2017年春季新版沪科版九年级数学下学期24.4.3、切线长定理课件1

例 2 ： 如 下 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∠ABT＝45° ，AT＝AB.求证：AT是 ⊙O的切线．
解析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可， 而 由 已 知 条 件 可 知 AT＝ AB， 所 以 ∠ABT ＝ ∠ATB ， 又 由 ∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°.
三 新知探究 1.点P为⊙O上任一点,过点P作直线 l 与⊙O相Biblioteka 切.作法: (1)连接OP
(2)过P点作OP的垂线
l
O
则直线l 即为所求.
为什么这样的直线就是圆的切线呢？
演示
P
l ll
证明： 由作图知,直线l 与⊙O有一个
公共点P,在直线上再任取一个不
O
P
同于P点的一点Q,
∵OQ>OP(斜边大于直角边)
(2)若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的 半径．
解析：(1)要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC 是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．
由已知易得：∠A＝30°，又由∠DCB＝∠A＝30°得： BC＝BD＝10答案：(1)CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上(已知) ②∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90° ∵∠A＝∠OCA且∠DCB＝∠A ∴∠OCA＝∠DCB ∴∠OCD＝90° 综上：CD是⊙O的切线．
由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB. 答案：∵AB＝AT，∠ABT＝45°. ∴∠ATB＝∠ABT＝45°. ∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ ATB＝90°. ∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．
例3：已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm，以点C为 圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？

2019/5/17
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例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B， 点 C 在⊙O上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度 20 度． 数是________ 解析：如图所示，连接OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝ 140°. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴O，A，B，P四点共圆，OP平分∠APB，∴∠APB＝ 180°－∠AOB＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 故答案为 20.
8
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2. 若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么 新的结论? 请给出证明.
CA=CB 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线，点 A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. A ∴ △PCA ≌ △PCB， C O. ∴CA=CB.
B
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练一练 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， 在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、 PB 于点D、E. 已知△PDE的周长为14，∠P=40°. 则 (1) PA= 7 ； A (2) ∠DOE= 70° . D
P C E B
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问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？ 试着 自己证明.
PA = PB， ∠APO =∠BPO. 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
4
A
O.
B
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a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：
Rt△ABC的内切圆的半径 r.
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有相等的线段
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
-
12
例题1
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交
PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周
长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能- 灵活应用。
21
练习.如图，△ABC中,∠C =90º,它的
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
A
D
F O
B
EC
-
22
思考
三角形的内切圆的有关计算
OP垂直平分AB
OM
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
-
10
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.

与⊙O相切.
作法
A
1.连接OP. 2.以OP为直径作圆，设此圆交
O.
.P
⊙O于点A，B.
B
3.连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作.
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点 之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
A P. B
. O
过圆外一点能够作圆的两条切线.
比一比：
P. AB
. O
切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外一点和切点.
例5 已知：如图四边形ABCD的边AB，BC，
CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H.
求证：AB+CD=DA+BC.
D
证明：∵AB，BC，CD，DA都与 ⊙O相切，E，F，G，H是切点，
H
G
C
·O F
∴AE=AH，BE=BF， CG=CF，DG=DH.
A
EB
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即AB+CD=DA+BC.
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于⊙O于
点D、E，交AB于C.
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC， OA=OB=OD=OE，PA=PB，AC=BC.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOБайду номын сангаас≌Rt△BOP(HL).

△ABP，△AOB A
CD
EO
P
B
想一想
A
反思：在解决有关圆的
.
切线长问题时，往往需
O
P
要我们构建基本图形. B
（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
【例题】
【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和
⊙O分别相切于点L，M，N，P，
C
求证：AD+BC=AB+CD.
A．2
B．3
C． 3
D．2 3
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信

知1－讲
理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的周
长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
1∠(∠DAOOCC＝＋1∠2∠ABOOCC，)＝∠∠E1AOOCB＝.由∠12∠BOACP，B＝∴6∠0°D得OE＝
2
2
∠APO＝30°，又∵AO＝，3 由切线的性质得
∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴PO＝2，3∠AOB
即AB+CD=DA+BC.
（来自教材）
知1－讲
例2如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C 是上AB一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于 点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则3 △PDE的周长为____6，∠DOE的度数为____6．0°
导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，由切线长定
知1－讲
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线 长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 要点精析： (1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角 相等，运用时要根据题意选用． (2)图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很 多结论． 如：①PO⊥AB；②AO⊥AP， BO⊥BP；③AP＝BP； ④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；⑤AD＝BD；⑥等.AC BC
＝180°－∠APB＝120°.∴PA＝＝P3，O2 AO2 ∠DOE＝∠1 AOB＝60°.
2
总结
知1－讲
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构造切线 长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一 点与圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定 理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关 结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有 关切线问题时，O的两条切线PA，PB，切

解：(1)∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴∠BAP＝90°－∠1＝70°，∵PA＝PB，
∴∠BAP＝∠ABP＝70°.∴∠APB＝180°－70°×2＝40°； (2)当∠1＝30°时，OP＝OD.理由：∵∠1＝30°，由(1)知∠BAP＝∠ABP＝
60°.∴∠APB＝180°－60°×2＝60°.∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴∠OPB＝12
7．如图，AD、AE 和 BC 分别与⊙O 相切，切点为 D、E、F，若 AD＝20， 则△ABC 的周长是 40 .
8．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，过点 C 作⊙O 的切线交
︵︵
AB 的延长线于点 M，下列结论：①CE＝DE；②BC＝BD；③MD 为⊙O 的切线；④MC＝MD.其中正确结论的个数是( D )
∴DA＝2PO，又 AD＝AC，∴AC＝2OP＝PC，∴AC＝PC.
×18＝9(cm)，∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴∠APO＝12∠APB＝30°，在 Rt△AOP 中，PO＝2AO，∴OA2＋92＝(2AO)2，解得 AO＝3 3.即⊙O 的半
径为 3 3cm.
13．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC、 PB 的延长线相交于点 D. (1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数； (2)当∠1 为多少度时，OP＝OD，并说明理由．
⊙O 与 AC、BC 分别相切于点 D、E，点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连接 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G.则 CG＝ 3＋3 2 .
11．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心 A 的坐标为(－1,0)，半径为 1，点
P 为直线 y＝－34x＋3 上的动点，过点 P 作⊙A 的切线，切点为 Q，则切线 长 PQ 的最小值是 2 2 .

能力提升练
11．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AB＝2，AD 和 BE 是⊙O 的 两条切线，A，B 为切点，过圆上一点 C 作⊙O 的切线 CF， 分别交 AD，BE 于点 M，N，连接 AC，CB.若∠ABC＝30°， 3 则 AM＝____3____．
能力提升练
12．已知在⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B. (1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小； 解：∵MA 切⊙O 于点 A， ∴∠MAC＝90°. ∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°. ∵MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B， ∴MA＝MB.∴∠MAB＝∠MBA. ∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.
【答案】D
基础巩固练
4．如图，AD，AE，CB 均为⊙O 的切线，D，E，F 分别是切点，
AD＝8，则△ABC 的周长为( C )
A．8
B．12
C．16
D．不能确定
基础巩固练
5．如图，已知⊙O 分别与△ABC 的 BC 边、AB 的延长线、AC
的延长线相切，则∠BOC 等于( C )
A．∠A
B．90°＋∠A
能力提升练
∴四边形 MADB 是菱形．∴AD＝BD. 又∵AC 为直径，BD⊥AC，
︵︵ ∴AB＝AD. ∴AB＝AD. ∴△ABD 是等边三角形，∴∠D＝60°. ∴在菱形 MADB 中，∠AMB＝∠D＝60°.
能力提升练
13．如图①，直线 y＝－34x＋3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交 于点 B，点 C(m，n)是第二象限内一点，以点 C 为圆心的圆 与 x 轴相切于点 E，与直线 AB 相切于点 F.
基础巩固练
8．如图，AC⊥BC 于点 C，BC＝4，AC＝3，⊙O 与直线 AB， BC，CA 都相切，则⊙O 的半径为___2_____．

例5 已知：如图四边形ABCD的边AB，BC，
CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H.
求证：AB+CD=DA+BC.
D
证明：∵AB，BC，CD，DA都与 ⊙O相切，E，F，G，H是切点，
H
G
C
·O F
∴AE=AH，BE=BF， CG=CF，DG=DH.
A
EB
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
•3.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F ，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm ，求BC的长.
•
•解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切， •则OB平分∠EBF，OC平分∠FCG. •∵AB∥CD， •∴∠EBF+∠GCF=180°. •∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF
•2.如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m ， 并且XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少?
解：设圆心为O，连接OW，OX. ∵YW，YX均是⊙O的切线， ∴OW⊥WY，OX⊥XY， 又∵XY⊥WY， ∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°， ∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX. ∴四边形OWYX是正方形. ∴OW=WY=1.65m. 即这个油桶底面半径是1.65m.
与⊙O相切.
作法
A
1.连接OP. 2.以OP为直径作圆，设此圆交
O.
.P
⊙O于点A，B.
B
3.连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作.
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点 之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
A P. B
. O
过圆外一点能够作圆的两条切线.

∴cos30°＝AACB ∴AB＝6 3
例3：如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，
在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切
于点D，若AE＝2 cm，AD＝4 cm.
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
(2) ∵∠ABC＝90°
答案：(1)连接OD，∴OD⊥AC
∴OB⊥BC
作法:
(1)连接OP
(2)以OP为直径作圆,
设此圆交⊙O于点A,B
(3)作直线PA,PB
则直线PA,PB为所求.
A
O
P
B
2.切线长定义:
A
从圆外一点可以作这个
圆的两条切线,这一点和
CD O
切点间的线段长叫做切线长.
2 1
P
B
连接AB,你还能得到什么结论?
3.切线长定理: 从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等.圆心与这 一点的连线平分两条切线的夹角.
∴△ODA是Rt△
∴BC是⊙O的切线
设半径为r
∵CD切⊙O于D
∴AO＝r＋2，∴(r＋2)2－r2＝16
∴CB＝CD，令CB＝x
解之得：r＝3，∴BE＝6
∴AC＝x＋4，BC＝x，AB＝8
∵x2＋82＝(x＋4)2∴＝6∴S△ABC＝×8×6＝24
例4：如图，⊙O的直径AB＝2，AM和BN是它的两条切线， DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C.设AD＝x，BC＝y.
24.4直线与圆的位置关系(4)
——切线长定理
一、复习引入 1.怎样判定一条直线是圆的切线? 2.与切线有关的辅助线是什么? 3.从圆外一点可以作圆的几条切线?
这一点与切点的距离有什么大小关系? 从圆外一点作圆的切线,所作切线还有什 么性质?