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三次函数专题(解析版)

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1 三次函数专题

一、定义：

定义1、形如32

(0)yaxbxcxda

的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数2

32(0)yaxbxca



，把2

412bac

叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高

考命题的一个新的热点和亮点。

二、三次函数32

(0)yaxbxcxda

图象与性质的探究：

1、单调性。

一般地，①当2

4120bac

时，三次函数)0(23

adcxbxaxy

在R

上是单调函数；

②当2

4120bac

时，三次函数)0(23

adcxbxaxy

在R

上有三个单调区间。

根据0,0aa

两种不同情况进行分类讨论，令2

()320fxaxbxc



两根为

12,xx

且

12xx

，则：

0a

0a

导

函

数

0

0

0

0

图

象

2、对称中心。

三次函数)0()(23

adcxbxaxxf

是关于点对称，且对称中心为点))

3(,

3(

ab

f

ab



，此点的横坐标

是其导函数极值点的横坐标。

证明：函数)0()(23

adcxbxaxxf

关于点（m，n）对称的充要条件是nxmfxmf2)()(

，

即：])()()([23

dxmcxmbxmandxmcxmbxma2])()()([23



，整理得，

ndmcbmamxbma2)2222()26(232



，据多项式恒等对应系数相等,可得，

ab

m

3

且dmcbmamn23

=)

3()(

ab

fmf

，

从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))

3(,

3(

ab

f

ab



.

可见，)(xfy

图象的对称中心在导函数)(xfy

的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导

为零的点（拐点）。 x x

1 x

2 x

0 x

x

1 x

2 x

x

0 x

2 由上又可得以下结论：

)(xfy

是可导函数，

① 若)(xfy

的图象关于点),(nm

对称，则)('xfy

图象关于直线mx

对称.

② 若)(xfy

图象关于直线mx

对称，则)('xfy

图象关于点)0,(m

对称.

这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.

3、三次方程根的个数问题（或三次函数的图象与x

轴交点个数）。

（1）当△=01242

acb

时，由于不等式0)(

xf

恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=01242

acb

时，由于方程0)(

xf

有两个不同的实根

21,xx

，不妨设

21xx

，则：

① 若0)()(

21xfxf

，即函数)(xfy

极大值点和极小值点在x

轴同侧，图象均与x

轴只有一个交点，所以原

方程有且只有一个实根。

② 若0)

()(

21xfxf

，即函数)(xfy

极大值点与极小值点在x

轴异侧，图象与x

轴必有三个交点，所以原方

程有三个不等实根。

③ 若0)()(

21xfxf

，即)(

1xf

与)(

2xf

中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

xy

O1x

2x

xy

1x

2x

O

y

1x

2x

Ox

x

O

1x

2xy

x

O

0x

0xy

xy

O

xy

O

1x

2x

1x

2xxy

O

3 4、奇偶性。

三次函数)0()(23

adcxbxaxxf

当且仅当0db

时是奇函数。

5、极值点问题。

若函数)(xf在点

0x的附近恒有)()(

0xfxf(或)()(

0xfxf)，则称函数)(xf在点

0x处取得极大

值（或极小值），称点

0x为极大值点（或极小值点）。

当0时，三次函数)(xfy在

，上的极值点有两个。

当0时，三次函数)(xfy在

，上不存在极值点。

6、最值问题。

由函数)0()(23

adcxbxaxxf的图像能够探究出在区间],[nm的最大值与最小值：

函数)0()(23

adcxbxaxxf，

nmx，

，若

nmx，

0，且0)(

0

xf

，则：



)()()(max)(

0maxnfxfmfxf，，

；

)()()(min)(

0minnfxfmfxf，，

。

8

、三次函数切线问题。

①在

00yxP，处的切线求法

设点

00yxP，为三次函数)0()(23

adcxbxaxxf图象上任一点，则在点P一定有直线与

)(xfy的图象相切，且只有一条。

cbxaxxfk

02

0023)(，切线方程为：))(23(

002

00xxcbxaxyy

②过

00yxP，

处的切线求法

设点

00yxP，

为三次函数)0()(23

adcxbxaxxf图象上任一点，则在点P一定有直线与

)(xfy

的图象相切。

过P

点作)(xfy

图象的切线，设切点为

11yxQ，

，则切线的斜率cbxaxxfk

12

1123)(，

切线方程为：))(23(

112

11xxcbxaxyy，将点

00yxP，

代入，得))(23(

1012

110xxcbxaxyy

，





1012

112

13

1023xxcbxaxdcxbxaxy

，将

1x

求解出来即可.

4 9、三次函数解析式的常见形式。

（1）一般形式：32

()(0)fxaxbxcxda

（2）已知函数的对称中心为),(nm

，则)0()()()(3

anmxBmxAxf

（3）已知函数图象与x

轴的三个交点的横坐标



、、

，则

)0)()()(()(axxxaxf

（4）已知函数图象与x

轴的一个交点的横坐标

0x

，则)0)()(()(2

0anmxaxxxxf

三、例题讲解：

例1、已知函数133)(23

xaxxxf

。

（Ⅰ）设2a

，求)(xf

的单调区间；

（Ⅱ）设)(xf

在区间

32，

中至少有一个极值点，求a

的取值范围。

解：

①式无解，②式的解为

35

45

a

，因此a的取值范围是





35

45

，

.

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专题03 函数实际应用综合题(解析版)

专题03 函数实际应用综合题(解析版)

2 专题03 函数实际应用综合题

1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：

（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；

（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．

设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．

（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．

（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．

2 3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系3610hx，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．

4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？

2 5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kgx(0)x．

2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

专题11 函数的图象

【考点预测】

一、掌握基本初等函数的图像

（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.

二、函数图像作法

1.直接画

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.

2.图像的变换

（1）平移变换

①函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；

②函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；

③函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向上平移a个单位得到的；

④函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；

（2）对称变换

①函数()yfx与函数()yfx的图像关于y轴对称；

函数()yfx与函数()yfx的图像关于x轴对称；

函数()yfx与函数()yfx的图像关于坐标原点(0,0)对称；

②若函数()fx的图像关于直线xa对称，则对定义域内的任意x都有

()()faxfax或()(2)fxfax（实质上是图像上关于直线xa对称的两点连线的中点横坐标为a，即()()2axaxa为常数）；

若函数()fx的图像关于点(,)ab对称，则对定义域内的任意x都有()2(2)()2()fxbfaxfaxbfax或

③()yfx的图像是将函数()fx的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示

④()yfx的图像是将函数()fx的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得到函数()yfx左边的图像即函数()yfx是一个偶函数（如图（c）所示）.

三次函数

三次函数

第28关：三次函数专题—全解全析

一、定义：

定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）

定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式

二、三次函数图象与性质的探究：

1、单调性

一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间

（根据两种不同情况进行分类讨论）

2、对称中心 三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

证明：设函数的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

化简得：

上式对恒成立，故，得，

。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题 （1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。

此时： ①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

② 若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③ 若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题

若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。 当时，三次函数在上的极值点要么有两个。 当时，三次函数在上不存在极值点。

5、最值问题 函数若，且，则：；

三、三次函数与导数专题：

1. 三次函数与导数例题 例1. 函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.

解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）. （ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3

三次函数性质解析版

三次函数性质解析版

三次函数的图像及性质

形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。它具有以下性质：

1、图像、单调区间与极值

三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：

2、零点个数

△=，若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。

若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，

它们是函数的极值点，则：

（i）当时，有一个零点；

（ii）当时，有两个零点； 32()(0)fxaxbxcxdax,,,abcd2()32fxaxbxc()fx()fx()fx()fx()fx()fxxxx()fx()fx()fx()fx()fx()fxxxx0a0a)3(412422acbacb()0fx0()fx(,)()0fx01x2x()fx12()()0fxfx()fxx()fxx()fxx()fxx()fx12()()0fxfx()fx

（iii）当时，有三个零点。

3、对称中心

三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.

证1

易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.

4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数

（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )

A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1

答案：A

（2）函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于（ ）对称

A、直线x=1 B、直线y=x C、点(1,-2) D、原点

(3)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为M(x0，y0)，记函数f(x)的导函数为f ′(x)，f ′(x)的导函数为f ″(x)，则有f ″(x0)＝0.若函数f(x)＝x3－3x2，则f12 017＋f22 017＋f32 017＋…＋f4 0322 017＋f4 0332 017＝( )