专题09 一次函数中的三角形问题(解析版)
- 格式：docx
- 大小：937.37 KB
- 文档页数：30
1 专题09 一次函数中的三角形问题
知识对接
考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题
1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积
专项训练
一、单选题
1．已知直线1:1lykxk与直线2:(1)2lykxk，（k为正整数），记直线1l和2l与x轴围成的三角形面积为kS，则12310SSSS的值为（ ）
A．511 B．1011 C．920 D．50101
【答案】A
【分析】
变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)，即可证出无论k取何值，直线1l与2l的交点均为定点(1,1)；先求出1ykxk与x轴的交点和(1)2ykxk与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出kS，求出11112124S，21(2S11)23，以此类推101(2S11)1011，相加后得到11(1)211．
【详解】
解：直线1:1(1)1lykxkkx，
直线1:1lykxk经过点(1,1)；
直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1lykxkkxxkx，
直线2:(1)2lykxk经过点(1,1)．
无论k取何值，直线1l与2l的交点均为定点(1,1)．
直线1:1lykxk与x轴的交点为1(kk，0)，
直线2:(1)2lykxk与x轴的交点为2(1kk，0)，
1121||1212(1)KkkSkkkk，
11112124S；
123101111[]212231011SSSS
111111[(1)()()]22231011
11(1)211
110211
511，
故选：A．
【点睛】
此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．
2．已知2,2abba，那么对于一次函数yaxb，给出下列结论：①函数y一定随x的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，①错误 B．①错误，①正确 C．①，①都正确 D．①，①都错误
【答案】A
【分析】
根据一次函数的性质、配方法即可解决问题；
【详解】
解：2ab，
2ba，
2ba，
22aa，
23a，
2yaxa，
0a，
y随x的增大而增大，故①正确，
函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22bbSbaa，
此函数没有最大值，故①错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数
3 知识解决问题，属于中考常考题型．
3．将一次函数y＝2x+4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案
【详解】
设平移的距离为k（k＞0），
则将一次函数y=2x+4向右平移后所得直线解析式为：y=2（x-k）+4=2x-2k+4．
易求得新直线与坐标轴的交点为（k-2，0）、（0，-2k+4）
所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429kk，
变形得229k（），
解得k=5或k=-1（舍去）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．
4．下列关于一次函数2yx的图象性质的说法中，不正确的是（ ）
A．直线与x轴交点的坐标是(0,2) B．与坐标轴围成的三角形面积为2
C．直线经过第一、二、四象限 D．若点(1,)Aa，(1,)Bb在直线上，则ab
【答案】A
【分析】
根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项．
【详解】
解：由一次函数2yx，可得：10,20kb，
①一次函数经过第一、二、四象限，故C不符合题意；
令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x，解得：2x，
①直线与x、y轴的交点坐标为2,0和0,2，故A错误，符合题意；
①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222，故B正确，不符合题意；
①k＜0，
①y随x的增大而减小，
①若点(1,)Aa，(1,)Bb在直线上，则ab，故D正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或5+1 B．3或5 C．2或5 D．3或5+1
【答案】D
【分析】
利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．
【详解】
解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
①A（1，0），B（0，2）．
①OA＝1，OB＝2．
①AB＝2222125OAOB．
①AP①AB，点C是射线AP上，
①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，
①①OAB＋①OBA＝90°，
①①CAD＝①OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，
即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．
如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，
5
①OD＝AD＋OA＝5＋1；
如图2所示，当①ACD①①BAO时，①ADC＝①AOB＝90°，AD＝OB＝2，
①OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
综上所述，OD的长为3或5＋1．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
6．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（ ）
A．4 B．6 C．62 D．12
【答案】A
【分析】
根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式
得出答案．
【详解】
解：设平移的距离为k（k＞0），则将一次函数y＝3x向左平移后所得直线解析式为：y＝3（x+k）＝3x+3k．
易求得新直线与坐标轴的交点为（﹣k，0）、（0，3k）
所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：12k•3k＝24，
解得：k＝4或﹣4（舍去）．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象与几何变换，由题意正确得出平移后解析式是解题的关键．
7．已知一次函数的图象过点（0,3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y=1.5x+3 B．y=1.5x-3 C．y=-1.5x+3 D．y=-1.5x-3
【答案】C
【分析】
设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】
设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），
①一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
①b=3，
①这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
①12×3×|a|=3，
解得：a=2，
把（2，0）代入y=kx+3，解得：k=-1.5，则函数的解析式是y=-1.5x+3；
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x轴的交点坐标是解题的关键．
8．如图，在直角坐标系中，一次函数25yx的图象1l与正比例函数的图象2l交于点(,3)Mm，一次函数2ykx的图象为3l，且1l，2l，3l能围成三角形，则在下列四个数中，k的值能取的是（ ）
7
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
把M（m，3）代入一次函数y=-2x+5得到M（1，3），求得l2的解析式为y=3x，根据l1，l2，l3能围成三角形，l1与l3，l3与l2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M（1，3），于是得到结论．
【详解】
解：把M（m，3）代入一次函数y=-2x+5得，可得m=1，
①M（1，3），
设l2的解析式为y=ax，
则3=a，
解得a=3，
①l2的解析式为y=3x，
①l1，l2，l3能围成三角形，
①l1与l3，l3与l2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M（1，3），
①k≠3，k≠-2，k≠1，
①k的值能取的是2，
故选C．
【点睛】
本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数图象及性质；熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，一次函数26yx与坐标轴围成的三角形面积是：（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
【答案】B
【分析】
根据函数关系式求出图像与坐标轴的交点坐标，即可求出图像与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】
根据题中的关系式，可画出函数图像
