2019版中考数学一练通第二部分重点题型突破专项二解答题专项五简单的几何证明试题

中考数学几何证明题正文第一篇：中考数学几何证明题中考几何证明题一、证明两线段相等1、真题再现18．如图3，在梯形abcd中，ad∥bc，ea⊥ad，m是ae上一点，2．如图，在△abc中，点p是边ac上的一个动点，过点p作直线mn∥bc，设mn交∠bca的平分线于点e，交∠bca的外角平分线于点f．(1)求证：pe＝pf；(2)*当点p在边ac上运动时，四边形bcfe可能是菱形吗？说明理由；ap 3(3)*若在ac边上存在点p，使四边形aecf是正方形，且．求此时∠abc2的大小．c二、证明两角相等、三角形相似及全等1、真题再现∠bae?∠mce，∠mbe?45．（1）求证：be?me．（2）若ab?7，求mc的长．bne图321、（8分）如图11，一张矩形纸片abcd，其中ad=8cm，ab=6cm，先沿对角线bd折叠，点c落在点c′的位置，bc′交ad于点g. （1）求证：ag=c′g；（2）如图12，再折叠一次，使点d与点a重合，的折痕en，en角ad于m，求em的长.2、类题演练1、如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe．已知∠bac=30o，ef⊥ab，垂足为f，连结df． e （1）试说明ac=ef；（2）求证：四边形adfe是平行四边形．22、（9分）ab是⊙o的直径，点e是半圆上一动点（点e与点a、b都不重合），点c是be延长线上的一点，且cd⊥ab，垂足为d，cd与ae交于点h，点h与点a不重合。

（1）（5分）求证：△ahd∽△cbd（2）（4分）连hb，若cd=ab=2，求hd+ho的值。

ao dbe 20．如图9，四边形abcd是正方形，be⊥bf，be=bf，ef与bc交于点g。

（1）求证：△abe≌△cbf；（4分）（2）若∠abe=50o，求∠egc的大小。

（4分）cb图9第20题图如图8，△aob和△cod均为等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90o，d在ab上．（1）求证：△aoc≌△bod；（4分）（2）若ad＝1，bd＝2，求cd的长．（3分）o图8 2、类题演练1、(肇庆20XX) (8分)如图，已知∠acb＝90°，ac＝bc，be⊥ce于e，ad⊥ce于d，ce与ab相交于f．(1)求证：△ceb≌△adc；e (2)若ad＝9cm，de＝6cm，求be 及ef的长．acbc、cd、da上的2、（佛山20XX）已知，在平行四边形abcd中，efgh分别是ab、点，且ae=cg，bf=dh，求证：?aeh≌?cgfb fc3、（茂名20XX）如图，已知oa⊥ob，oa＝4，ob＝3，以ab为边作矩形c abcd，使ad＝a，过点d作de垂直oa的延长线交于点e．(1)证明：△oab∽△eda；bd (2)当a为何值时，△oab≌△eda？*请说明理由，并求此时点c到oe的距离．o a e 图1三、证明两直线平行1、真题再现（20XX年）22．(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy中，点m在x轴的正半轴上，⊙m交x轴于a、b两点，交y轴于c、d两点，且c为ae的中点，ae 交y轴于g点，若点a的坐标为（－2，0），ae?8 (1)(3分)求点c的坐标.(2)(3分)连结mg、bc，求证：mg∥bc图10－12、类题演练1、(湛江20XX) (10分)如图，在□abcd中，点e、f是对角线bd上的两点，且be ＝df．d求证：(1)△abe≌△cdf；(2)ae∥cf．c四、证明两直线互相垂直1、真题再现18．（７分）如图7，在梯形abcd中，ad∥bc, ab?dc?ad，?adc?120．（1）（３分）求证：bd?dcbcbd （2）（４分）若ab?4，求梯形abcd的面积图7o ae 图22、类题演练1．已知：如图，在△abc中，d是ab边上一点，⊙o过d、b、c三点，?doc?2?acd?90?．（1）求证：直线ac是⊙o的切线；（2）如果?acb?75?，⊙o的半径为2，求bd的长．2、如图，以△abc的一边ab为直径作⊙o，⊙o与bc边的交点d恰好为bc的中点.过点d作⊙o的切线交ac边于点e.（1）求证：de⊥ac；（2）若∠abc=30°，求tan∠bco的值.（第2题图）3．（20XX年深圳二模）如图所示，矩形abcd中，点e在cb的延长线上，使ce＝ac，连结ae，点f是ae 的中点，连结bf、df，求证：bf⊥dfcd于f，若⊙o的半径为r求证：ae·af＝2 r2、类题演练1．在△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，d、e是直线ab上两点．∠dce＝45°（１）当ce⊥ab时，点d与点a重合，显然de＝ad＋be（不必证明）（２）如图，当点d不与点a重合时，求证：de＝ad＋be（３）当点d在ba的延长线上时，（２）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．2.（本小题满分10分）如图，已知△abc，∠acb=90o，ac=bc，点e、f在ab上，∠ecf=45o，（1）求证：△acf∽△bec（5分）（2）设△abc的面积为s，求证：af·be=2s（3）3.（2）如图，ab为⊙o的直径，bc切⊙o于b，ac交⊙o于d.①求证：ab=ad·ac. a ②当点d运动到半圆ab什么位置时，△abc为等腰直角三角形，为什么？五、证明比例式或等积式1、真题再现1．已知⊙o的直径ab、cd互相垂直，弦ae交第3题图b第3（2）题图c4、（本小题满分9分）如图，ab为⊙o的直径，劣弧bc?be，bd∥ce，连接ae并延长交bd于d．求证：（1）bd是⊙o的切线；2、类题演练1、如图5，在等腰梯形abcd中，ad∥bc．求证：∠a＋∠c＝180°·ad．（2）ab?acb第4题图??5. 如图所示，⊙o中，弦ac、bd交于e，bd?2ab。

几何综合在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．1．[2015·北京] 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上(与点C ，D 不重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH .(1)若点P 在线段CD 上，如图Z9－1(a )． ①依题意补全图(a )；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路．(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)图Z9－12．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．图Z9－23．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图Z9－34．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z9－45．[2011·北京] 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－51．[2015·怀柔一模] 在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．图Z9－62．[2015·朝阳一模] 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z9－73．[2015·海淀一模] 在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．图Z9－84．[2015·海淀二模] 如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z9－95．[2015·西城一模] 在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.(1)如图Z9－10①，如果∠BAC ＝90°，那么∠AHB ＝________°，AF BE＝________； (2)如图②，如果∠BAC ＝60°，猜想∠AHB 的度数和AF BE的值，并证明你的结论； (3)如果∠BAC ＝α，那么AF BE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－106．[2015·丰台一模] 在△ABC 中，CA ＝CB ，CD 为AB 边上的中线，点P 是线段AC 上任意一点(不与点C 重合)，过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE ＝12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE的延长线于点F ，交AB 于点G . (1)如果∠ACB ＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形；②如图(b)，当点P 不与点A 重合时，求CF PE的值．(2)如果∠CAB ＝a ，如图(c )，请直接写出CF PE的值．(用含a 的式子表示)图Z9－11 7．[2015·海淀] 将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD ，连接CD .(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°，求α的值．图Z9－128．[2015·西城二模] 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE ＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9－13参考答案1.解：(1)①如图(a)所示．②AH ＝PH ，AH ⊥PH . 证明：连接CH ，由条件易得：△DHQ 为等腰直角三角形， 又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC ， ∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP .∵BD 为正方形ABCD 的对称轴， ∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ， ∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ，∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°， ∴AH ＝PH 且AH ⊥PH.(2)如图(b)，过点H 作HR ⊥PC 于点R ， ∵∠AHQ ＝152°， ∴∠AHB ＝62°， ∴∠DAH ＝17°， ∴∠DCH ＝17°.设DP ＝x ，则DR ＝HR ＝RQ ＝1－x2. 由tan17°＝HRCR 得1－x 21＋x2＝tan17°，∴x ＝1－tan17°1＋tan17°.2．解：(1)补全图形如图①所示：(2)如图①，连接AE ，则∠PAB ＝∠PAE ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠EAD ＝130°，AE ＝AD. ∴∠ADF ＝25°.(3)如图②，连接AE ，BF ，BD.由轴对称的性质可得EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ， ∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°.∴BF 2＋FD 2＝BD 2.∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α.∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°， ∴∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 是等边三角形． 证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ， 则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°. ∴△BCD 为等边三角形． ∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ， ∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．(3)∵∠BCD ＝60°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC ＝CE ＝BC. ∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠EBC ＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ， ∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ ＝60°， ∴∠CDB ＝30°. (2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC. 在△APD 与△CPD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，PA ＝PC ，∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠PAD ＝∠PCD ，∴∠ADC ＝2∠CDB.又∵PQ ＝PA ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠PAD ，∴∠PAD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ ＋∠ADC ＝360°－(∠PAD ＋∠PQD )＝180°，∴∠ADC ＝180°－∠APQ ＝180°－2α，∴2∠CDB ＝180°－2α，∴∠CDB ＝90°－α.(3)∵∠CDB ＝90°－α，且PQ ＝QD ，∴∠PAD ＝∠PCQ ＝∠PQC ＝2∠CDB ＝180°－2α.∵点P 不与点B ，M 重合，∴∠BAD ＞∠PAD ＞∠MAD ，∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°.5．解：(1)∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F .∴∠CEF ＝∠F .∴CE ＝CF .(2)∠BDG ＝45°.(3)如图，分别连接GB ，GE ，GC ，∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝120°，∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°.∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形．由(1)得CE ＝CF .∴四边形CEGF 是菱形，∴GE ＝EC ，①∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°， ∴△ECG 与△FCG 是等边三角形，∴∠GEC ＝∠FCG ，∴∠BEG ＝∠DCG ，②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ，∴BE ＝D C.③由①②③得△BEG ≌△DCG ，∴BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°，∴∠BDG ＝180°－∠BGD 2＝60°.1.解：(1)(2)连接AD ，如图①.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE ＋120°＝180°.∴∠ACE ＝30°.(3)AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图②.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，可证得∠EDA ＝∠EB A.∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE .设AC ，BE 交于点F ，∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．2．解：(1)①补全图形，如图(a )所示．②如图(b )，由题意可知AD ＝DE ，∠ADE ＝90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB ＝90°.∴∠ADF ＝∠ED B.∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠DFB ＝45°.∴DB ＝DF .∴△ADF ≌△EDB.∴AF ＝EB.在△ABC 和△DFB 中，∵AC ＝8，DF ＝3，∴AB ＝8 2，BF ＝3 2.AF ＝AB －BF ＝5 2，即BE ＝5 2， (2)2BD ＝BE ＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)方法一：证明：连接BE ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC ]是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∴∠GEB ＝∠DEC ＋∠BEC ＝100°.∴∠GEB ＝∠CBE .∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°.∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE .∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC .∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ，∴△GEH ≌△CBH .∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AB ∥EF .∴∠EDC ＝∠ABC ＝α.由(1)知∠ADE ＝90°－α，∴∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝90°.∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.②证明：∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α，∴∠C ＝α.∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE ∥BF ，AE ＝BF .∴∠EAC ＝∠C ＝α.由(1)知∠DAE ＝180°－2∠ADE ＝180°－2(90°－α)＝2α， ∴∠DAC ＝α.∴∠DAC ＝∠C.∴AD ＝CD .∵AD ＝AE ＝BF ，∴BF ＝CD.∴BD ＝CF .5．解：(1)90 12(2)结论：∠AHB ＝90°，AF BE ＝32. 证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°.又∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°.∴∠2＋∠C ＝90°.∴∠1＝∠C ＝60°.设AB ＝BC ＝k (k >0)，则CE ＝12CD ＝k 4，DE ＝34k . ∵F 为DE 的中点，∴DF ＝12DE ＝38k ，AD ＝32AB ＝32k . ∴AD BC ＝32，DF CE ＝32. ∴AD BC ＝DF CE . 又∵∠1＝∠C ，∴△ADF ∽△BCE . ∴AF BE ＝ADBC ＝32， ∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，∴∠3＋∠6＝90°.∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)． 6．解：(1)①作图．△ADE (或△PDE )．②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，∴∠CPM ＝∠CAB.∵∠CPE ＝12∠CAB ， ∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN . ∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°.∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN .由①得：△PME ≌△CMN .∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12. (2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°.方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D.∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°. 方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D.∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α. ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－()60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α. ∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°. (2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .∴∠AMC ＝90°.在△AEB 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°. ∴△AEM 是等边三角形．∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°，∴EM ＝CM ＝DM .∴AM ＝CM ＝DM .∴点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上． ∴α＝∠CAD ＝90°.8．解：(1)CH ＝AB(2)结论成立．证明：如图，连接BE .在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠BCD ＝∠ABC ＝90°.∵DE ＝DF ，∴AF ＝CE .在△ABF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE .∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴∠3＝∠2.∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°，∴∠4＝∠HB C.∴CH ＝CB.∴CH ＝AB. (3)3 2＋3.。

十一几何综合探究题满分训练类型1 探究线段长度的极值和定值问题1.（2018·某高新一中模拟）如图，直线l外有一点D,D到直线l的距离是5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,tan∠CAB=13,边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD的周长的最小值是多少？2.（2018·某铁一中模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E，F分别是AB，CD上的动点，且EF⊥AC,连接EC，FA,求EC+FA的最小值是多少。

3.（2018·某交大附中模拟）在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC=4,D是AB的中点，P是平面上一点，且DP=1,连接BP，CP,将线段PB绕点P顺时针旋转90°，得到线段PB′,连接AB′,则AB′的最大值为多少？4.（2018·某工大附中模拟）（1）如图①，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3,DE=CD=1,连接AD,BE,求AD BE。

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4,过点A作AM⊥AB,P是射线AM 上一动点，连接CP,作CQ⊥CP,交线段AB于点Q,求PQ的最小值。

(3)小姜准备加工一个四边形零件，如图③，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4,∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD。

请你帮小姜求出这个零件的对角线BD的最大值。

类型2 探究图形面积的最值问题5.【问题提出】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8,△ABC的最大面积是。

(2)如图②，在菱形ABCD中，对角线AC+BD=14,求菱形的最大面积。

【问题解决】(3)如图③，赵师傅用一个半径为a的圆形板材，想制作一个面积最大的矩形。

能否裁出？若能，请算出这个矩形的最大面积；若不能，请说明理由。

几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分 西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．EDCBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321EDCBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F DE CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，A∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区19．问题将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………4分 ∴∠DAB ＝∠ACE . ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

中考数学几何证明复习题第一篇：中考数学几何证明复习题几何证明练习1.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．A(E)图13－1 图13－2图13－32.将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．(1)将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______；(3)将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′A A A AE E’ E’D’ F’l B(2)(3)D’(4)3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。

在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。

2019中考数学专题练习-命题与证明（含解析）一、单选题1.下列命题中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2.下列四个命题：⑴数据5、2、﹣3、0的极差是8；⑵方差越大，说明数据就越稳定；⑶不在同一直线上的三点确定一个圆；⑷在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，则AB与CD之间距离为7 其中真命题的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.下列定理中，没有逆定理的是（）①内错角相等，两直线平行②等腰三角形两底角相等③对顶角相等④直角三角形的两个锐角互余．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列命题中，是假命题的是（）A. 平方根等于本身的数是B. 如果a，b都是无理数，那么a+b也一定是无理数C. 坐标平面内的点与有序实数对一一对应 D. 与6 可以合并同类项5.下列命题中，是真命题的是（）A. 有理数都是有限小数B. 同旁内角互补C. 函数y= 自变量x的取值范围是x≥3D. 若甲、乙两组数据中各有20个数据，平均数= ，方差S甲2=1.25，S乙2=0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳定6.下面说法正确的是( )A. 定理一定是命题B. 定理一定有逆定理 C. 命题一定是定理 D. 逆命题一定正确7.下列命题是真命题的是（）A. 不相交的两条直线叫做平行线 B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等8.下列命题为真命题的是（）A. 若a2=b2 ，则a=bB. 等角的补角相等C. n边形的外角和为（n﹣2）•180° D. 若x甲=x乙， S2甲＞S2乙，则甲数据更稳定二、填空题9.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果…，那么…”的形式．（1）两直线平行，内错角相等；（2）三角形内角和等于180°．10.“同位角相等”的逆命题是________．11.请把命题“对顶角相等。

几何证明压轴题(中考)1、如图，在梯形ABCD 中，AB // CD，/ BCD=90 °，且AB=1 , BC=2 , tan/ ADC=2.⑴求证：DC=BC;(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且/ EDC= / FBC，DE=BF，试判断厶ECF的形状，并证明你的结论;(3) 在(2)的条件下，当BE: CE=1 : 2, / BEC=135。

时，求sin/ BFE 的值.2、已知：如图，在口ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG // DB交CB的延长线于G.(1)求证：△ ADE CBF;(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.AEl3、如图13- 1，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起. 现正方形ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0 (点0也是BD 中点)按顺时针方向旋转.(1) 如图13-2,当EF 与AB 相交于点M , GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量 BM , FN 的长度， 猜想BM , FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时，线段 FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M ，线段4、如图，已知O 0的直径AB 垂直于弦 CD 于E ,连结 AD 、BD 、OC 、0D ，且0D = 5。

3(1)若 sin Z BAD ，求 CD 的长；5(2)若Z ADO : Z EDO = 4: 1，求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留)。

DBD 的延长线与GF 的延长线相交于点 N ,此时, (1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立, 请说明理由.图 13-15、如图，已知：C是以AB为直径的半圆0上一点，CH丄AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.(1 )求证：点F是BD中点；(2) 求证：CG是O 0的切线；(3) 若FB=FE=2，求O 0的半径.6、如图，已知0为原点，点A的坐标为(4, 3), O A的半径为2 .过A作直线I平行于X轴，点P在直线I上运动.(1)当点P在O 0上时，请你直接写出它的坐标；(2)设点P的横坐标为12,试判断直线0P与O A的位置关系，并说明理由7、如图，延长。

证明一、选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)[来~#源:中国教育出版&%^]1．如图，已知直线a∥b，直线c与a、b分别交于A、B；且∠1＝120°，则∠2＝( ) A．60° B．120°C．30°D．150°第1题图第2题图2．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为( ) A．100° B．90° C．80° D．70°3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( ) A．40° B．45° C．50° D．55°第3题图第4题图4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )[:&~中@教*%]A．75° B．90° C．105° D．120°[:5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4[^:&*@中教%]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是________．第6题图第7题图7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC ＝15°，则∠A′BD的度数为________．8．如图，在平行四边形A BCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件(AF＝CE)，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．[:[:@中%教*#^]第8题图第9题图[:zz%ste*&p.c~o^m]9．如图所示，用直尺和三角尺作直线AB、CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为________．三、解答题(本大题共3小题，共24分)[:zzs%&tep^.c@o#m]10．(6分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．[:中国*^教&育@#出版][来#源%:@&中教*]11．(8分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．12．(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN.[中&%国教*^育出版~](1)求证：四边形BMDN是菱形．[~:zzst%ep.c*&#om](2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．[:1．B 解析：∵∠1＝120°，∴∠3＝∠1＝120°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝120°.故选B.2．C 解析：∵DE∥BC，∠AED＝40°，∴∠C＝∠AED＝40°，∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－∠C－∠B＝180°－40°－60＝80°.故选C.3．A 解析：∵∠B＝67°，∠C＝33°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－33°＝80°.∵AD是△ABC 的角平分线，∴∠CAD＝12∠BAC＝12×80°＝40°.故选A. 4．C 解析：∵图中是一副直角三角板，∴∠BAE＝45°，∠E＝30°，∴∠AFE＝180°－∠BAE－∠E＝105°，∴∠α＝105°.故选C.[:@^&z%zstep#]5．B 解析：过点P 作P Q⊥OM，垂足为Q ，则PQ 为最短距离，∵OP 平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PA＝PQ ＝2，故选B.6．4 解析：如图，过点D 作DE⊥AB 于点E ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE＝CD ，∵CD＝4，∴DE＝4.故答案为4.[中国教育@出版&^*%]7．30° 解析：∵梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，∴∠C＝90°， ∵∠A′BC＝15°，∴∠DA′B＝∠A′BC＋∠C＝15°＋90°＝105°，由折叠的性质可得：∠A＝∠DA′B ＝105°，∠ABD＝∠A′BD，∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°－∠A＝75°，∴∠A′BD＝∠AB C －∠A′BC 2＝30°.故答案为30°.[:8．AF ＝CE 解析：添加的条件是AF ＝CE.理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥CE，∵AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．故答案为AF ＝CE.9．AB∥CD 解析：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，所以∠1＝∠2，所以，AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．故答案为：AB∥CD.10．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E 为AB 的中点，∴AE＝BE ，在△AED 和△BFE 中，∠ADE＝∠EFB，∠AED＝∠BEF，AE ＝BE ，∴△AED≌△BFE(AAS)；(3分)(2)解：EG 与DF 的位置关系是EG⊥DF，理由为：连接EG ，∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，(1分)由(1)△AED≌△BFE 得：DE ＝EF ，即GE 为DF 上的中线，∴GE⊥DF.(3分)11．证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°，(2分)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，(1分)在Rt△AED和Rt△CFB中，∵∠ADE＝∠CBF，∠EAD＝∠FCB＝90°，AE＝CF∴Rt△AED≌Rt△CFB，(3分)∴AD＝BC，(1分)∵AD∥BC，(1分)∴四边形ABCD是平行四边形．(8分) 12．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∵MN是BD的中垂线，∴OB＝OD，BD⊥MN，(1分)OM ON ＝ODOB(2分)，∴BM＝DM，(1分)∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形，(1分)∵MN⊥BD，(1分)∴平行四边形BMDN是菱形．(1分) (2)解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD，(1分)设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2＋AB2即x2＝(8－x)2＋42，解得：x＝5，(2分)答：MD长为5.(10分)。

江西中考简单几何证明题知识点总结考点1：特殊的平行四边形（平行四边形）的判定及其性质1．已知：如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且BE 平分ABC ，EF ．求证：四边形ABFE是菱形．2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE CF ．证明AF CE．3．如图，已知：在ABC 中，90BAC ，延长BA 到点D ，使12AD AB，点E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF BE ．4.如图，平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在线段BC ，AD 上，连接AE ，CF ，//AE CF ，BE AE AD ，求证：四边形AECF是菱形．严禁复制5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BC ，AD 平分∠FAC ，CD ⊥AD 于点D ．求证：四边形AECD是矩形．6.已知：如图，在▱ABCD 中，AC 为对角线，∠BAC ＝∠DAC ．求证：▱ABCD为菱形．7.如图，已知AE 是ABC 的角平分线，//ED AC 交AB 于点//D EF AB ，交AC 于点F ．求证：四边形ADEF 为菱形．8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ､BC 为底边，向△ABC 外部作等腰△ADC 和△CEB ，点M 为AB 中点，连接MD ､ME 分别与AC ､BC 交于点F 和点G ．求证四边形MFCG是矩形．9.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是BC ，AD 边上的点，且AE =CF ，若AC ⊥EF ，试判断四边形AECF 的形状，请说明理由．严禁复制10.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是角平分线，F 为BA 延长线上的一点，AE 平分∠FAC ，DE ∥BA 交AE 于E ．求证：四边形ADCE是矩形．11.如图，▱ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，求证：▱ABCD是菱形．12.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，求证：四边形AEDF 是菱形．严禁复制考点2：全等三角形的证明1.如图，正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BE ⊥AG 于E ，DF ⊥AG 于F ，连接DE ．求证：△ABE ≌△DAF．2.如图，已知△ABC 的BC 边的垂直平分线DE 与∠BAC 的平分线交于点E ，EF ⊥AB 的延长线于点F ，EG ⊥AC 于点G ，求证：（1）BF ＝CG；2.如图，90A D ，AC BD ，AC 与BD 相交于点O ，求证：OB OC ．4.如图，点,E F 分别在菱形ABCD 的边,BC CD 上，且BE DF ．求证：BAE DAF．5．如图点E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上一点，若AE=DC=2ED ，且EF ⊥EC 严禁复制（1）求证：点F 为AB 的中点6.如图,点A ,D ,B ,E 在同一条直线上,AD=BE ,AC=DF ,AC ∥DF ,请从图中找出一个与∠E 相等的角,并加以证明.(不再添加其他的字母与线段)7．已知：如图，点D 是ABC 内一点，AB AC ，12 ．求证：AD 平分BAC ．8.如图，A ，E 两点在线段DB 上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB ．求证：EF ∥BC．9.如图，已知ABC ，点E 在边AC 上，过点B 作//BD AC ，且AE BD ，连接DE 交AB 于点F ．求证：AF BF ．严禁复制10如图，已知四边形ABCD 为菱形，延长AB 到点E ，使得BE AB ，过点E 作//EF AD ，交DB 的延长线于点F ，求证：DC EF．11.如图，四边形ABCD 是菱形，DE BA ，交BA 的延长线于点E ，DF BC ，交BC 的延长线于点F ，求证：DE DF．12.如图，ABC 与ABD △中，AD 与BC 相交于O 点，12 ，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC BD ，并给出证明．你添加的条件是：__________．13.如图，△ABC 与△ABD 中，AD 与BC 相交于O 点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD ，并给出证明．你添加的条件是：．证明：严禁复制14.如图，在平行四边形AFCE 中，,D B 分别是,EC AF 的中点．求证：BC AD．15.如图，在△ABC 中，已知∠ABC=30°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转50°后得到△A 1BC 1，若∠A=100°，求证：A 1C 1∥BC．16.如图，ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O E F ，，分别为OC OA ，的中点．求证：BE DF ．17.如图，已知,OA OB OC OD ，连接,,AD BC 两线相交于点P ，连接OP 1图中有对全等三角形；2请选择其中一对全等三角形给予证明．严禁复制18.如图，一块余料ABCD ，AD ∥BC ，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点G ，H ；再分别以点G ，H 为圆心，大于12GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点O ，画射线BO ，交AD 于点E．（1）求证：AB=AE ；19.如图所示，已知点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，BC ＝EF ，∠ABC ＝∠DEF ，求证：AC ∥DF ．20.如图，AD 、BC 相交于点O ，AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°．（1）求证：△ACB ≌△BDA；20.如图，矩形ABCD 中，AB AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．（1）求证：ADE CED ；严禁复制21.如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，且CD =CE.（1）求证：ACD BCE ；（2）若70A ，求E 的度数.22.如图，点A,D,B,E 在同一条直线上，且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC ≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题请给出一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.考点3：等腰三角形和等边三角形的计算1.如图，在等边三角形ABC 中，∠APD ＝60°，AB ＝6，PC ＝4，求CD的长．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝32°，如果△ABC 绕点B 顺时针旋转至△EBD ，使点D 落在AB 边上，连接AE ，求∠EAB 的度数．严禁复制3.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，点E 为边AC 的中点，过点A 作AD ∥BC ，过点C 作CD ⊥AD 于点D ，且BE ＝CD ．求证：△ABC为等边三角形．4.如图，已知AB AC AD ，且//AD BC ．求证：2C D．5.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，E ，F ，M 分别是AD ，DC ，AC 的中点，连接EF ，BM ，求证：EF =BM．6.如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，且∠BAC=40°，BD 是AC 边上的高，求∠CBD 的度数．严禁复制7.如图，在ABC 中，AB AC ，120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ，求AFC的度数．考点4：相似三角形判定及其性质1．如图，AB=AC ，∠A=36°，BD 是∠ABC 的角平分线，求证：△ABC ∽△BCD．2.如图，点D 在△ABC 的边AB 上，AC 2＝AD •AB ，求证：△ACD ∽△ABC ．3.如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，E 为AD 上一点，若∠DAC=∠B ，CD=CE ，试说明△ACE ∽△BAD．4.如图，在ABCD 中，E 是DC 上一点，连接AE 、F 为AE 上一点，且BFE C .求证：ABF EAD .严禁复制5.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在CD 上，且4CD DF ，连接EF 、BE ．求证：ABE DEF △△∽．6.如图，在ABC 中，点E 是AC 上一点，//DE BC ，1B ，AD AE ，求证：AB BC ．7.如图，在ABC 中，//DE BC ，14AD DB ，2AE ，求EC的长．8.如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF ⊥BC 于点F ，连接EF ，ED ，DF ，DE 交AF 于点G ，且AE 2＝EG •ED ．求证：DE ⊥EF．9.如图，在△ABC 中，四边形DBFE 是平行四边形．求证：△ADE ∽△EFC ．严禁复制10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD=∠B ．(1)求证：△ABP ∽△PCD；考点5：平行线的判定及其性质1.如图AB ∥CD ．EF 交AB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE＝50°，求∠BHF 的度数．2.如图，已知BC 平分∠ACD ，且∠1＝∠2，求证：AB ∥CD．3.如图，已知BC 平分∠ACD ，且∠1＝∠2，求证：AB ∥CD．4.如图，四边形ABCD 中，点E ，F 别在AD ，BC 上，G 在AB 延长线上，若180D GBC ，//AD BC ，//EF DC ．求证：//AB EF ．严禁复制5.如图，直线AB ∥CD ，MN ⊥CE 于M 点，若∠MNC ＝60°，求∠EMB的度数．6.如图，已知∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD ∥BC ，求证：AB ＝AC ．严禁复制制复禁严试卷第15页，共1页。

十一几何综合研究题满分训练种类 1 研究线段长度的极值和定值问题1. （ 2018·某高新一中模拟）如图，直线l 外有一点 D,D 到直线 l 的距离是 5，在△ ABC 中，1ABCD的周长的最小值是∠ABC=90°， AB=6,tan ∠ CAB= , 边 AB在直线 l 上滑动，则四边形3多少？2.（ 2018·某铁一中模拟）如图，在矩形 ABCD中， AB=4,BC=2,E， F 分别是 AB， CD上的动点，且 EF⊥ AC,连结 EC， FA, 求 EC+FA的最小值是多少。

3. （ 2018·某交大附中模拟）在△ ABC 中, ∠ ACB=90°， AC=BC=4,D 是 AB 的中点， P 是平面上一点，且 DP=1,连结 BP ，CP,将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转 90°，获得线段 PB ′ , 连结 AB ′ , 则 AB ′的最大值为多少？4. （ 2018·某工大附中模拟） （ 1）如图①，△ ABC 和△ DEC 均为等腰直角三角形，且∠ BAC=∠ C DE=90°， AB=AC=3,DE=CD=1,连结 AD,BE,求AD。

BE（ 2）如图②，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ B=30°， BC=4,过点 A 作 AM ⊥AB,P 是射线 AM上一动点，连结 CP,作 CQ ⊥ CP,交线段 AB 于点 Q,求 PQ 的最小值。

(3) 小姜准备加工一个四边形部件，如图③，这个部件的表示图为四边形ABCD ，要求 BC=4,∠BAD=135°，∠ ADC=90°， AD=CD 。

请你帮小姜求出这个部件的对角线 BD 的最大值。

种类 2研究图形面积的最值问题5.【问题提出】(1) 如图①，在△ABC中，∠ ACB=90°， AB=8, △ABC的最大面积是。