著名机构讲义秋季教案07-初二数学-一元二次方程的认识及因式分解解法-教师版

初中八年级数学《一元二次方程》教案教学设计8.1一元二次方程知识与技能：探索一元二次方程的解或近似解 过程与方法：探索一元二次方程的解或近似解 情感态度与价值观：经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力． 探索一元二次方程的解或近似解． 培养学生的估算意识和能力． 教师准备：ppt 课件学生准备：复习一元二次方程定义的相关内容 合作探究 课型 新授课教学过程（教师） 学生活动一、创设现实情境，引入新课 前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家回忆一下。

二、地毯花边的宽x(m)满足方程 估算地毯花边的宽地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18也就是：2x 2―13x+11=0 你能求出x 吗？（1）x 可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x 表示地毯的宽度。

（2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。

三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 (x+6)2+72=102也就是x 2+12x ―15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ x 0 0.5 1 1.5 2 2.52x 2―13x+11 回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax 2+bx+c-0(a ≠0) 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

(8—2x)(5—2x)＝18，即222一13x 十11＝0．注:x>o ，8—2x ＞o ，5—2x ＞0．从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9 地毯花边1米，另，因8―2x 比5―2x 多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1 (x 十6) 十7 ＝10 ，即x 十12x 一15＝0．所以1＜x ＜2． x 的整数部分是1， 所以x 的整数部分是l ，十分位是1．。

《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。

元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。

本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。

2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。

难点：发现问题中的等量关系。

二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。

教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。

还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。

同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。

2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。

因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

因式分解法解一元二次方程-北京版八年级数学下册教
案
一、教学目标
1.理解一元二次方程的定义及解的概念；
2.掌握利用因式分解法解一元二次方程的方法；
3.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容
1.一元二次方程及解的概念回顾；
2.因式分解法解一元二次方程；
3.应用题练习。

三、教学重难点
1.通过多个例题，让学生能够熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法；
2.培养学生解决实际问题的能力。

四、教学方法
1.课堂讲解；
2.班内讨论；
3.个人练习。

五、教学过程
1.首先回顾一元二次方程的定义及解的概念，提醒学生在学习时需要理解这些相关概念。

2.引导学生思考，通过观察若干个一元二次方程的解，让学生发现其中存在的共性，并引出因式分解法的概念。

3.逐步讲解因式分解法解一元二次方程的基本方法，通过精选的例题进行讲解，让学生熟练掌握这些方法及技巧。

4.让学生能够在题目中理解问题，解释解法步骤，从而解决实际问题。

六、练习题
1.解方程x2−5x−14=0，并判断其解的符号。

2.已知8x2+6x=0，求x的值。

3.一个巨鱼重188千克，它的重量超过两个海豚的总重量7千克。

求这两个
海豚的重量各是多少千克？
七、教学反思
本课题主要突出了因式分解法解一元二次方程的方法，以及如何运用这种方法来解决实际问题。

通过课堂教学和实际练习，学生的对于该题型的掌握程度得到了提高，同时也提高了学生解决实际问题的能力。

《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。

2018年上学期八年级数学辅导讲义第07讲 公式法、因式分解法解一元二次方程【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）；③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为： ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根： ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,2x =240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程例1．解关于x 的方程．举一反三：【变式】解关于的方程2223x mx mx x ++=+；例2．用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=x举一反三：【变式】用公式法解下列方程：类型二、因式分解法解一元二次方程例3．解方程：x 2﹣1=2（x+1）．举一反三：【变式】解方程：（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．例4．如果，请你求出的值．2222()(2)3x y x y ++-=22x y +【巩固练习】一、选择题1. 方程的解为（ ）A ．B ．C ．，D ．以上结论都不对2．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )A ．x 1＝-1，x 2＝-4B ．x 1＝-1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝-43．如果x 2+x -1＝0，那么代数式的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式的值为零，则x 的取值是( ) A ．x ＝2或x ＝1 B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )A ．12B ．9C ．13D ．12或9二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式的值为________． 8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为 ；(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为 ；(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为 ．11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．12．若方程(2018x)2-2017×2019x-1＝0的较大根为a ，方程x 2-2018x-2019＝0的较小根为b ，则2019()a b +＝________．(3)(2)1x x -+=3x =2x =-13x =22x =-3227x x +-(2)(1)||1x x x ---122x x +三、解答题13. 用公式法解下列方程：（2） ．14．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=015．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：① ； ②． 2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>1211x x +2212x x +。

教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间学 科数学课题名称一元二次方程的解法（2）知识点Ⅰ： 配方法解一元二次方程1.定义：先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方形式，然后直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法。

2.理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3.步骤：二次项系数化为1；移项；配方：配上一次项系数一半的平方；直接开平方法解。

【例1】 (1) 2x ++x 8 = (+x )2;一元二次方程的解法（2）(2) _2a 6+a = (-a )2; (3) 2y 32-+y = (-y )2. 【答案】（1）164（2）93（3）1193【例2】（1）x x 252-+____=2___)(-x ; (2)px x -2+_____=2__)(-x ; (3)x ab x +2+ ______=2___)(+x . 【答案】（1）255164（2）242p p （3）2242b baa【例3】用配方法解方程（1）2610x x --= （2）22330x x --=（3）22410x x --= （4）22370x x +-= 【答案】（1）12310310x x =+=-（2）1233333344x x +-==（3）12262622x x +-==（4）1236536544x x -+--==知识点Ⅱ：一元二次方程的解法公式法1.求根公式推导：（3）23102x x --= （4）()441t t -=（5）2102x x --= （6）2243220x x +-= 【答案】（1）1242242233y y +-==（2）12513x x ==-（3）12122x x ==-（4）12235235x x =+=-（5）12131322x x +-==（6）12622622x x =-+=--知识点Ⅲ： 用适当的方法求一元二次方程先观察形式，在看是否需要整理成一般形式；考虑十字相乘法，在考虑公式法。

《用因式分解解一元二次方程》教案用因式分解解一元二次方程教案目标本教案旨在介绍如何使用因式分解的方法解一元二次方程。

知识回顾在开始讲解因式分解解一元二次方程之前，让我们先回顾一下相关的知识点：- 一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数且a≠0。

- 一元二次方程的解可以分为实数解和虚数解，实数解可以进一步分为有理数解和无理数解。

解题步骤接下来，我们将介绍使用因式分解解一元二次方程的步骤：步骤1：将一元二次方程化为标准形式（即将方程中的项按次数降序排列）。

步骤2：确定方程中的a、b和c的值。

步骤3：使用因式分解将方程进行分解。

步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到各个因式对应的解。

步骤5：将得到的解进行验证，即代入原方程中检验是否满足。

实例演练下面我们通过一个实例来演示如何使用因式分解解一元二次方程：实例：解方程x^2 - 5x + 6 = 0步骤1：将方程化为标准形式，得到x^2 - 5x + 6 = 0。

步骤2：确定a、b和c的值，得到a = 1，b = -5，c = 6。

步骤3：使用因式分解将方程进行分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

步骤4：令因式中的每一个部分等于0，解方程得到x - 2 = 0和 x - 3 = 0。

步骤5：求解得到x = 2 和 x = 3，将这些解代入原方程验证是否满足。

总结因式分解是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。

在使用因式分解解一元二次方程时，我们需要依次进行化简、确定值、分解、解方程和验证等步骤。

通过实例的演练，我们可以更好地理解和掌握这一方法。

希望本教案对你有所帮助！。

本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。

在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。

但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。

对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。

对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。

而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。

本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。

用因式分解法解一元二次方程教学目标知识与技能 会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，能根据具体一元二次方程的解法，体会解决问题方法的多样性. 过程与方法 体验类比、转化、降次的数学思想方法 情感态度与价值观理解解方程中的程序化，体会化归思想重点 会运用因式分解法解特殊一元二次方程 难点 理解并应用因式分解法解特殊一元二次方程 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 小黑板 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 1、知识回顾用配方法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程 回忆2、出示学习目标会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程明确目标出示自学提纲 ⑴完成教材13页思考，二次方程是如何降为一次的？ ⑵什么叫做因式分解法？⑶自学例3 （尝试用多种方法解本例中的两个方程） ⑷归纳用因式分解法的一般步骤 ⑸总结学过的解一元二次方程的方法阅读提纲， （1）~（7）4、组织学生自学指导学生阅读课本P12---14课文,并回答问题。

学生自学得出结论组内交流，互助互教。

二、自学反馈 汇报或检测先进行因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法 用框图表示为：200(0)A ax bx c aB −−−−→=++=≠=因式分解法降次一元一次方程一元二次方程回答老师提出的问题、板演。

数学教课方案－一元二次方程_八年级数学教课方案 _模板教课目的：（ 1）理解一元二次方程的观点（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程教课要点：一元二次方程的观点、一元二次方程的一般形式教课难点：因式分解法解一元二次方程教课过程（）：（一）创建情形，引入新课实质例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0由学生说出这几个方程的共同特点，进而引出一元二次方程的观点。

（二）新授1：一元二次方程的观点。

（一个未知数、最高次 2 次、等式两边都是整式）练习2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)任一个一元二次方程都能够转变成一般形式，注意二次项系数不为零3：解说例子4：利用因式分解法解一元二次方程5：解说例子6：一般步骤练习（三）小结（四）部署作业板书设计相切在作图中的应用的教课方案1、教材剖析（1）知识构造（2）要点、难点剖析要点：使学生理解画“连结”图形的理论依照．它是本节内容的核心，也是此后在实质制图应用中的基础．难点：①对“连结”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描绘客观问题，学生经常因抽象思想能力较弱，而没有真实理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连结时圆心地点确实定．2、教法建议（1）在教课中，组织学生找寻一些身旁的相关“连结”的实质问题，画出比率图，既调换学生的踊跃性，培育了兴趣，又获取了知识；（2）在教课中，以“实质问题——观点引出——理解——实质应用”为主线，展开在教师组织下，以学生为主体，活动式教课．相切在作图中的应用（一）教课目的：（1）理解线段与弧、弧与弧连结的观点及连结的原理；（2）经过对“连结”等观点的教课，培育学生的理解能力；（ 3）经过线段与弧的连结，圆弧与圆弧的连结，培育学生的作图能力；（4）“浸透”世界上好多事物是相互联系着的，而且在必定条件下相互转变．教课要点:正确理解连结的原理，初步掌握线段与圆弧连结、圆弧与圆弧连结的实质，会进行各样连结．教课难点:连结原理的正确理解和作图时圆心、半径确实定教课活动设计 :（一）实质问题引出观点我们在生活中常有到一些机器部件，它的边沿是圆滑的，我们最熟习的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．想想：跑道线是如何的线构成的?画一画：跑道的大概图形．指导学生发现线线的地点关系，引出连结的相关观点：1、由一条线（线段或圆弧）光滑地过渡到另一条线上，这类光滑地过渡，称圆弧连结，简称连结．2、连结时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连结处相切．3、外连结、内连结．组织学生阅读理解教材内容（二）深刻理解观点“连结”是“光滑地过渡”，如何算“光滑“?像下边图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，固然也有相切的关系，但它们不是连结．理解：线与线连结有两个必备条件：①连结时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连结处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的双侧；圆弧与圆弧分居在连心线的双侧，两者缺一不行．（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连结图形的画法例 1：已知：线段AB 和 r（如图）．求作：，使它的半径等于r，，而且在点 A 与线段 AB 连结．作法： 1、过点 A 作直线 PA⊥AB ．2、在射线AP 取 AO=r ．3、以 O 为圆心， r 为半径作，使AB、在OA的双侧．就是所求作的弧．说明：画圆弧与线段的连结，主要运用了切线的性质定理的推论切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．例 2、已知：如图，的半径为R1，圆心为O1；线段 R2．求作：半径为R2 的，使与在点A外连结．作法： 1、连结 O1A ，而且延伸到点O2，使 O1 O2 =R1+ R2 2、以 O2 为圆心， O1 O2 为半径作，使与在的双侧．．2：经过切点且垂直于就是所求作的弧．说明：画圆弧与圆弧的连结，主要运用练习题： P148 练习， 1、2．（三）小结主要内容：“两圆相切，切点必定在连心线上”这个结论．1、什么是连结 ?什么是外连结 ?什么是内连结?2、任何一种连结，其实质就是两线相切，在切点处相连结，是切点双侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连结．3、关于给出的题目，画出连结图形要点在于确立圆心．（四）作业教材 P151 习题 A 组 16．课外题：画一个生活中的相关系结图形的比率图，下节课展现．一、教课目的 1.掌握二次根式的性质2.能够利用二次根式的性质化简二次根式3.经过本节的学习浸透分类议论的数学思想和方法二、教课方案对照、概括、总结三、要点和难点1.要点：理解并掌握二次根式的性质2.难点：理解式子中的能够取随意实数，并能依据字母的取值范围正确地化简相关的二次根式．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习对照，概括整理，应用提升，以学生活动为主七、教课步骤（一）教课过程（）【复习引入】1．求值、、、求值、、、结论：当时，；当时，．2．求值、结论：当时，式子存心义，，关于，不可以为负数．3．求值、结论：当时，．问：若根号内这个式子中的底数，根式还存心义吗？其值等于什么？比如，，此中－2与2互为相反数；，此中－3与3互为相反数；，此中与互为相反数．【解说新课】提出问题：等于什么？指引学生议论、猜想、联想，获取结论：教师可联合学生的详细状况，将上边公式用最精练的语句表达，并频频发问中差学生，加深其印象，进一步发问：若时，可否等于，以增强学生的鉴别能力，增强学生对公式的理解和记忆．例1化简：（1）；（2）．解：（略）．注：可看作，把先写为；可看作，把先写为．例2化简：．，可得．剖析：底数是非负数仍是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件∴ ．解：（略）．例 3化简以下各式：（1）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（）．解：（ 1）∵∴．∴．（ 2）∵∴，即．∴．（ 3）∵∴，即．∴．（4）∵，∵，即．∴ ．计算出注：要从条件出发，判断根号下边式子的底数是非负数仍是负数，再依据公式结果，所以在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负．在写解题步骤上，尽量完好，以减少失误，并训练学生的逻辑思想能力．（二）随堂练习1．求值：（1）；（2）；（3）（）；（4）；（5）．解：（ 1）．（2）．（3）．（4）．（5）．注：，学生易与相混杂．2．化简：（1）；（2）；（3）；（4）（）；（5）（）．解：（ 1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（三）总结、扩展对公式，必定要在理解在基础上坚固掌握，要正确地运用公式进行二次根式的化简，要点是对根号内式子的底数的判断．（四）部署作业教材 P213 中 1（ 2）、（ 3）；2（ 1）、（2）．（五）板书设计标题1．复习题4．练习题2．公式3．例题一、教材剖析A、教材的地位与作用：①本节教材是初三代数第十四章统计初步第二节，它是上节均匀数的持续。

《一元二次方程的定义及其解法》教案一、教学目标1.知识与技能：o掌握一元二次方程的定义及一般形式。

o学会利用公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程。

o理解一元二次方程解的判别式，并能判断方程的解的情况。

2.过程与方法：o培养学生观察、归纳、推理和应用的数学思维能力。

o通过问题解决活动，提升学生分析问题、解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣和热情。

o培养学生的团队合作精神和探究精神。

二、教学重点和难点1.教学重点：o一元二次方程的定义及一般形式。

o一元二次方程的解法，包括公式法、配方法和因式分解法。

2.教学难点：o对一元二次方程解的判别式的理解和应用。

o灵活运用不同的解法解决复杂的一元二次方程。

三、教学过程1.导入新课（5分钟）o通过回顾一元一次方程，引出一元二次方程的概念。

o展示实际生活中的一元二次方程问题，激发学生兴趣。

2.探究定义（10分钟）o讲解一元二次方程的定义，强调其一般形式 ax^2 + bx + c = 0（a ≠0）。

o引导学生通过例题，归纳一元二次方程的特点。

o开展小组讨论，总结一元二次方程与一元一次方程的区别。

3.讲解解法（15分钟）o详细介绍公式法，推导一元二次方程的求根公式，并通过例题巩固。

o讲解配方法，通过实例展示配方的过程和注意点。

o引入因式分解法，教授学生如何通过因式分解求解一元二次方程。

4.深入练习（10分钟）o提供多个不同类型的一元二次方程练习题，包括简单题和复杂题。

o学生分组练习，教师巡视指导，及时解答学生疑问。

o开展小组合作，共同探讨复杂方程的解法。

5.课堂总结（5分钟）o总结一元二次方程的三种解法及其适用情况。

o强调一元二次方程解的判别式的重要性，并解释其应用。

o引导学生回顾本课重点，加深记忆。

四、教学方法和手段1.采用启发式教学法，通过提问和讨论引导学生主动思考。

2.利用多媒体教学工具，展示方程问题和解题过程，增强视觉效果。

分课时教学设计第二课时《因式分解法解一元二次方程》教学设计课型新授课√复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的，通过之前的学习我们了解到配方法和公式法是所有一元二次方程的通用解法，但是对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单。

同时利用因式分解法求解一元二次方程，既可以复习之前所学因式分解的知识，又为后续处理有关一元二次方程的问题提供了一些求解的思路与方法。

学习者分析学生在八年级已经学习了因式分解，掌握了用提公因式法及运用公式法(平方差、完全平方)分解因式:在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，了解并掌握了这两种方法的解题思路及步骤。

结合学生实际，有必要在课前让学生对因式分解的方法和一般步骤进行回顾，这样有利于提高课堂效率和准确率。

教学目标 1.理解用因式分解法解方程的依据。

2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程。

3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。

4.熟练掌握相应的数学模型，快速准确求解一元二次方程的解。

教学重点用因式分解法解某些一元二次方程。

教学难点因式分解的准确利用。

学习活动设计教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1：【提问】1.已经学过了哪些解一元二次方程的方法？2.什么叫分解因式?3.多项式因式分解的方法有哪些？学生活动1：学生思考，回忆回答问题活动意图说明：先回顾解一元二次方程和因式分解的相关知识，为本节课学生学习因式分解法解一元二次方程做好铺垫。

环节二：新知探究教师活动2：【问题】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。

根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?师：尝试用配方法和公式法求方程的解？【提问】观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？师：尝试用因式分解求方程的解？【提问】解方程①时，二次方程是如何降为一次的？先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

《初中数学教案：一元二次方程》初中数学教案：一元二次方程一、引言二次方程是中学数学中的重要内容之一，对于学生的数学思维能力和解题能力的培养具有重要意义。

本教案将围绕一元二次方程的定义、性质、解法以及实际问题的应用展开讲解，旨在帮助学生理解和掌握一元二次方程的相关知识，培养学生的数学分析和解决问题的能力。

二、一元二次方程的定义和性质1. 一元二次方程的定义一元二次方程指的是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。

其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

2. 一元二次方程的性质（1）一元二次方程的解可以是实数或复数。

（2）一元二次方程的解的个数可能为0、1或2。

三、一元二次方程的解法1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解来求解方程。

例如：解方程x²-5x+6=0。

首先，将方程因式分解为(x-2)(x-3)=0。

根据“零乘法”，得到x-2=0或x-3=0。

因此，方程的解为x=2或x=3。

2. 直接开平方法对于某些特殊形式的一元二次方程，可以通过直接开平方的方式求解。

例如：解方程x²=25。

将方程两边直接开平方，得到x=±5。

因此，方程的解为x=5或x=-5。

3. 公式法（求根公式）当一元二次方程无法因式分解时，我们可以运用求根公式求解方程。

一元二次方程的求根公式为 x=(-b ± √(b²-4ac))/(2a)。

例如：解方程x²-3x+2=0。

根据求根公式，得到x=(3±√(9-4*1*2))/(2*1)。

化简后可得x=(3±√1)/2，即 x=1 或 x=2。

因此，方程的解为x=1或x=2。

四、一元二次方程的应用1. 抛物线的图像一元二次方程可表示二次函数的图像，即抛物线。

通过一元二次方程，我们可以分析抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程等特性。

一元二次方程——初中数学第三册教案八年级数学教案教学目标：（1）理解一元二次方程的概念（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程教学重点：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式教学难点：因式分解法解一元二次方程教学过程：（一）创设情景，引入新课实际例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。

（二）新授1：一元二次方程的概念。

（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）练习2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零3：讲解例子4：利用因式分解法解一元二次方程5：讲解例子6：一般步骤练习（三）小结（四）布置作业板书设计教学目标：（1）理解一元二次方程的概念（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程教学重点：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式教学难点：因式分解法解一元二次方程教学过程：（一）创设情景，引入新课实际例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。

（二）新授1：一元二次方程的概念。

（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）练习2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零3：讲解例子4：利用因式分解法解一元二次方程5：讲解例子6：一般步骤练习（三）小结（四）布置作业板书设计。

因式分解法解一元二次方程教案《因式分解法解一元二次方程教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！2.2.3 因式分解法第1课时因式分解法解一元二次方程一、教学目标知识与技能：1.理解并掌握用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.过程与方法：3. 通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力4. 通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想情感与态度：5.体会解决问题方法的多样性，体验数学逻辑推理的严密性二、学习内容分析这一节的学习，可以对之前学习的“配方法”和“公式法”加以巩固，也可以对学过的实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。

解二次方程的基本策略就是“降次”，从“配方法”和“公式法”再到这一节的“因式分解法”，从简到难，使学生掌握其基本原理和具体方法。

三、教学重点：能灵活运用因式分解解一元二次方程四、教学难点：理解“或”“且”的含义五：学生学情分析：靖州一中初二的学生处于青春期，上课都比较热情，学习积极性高，头脑灵活，思维敏捷，他们又强烈的好奇心和求知欲。

当他们去解决问题时，很容易对之前学过的知识产生联想，他们自然会想进一步探索解方程的问题。

并且，从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统研究了完全平方公式、二次根式、用配方法解之后，这就为我们用因式分解法去解奠定了良好的基础。

六、教学策略设计：本节课我主要采用启发式教学、类比法、探究式以及多媒体技术相结合的教学方法，教学中力求体现“类比—探究—归纳”的模式，有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。

由于学生因式分解的能力有限再加上作业量比较大，时间比较紧，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过观察与演示，总结因式分解的规律，多接触一些题型，从而突破难点。

七、信息技术运用说明：体验因式分解的变换过程，用不同颜色的字体突出强调重点解题步骤。

一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3 一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x -++=；（3)()210x y --=； （4）42=0x x-；（52123x -=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +-=+；（8）2(3)8(3)a x a -=≠．【难度】★【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例2】 当k ________时，方程2(60k x kx -+=一元二次方程． 【难度】★【答案】k ≠【解析】令二次项系数不为0，即0k，解得：k ≠ 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________． 【难度】★【答案】230x x +=， 1， 0． 【解析】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0．【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念．例题解析【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3-，且有一个根是1-的一元二次方程． 【难度】★【答案】2340x x --=等．【解析】一次项为3x -，二次项系数任意定，再把1x =-代入用常数项配凑． 【总结】本题考查了一元二次方程项与系数的相关概念以及方程的根的概念．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx -++=有一个根是1x =-，求m 的值． 【难度】★ 【答案】4m =．【解析】将1x =-代入的：(21)350m m --+=，解得：4m =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +-=-+是一元二次方程．【难度】★★ 【答案】0或－1． 【解析】 整理得：212(3)20mmx x m x +-+--=① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x -+--=，由21210m m ⎧+=⎨-≠⎩，解得：1m =-；② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x -+--=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =-或．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +-+=．（1）方程为一元二次方程，a 的取值是？ （2）方程为一元一次方程，a 的取值是？ 【难度】★★【答案】（1）1a =-； （2）0a =． 【解析】（1）令21210a a ⎧+=⎨-≠⎩， 解得：1a =-；（2）令211150a a ⎧+=⎨-+≠⎩，解得：0a =．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【难度】★★【答案】a b 、异号或0a =且0b =．【解析】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程，当a b 、异号时，原方程有实数根；（2）当0a =时，原方程为等式，当0b =时，原方程有无数解； 综上：当a b 、异号时或0a =且0b =时，原方程有实数根． 【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c -+=，20a c +=，试求方程的解．【难度】★★【答案】122x x =-=，【解析】由2(2)(2)0a b c -+-+=，2((0a b c ++=，得：原方程的解为：122x x =-=，【总结】本题考查了方程的解得概念．【例10】 已知方程2510mx nx -+=和2340mx nx +-=有共同的根2，试求n 的值． 【难度】★★【答案】2132n =．【解析】把2x =代入得： 202104640m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，②×5－①得：32210n -=解得：2132n =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系． 【难度】★★ 【答案】1a b +=-．【解析】设这个公共根是m ，则2200m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，解得：1m =，将1m =代入原方程得：1a b +=-．【总结】本题考查了方程的解的概念．【例12】 若a 是方程220x x --=的一个根，则代数式2a a -的值是_______． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】由已知，得：220a a --=，移项，得：22a a -=．【总结】本题考查了方程的解得概念以及整体代入思想的运用．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +-+-=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】由已知得：2322a b a b +=⎧⎨-=⎩；2321a b a b +=⎧⎨-=⎩；2320a b a b +=⎧⎨-=⎩；1322a b a b +=⎧⎨-=⎩；0322a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【例14】 已知a 是方程220000x x --=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示． 【难度】★★★ 【答案】2a +．【解析】由已知，得：220000a a --=，两边同时除以a ，得：200010a a--=，20001a a ∴=+．2000320001a∴=++原式20003a =+200021a =++2a =+． 【总结】本题考查了方程的根的概念．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x -=的根是____________； （2） 方程280x x -=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k -=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________． 【难度】★【答案】（1）1231x x ==-，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x a x a =，． 【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x -=± (8)0x x -= ① 12x -= ②12x -=- ①0x = ②80x -=∴1231x x ==-，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥．直接开平方：x a -=①x a -②x a -=∴12x a x a =，．【总结】本题考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【难度】★ 【答案】D【解析】将x n =代入方程得：20n mn n ++=，即：(1)0n m n ++= ∵0n ≠， ∴10m n ++=， ∴1m n +=-， 故选择D ．【总结】本题考查了方程的解的概念．【例17】 方程：2331()()()0442x x x -+--=的较小的根是（） A ．34B ．34-C ．12D ．58【难度】★ 【答案】A【解析】提公因式，得：331()()0442x x x --+-=，整理得：35()(2)044x x --=，∴123548x x ==，，∵3548> ，故选择D ． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x -=；（2）(3)(3)9x x +-=． 【难度】★【答案】（1）12x x =2）12x x ==-． 【解析】（1）2325x = （2）299x -=2310x =218x =x = x =±∴12x x == ∴12x x ==-．【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x -=-． 【难度】★【答案】（1）120x x =，； （2）12337x x ==，．【解析】（1）(30x x =（2）7(3)3(3)x x x -=-① 0x = ②30x7(3)3(3)0x x x ---=∴120x x =，(3)(73)0x x --=① 30x -= ②730x -=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x -+=；（2）22((1x =． 【难度】★★【答案】（1）1218x x ==；（2）1211x x ==--， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法21()08x -= (1x =±108x -= ①1x ②(1x -∴1218x x ==； ∴1211x x ==--， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=；（2）2(41)10(14)240x x -+--=． 【难度】★★ 【答案】（1）1235136x x ==-，； （2）1213144x x ==-，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x -看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x -+= 2(41)10(14)240x x ----= ①36350x -= ②10x += (4112)(412)0x x ---+= ∴1235136x x ==-，； (413)(41)0x x -+= ① 4130x -= ②410x +=∴1213144x x ==-，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．【例22】 解关于x 的方程：2249x =．【难度】★★【答案】1x =，2x =【解析】直接开平方：3x =±① 3x = ②3x =-解得：1x =，2x = ． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b -+-=； （2）22222()4()0a b x abx a b ----= （3）222210m x mx x mx -+-+=． 【难度】★★★【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =-； （2）当a b ≠时，1a b x a b +=-，2a b x a b-=-+； 当0a b =±≠时， 0x =；当0a b ==，原方程有无数解；（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，211x m =-；当0m =时，1x =-； 当1m =时，1x =．【解析】（1）22220x ax a b -+-=， [()][()]0x a b x a b -+--=，∴1x a b =+，2x a b =-；（2）①当220a b -≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b ----= [()()][()()]0a b x a b a b x a b --+++-=∴1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； ②当220a b -=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =； ③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解；（3）整理得：22()(12)10m m x m x -+-+=① 当20m m -≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程 [1][(1)1]0mx m x ---=∴11x m=，211x m =-；②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =-； ③当1m =时，原方程为：10x -+=，解得：1x =； 综上：当01m m ≠≠且时，11x m=，211x m =-；当0m =时，1x =-； 当1m =时，1x =；【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．【例24】 已知关于x 的一元二次方程22(320m x x m ++-=的一个根为0，求m 的值． 【难度】★★【答案】m =【解析】由已知得：0m ≠，即m ≠ 将0x =代入，得：220m -=解得：m =．又m ≠∴m =【总结】本题考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，对于二次项系数是参数的一元二次方程首要考虑的是二次项系数不为0，再根据题意进行计算．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a -=≠；（2）25||60x x --=．【难度】★★★【答案】（1）当a c 、同号时，12x x ==； 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==-，．【解析】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2560x x --= ∴2cx a=(6)(1)0x x -+=当a c 、同号时，12x x = ∵10x +> ∴60x -= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==-，． 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠． 【难度】★★★【答案】121x x a b a b==+-，．【解析】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠ [()1][()]0a b x x a b ---+=∴121x x a b a b==+-，． 【总结】本题考查了含参的一元二次方程的解法，多利用因式分解法，个别不能用因式分解法进行求解的题目可以尝试我们下节课学习的求根公式法．【例27】 方程2(2016)2015201710x x -⋅-=的较大的根是a ，方程2201620170x x --=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】2(2016)2015201710x x -⋅-= 2201620170x x --= 222016(20161)(20161)10x x --+-= 20171x x-2222016(20161)10x x ---= (2017)(1)0x x -+= 2(20161)(1)0x x +-=∴1220171x x b ==-=，；∴122112016x x a =-==，； ∴2017()0a b +=．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，要从系数中找寻规律进行求解．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x -= B ．210x x ++= C1=D ．221x x x +=-【难度】★ 【答案】B【解析】A 选项是分式方程；C 选项等号左边不是整式，不是一元二次方程，是下学期将会 学到的无理方程；D 选项化简后为10x +=是一元一次方程；故选择B 选项． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题2】 关于x 的方程2(3)10m x mx +-+=是不是一元二次方程？ 【难度】★ 【答案】不一定．【解析】当30m +≠即3m ≠-时，原方程是一元二次方程； 当30m +=即3m =-时，原方程是一元一次方程． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +-+-=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________． 【难度】★【答案】121412k kx k ≠-+--；；；．【解析】略．【总结】本题考查了一元二次方程的概念，注意写项和系数时要带着前面的符号．随堂检测【习题4】若方程2()0x a b-+=有解，则b的范围是_______．【难度】★【答案】0b≤．【解析】移项，得：2()x a b-=-，由方程有解，得：0b-≥，∴0b≤．【总结】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程有实数解的条件．【习题5】关于x的方程20x nx m++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A．00m n==，B．00m n=≠，C．00m n≠≠，D．00m n≠=，【难度】★★【答案】B【解析】将0x=代入，得：0m=当00m n==，时，120x x==，与题意矛盾，故00m n=≠，，选择B．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题6】方程2243x x a==与的解相同，求a的值．【难度】★★【答案】12．【解析】由已知得两个方程是同一个方程，将24x=左右两边同时乘以3，得：2312x=，∴12a=．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x -+=+（直接开平方）； （2）20ax abx bc cx --+=（0a ≠）（因式分解）． 【难度】★★【答案】（1）12485x x ==， ；（2）12cx x b a=-=， ． 【解析】（1）29(44)4(1)x x x -+=+ （2）∵0a ≠,原方程为一元二次方程 229(2)4(1)x x -=+ 整理得：2()0ax ab c x bc ---= 3(2)2(1x x -=±+axc xb-① 3(2)2(1)x x -=+ ②3(2)2(1)x x -=-+ ()()0ax c x b +-= 解得：12485x x ==，； 解得：12cx x b a=-=，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =； （2）2x x =； （3）(3)(1)5x x +-=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠． 【难度】★★【答案】（1）1211x x =-=-； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =-=，； （4）121c bx x b a-==-，．【解析】（1）(1x ± （2）20x x -=① 1x ②(1x - ， (1)0x x -=，解得：1211x x =-=-； 解得：1201x x ==，；（3）整理得：2235x x +-= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程， 2280x x +-=， 2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠， (4)(2)0x x +-=，()()1b a xc b x---- 解得：1242x x =-=，； [()()](1)0b a x c b x ----=， 解得：121c bx x b a-==-，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx --=+-=和有共同的根是1-，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】将1x =-代入，得：310250a b a b +-=⎧⎨--=⎩，① ×2+②，得：770a -=， 解得：1a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x -+-=． 【难度】★★★【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x -=--，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x -=+---， 2(2016)(2014)(2016)x x x -=--， 2(2016)(2014)(2016)0x x x ----=， (2016)(40302)0x x --=， 解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．【习题11】已知：若224250a a b b -+-=成立，求方程20ax bx c +=的解． 【难度】★★★【答案】12312x x =-=，．【解析】由已知，得：22(2)(1)0a b -+-+=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +-=，分解因式，得： (23)(1)0x x +-=． 解得原方程的解为：12312x x =-=，．【总结】本题考查了几个非负数的和为零的应用和一元二次方程的解法．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】设这个公共根是m ，则222000am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=． ∵22131()024m m m ++=++>，∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．【总结】本题综合性较强，主要考查了几个方程的公共根的概念及应用．【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a -=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +-=+D232057x +-= 【难度】★ 【答案】B【解析】A 、C 、D 选项均符合定义，B 选项中未强调二次项系数不等于0，故选择B ． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=-+是恒等式，则a b c ++=____________． 【难度】★【答案】（1）222(1)(1)x x x -+=+； 240x x -=； （2）－10．【解析】（1）根据题意得：222(1)(1)x x x -+=+ 化简，得：240x x -=；（2）化简得：2(1)(1)(12)0a x b x c -+-++= 由题意，得：1112a b c ===-，，， ∴10a b c ++=-．【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式及应用．课后作业【作业3】 方程22(2)0p x px q -++=是一元二次方程成立的条件是（）．A ．p ≠B ．p ≠C ．p ≠D ．0p =【难度】★ 【答案】C【解析】令220p -≠，解得：p ≠ 【总结】本题考查了一元二次方程成立的条件．【作业4】 如果方程2(1)0x m x m -++=的两个根互为相反数，那么有（）．A ．0m =B ．1m =-C ．1m =D ．以上结论都不对【难度】★★ 【答案】B【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x -=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；② 设方程的根为12x a x a ==-，，（0a ≠）代入得：22(1)0(1)0a a m m a a m m ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =-．【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=-+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0 B ．-1，0 C ．1，-1 D ．无法确定【难度】★★ 【答案】C【解析】由已知得：22110(1)(1)0a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+-+=⎪⎩，1211x x ∴==-，，故选择C ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x -+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x -++-+=； （3）2(35)5(35)40x x +-++=； （4）2220()x ax a a +-=为已知常数． 【难度】★★【答案】（1）121x x ， （2）12x x ==-； （3）124133x x =-=-，； （4）122x a x a =-=，．【解析】（1）2(1(30x x -， （2）整理得：22640x -=，[(11](0x x +-=， 232x =，解得：121x x =， 解得：12x x ==-（3）2(35)5(35)40x x +-++= （4） 2220()x ax a a +-=为已知常数351354x x +-+-2x a x a-(351)(354)0x x +-+-=， (2)()0x a x a +-=解得：124133x x =-=-，； 解得：122x a x a =-=，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++-=的一个根，求n 的值． 【难度】★★【答案】n =【解析】将1x =代入得：21250n ++-=， 解得：n = 【总结】本题考查了方程的根的概念．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x --+-=+． 【难度】★★★【答案】 ①当2b a b a ≠-≠且时，122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ②当20b a =-≠时，43x =； ③ 当0b a =≠时，23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解．【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b ----+-=2a b ab-2a b a b-22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +----+=；①当(2)()0a b a b +-≠时，即2b a b a ≠-≠且时，原方程为一二次方程，(2)()()(2)a b x a b a b x a b ++---[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++---= 解得：122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ②当20b a =-≠时，原方程为22340a x a -+=，解得：43x =； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a --=，解得：23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解；综上：①当2b a b a ≠-≠且时，122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ② 20b a =-≠时，43x =； ③当0b a =≠时，23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解． 【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值．【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知得：2112220ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．【总结】本题考查了方程的解得概念．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【难度】★★★【答案】67x y +=-或．【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++-=67x y x y+-+(6)(7)0x y x y +-++= 解得：67x y +=-或． 【总结】本题考查了特殊方程的解法．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +--++=是一元二次方程．【难度】★★★【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =-⎧⎨=⎩；12m n =-⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩．【解析】由已知得：2122210m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪-≠⎩；2122010m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪-≠⎩；21122m n ⎧+=⎨-=⎩；21022m n ⎧+=⎨-=⎩；解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =-⎧⎨=⎩；12m n =-⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．。

课题：一元二次方程 第一课时教学目标：1、理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。

2正确认识二次项系数、一次项系数及常数项．3会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。

教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。

教学难点：1由实际问题向数学问题的转化过程。

2正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教法:1创设以学生为中心，采用小组讨论，大组竞赛等多种形式，合作探究。

利用投影仪辅助教学，突破教学难点2、让学生自己去尝试发现问题，总结方法，而不是被动的回答老师的问题、接受老师的答案。

3、授课中通过一系列问题，给学生充分的时间尝试和思考，充分表达自己的想法，使学生自主学习真正成为可能,在此基础上解决问题并得出结论。

学法：本节课充分发挥学生的主观能动性。

学生通过解决实际问题的解决中发现新问题，引发认知冲突，进而通过独立思考、合作交流等方式，充分经历“观察——尝试——解决——归纳”的全过程，学生充分体验到研究问题，解决问题，最后得出一般结论的过程，加深学生对一元二次方程的认识及能力。

同时也促进了学生的思维能力的提高。

一、导入新课：数学之所以其乐无穷，是因为它能解决许多实际问题，数学家迪卡尔就曾经提出过一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为方程问题。

只要解决了方程，一切问题都将迎刃而解，现在就让我们一起走入方程大家庭，重温我们那些熟悉的小伙伴。

【设计意图】以一个伟大的设想，引起学生的学习兴趣二、方程大家庭：①23=0,② 23y=0,③53x2=+ 这是我们学过的哪些方程能够用元和次来描述的都是整式方程。

其中一元一次方程：只含有 个未知数，未知数的次数是 次的方程【设计意图】引导学生复习一元一次方程的概念,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺。

过渡语：下面让我们继续畅游在方程的大家庭中，不忘老朋友，结识新朋友。

一起走近生活、 探究新知、分享快乐。