x kx ka a −+−=，()()222420k ka a k a ∆=−−=−>，则2k a ≠则||2|AB k a =−，同理||2AD a =+，||||2|2AB AD k a a ∴+=−1122k a a k k ⎫≥−++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m+==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '−+=+−=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减， 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||AB AD ∴+≥但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫−≥−++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时2k =不一致，故2AB AD +>. 方法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于 设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=−.由于 1020,A B t B C t ''''=−=−, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=−+−. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=−∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=−=−−,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=+−故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''−+⎛⎫+=−++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ−−<<−, 从而0cot tan 22t θθ−<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''−++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ−+>+=+==2≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C''''+>.（本题的第二个的关键是通过放缩得12C =|AB|+|BC|≥(n +1n )√1+n 2，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.）。
