人教版九年级上册数学切线长定理和三角形的内切圆

九年级数学：切线长定理及三角形的内切圆导学与练习知|识|目|标1．经历折叠纸片的操作过程，归纳得出切线长定理并掌握切线长定理．2．经历教材中“试一试”的实践操作，理解三角形的内切圆及相关知识．目标一能探索并掌握切线长定理例1 教材补充例题如图27－2－12，已知⊙O的切线PA，PB，A，B为切点，把⊙O沿着直线OP对折，你能发现什么？请证明你所发现的结论．结论：PA＝________，∠OPA＝________.图27－2－12证明：如图27－2－13，连结OA，OB.∵PA，PB与⊙O相切，A，B是切点，∴OA⊥________，OB⊥________，即∠OAP＝________＝90°.∵__________________________，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(H.L.)，∴PA＝________，∠OPA＝________．图27－2－13试用文字语言叙述你所发现的结论．例2 高频考题如图27－2－14，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA＝3时，求AP的长．图27－2－14【归纳总结】切线长定理中的基本图形：如图27－2－15，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，此图形中含有：图27－2－15(1)两个等腰三角形 (△PAB，△OAB)；(2)一条特殊的角平分线( OP平分∠APB和∠AOB);(3)三个垂直关系 (OA⊥PA, OB⊥PB，OP⊥AB)．目标二理解三角形的内切圆例3 教材补充例题如图27－2－16，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的( )图27－2－16A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点例4 教材补充例题△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.【归纳总结】三角形“四心”的区别：外心三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点内心三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点重心三角形三条中线的交点垂心三角形三条高的交点提示：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形某顶点的连线平分这个顶点处的内角；三角形的内心都在三角形内部．(2)三角形的内切圆有且只有一个，而圆有无数个外切三角形．(3)常用S△ABC＝12(a＋b＋c)r(其中a，b，c为△ABC的三边长)求三角形的内切圆的半径r.(4)若△ABC为直角三角形(不妨设∠C＝90°)，则△ABC内切圆的半径r＝a＋b－c2或r＝aba＋b＋c(其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边)．知识点一切线长及切线长定理(1)圆的切线上某一点与________之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(2)过圆外一点所画的圆的两条切线，________相等．这一点和圆心的连线平分____________________．知识点二三角形的内切圆(1)与三角形________________叫做这个三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的________，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．(2)三角形的内心就是三角形______________，三角形的内心到____________的距离相等．如图27－2－17是切线长定理的一个基本图形(PA ，PB 为⊙O 的切线，A ，B 为切点)，由切线长定理可以推出很多的结论，如：(1)垂直：OA ⊥________，OB ⊥________，AB ⊥________；(2)角相等：∠1＝∠________＝∠________＝∠________，∠5＝∠________＝∠________＝∠________；(3)线段相等：PA ＝________，AC ＝________；(4)弧相等：AD ︵＝________，AE ︵＝________．图27－2－17教师详解详析【目标突破】例1 解：PB ∠OPB PA PB ∠OBP OA ＝OB ，OP ＝OP PB ∠OPB 用文字语言叙述结论：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．例2 [解析] (1)方法一：根据切线的性质可知：∠OAP ＝∠OBP ＝90°.根据三角形的内角和为180°可求出∠AOB 的度数，再根据四边形的内角和为360°可求出∠APB 的度数；方法二：证明△ABP 为等边三角形，从而可求出∠APB 的度数．(2)方法一：作辅助线，连结OP.在Rt △OAP 中，利用三角函数可求出AP 的长；方法二：作辅助线，过点O 作OD ⊥AB 于点D.在Rt △OAD 中，求出AD 的长，从而求出AB 的长，即为AP 的长．解：(1)方法一：∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°.方法二：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，OA ⊥PA.∵∠OAB ＝30°，∴∠BAP ＝90°－30°＝60°，∴△ABP 是等边三角形，∴∠APB ＝60°.(2)方法一：如图①，连结OP.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30°.又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝OAtan30°＝3 3.方法二：如图②，过点O作OD⊥AB于点D. ∵在△OAB中，OA＝OB，∴AD＝12 AB.∵在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，∴AD＝OA·cos30°＝3 3 2，∴AB＝2AD＝3 3，∴AP＝AB＝3 3.例3[答案] D例4解：如图，设△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切于点D，E，F，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.所以S＝S△AOB ＋S△AOC＋S△BOC＝12AB·OD＋12AC·OF＋12BC·OE＝12lr.【总结反思】[小结] 知识点一(1)切点(2)它们的切线长这两条切线的夹角知识点二(1)各边都相切的圆内心(2)三条角平分线的交点三角形三边[反思] (1)PA PB PO (2)2 3 4 6 7 8(3)PB BC (4)BD ︵ BE ︵。

切线长定理及三角形的内切圆导学探究1.如图纸上有一⊙O ，PA 为⊙O 的一切线，沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B ，这时，OB 是⊙O 的半径吗？利用图形的轴对称，说明图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有什么关系？概念： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

2.如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

例题讲解:例1：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB.分别相切于点D ，E ，F 且AB ＝9cm ，BC ＝14cm ，CA=13cm ，求AF ，BD ，CE 的长习题: 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 ．例2：已知⊙I 和三角形ABC 的三条边分别相切于D 、E 、F ，⊙I 的半径为r ，三角形ABC 三条边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S ，试用含a ，b ，c ，S 的式子表示△ABC 的内切圆的半径r 。

∙ABPCEF ∙OA OBPA OPBC AA BCDEOF习题：已知⊙O 为直角三角形ABC 的内切圆，切点为D ，E ，F ，半径为r ，∠C ＝90°，AB ，BC ，AC 的长分别为c ，a ，b ，试用含a ，b ，c 的式子表示内切圆的半径r 。

习题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA ⊥x 轴于点A ，点D 在FA 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C.（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MB 的长。

PBA O《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线∴PA=PB，PO平分∠BPA例题精选：例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。

例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？（例3图）（例4图）例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．习题巩固：1．如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点．若圆O 的半径为5，且AB=11，则DE 的长度为何？（ ）A ．5B ．6C ．30D ．211（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，AB 、CD 分别为两圆的弦，AC 、BD 为两圆的公切线且相交于P 点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB 的周长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．14 3．如图，圆外切等腰梯形ABCD 的中位线EF=15cm ，那么等腰梯形ABCD 的周长等于（ ）A ．15cmB ．20cmC ．30cmD ．60cm4．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°（第4题） （第5题） （第6题）5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于点A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ）A ．50°B ．62°C ．66°D ．70°6．已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB•CD；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（ ）A 1B 2C 3D 47．以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ）A 12B 13C 14D 158．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=59，AC=3．则DE 长为（ ） A 23 B 2 C 25 D 5（第7题） （第8题） （第9题）9．正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．610．如图，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC 于M ，N ．那么2BC CN BM •的值等于（ ） A 81 B 41 C 21 D 1（第10题） （第11题） （第12题）11如图，PA 、PB 、EF 分别切⊙O 于A 、B 、D ，若PA=10cm ，则△PEF 的周长是 cm ，若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与DF 是半圆的切线，M ，N 为切点，CE ，DF 交于点P ．则AE= ，△PMN 的面积是 。

切线长定理和三角形的内切圆类型一切线长定理例1 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠【变式题组】1.如图,圆周角∠BAC=55,分别过B,C两点作⊙O的切线,两切线相交于点P,则∠BPC=______.2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于E. F. G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )类型二三角形内切圆例2两根，则△ABC的面积为______.【变式题组】3.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为( )圆形材料，则该圆的最大面积是（）A. B. C. D.类型三四边形内切圆问题例3 如图，AB是O的直径，AM，BN分别切O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO 平分∠ADC.(1)求证：CD是O的切线；(2)若AD=4，BC=9，求OD的长。

【变式题组】5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE.(1)求证：OD∥BE；(2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长。

类型四切线长定理的综合应用例4 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径。

动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

设运动时间为t，求：(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?(2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交?【变式题组】6.如图，⊙O的直径AB=12，AM和BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM与点D，交BN于点C，设AD=x，BC=y（x＜y）.（1）求y与x的函数关系式；（2）若x，y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x、y的值；（3）在（2）的条件下，求△COD的面积.例5 已知在等腰三角形△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ ACB 的平分线与边 AB 交于点 P ， M 为△ ABC 的内切圆⊙ I 与边 BC 的切点，作 MD ∥ AC ，交⊙ I 于点 D ．证明 PD 是⊙ I 的切线．【变式题组】7.已知：如图,AB为O的直径,CD、CB为O的切线,D、B为切点,OC交O于点E,AE的延长线交BC于点F,连接AD、BD.以下结论：①AD∥OC ;②点E为△CDB的内心;③FC=FE ;④CE⋅FB=AB ⋅CF.其中正确的只有( )课后练习1.如图,O内切于△ABC,切点为D,E,F分别在BC,AB,AC上。

切线长定理及三角形的内切圆一知识回顾1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

3. 常用辅助线已知PA，PB切⊙O于A，B。

（1）（2）（3）（4）图（1）中，有什么结论？（PA＝PB）图（2）中，连结AB，增加了什么结论？（增加了∠PAB＝∠PBA）图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？（增加了∠OPA＝∠OPB，OP⊥AB，AC＝BC，）。

图（4）中，再连结OA，OB。

又增加了什么结论？（增加∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＋∠APB＝180°，以及三角形全等）4. 和三角形的各边都相切的圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。

二典型例题例1. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。

求证：AC∥OP。

(一题多解)例2.已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D。

（1）若PA = 6，求△PCD的周长。

（2）若∠P = 50°求∠DOC例3. 已知，如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作弦AB切小⊙O于C点，AD切小⊙O 于E点。

求证：AB＝AD.例4.已知：AB为⊙O直径，AD∥BC，∠B = 90°，DC切⊙O于E求证：（1）CD = AD + BC（2）∠COD = 90°1例5如图，△ABC中，∠A＝α，O是△ABC的内心。