2019-2020学年高二数学双测(必修2)第二章 点、直线、平面之间的位置关系单元测试(B卷提升篇解析版)

2019-2020学年高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是()A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论一定不成立的是()A.l与AD平行B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30°BD垂直a与b,必存在平面α,使得() A.a⊂α,b⊂α B.a⊂α,b∥α,b⊥α D.a⊂α,b⊥αA,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但当a与b异面时,不存在平面α,使结论成立,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,但当a与b平行时,不存在平面α,使结论成立,D:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.其中不正确的个数是()B.2C.3D.0,我们不难发现①②③均不正确.故选C.,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥βA,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A错误;对于B,由线面垂直的性质可得,BC,若l⊥α,l∥β,应推出α⊥β,故C错误;对于D,l与β的位置关系不确定,l∥β,l⊂β,l与β相交, ,故D错误.,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BDB.ACC.AD1BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,则BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是()A.1 BC,取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF中,ED所以EF1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为()B.60°C.45°D.30°解析:如图,O为底面ABCD的中心,连接AC,BD,SO,易得SO⊥平面ABCD.所以∠OCS为侧棱SC与底面ABCD所成的角.又由已知可求得OC1,所以∠OCS=45°.ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论:。

必修二第二章点直线平面之间的位置关系知识点与常考题(附解析)知识点：1、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。

符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质 点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面 、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面 、平面 或者平面 ．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ；直线 与 相交于点 ，记作 ；平面 与平面 相交于直线 ，记作 ．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且 ，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且 ，且 ．空间位置关系与几何量的基础平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点 在平面 外，点 在平面 内，直线 经过点 ，；（2） 与 交于 ， 与 交于 ．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体 中，、、、 分别是 、、、 上的点，且 ，求证 ，， 三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为 ，，所以 ，同理，，又，所以 ，，而 ，所以 ，即 ，， 三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线 ，， 在同一平面内．证法一：（同一法）因为 ，所以 和 确定一个平面 ．　因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．同理可证 ．又 ，，所以 ．因此，直线 ，， 在同一个平面内．证法二：（重合法）因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．又因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．同理可证得 ，，，．所以不共线的三个点 ，， 在平面 内，又在平面 内．所以平面 和平面 重合，即直线 ，， 在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1） 个平面可以分空间为______部分；（2） 个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当 个平面平行时，分成 部分；当两个面相交时，分成 部分；对于（2）：当 个平面两两平行时，分成 部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线两两平行时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线相交于一点时，分成 部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成 部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了 层，每层 部分，共 部分 ．233446782723434637389393×9=27若直线 、、 相交于一点，则这 条直线可能确定的平面有（ ）A． 个 B． 个 C．无数个 D． 个或 个解：D当 、、 三线共面时，平面只有 个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共 个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线 在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线 ，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 ．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内 直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行 直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行 两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交 两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况 ．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾 ．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ）A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线 C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交解：B依题意，设直线 ，如图． 内的直线若经过点 ，则与直线 相交；若不经过点 ，则与直线 是异面直线，但不可能与 平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 上的动点，则直线 、 的位置关系是 ．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点 确定平面 ，且 平面 ， 判定 与平面 的位置关系，只需判定直线 的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体 中，既与 共面也与 共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点．那么，正方体的过 、 、 的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，， 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面基础巩固1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的表示是( B )(A)A∈l,l?α(B)A∈l,l?α(C)A?l,l?α(D)A?l,l?α解析:点A在直线l上,应表示为A∈l,而直线l与平面α的关系应用l?α.故选B.2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B )(A)A∈b,b∈β(B)A∈b,b?β(C)A?b,b?β(D)A?b,b∈β解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.3.(2015唐山市高二(上)期中)下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.(2015蚌埠高二(上)期中)经过空间任意三点作平面( D )(A)只有一个 (B)可作二个(C)可作无数多个(D)只有一个或有无数多个解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个,故选D.5.在三棱锥A BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( B )(A)一定在直线BD上(B)一定在直线AC上(C)在直线AC或BD上(D)不在直线AC上,也不在直线BD上解析:如图所示,因为EF?平面ABC,HG?平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC,故选B.6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A?α,a?α.(2)α∩β=a,P?α且P?β.(3)a?α,a∩α=A .(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是.解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.答案:08.求证:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直线l1、l2、l3在同一平面内.法二因为l1∩l2=A,所以l1、l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2、l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.能力提升9.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)1或4 (D)无法确定解析:当四点在同一平面内时可确定一个,四点不共面时可确定4个,故选C.10.(2015蚌埠一中高二(上)期中)下列叙述中错误的是( B )(A)若P∈(α∩β)且α∩β=l,则P∈l(B)三点A,B,C确定一个平面(C)若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面(D)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l?α解析:选项A,点P是两平面的公共点,当然在交线上,故正确;选项B,只有不共线的三点才能确定一个平面,故错误;选项C,由公理的推论可知,两相交直线确定一个平面,故正确;选项D,由公理1,直线上有两点在一个平面内,则整条直线都在平面内.故选B.11.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A、C、O1、D1;②D、E、G、F;③A、E、F、D1;④G、E、O1、O2.解析:正方体ABCD A1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,①所以O1是AD1的中点,所以O1是在平面ACD1;②因为E、G、F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D、E、G、F 不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A、E、F、D1共面;④连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G、E、O1、O2四点共面.答案:①③④12.如图所示,平面ABD∩平面CBD=BD,E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,求证:EH与FG的交点P与B,D三点共线.证明:因为直线EH∩直线FG=P,所以P∈直线EH,而EH?平面ABD,所以P∈平面ABD.同理P∈平面CBD,即点P是平面ABD与平面CBD的公共点.显然,点B,D是平面ABD和平面CBD的公共点.由公理3知,点B,D,P都在平面ABD和平面CBD的交线上,即点B,D,P共线.探究创新13.在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图(1)求证:D、B、E、F四点共面;(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.(1)证明:由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面(设为α).(2)解:由于AA1∥CC1,所以A1、A、C、C1四点共面(设为β).P∈BD,而BD?α,故P∈α.又P∈AC,而AC?β,所以P∈β,所以P∈(α∩β).同理可证得Q∈(α∩β),从而有α∩β=PQ.又因为A1C?β,所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。

第二章单元质量测评对应学生用书P53 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，图中点、线、面的位置关系用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n答案 A解析点、线、面的位置关系，点与线和面的关系用∈，∉，线与平面的关系用⊂，⊄，所以题图中点、线、面的位置关系表示为“α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A”，故选A．2．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．重合答案 C解析 如图所示，连接BD ，EF ，FG ，GH ，HE ，EG ，HF ，由E ，F ，G ，H 是空间四边形ABCD 四边的中点，有EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，EG 与FH 是对角线，故选C ．3．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有且只有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 如图，和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在的直线，当BC 与l 平行时，直线AC ，AB 都满足条件．故选B ．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 D解析 如图，过点M 作ME∥DN 交CC 1于点E ，连接A 1E ，则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ，则A 1M ＝32a ，ME ＝54a ，A 1E ＝414a ，所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2，所以∠A 1ME ＝90°，即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°． 5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线答案 C解析垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确．6．从平面α外一点P引平面α的垂线PO和斜线PA，PB，已知PA＝8，PB＝5，且OA∶OB ＝4∶3，则点P到平面α的距离是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析设OA＝4k，则OB＝3k．在Rt△POA中，PO2＝PA2－OA2＝64－16k2．在Rt△POB 中，PO2＝PB2－OB2＝25－3k2．所以64－16k2＝25－3k2，所以k2＝3，所以PO2＝16，PO＝4．7．在直三棱柱(侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( )A．30° B．45° C．60° D．90°答案 C解析本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1与BD1所成的角为60°．8．设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A．4π B．8π C．16π D．12π答案 D解析 由题意知，三棱柱的底面所在的截面圆的直径2r ＝22，则球的半径R ＝22＋12＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选D ．9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为( )A ．12B ．13C ．33D ．23 答案 C解析 如图，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ． ∵AC＝2，其余各棱长都为1， ∴BF⊥CD，AD⊥CD，∴EF⊥CD． ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2．∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝EF BF ＝33．10．已知正四棱柱(底面为正方形侧棱垂直底面)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A ．1010 B ．15 C ．31010 D ．35答案 C解析 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 连接A 1B ，过E 作EF⊥A 1B ，交A 1B 于F ． ∵A 1D 1綊AD 綊BC ，∴A 1D 1綊BC ， ∴四边形A 1BCD 1为平行四边形， ∴A 1B∥CD 1，∴∠A 1BE 是异面直线BE 与CD 1所成的角或其补角． 设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，则AE ＝A 1E ＝a ，∴BE＝2a ，A 1B ＝5a ， 在Rt△A 1AB 中，sin∠AA 1B ＝AB A 1B ＝a 5a ＝55， 在Rt △A 1EF 中，sin∠AA 1B ＝EF A 1E， ∴EF＝a·55＝55a ． ∴在Rt△BFE 中，cos∠A 1BE ＝BFBE＝2a2－⎝⎛⎭⎪⎫55a 22a＝31010．11．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )答案 A解析解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ．故选A．解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A．12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA ＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是( )A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N－ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF D．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF答案 C解析连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF．由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错误；若在A1C1上存在点N，则V N－ADF＝V D－AFN，当N与C1重合时，V D－AFN取最小值为36，故B错误；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF．又∵AD⊥平面CB1，CM⊂平面CB1，∴AD⊥CM．∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF．∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确．过C1作C1G∥FA交AA1于点G．若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G．又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G．∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错误．综合选C．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．答案CD∥EF解析因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD．同理可证AB∥EF，所以CD∥EF．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________．(填“平行”“相交”或“异面”)答案相交解析连接A1D，PQ，B1C，∵点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，∴PQ∥B1C．在正方体中，易知B1C∥A1D，∴PQ∥A1D，∴A1，D，Q，P共面．又∵PQ≠A1D，∴四边形A1DQP是梯形，A1P 与DQ相交．15．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β．又∵④m⊥α，∴②α⊥β．即①③④⇒②．若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α，又∵④m⊥α，∴①m⊥n．即②③④⇒①．16．在如图所示的棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是________；截得的平面图形中，面积最大的值是________．答案2 3 3 3解析截得的三角形中，面积最大的是三角形A1C1B，面积为34×(22)2＝23．截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6×34×(2)2＝33．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M＝DN＝a(0<a<2)，连接MN．(1)证明：对任意a∈(0，2)，总有MN∥平面DCC1D1；(2)当a为何值时，MN的长度最小？解(1)证明：如图，作MP∥AD，交DD1于点P，作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ．由题意得MP∥NQ，且MP＝NQ，则四边形MNQP为平行四边形．∴MN∥PQ．又∵PQ⊂平面DCC1D1，MN⊄平面DCC1D1，∴MN∥平面DCC1D1．(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，∴MN＝PQ．∵DD1＝AD＝DC＝BC＝1，∴AD1＝BD＝2．∵D 1M ＝DN ＝a ，∴D 1P 1＝a 2，DQ 1＝a2．即D 1P ＝DQ ＝a 2， ∴MN＝PQ ＝1－D 1P2＋DQ 2＝1－a 22＋a 22＝a －222＋12(0<a<2)． 故当a ＝22时，MN 的长度有最小值，为22． 即当M ，N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长度最小，此时MN 的长度为22． 18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°．(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC⊥BM，并求PMMC 的值．解 (1)在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°， 过点B 作BN 垂直AC 于点N ，则 BN ＝AB·sin∠BAC＝1×sin60°＝32， ∴S △ABC ＝12AC·BN＝12×2×32＝32．又∵PA⊥平面ABC ，∴PA 是三棱锥P －ABC 的高．∴V P －ABC ＝13×1×32＝36．(2)证明：过N 作NM∥PA 交PC 于点M ，连接BM ． ∵PA⊥平面ABC ，∴MN⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴MN⊥AC． 又MN∩BN＝N ，∴AC⊥平面BMN ． ∵BM ⊂平面BMN ，∴AC⊥BM． 此时M 即为所找的点． 在△ABN 中，易知AN ＝12AB ＝12，∴PM MC ＝AN CN ＝13．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为22的正方形，其他四个侧面都是腰长为5的等腰三角形，过棱PD 的中点E 作截面EFGH ，使截面E FGH∥平面PBC ，且截面EFGH 分别交棱PA ，AB ，CD 于点F ，G ，H ．(1)证明：EF∥GH；(2)求三棱锥F －ABD 的体积．解 (1)证明：∵平面EFGH∥平面PBC ，平面EFGH∩平面PCD ＝EH ，平面PBC∩平面PCD ＝PC ，∴EH∥PC．又E 是PD 的中点，∴H 是CD 的中点． 同理可证F ，G 分别是PA ，AB 的中点， ∴EF∥AD，GH∥AD，∴EF∥GH．(2)如图，连接AC ，设AC∩BD＝O ，连接PO ．∵底面ABCD 是边长为22的正方形，∴AC⊥BD，且AC ＝BD ＝4． ∵侧面为全等的等腰三角形，∴PO⊥AC，PO⊥BD． 又AC∩BD＝O ，∴PO⊥平面ABCD ． 在Rt△POA 中，PO ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1． 又F 为PA 的中点，∴V F －ABD ＝12V P －ABD ．又V P －ABD ＝13S △ABD ·PO＝13×12×(22)2×1＝43，∴V F －ABD ＝23．20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D⊥平面A 1BC ；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值．解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE．由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE．因为AB＝AC，所以AE⊥BC．所以AE⊥平面A1BC．连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE．因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．(2)如图，作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF．因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝2．又A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72．所以sin∠A1BF＝78．21．(本小题满分12分)△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三边分别将△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后记为A．(1)求证：AB⊥CD；(2)求平面BCD与平面ACD所成二面角的正切值．解在题图中，由A1，A2，A3三点可重合知A1B＝A2B＝2，A1D＝A3D＝5，A2C＝A3C．作DF⊥A2A3于点F，则FA3＝3⇒A3C＝A2C＝4．(1)证明：折叠后的图形如图所示，∵AB⊥AD，AB⊥AC，AD∩AC＝A，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．(2)作AE⊥CD于点E，连接BE．∵AB⊥CD ，AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥BE，则∠AEB 为平面BCD 与平面ACD 所成二面角的平面角． 在△ACD 中，AE ＝DF·AC CD ＝161717，∵AB⊥平面ACD ，∴AB⊥AE， ∴tan∠AEB＝AB AE ＝178．22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ，且BC 1⊥A 1C ． (1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)点D 在边A 1C 1上且C 1D ＝13C 1A 1，证明在线段BB 1上存在点E ，使DE∥平面ABC 1，并求此时BEBB 1的值． 解 (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴四边形ACC 1A 1是矩形． ∵AA 1＝AC ，∴AC 1⊥A 1C ． 又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1， ∴A 1C⊥平面ABC 1． ∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1． (2)当BE BB 1＝13时，DE∥平面ABC 1，在A 1A 上取点F ，使AF AA 1＝13， 连接EF ，FD ．∵C 1D C 1A 1＝AF AA 1＝BE BB 1＝13，∴EF∥AB，DF∥AC 1．∵AB∩AC1＝A，EF∩DF＝F，∴平面EFD∥平面ABC1，∵DE⊂平面DEF，∴ED∥平面ABC1．。

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系 点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为 上一点．求证： ．证明：因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．又 ，所以 ．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又 ，所以3P C⊥AC C，求点 到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。