2018年高考全国卷一理科数学(含答案)

2018高考数学全国1卷1(理科数学)(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷理科数学）一、选择题：本体共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i i Z +-=11+i 2，则Z =（ ） A ．0B ．21C ．1D ．22．已知集合A ＝{x |x 2－x -2<0，则?R A ＝（） A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |－1≤x≤2}C ．{x |x ＜－1}∪{x |x>2}D ．{x |x≤－1}∪{x |x≥2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{a n }的前n 项和4233S S S +=，若，21=a ，则=5a （ ）A ．-12B ．-10C ．10D ．125．设函数()()ax x a x x f +-+=231，若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点（0，0)处的切线方程为（ ）A ．y = -2xB ．y = -xC ．y = 2xD ．y = x6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则→EB =（） A ．43AB －41AC B ．41AB －43AC C ．43AB ＋41AC D ．41AB ＋43AC 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点（－2,0）且斜率为32的直线与C 交于M ，N 两点，则=•→→FN FM （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()=x f ⎩⎨⎧≤.0,ln ,0, x x x e x ，()()a x x f x g ++=，若()x g 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[－1，0）B ．[0，+∞)C ．[－1，+∞）D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自I ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为321,,P P P ，则（ ）A ．1P =2PB ．1P =3PC ．2P =3PD ．1P =2P +3P11．已知双曲线C ：1322=-y x ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的焦点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |=（） A ．23 B ．3 C ．32 D ．23 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A ．343 B ．332 C ．243 D ．23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年全国卷1⾼考理科数学试题及答案绝密★启⽤前2018年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（新课标I卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊。

如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号。

回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上⽆效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1．设，则A．B．C．D．2．已知集合，则A．B．C．D．3．某地区经过⼀年的新农村建设，农村的经济收⼊增加了⼀倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收⼊变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收⼊构成⽐例，得到如下饼图：建设前经济收⼊构成⽐例建设后经济收⼊构成⽐例则下⾯结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收⼊减少B．新农村建设后，其他收⼊增加了⼀倍以上C．新农村建设后，养殖收⼊增加了⼀倍D．新农村建设后，养殖收⼊与第三产业收⼊的总和超过了经济收⼊的⼀半4．设为等差数列的前项和，若，，则A．B．C．D．5．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线⽅程为A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．7．某圆柱的⾼为2，底⾯周长为16，其三视图如图．圆柱表⾯上的点在正视图上的对应点为，圆柱表⾯上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧⾯上，从到的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．28．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A．5B．6C．7D．89．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）10．下图来⾃古希腊数学家希波克拉底所研究的⼏何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直⾓三⾓形ABC的斜边BC，直⾓边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，⿊⾊部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取⼀点，此点取⾃I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．已知双曲线C：，O 为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直⾓三⾓形，则|MN|=A．B．3C．D．412．已知正⽅体的棱长为1，每条棱所在直线与平⾯α所成的⾓相等，则α截此正⽅体所得截⾯⾯积的最⼤值为A．B．C．D．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

•选择题（共12小题） 1 .设 z =+2i ，则 |z|=( )1+1则 |z|= 1 . 故选：C . 2.已知集合 A ={x|x 2-x - 2> 0}，则？R A =( )A . {x|- 1 v x v 2}B . {x|- 1 w x w 2}C . {xX <- 1} U {x|x > 2}D . {xX <- 1} U {x|x > 2}【解答】解：集合A = {x|x 2- x -2>0}, 可得 A = {x|x <- 1 或 x >2}, 则：？RA = {x|— 1w x W 2}. 故选：B . 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是（ ）A .新农村建设后，种植收入减少B .新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后，养殖收入增加了一倍D .新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解答】解：设建设前经济收入为 a ,建设后经济收入为 2a . A 项，种植收入 37% x 2a -60%a = 14%a >0,A . 0 【解答】解:C . 11-1 +2i =1+i+2i =- i+2i = i ,种植收入則也收入建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 義瘡帧入第三庐11收入沖植收入第三产业收入耳他收入盖殖收入第1页（共16页）故建设后，种植收入增加，故A项错误.B项，建设后，其他收入为5%x 2a= 10%a,建设前，其他收入为4%a,故10%a - 4%a= 2.5 > 2,故B项正确.C项，建设后，养殖收入为30% x 2a= 60%a,建设前，养殖收入为30%a,故60%a-30%a = 2,故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28% )x 2a= 58%x 2a,经济收入为2a,故(58% x 2a)- 2a = 58% > 50%,故D项正确.因为是选择不正确的一项，故选：A.4. 记S n为等差数列｛a n｝的前n项和.若3S3= S2+S4, a i= 2,贝U a5=( )A . - 12B . - 10 C. 10 D. 12【解答】解：••• S n为等差数列｛a n｝的前n项和，3S3= S2+S4, a1= 2,. 3X2 、4X3•••沁S] r-d) = a1+a1+d+4a1+^^d,把a1 = 2,代入得d=- 3••• a5= 2+4X( - 3)=- 10.故选：B.3 25. 设函数f (x)= x + (a- 1) x +ax.若f (x)为奇函数，则曲线y= f (x)在点(0, 0)处的切线方程为( )A . y=- 2xB . y=- x C. y= 2x D. y= x【解答】解：函数 f (x)= x3+ (a - 1) x2+ax，若f (x)为奇函数，f (- x)=- f (x),-x3+ (a- 1) x2- ax=-( x3+ (a - 1) x +ax) =- x3_( a - 1) x2- ax.所以：(a - 1) /=—( a- 1) x2可得 a = 1，所以函数 f (x )= x 3+x ，可得 f '( x )= 3X 2+1, 曲线y = f (x )在点(0, 0)处的切线的斜率为：1, 则曲线y = f (x )在点(0, 0)处的切线方程为：y = x . 故选：D .【解答】解：在△ ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应路径中，最短路径的长度为(直观图以及侧面展开图如图:圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中, 最短路径的长度:&设抛物线C : y 2= 4x 的焦点为F ，过点(-2, 0)且斜率为2的直线与C 交于M , N 两3点，则丨F'? N=( )6.在△ ABC 中，AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点，则 ■ '■=(点为A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的C .【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16,高为:2,)故选：A .A BNA . 5B . 6 C. 7 D. 8【解答】解：抛物线C : y2= 4x的焦点为F ( 1, 0)，过点(-2, 0)且斜率为2的直线|3为：3y= 2x+4,联立直线与抛物线C: y2= 4x,消去x可得：y2-6y+8 = 0,解得y i = 2, y2= 4，不妨M (1, 2) , N ( 4, 4),丽二2)，丽=(百4)•则山？；；」=(0, 2)?( 3, 4)= 8.故选：D.9.已知函数f (x)=| °, g (x)= f (x) +x+a.若g (x)存在2 个零点，贝U ax>0的取值范围是( )A . [ - 1 , 0)B . [0 , + s) C. [ - 1, + s) D . [1 , + s)【解答】解：由g (x)= 0得f (x)=- x - a,作出函数f (x)和y=- x- a的图象如图：当直线y=- x- a的截距-a< 1，即a>- 1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g (x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1, + s),故选：C.第5页（共i6页）10•如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ,直角边AB , AC . △ ABC 的三边所围成的区.S I = S n ,.P i = P 2,故选：A .渐近线的交点分别为 M , N .若厶OMN 为直角三角形，则|MN|=（ ）此图由三个半圆构成， 三个半圆域记为I ，黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I,A . p i = p 2B . p i = p 3C . p 2= p 3D . p i = P 2+P 3 【解答】解：如图：设 BC = 2r i , AB = 2r 2,AC = 2r 3,2 2 2r i 2=「22+「31 2Sn = 一 x 冗r32+S I =x 4「2r 3= 2r 2r 3, S m = 2X 冗r 2 —2 2 22n i 2- 2r 2r 3,2 L 2冗「2 -— x n i +2r 2r 3= 2r 2r 3,ii .已知双曲线C : -y 2= i , O 为坐标原点,F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条5n,川的概率分别记为 p i , p 2, p 3,则（I C. 2. ■:66【解答】解：双曲线C :虽_-y 2= 1的渐近线方程为:360°,不妨设过F （2, 0）的直线为：y =.上-_ ,\-2y-2< 0x-y+l>0，则z = 3x+2y 的最大值为 y<o【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z = 3x+2y 得 y = — - — x+__z ,2 2y= ■,,渐近线的夹角为:12.已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则a 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时, a 截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长 _ ',a 截此正方体所得截面最大值为:6孚爭普.13•若x , y 满足约束条件),第9页（共16页）平移直线y =- . -x+- -z ,2 2由图象知当直线y =-3x+丄z 经过点A （2, 0 ）时，直线的截距最大，此时z 最大,\2\ \2\最大值为z = 3 X 2= 6,故答案为：614.记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若 S n = 2a n +1，则S s = - 63 【解答】解：Si 为数列｛a n ｝的前n 项和，S n = 2a n +1,①当 n = 1 时，a i = 2a i +1，解得 a i =- 1, 当 n >2 时，S n -1 = 2a n -1+1 ,②， 由①-②可得a n = 2a n - 2a n - 1,--a n = 2a n -1,二｛a n ｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列,故答案为：-6315•从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法 共有16种.（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C 21C 42= 12, 2女1男，有C 22C 』=4 根据分类计数原理可得，共有12+4= 16种，S 6=-IX (1-26)1-2=-63,2 —方法二，间接法： C 63 - C 43= 20 - 4= 16 种, 故答案为：16f (x )= 2sinx+sin2x ,则 f (x )的最小值是【解答】解：由题意可得 T = 2 n 是f (x )= 2sinx+sin2x 的一个周期, 故只需考虑f (x )= 2sinx+sin2x 在［0 , 2 n)上的值域,先来求该函数在［0, 2n)上的极值点,16.已知函数 求导数可得f '( x )= 2cosx+2cos2x=2cosx+2 2(2cos x - 1) = 2 (2cosx - 1) (cosx+1),令 f '( x )=0可解得 cosx = 丄或 cosx =- 1,2可得此时x =-l••• y = 2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x =计算可得f (—)= ；,f (n)3/3=0, f (5兀)=-^-, f (0)= o ,2和边界点x = 0中取到, 三•解答题(共5小题)17.在平面四边形 ABCD 中，/ ADC = 90°,/ A = 45°, AB = 2, BD = 5.(1 )求 cos / ADB ; (2 )若 DC = 2 .役求 BC .【解答】 解：(1)v/ ADC = 90°,/ A = 45°, AB = 2, BD = 5. •••由正弦定理得： ——些——=一，即 ---- 1——=——》^,SIEL Z ADB sinZ ： A sinZ^AEB sin45• sin /ADB =二亠」=」5 5• BC = " ■ ：- ■ H ： " : 「：I ■■: . .-：■ 'T第8页(共16页)•/ AB < BD ，•/ ADB </ A ,•/ DC = 2 :'：,【解答】(1)证明：由题意，点 E 、F 分别是AD 、BC 的中点,11 1则扯tAD ，B 卩号BC ，由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EF 丄BC . 由于PF 丄BF , EF A PF = F ,贝U BF 丄平面 PEF . 又因为BF?平面ABFD ，所以：平面 PEF 丄平面 ABFD . (2)在平面PEF 中，过P 作PH 丄EF 于点H ，连接DH , 由于EF 为面ABCD 和面PEF 的交线，PH 丄EF , 贝U PH 丄面ABFD ，故PH 丄DH .在三棱锥P - DEF 中，可以利用等体积法求 PH , 因为DE // BF 且PF 丄BF , 所以PF 丄DE , 又因为△ PDFCDF ,所以/ FPD = Z FCD = 90F 分别为AD , BC 的中点，以DF 为折痕把厶DFC折起，使点C 到达点P 的位置，且PF 丄BF .(1)证明：平面 PEF 丄平面ABFD ;(1 )当I 与x 轴垂直时，求直线 AM 的方程; (2)设0为坐标原点，证明：/ OMA = Z OMB . 【解答】解：(1) c = ' = 1, 二 F (1, 0), •/ I 与x 轴垂直, x = 1,所以PF 丄PD ,由于DE A PD = D ，贝U PF 丄平面PDE ,因为BF II DA 且BF 丄面PEF ,所以DA 丄面PEF , 所以DE 丄EP .设正方形边长为 2a ,贝U PD = 2a , DE = a所以 h/3 3 又因为故 V F -PDE 'V PDV 322所以在△ PHD 中，sin / PDH =PD过F 的直线I 与C 交于A , B 两点，点 M 的坐标故 V F -PDE =■'.二■'!「，所以PH 即/ pDH 为DP 与平面A BFD 所成角的正弦值为：：2证明：(2)当I 与x 轴重合时，/ OMA = Z OMB = 0° ,当I 与x 轴垂直时，0M 为AB 的垂直平分线，•/ OMA = Z OMB , 当I 与x 轴不重合也不垂直时，设 I 的方程为y = k (x - 1), k z 0 , A (X 1 , y 1), B (X 2, y 2),则 X 1V 近 ,X 2V . | , 从而 k MA +k MB = 0,x=lX=1 _ V2 'V- -----2 •直线AM 的方程为y =-世2x 忖㊁,y=±Z x-#E ,直线MA , MB 的斜率之和为 k MA , k MB 之和为k MA +k MB丫H 1 -2 七-2由 y i = kx i - k , y 2= kx 2- k 得 k MA +k MB2kx | s 2-3k (jc L +x 2)(誉厂 2)Gg-2)将y = k (x - 1)代入+/= 1 可得(2^+1) x 2 - 4k 2x+2k 2- 2 = 0 ,…X 1+x 2 = ,X 1X 2 =2t 2+l二 2kx x2k 2+13‘..33(4k - 4k - 12k +8k +4k )= 0••• A (1.，或(1,-故MA , MB的倾斜角互补,•••/ OMA = Z OMB ,综上/ OMA = Z OMB .20. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概率都为p ( 0v p v 1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1 )记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f( p),求f ( p)的最大值点P0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1 )中确定的p0作为p的值•已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.X,求(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f( p),则f3)=够吓々1-戸)退•••(p)二C务［邓18-lSp£(l-p )门］=2C和(1-p ) 17(l-10p)，令f'( p)= 0,得p= 0.1,当p € ( 0, 0.1)时，f'( p)> 0,当p € ( 0.1, 1)时，f'( p)v 0,••• f (p)的最大值点p o= 0.1.(2) (i )由(1 )知p = 0.1,令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知丫〜B (180, 0.1),X = 20X 2+25Y,即X= 40+25Y,E (X)= E ( 40+25Y)= 40+25E (Y)= 40+25 X 180 X 0.1 = 490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，•/ E (X)= 490 > 400,• ••应该对余下的产品进行检验.21. 已知函数f (x)=2 - x+alnx.x(1)讨论f (x)的单调性；(2)右f (x)存在两个极值点X1, X2,证明：^ " v a- 2.【解答】解：(1)函数的定义域为(0, + R),函数的导数f'( x)=-—-- 1+乂,2 v2X X设g (x)= x2- ax+1,当a w 0时，g (x)> 0恒成立，即f'( x)v 0恒成立，此时函数f( x)在(0, +^)上是减函数，当a>0时，判别式厶=a2- 4,①当O v a w 2时，0，即g (x )> 0, 即卩f '( x )< 0恒成立，此时函数+ m)上是减函数,)上是增函数.(2)由(i )知 a >2, 0v x i v i v x 2, x i x 2= i ,则问题转为证明 即证明 Inx i — Inx 2>x i — x 2,1 If (幻在(0, ②当a >2时，x , f ' (x ) , f ( X )的变化如下表:f '( X ) f ( X )(0,((+ m)递减递增递减综上当a w 2时，f (X )在(0, +m)上是减函数,当a > 2时，在(0, ~T)，和(,+m)上是减函数,则( 则 f (X i ) — f ( X 2) = ( X 2 — X i ) ( i +)+a (Inx i - InX 2) =2 (X 2 - X 1) +a (Inx i - InX 2),=—2+a.tin 苴iv 1即可,即 Inx i +Inx i >x i — ---- ,设 h (x )= 2lnx — x+— ,(0V x v i ),其中 h (i )= 0,2 — i —1K ^-2Z -I -12 I2 Xv 0,则 Inx i — I> x i —即证 2lnx i >x i(0, i ) 上恒成立,求导得h '( x )• h （乂）在（1, + g ）上单调递减, ••• h (x )v h (1)= 0,••• 2alnx - ax+-L v 0 成立，即 2alnx 2 - ax 2v a - 2成立.四、选做题22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1的方程为y = k|x|+2 .以坐标原点为极点, 一 2极轴建立极坐标系，曲线 C 2的极坐标方程为 p +2 pcosQ- 3= 0. （1 ）求C 2的直角坐标方程；（2 ）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求 C 1的方程.则h （乂）在（0, 1）上单调递减, /• h (x )> h (1),即 2lnx - x > 0,故 2lnx >x -v a - 2成立.（2）另解：注意到f （丄）=x - -alnx =- f (x ),即 f (x ) +f (二)=0, k由韦达定理得X 1x 2 = 1, X 1+X 2= a >2，得 0v x 1 v 1 v x 2, x 1 = 可得 f (x 2)+f ()=0，即 f ( x 1 ) +f (x 2)= 0,要证v a - 2,只要证-f Cx 2)-f (即证 2alnx 2 - ax 2+-v 0, ( x 2> 1 ),2构造函数 h (x )= 2alnx - ax+—x 轴正半轴为v 0, ( x 2> 1)成立.第20页（共16页）【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为p2+2 pCOs B-3 = 0. 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x- 3= 0,转换为标准式为：（x+1 ）2+y2= 4.第15页(共16页)(2)由于曲线C 1的方程为y = k|x|+2，则：该射线关于 y 轴对称，且恒过定点(0, 2). 由于该射线与曲线 C 2的极坐标有且仅有三个公共点. 所以：必有一直线相切，一直线相交. 则：圆心到直线 y = kx+2的距离等于半径 2. 当k = 0时，不符合条件，故舍去,23. 已知 f (x )= |x+1| - |ax - 1|.(1 )当a = 1时，求不等式f (x )> 1的解集;(2)若x € (0, 1 )时不等式f (x )> x 成立，求a 的取值范围. \(2, «>1【解答】解：(1)当 a = 1 时，f (x )=x+1|-|x - 1| = -1 , —占 x<-l由 f (x )> 1,.f2x>l J2>1或(Ql ，解得x>—, [2故不等式f (x )> 1的解集为(亍，+m),(2 )当x € (0, 1 )时不等式f (x )> x 成立,/• |x+1| - |ax - 1| - x > 0, 即 x+1 - |ax - 1|- x >0,即 |ax - 1| v 1,同理解得: 一或0解得：k =上或0,经检验，直线 与曲线C 2.有两个交点.故C i 的方程为:第22页（共16页）/• 0 v ax v 2,x€ (0, 1),••• a > 0,• 0 v x v「a• 0v a w 2,故a的取值范围为（0, 2].。

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设z=1-i1+i +2i ，则|z|=A ．0B ．12 C ．1 D ．2 解析：选C z=1-i1+i +2i=-i+2i=i 2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A =A ．{x|-1<x<2}B ．{x|-1≤x ≤2}C ．{x|x<-1}∪{x|x>2}D ．{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 解析：选B A={x|x<-1或x>2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5= A ．-12B ．-10C ．10D ．12解析：选 ∵3(3a 1+3d)=(2a 1+d )+(4a 1+6d) a 1=2 ∴d=-3 a 5=-105．设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A ．y=-2xB ．y=-xC ．y=2xD ．y=x解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2+1 f′(0)=1 故选D 6．在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →= A ．34AB → - 14AC →B ． 14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC →解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC → 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →= A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D F(1,0)，MN 方程为y=23 (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM→·FN →=8 9．已知函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0lnx ，x>0，g(x)=f(x)+x+a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a ，即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<110．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p1=p2B ．p1=p3C ．p2=p3D ．p1=p2+p3解析：选A ∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴12AC=32，12AB=2 , 12BC=52∴以AC 和AB 为直径的两个半圆面积之和为12×π×(32)2+12×π×22=258π∴以BC 为直径的半圆面积与三角形ABC 的面积之差为12×π×(52)2- 12×3×4=258π-6； ∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于258π-(258π-6)=6=ΔABC 面积 ∴p1=p211．已知双曲线C ：x 23 - y 2 =1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|= A ．32B ．3C ．2 3D ．4解析：选B 依题F(2,0),曲线C 的渐近线为y=±33x,MN 的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 32),N(3,3),∴|MN|=312．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．32解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121iz i i-=++，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤≤C ．{}{}|1|2x x x x <->D ．{}{}|1|2x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A 334B 233C 324D 32二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+。

若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．［–1，+∞）D ．[1，+∞)10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则｜MN ｜= A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A 33B 23C 32D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．B ．12C ．D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．–1，0）B ．0，+∞）C ．–1，+∞）D ．1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的XX 、XX 号填写在试题卷和答题卡上，并将XX 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A ．0B ．C ．D ． 2．已知集合，则（） A ．B ． C ．D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 此卷只装订不密封 X X X X 号 考场号 座位号则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．125．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．28．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）A．5B．6C．7D．89．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）A．B．3C．D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为________．14．记为数列的前项和．若，则________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数，则的最小值是________．三、解答题（共70分。