专题03 一次函数中的交点问题(解析版)

专题03 一次函数中的交点问题

知识对接

考点一、一次函数y=kx+b(k≠0)中k,b的符号对函数性质的影响

1.k的符号决定函数的增减性:

当k>0时,y随x的增大而增大;

当k<0时,y随x的增大而减小.

2.b的符号决定函数的图象与y轴交点的位置:

当b>0时,交点在y轴的正半轴上;

当b=0时,交点在原点;

当b<0时,交点在y轴的负半轴上.

专项训练

一、单选题

1．若2x是关于x的方程00,0mxnmn的解，则一次函数1ymxn的图象与x轴的交点坐标是（ ）

A．2,0 B．3,0 C．0,2 D．0,3

【答案】B

【分析】

直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．

【详解】

解：∵方程的解为x=2，

∵当x=2时mx+n=0；

∵一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），

∵一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），

∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，

∵一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0

（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．

2．如图，一次函数ykxb的图象经过点(2,0)，则下列说法正确的是（ ）

A．0k B．0b

C．方程0kxb的解是2x D．y随x的增大而减小

【答案】C

【分析】

利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可．

【详解】

解：∵图象过第一、二、三象限，

∵k＞0，b＞0，y随x的增大而而增大，故ABD错误；

又∵图象与x轴交于（−2，0），

∵kx＋b＝0的解为x＝−2，故C正确；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质．

3．如图，经过点3,0B的直线ykxb与直线42yx相交于点1,2A，则420kxbx的解集为（ ）

A．3x B．31x C．12x D．112x 【答案】D

【分析】

由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（-1，-2），求出直线y=4x+2与x轴的交点坐标，观察直线y=kx+b落在直线y=4x+2的下方且直线y=4x+2落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求．

【详解】

解：∵经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），

∵直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（-1，-2），

∵当x＞-1时，kx+b＜4x+2，

当x＜-12时，4x+2＜0，

∵不等式kx+b＜4x+2＜0的解集为-1＜x＜-12．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

4．如图，若一次函数1ykxb与反比例函数2kyx的图象交(,3),(,2)AmBn两点，过点B作BCx轴，垂足为C，且5ABCS，则不等式210kkxbx的解集为（ ）

A．2x或01x B．1x或20x

C．2x或30x D．3x或02x

【答案】D

【分析】

根据题意可得21kkxbx，再由图象可得不等式的解集为xn或0xm，根据(,3),(,2)AmBn，可得CB长为2，ABC底边CB上的高为mn，然后由5ABCS，可得

5mn，根据反比例函数的特征可得32mn，可求出2,3mn，即可求解．

【详解】

解：由题知，210kkxbx，即为21kkxbx，

由图象可知，不等式的解集为xn或0xm，

∵(,3),(,2)AmBn，

∵CB长为2，ABC底边CB上的高为mn，

∵三角形的面积为12()52mn，

∵5mn，

∵点(,3),(,2)AmBn的图象在反比例函数2kyy的图象上，

∵32mn，即23mn，

∵5mn，

∵2,3mn，

∵不等式的解集为3x或02x．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数与不等式解集的关系，求出2,3mn，利用数形结合的思想是解题的关键．

5．一次函数2yxm与2yx图象的交点位于第二象限，则m的值可能是（ ）

A．-4 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】

根据题意将两个函数联立方程组，再根据交点在第二象限列不等式组，即可求出m的取值范围．

【详解】

解：∵一次函数y＝-2x+m和y＝x+2图象相交，

∵22yxmyx，

解得2343mxmy，

∵交点位于第二象限， ∵203403mm①②，

解不等式∵得2m，

解不等式∵得4m，

∵不等式的解集为42m，

∵m的值可能为1，

故选B．

【点睛】

本题考查了解不等式及两直线相交：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．

6．如图所示，已知函数yaxb和ykx的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组yaxbykx的解是（ ）

A．42xy B．42xy C．24xy D．42xy

【答案】D

【分析】

由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解.

【详解】

解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P的坐标为（-4，-2），

∵关于x，y的二元一次方程组yaxbykx的解是42xy．

故选D．

【点睛】

本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，明确交点坐标的含义与掌握数形结合的方法解题是关键.

7．若直线2ykxk与x轴的交点位于x轴正半轴上，则它与直线21yx交点的横坐标a的取值范围为（ ）

A．32a B．302a C．1342a D．14a

【答案】C

【分析】

由直线2ykxk与x轴的交点可得21k．分两种情况讨论，即可得20k．联立两条直线解析式即可得交点横坐标32kak，由k的范围即可确定出a的范围．

【详解】

解：直线2ykxk与x轴的交点位于x轴正半轴上，

0k．

令20ykxk，解得：20kxk，

即210k，得21k．

∵当0k时，解得2k，与题设矛盾；

∵当0k时，解得2k，所以20k．

当直线2ykxk与直线21yx相交时，

221kxkx，解得：32kxk，

即32kak，

又35(2)51222kkakkk，

20k，

02k，

224k，

111422k，

555422k，

1531422k．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键．

8．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝13x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣13x＞﹣b，则（ ）

A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9

【答案】D

【分析】

先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围.

【详解】

解：把A（m，﹣3）代入y＝13x得13m＝﹣3，解得m＝﹣9，

所以当x＞﹣9时，kx+b＞13x，

即kx﹣13x＞﹣b的解集为x＞﹣9．

故选D．

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

9．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）

A．x＞-2 B．x＜-2 C．2x＞ D．2x＜

【答案】D

【详解】

由函数ykxb和ykxb的图象关于y轴对称可由ykxb的图象得到函数ykxb的图象如图所示，