专题十一、三角形中的三角函数问题

三角函数的图象变换，是三角函数考查热点之一，也是易错点之一，虽然说图象变换不外乎平移、伸缩、翻折(对称)这三类，但考生在变换过程中出现的差错却比比皆是，究其原因，是对函数性质及其图象特征认识不够深入，因此在变换中，对变换的数据无法完全把握，从而造成失误.

本文重点从高考中涉及较多的伸缩变换和平移变换加以辨析.

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.

x －φω

π2－φω π－φω 32π－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 32π 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2.图象变换(ω＞0)

路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移||φ个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．

路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．

一、平移变换

例1．（2016全国甲理7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）.

A.ππ26kxkZ B.ππ26kxkZ

C.ππ212Zkxk D.ππ212Zkxk

解：平移后图像表达式为π2sin212yx，令ππ2π+122xk，得对称轴方程：ππ26Zkxk.故选B．

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三角形中的三角函数问题

一、引言

（一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的考查内容，高考考纲中就明确提出要加强对正、余弦定理的考查．

（二）考纲要求：通过本节的学习掌握正弦定理、余弦定理；并能够应用正弦定理、余弦定理解决问题；同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．

（三）考情分析：应用正弦定理、余弦定理解三角形、求值、求参数范围、恒等变形与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．

二、考点梳理

1．正弦定理:在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，R为ABC的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRABC．

变形应用:::sin:sin:sinabcABC；2sinaRA，2sinbRB，2sincRC．

2．余弦定理：在ABC中，有2222cosabcbcA，

2222cosbacacB；2222coscababC．

变形应用:如222cos2bcaAbc，222cos2bacCba 222cos2acbBac．

3．三角形的有关公式：

（1）射影公式如：coscosabCcB．

（2）三角形面积公式：1111sinsinsin2222aSahabCacBcbA．

4．熟练掌握下列知识对解三角形有帮助：

（1）sin()sinABC；cos()cosABC；sincos22ABC等．

（2）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等角对等边，大边对大角，大角对大边．

（3）在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，若222abc，则90C；

1 高考专题解读 : 三角函数及解三角形

【命题分析】

综合分析近3年高考试题,我们发现考题三角函数及解三角形专题，常见一小一大的命题形式, 以三角恒等变换和正、余弦定理为解题工具, 考查三角函数的图象、 性质及解三角形的有关知识.具体情况如下：

1.从考查题型看：命题几乎是1～2个客观题( 选择题或填空题), 1个解答题; 从考查分值比例来看, 该部分分值约占总分的7%～10%.

2.从考查知识点看：主要考查对三角函数式的化简、求值，三角函数的图象和性质，解三角形的综合应用等.

3.在命题思路上主要有两大类：

(1)单独命题

①考查解三角形的有关问题;

②考查三角函数的化简求值；

③考查三角函数的图象、性质 ；

(2)交汇命题

①以三角函数为解题工具, 解决实际问题;

②渗透平面向量与三角函数间的内在联系，实现平面向量与三角函数的有机结合；

③与其他知识结合命题，如与直线的斜率、导数、不等式等知识结合命题，其形式多样, 解法灵活, 极富思维性和挑战性.

2 4.纵观命题趋势, 我们发现正、余弦定理的运用, 三角函数的图象和性质, 尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、 特征分析( 对称轴、对称中心)和三角函数式的恒等变换等仍是命题热点.

【备考策略】

根据近3年高考命题的特点和规律,复习本专题时,要注意以下几方面：

(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛.

(2)公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系.

(3)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几种题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题.

隔板法在解排列组合问题中的应用

隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.

一、将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题

例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？

分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.

解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C种不同的放法，再将小球放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数原理，共有222C×1=231种不同的方法.

点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要1m块隔板，将这n件物品和1m块隔板排成一排，占1nm位置，从这1nm个位置中选1m个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11mnmC种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11mnmC×1=11mnmC种排法,因1m块隔板将n件相同物品分成m块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11mnmC种分法.

二、将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题