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第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L αA ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
数学书必修二第二章知识点第二章：函数与方程1. 函数的定义及表示法- 函数是指一种具有特定性质的对应关系，将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。
- 函数通常用 f(x) 或 y 表示，其中 x 是自变量，f(x) 或 y 是因变量。
- 函数也可以用图像、表格或公式表示。
2. 基本初等函数- 常数函数：f(x) = a，其中 a 是常数。
- 一次函数：f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且 k ≠ 0。
- 幂函数：f(x) = x^n，其中 n 是常数，且 n ≠ 0。
- 指数函数：f(x) = a^x，其中 a 是常数且 a > 0，且 a ≠ 1。
- 对数函数：f(x) = log_a(x)，其中 a 是正常数且 a ≠ 1。
3. 函数的性质- 定义域：函数的自变量的取值范围。
- 值域：函数的因变量的取值范围。
- 奇偶性：f(x) = f(-x) 时，函数为偶函数；f(x) = -f(-x) 时，函数为奇函数。
- 单调性：函数在定义域上递增或递减。
- 有界性：函数在某个区间上有上界或下界。
4. 复合函数- 复合函数是由一个函数作为另一个函数的自变量而得到的函数。
- 复合函数的表示法为 (f ∘ g)(x) = f(g(x))。
5. 反函数- 若函数 f 和 g 是互逆的，则 f(g(x)) = x，g(f(x)) = x。
- 如果函数 f 的反函数存在，记为 f^(-1)(x)，则有 f(f^(-1)(x)) = x。
6. 方程的根与解集- 方程是含有未知数的等式。
- 方程的根是使方程成立的值。
- 解集是使方程成立的所有值的集合。
7. 一元一次方程- 一元一次方程是形如 ax + b = 0 的方程。
- 一元一次方程的解为 x = -b/a。
8. 一元二次方程- 一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a ≠ 0。
- 一元二次方程的解可以通过公式 x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a) 求得。
高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）chS =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表 rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表lR r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh =锥 ''1()3V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥 ''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
LA·α C ·B· A· α使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
数学必修二第二章知识点总结
数学必修二第二章主要包括以下几个知识点：
1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数以f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 函数的图像和性质：函数的图像是函数在坐标系中的表示，可以通过绘制函数的关系表达式得到。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
3. 基本初等函数：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等五类函数。
它们在不同区间内具有不同的性质和图像。
4. 复合函数：复合函数是由两个函数组成的，将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数可以通过将内层函数的输出代入外层函数得到。
5. 反函数：反函数是满足特定条件的函数，该函数的输入和输出互换。
反函数可以通过求解原函数的方程得到。
6. 函数的运算：函数的运算包括函数的加减乘除、函数的平移、函数的伸缩、函数的复合等。
通过这些运算，可以得到新的函数。
7. 一次函数和二次函数：一次函数是一次多项式函数，二次函数是二次多项式函数。
它们具有不同的图像和性质，可以通过化简的方式求解方程。
以上是数学必修二第二章的主要知识点总结。
掌握这些知识点可以帮助理解函数的基本概念和运算规律，为后续学习打下坚实的基础。
数学必修二第二章知识点总结一、函数的概念与表示方法1. 函数定义：一个从集合A到集合B的映射，记为$f: A\rightarrow B$。
2. 函数的表示方法：- 公式法：$y = f(x)$- 图像法：通过坐标平面上的点集表示函数- 表格法：列出一系列的$(x, f(x))$值对二、函数的性质1. 单调性：- 单调递增：对于任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) \leq f(x_2)$ - 单调递减：对于任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) \geq f(x_2)$ 2. 奇偶性：- 奇函数：满足$f(-x) = -f(x)$- 偶函数：满足$f(-x) = f(x)$3. 周期性：存在正数T，使得对于任意x，有$f(x + T) = f(x)$三、函数的基本类型1. 一次函数：$y = ax + b$，其中a和b为常数2. 二次函数：$y = ax^2 + bx + c$，其中a、b和c为常数3. 指数函数：$y = a^x$，其中a>0且a≠14. 对数函数：$y = \log_a(x)$，其中a>0且a≠15. 三角函数：- 正弦函数：$y = \sin(x)$- 余弦函数：$y = \cos(x)$- 正切函数：$y = \tan(x)$四、函数的运算1. 函数的加法、减法、乘法和除法：- $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$- $(f - g)(x) = f(x) - g(x)$- $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$- $(f / g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，要求$g(x) \neq 0$ 2. 复合函数：$(f \circ g)(x) = f(g(x))$五、函数的图像1. 一次函数图像：直线2. 二次函数图像：抛物线3. 指数函数图像：指数曲线4. 对数函数图像：对数曲线5. 三角函数图像：- 正弦函数：波形曲线- 余弦函数：波形曲线- 正切函数：周期性波动曲线六、函数的应用1. 实际问题的建模与解决2. 优化问题中的最值求解3. 物理和工程问题中的应用请将以上内容复制到Word文档中，并根据实际需要进行格式设置，如标题加粗、分点符号的使用、段落缩进等，以确保文档的专业性。
二点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1.平面——无限延展，无边界1.1三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明直线在平面内.图形语言：符号语言：公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：用途：用于确定平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言：符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：（二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表述： 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。
图形语言：符号语言：异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法. 如右图，在空间任取一点O ，过O 作，则所成的角为异面直线所成的角。
特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.2.直线与平面的位置关系：图形语言：3.平面与平面的位置关系：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.⎧⎨⎩ 共面:a b=A,a//b 异面:a与b异面//,////a b b c a c ⇒PA a P A a A a ααα∉⎫⎪∈⎪⇒⎬⊂⎪⎪∉⎭与异面(]0,90θ∈︒︒'//,'//a a b b ','a b θ,a b //l l A l l αααα⊂⎧⎪=⎧⎨⊄⎨⎪⎩⎩αβαβαβ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⊥⎩⎩平行：//斜交：=a 相交垂直：②判定定理：（线线平行线面平行）【如图】③性质定理：（线面平行线线平行）【如图】④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：（用于判断）；（ii ）判定定理：“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii ）“面面平行线面平行”（用于证明）；（4）（用于判断）；2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
必修2知识点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
若A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C 确定平面α推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面若A l ∉，则点A 和l 确定平面α推论2：过两条相交直线有且只有一个平面若mn A =，则,m n 确定平面α推论3：过两条平行直线有且只有一个平面若m n ，则,m n 确定平面α公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ⇒公理4作用：证明两直线平行。
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
,1212a a b b''∠∠⇒∠∠且与方向相同＝,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒且与方向相反＝ 作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
,,,a b a b A a b =异面（1）没有任何公共点的两条直线平行 （2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：（1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；a α⊂ （2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；aα（3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；a A α=8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
数学必修二第二章知识点1. 二次函数的基本函数：y=ax²+bx+c二次函数的图象为抛物线，其中a代表抛物线的开口方向和形状，b代表抛物线关于y轴的对称轴位置，c代表抛物线与y轴的交点。
当a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下。
2.二次函数的变形垂直方向的平移：f(x)=a(x-h)²+k，h为横轴上的平移量，k为纵轴上的平移量。
垂直方向的伸缩：f(x)=a(x-h)²+k，a的绝对值越大，抛物线越"瘦"，a的绝对值越小，抛物线越"胖"。
水平方向的平移：f(x)=a(x+h)²+k，h的值代表抛物线在x轴上的平移量。
3.二次函数的图象与方程根据二次函数的图象，我们可以找到函数的顶点，顶点坐标为(x,y)。
函数的对称轴方程为x=h，其中h为顶点的横坐标。
通过顶点坐标和对称轴方程可以求出函数的a、b、c的值。
另外，通过求解二次方程ax²+bx+c=0，可以找到函数的零点。
4.二次函数的最值问题最值问题是研究函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值问题可以通过求解抛物线的顶点来解决。
当a>0时，函数的最小值为y的最小值，当a<0时，函数的最大值为y的最大值。
5.二次函数的实际问题二次函数在实际问题中有广泛的应用，例如抛射问题、牛顿运动定律问题等。
通过将实际问题抽象成二次函数的形式，可以利用二次函数的性质解决问题。
总结起来，必修二第二章的知识点主要包括二次函数的基本函数、变形、图象与方程、最值问题和与二次函数相关的实际问题等内容。
掌握这些知识点可以帮助我们理解和解决各种与二次函数相关的数学问题。
数学必修二第二章知识点总结第二章一元二次函数1. 一元二次函数的概念一元二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c（其中a≠0），其中x为自变量，y为因变量，a、b、c为常数且a ≠ 0。
一元二次函数一般表示为y = f(x)，其中x ∈ R，f(x) = ax^2 + bx + c。
这个函数是二次函数，其中x的最高幂为2，也称为二次方程。
2. 一元二次函数的图像特征一元二次函数的图象是平面直角坐标系xy平面内的一个二次曲线。
若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下。
（1）当a > 0时，抛物线的最低点为最小值；（2）当a < 0时，抛物线的最高点为最大值；（3）当a = 0时，函数为一次函数。
3. 一元二次函数的性质（1）顶点坐标：对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c，其中，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-b/2a)；（2）对称轴：一元二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称；（3）奇偶性：当a为偶数时，函数为偶函数，对称于y轴；当a为奇数时，函数为奇函数，对称于原点；（4）增减性：a > 0时，函数y = ax^2 + bx + c在(-∞，-b/2a)上是递减的，在(-b/2a，+∞)上是递增的；a < 0时，函数在(-∞，-b/2a)上是递增的，在(-b/2a，+∞)上是递减的。
4. 一元二次函数的应用一元二次函数在现实生活中有着广泛的应用，比如抛物线的运动、建筑工程、生产成本等，都可以用一元二次函数进行建模和分析。
5. 一元二次函数的解析式与图像之间的关系通过一元二次函数的解析式，我们可以推断出函数的开口方向、最值、零点、对称轴等图像特征，并通过这些特征来对一元二次函数进行分析和应用。
6. 一元二次函数的图像绘制方法（1）结合曲线的开口方向、顶点坐标、对称轴等特征来绘制；（2）通过利用多个点来构造函数的图象（如顶点、零点、对称轴等）。
高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体外表积公式〔c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线〕chS =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表 rlSπ=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表l R r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh =锥 ''1()3V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥 ''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台〔4〕球体的外表积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：〔1〕公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.〔2〕公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的根据。
〔3〕公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：断定两个平面是否相交的根据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）chS =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rlS π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表lR r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh =锥 ''1()3V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥 ''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）chS =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rlS π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表lR r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh =锥 ''1()3V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥 ''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
数学必修二第二章知识点数学必修二第二章知识点1、平面(1)平面概念的理解直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分.抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄.(2)平面的表示法①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面.②字母表示：常用等希腊字母表示平面.(3)涉及本部分内容的符号表示有：①点A在直线l内，记作;②点A不在直线l内，记作;③点A在平面内，记作;④点A不在平面内，记作;⑤直线l在平面内，记作;⑥直线l不在平面内，记作;注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系.(4)平面的基本性质公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.符号表示为：.注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得.注意：有且只有的含义是：有表示存在，只有表示唯一，不能用只有来代替.此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：.注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线.若平面、平面相交于直线l，记作.公理的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2.空间直线(1)空间两条直线的位置关系①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：设a、b、c是三条直线，.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.(3)两条异面直线所成的角注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是(0，90].②两条异面直线所成的角与点O的`选择位置无关，这可由前面所讲过的等角定理直接得出.③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点.(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现.(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围.3.空间直线与平面直线与平面位置关系有且只有三种：(1)直线在平面内：有无数个公共点;(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行：没有公共点.4.平面与平面两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行：没有公共点;(2)两个平面相交：有一条公共直线.中位数的特点1.中位数是以它在所有标版志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了权中位数对分布数列的代表性。
高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）chS =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积rhS π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rlS π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表lR r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh=柱 13V Sh =锥 ''1()3V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥 ''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积rh S π2=圆柱侧()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积()l r r S +=π圆锥表l R r S π)(+=圆台侧面积()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱13V Sh =锥''1()3V S S S S h =++台2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥''2211()()33V S S S S h r rR R hπ=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥bLA ·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
2符号表示：a ∥αa β a ∥b α∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：α∥βα∩γ= a a ∥b β∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
P a L2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所注意：1各式的适用范围 2特殊的方程如：（7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A Cy B x A 的一组解。
方程组无解//l l ⇔ ；方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （82,y ）是平面直角坐标系中的两个点，（9一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l（10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内（2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为FE D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 则有相离与C l r d⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k k ，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当r R d+>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点第一章 空间几何体题一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()．主视图左视图俯视图 (第1题)A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．A ．2＋2B ．221＋C．22＋2D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为()． A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()． A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为()． A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是()． A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()． A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为()．A ．29B ．5 C ．6D ．215 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是()． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第二章点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则 α⊥β．那么()．A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是()．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°3．关于直线m，n与平面 α，β，有下列四个命题：①m∥α，n∥β 且 α∥β，则m∥n；②m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，则m⊥n；③m⊥α，n∥β 且 α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是()．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是()．A．1B．2C．3D．45．下列命题中正确的个数是()．①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是()．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是()．A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 10．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为()． A ．[30°，90°] B ．[60°，90°]C ．[30°，60°]D ．[30°，120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为．12．P 是△ABC 所在平面 α 外一点，过P 作PO ⊥平面 α，垂足是O ，连P A ，PB ，PC ． (1)若P A ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的心；(2)P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的心； (4)若P A ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的点； (5)若P A ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为．则m 与l 所成角14．直线l 与平面所成角为30°，l ∩＝A ，直线m ∈，的取值范围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为．16．直二面角－l －β 的棱上有一点A ，在平面，内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂，AC ⊂，则∠BAC ＝．三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值； (3)设二面角A －BC －D 的大小为，猜想为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)J(第13题)18． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ． (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21． (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1上取一点P ，过P 作棱柱的截面，使AA 1垂直于这个截面.)(第18题)(第20题)第三章 直线与方程A 组一、选择题1．若直线x ＝1的倾斜角为α，则 α()． A ．等于0B ．等于πC ．等于2πD ．不存在 2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()． A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 23．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝()． A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是()． A ．3πB ．32πC ．4πD ．43π5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过()． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是()．A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝07．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为()． A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝08．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是()． A ．3B ．－3C ．1D ．－19．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a ＞0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l 重合，则直线l'的斜率为()．A ．1＋a a B ．1＋－a a C ．a a 1＋D ．aa 1＋－ 10．点(4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是()． A ．(－6，8)B ．(－8，－6)C ．(6，8)D ．(－6，－8) 二、填空题(第2题)11．已知直线l 1的倾斜角 1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率k 2的值为．12．若三点A (－2，3)，B (3，－2)，C (21，m )共线，则m 的值为． 13．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标为． 14．求直线3x ＋ay ＝1的斜率．15．已知点A (－2，1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为． 16．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是．17．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是． 三、解答题18．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6(m ∈R ，m ≠－1)，根据下列条件分别求m 的值： ①l 在x 轴上的截距是－3；②斜率为1．19．已知△ABC 的三顶点是A (－1，－1)，B (3，1)，C (1，6)．直线l 平行于AB ，交AC ，BC 分别于E ，F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的41．求直线l 的方程．20．一直线被两直线l 1：4x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．.21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．第四章圆与方程一、选择题1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为()．A．5B．5C．25D．102．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19 4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()．A．0或2B．2C．2D．无解5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()．A．8B．6C．62D．436．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()．A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝08．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．A．4条B．3条C．2条D．1条9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是()．A．3B．2C．1D．010．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()．A．243B．221C．9D．86二、填空题11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．三、解答题17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．期末测试题考试时间：90分钟 试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为()． A ．(2，2)B ．(1，1)C ．(－2，－2)D ．(－1，－1) 2．右面三视图所表示的几何体是()．A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为()． A ．2B ．21C ．－2D ．－21 4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为()． A ．1B ．2C ．3D ．45．下面图形中是正方体展开图的是()．ABCD(第5题) 6．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是()．A ．(－2，4)B ．(2，－4)C ．(－1，2)D ．(1，2) 7．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为()． A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －1D ．y ＝－x －1正视图 侧视图俯视图(第2题)8．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与α 的位置关系是()． A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．b ∥平面αD ．b 与平面α相交，或b ∥平面α9．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a ∥b 的是()． A ．a ⊂α，b ⊂β，α∥βB ．a ∥α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊥α，b ⊂α 10． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是()． A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为()．A ．∠D'DB B ．∠AD' C'C ．∠ADBD ．∠DBC'12．圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于()． A ．1B ．23C ．2D ．3 13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是()．A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BAC ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kgB ．1.76 kgC ．2.46 kgD ．3.52 kg二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为．16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是． 17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．CBADA 'B 'C 'D '(第11题)A 1B 1C 1ABEC(第13题)ABC DD 1C 1B 1A 1(第17题)三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．期末测试题 参考答案一、选择题ACPBDE(第20题)1．B2．D3．D4．C5．A6．D7．A8．D9．C 10．A11．D12．C13．C14．D 二、填空题 15．512． 16．(x －2)2＋y 2＝10． 17．1:3．18．到四个面的距离之和为定值． 三、解答题19．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是32，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝21·32·2＝332． 20．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以DE ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，且DE ⊄平面P AC ， 所以DE ∥平面P AC ．(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ⊂平面PBC ，所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°， 所以∠PBC ＝45°，所以二面角P —AB —C 的大小为45°． 21．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5294-m ＝5，ACPBDE(第20题)即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞125． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(125，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－a 1，l 的方程为y ＝－a1(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝43．由于43∈(125，＋∞)，故存在实数a ＝43，使得过点 P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A 解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A 解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B 解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C 解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D 解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D 解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．8．D 解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱， V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D 解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33． 13．参考答案：361a ． 解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面． 14．参考答案：平行四边形或线段． 15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6．16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75． 18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC'2＋OC 2＝OC'2，COA即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2．19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π． 20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积 V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积 V 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)． (2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ． 棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10， 仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案A 组一、选择题 1．D解析：命题②有反例，如图中平面 α∩平面 β＝直线n ， l ⊂α，m ⊂β，且l ∥n ，m ⊥n ，则m ⊥l ，显然平面 α 不垂直平面β， (第1题) 故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D 解析：异面直线AD 与CB 1角为45°．3．D 解析：在①、④的条件下，m ，n 的位置关系不确定．4．D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D ． 5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A 1A 有无数点在平面ABCD 外，但AA 1与平面ABCD 相交，①不正确；A 1B 1∥平面ABCD ，显然A 1B 1不平行于BD ，②不正确；A 1B 1∥AB ，A 1B 1∥平面ABCD ，但AB ⊂平面ABCD 内，③不正确；l 与平面α平行，则l 与无公共点，l 与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B ． (第5题)6．B 解析：设平面过l 1，且 l 2∥，则 l 1上一定点 P 与 l 2 确定一平面，与的交线l 3∥l 2，且 l 3 过点P . 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条，即 l 3 有唯一性，所以经过 l 1 和 l 3 的平面是唯一的，即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D －ABC 体积最大时，平面DAC ⊥ABC ，取AC 的中点O ，则△DBO 是等腰直角三角形，即∠DBO ＝45°．8．D解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ． 10．A解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30°角，否则b ’与c ’所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°]． 二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为a ，b ，c ． 则21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴abc ＝23212S S S ．。
