一次函数难题问题详解
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函数的概念及图象2
一、选择题（题型注释）
1．如图反映的过程是：矩形ABCD中，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x， ABPSy△．则矩形ABCD的周长是
61295Oyx
A．6 B．12 C．14 D．15
【答案】C
【解析】
试题分析：结合图象可知，当P点在AC上，△ABP的面积y逐渐增大，当点P在CD上，△ABP的面积不变，由此可得AC=5，CD=4，则由勾股定理可知AD=3，所以矩形ABCD的周长为：2×（3+4）=14．
考点：动点问题的函数图象；矩形的性质.
点评：本题考查的是动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出AC和CD的长．
2．小芳步行上学，最初以某一速度匀速前进，中途遇红灯，稍作停留后加快速度跑步去上学，到校后，她请同学们画出她行进路程s（米）与行进时间t（分钟）的函数图象的示意图.你认为正确的是（ ）
【答案】C
【解析】
试题分析：运用排除法解答本题，中间的停留路程不变，可排除BD两项，最后的加速图象应为比最初的路程增加直线增速更快的图象，C对
3．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（ ）
A．121nn B．31nn C．221nn D．221nn
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，
∴A1（1，0），
A2（2，0），
A3（3，0），
…
An（n，0），
An+1（n+1，0），
∵分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1，作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，
∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，
则B1（1，2），
同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，
则B2（2，4），
B3（2，6），
…
Bn（n，2n），
Bn+1（n+1，2n+2），
根据题意知：P n是AnBn+1与 BnAn+1的交点，
设：直线AnBn+1的解析式为：y=k1x+b1，
直线BnAn+1的解析式为：y=k2x+b2，
∵An（n，0），An+1（n+1，0），Bn（n，2n），Bn+1（n+1，2n+2），
∴直线AnBn+1的解析式为：y=（2n+2）x﹣2n2﹣2n，
直线BnAn+1的解析式为：y=﹣2n x+2n2+2n，
∴P n（22221nnn， 24421nnn）
∴△AnBnPn的AnBn边上的高为：22221nnnn=21nn,
△AnBnPn的面积Sn为:21222121nnnnn．
故选D．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
4．如图，已知直线l：xy33，过点A（0，1）作y轴的垂线 交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过 点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为
A.（0，64） B.（0，128） C.（0，256） D.（0，512）
【答案】C.
【解析】
试题分析：∵直线l的解析式为；y=33x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=30°，
∵OA=1，
∴OB=2，
∴AB=3，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1=60°，
∴A1O=4，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A4纵坐标为44=256，
∴A4（0，256）．
故选C．
考点：一次函数综合题．
5．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点C，D出发，沿线段CB，DC方向匀速运动，已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点B，C．连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是
【答案】A．
【解析】
试题分析：作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点，如图，
设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，
则CP=xt，DQ=yt，所以CQ=b-yt，
∵O是对角线AC的中点，
∴OE、OF分别是△ACB、△ACD的中位线，
∴OE=12b，OF=12a，
∵P，Q两点同时出发，并同时到达终点，
∴abxy，即ay=bx，
∴S=S△OCQ+S△OCP=12•12a•（b-yt）+12•12b•xt=14ab-14ayt+14bxt=14ab（0＜t＜ax），
∴S与t的函数图象为常函数，且自变量的围为0＜t＜ax）．
故选A．
考点：动点问题的函数图象．
6．函数321xy的图象与x、y轴分别交于点A、B，点P)(yx，为直线AB上的一动点（0x）过P作PCy轴于点C，若使PBC的面积大于AOB的面积，则P的横坐标x的取值围是（ ）
A、30x B、3x C、63x D、6x
【答案】D.
【解析】
试题分析：由题意知：PC=x，OC=132x
∴BC=12x
∵PBC的面积大于AOB的面积
∴x＞6.
故选D.
考点: 一次函数综合题.
7．如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为 ，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
试题分析：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，则△ABP面积y在BC段随x的增大而增大；在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD的面积是12×2×3=3．
故选A．
考点：动点问题的函数图象．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是
A． B．
C． D．
【答案】B。
【解析】当点P由点A向点D运动时，y的值为0；
当点p在DC上运动时，y随着x的增大而增大；
当点p在CB上运动时，y不变；
当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小。
故选B。
二、填空题（题型注释）
9．从﹣1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为14，且使关于x的不等式组122axxa有解的概率为 __ ．
【答案】13．
【解析】
试题分析：将-1，1，2分别代入y=2x+a，求出与x轴、y轴围成的三角形的面积，将-1，1，2分别代入122axxa，求出解集，有解者即为所求．
试题解析：当a=-1时，y=2x+a可化为y=2x-1，与x轴交点为（12，0），与y轴交点为（0，-1），
三角形面积为12×12×1=14；
当a=1时，y=2x+a可化为y=2x+1，与x轴交点为（-12，0），与y轴交点为（0，1），
三角形的面积为12×12×1=14；
当a=2时，y=2x+2可化为y=2x+2，与x轴交点为（-1，0），与y轴交点为（0，2），
三角形的面积为12×2×1=1（舍去）；
当a=-1时，不等式组122axxa可化为1221xx，不等式组的解集为33xx，无解；
当a=1时，不等式组212xaxa可化为2112xx，解得11xx，解得x=-1．
使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为14，且使关于x的不等式组212xaxa有解的概率为P=13．
考点：1．概率公式；2．解一元一次不等式组；3．一次函数图象上点的坐标特征．
10．含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2 C2B3，A3B3C3B4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…，和点B1，B2，B3，B4，…，分别在直线y=kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），则点A1的坐标是 ；点A3的坐标是 ；点An的坐标是 （n为正整数）．
【答案】（3，），（9，3），（3n，n）．
【解析】
试题分析：利用菱形的性质得出△A1B1B2是等边三角形，进而得出A1坐标，进而得出OB2=A2B2=4，即可得出A3，An的坐标．
过点A1作A1D⊥x轴于点D，
∵含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2 C2B3，A3B3C3B4，…，
∴∠A1B1D=60°，A1B1=A1B2，
