新人教版九年级上册数学[切线长定理—知识点整理及重点题型梳理](提高)

初中数学切线性质和切线长知识点归纳切线性质和切线长切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角同学们，看了这些学问点的介绍，很熟识了吧，要准时复习哦。

这样才能记得更好的。

中考物理学问归纳：压强和浮力1．压力：垂直作用在物体外表上的力叫压力。

2．压强：物体单位面积上受到的压力叫压强。

3．压强公式：P=F/S ，式中p单位是：帕斯卡，简称：帕，1帕=1牛/米2，压力F单位是：牛；受力面积S单位是：米24．增大压强方法 :(1)S不变，F↑;(2)F不变，S↓ (3) 同时把F↑，S↓。

而减小压强方法则相反。

5．液体压强产生的缘由：是由于液体受到重力。

6．液体压强特点：(1)液体对容器底和壁都有压强，(2)液体内部向各个方向都有压强；(3)液体的压强随深度增加而增大，在同一深度，液体向各个方向的压强相等；(4)不同液体的压强还跟密度有关系。

7．液体压强计算公式：，〔ρ是液体密度，单位是千克/米3；g=9.8牛/千克；h是深度，指液体自由液面到液体内部某点的竖直距离，单位是米。

〕8．依据液体压强公式：可得，液体的压强与液体的密度和深度有关，而与液体的体积和质量无关。

9．证明大气压强存在的试验是马德堡半球试验。

10．大气压强产生的缘由：空气受到重力作用而产生的，大气压强随高度的增大而减小。

11．测定大气压强值的试验是：托里拆利试验。

12．测定大气压的仪器是：气压计，常见气压计有水银气压计和无液气压计〔金属盒气压计〕。

13．标准大气压：把等于760毫米水银柱的大气压。

1标准大气压=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。

14．沸点与气压关系：一切液体的沸点，都是气压减小时降低，气压增大时上升。

切线的判定与性质及切线长定理（答案版）切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可）.题型1：切线的判定-连半径证垂直1.如图AB为⊙O的直径AC平分∠BAD交⊙O于点C CD⊥AD垂足为点D．求证：CD是⊙O 的切线．【答案】证明：连接OC∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∵OC=OA∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠ACO∴OC∠AD∵CD∠AD∴OC∠DC∵OC过圆心O∴CD是∠O的切线．【解析】【分析】连接OC 根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC 根据平行线的判定得出OC∠AD 根据平行线的性质得出OC∠DC 再根据切线的判定得出结论。

【变式1-1】如图在∠O中AB为直径BP为∠O的弦AC与BP的延长线交于点C 且AB=AC PE⊥AC于点E 求证：PE是∠O的切线．【答案】解：连接AP OP∵AB为∠O直径∴∠APB=90°即AP⊥BC又∵AB=AC∴点P是BC的中点又∵O是AB的中点∴OP是△ABC的中位线∴OP∠AC∴∠OPE=∠PEC又∵PE⊥AC∴∠PEC=90°∴∠OPE=90°∴OP⊥PE．∴PE是∠O的切线．【解析】【分析】连接AP OP 由AB为直径可知AP⊥BC结合AB=AC可得点P为BC的中点而O是AB的中点可得OP是△ABC的中位线可知OP∠AC 进而∠OPE=∠PEC 然后结合PE⊥AC可得OP⊥PE即可得到结论。

【变式1-2】如图D为∠O上一点点C在直径BA的延长线上且∠CDA=∠CBD.求证：CD是∠O 的切线.【答案】证明：连接OD∵AB为直径∴∠ADO+∠BDO=90°又∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA=∠BDO∴∠ADC+∠ADO=90°∴OD⊥CD∴CD是∠O的切线.【解析】【分析】连接OD 由圆周角定理可得∠ADO+∠BDO=90° 由已知条件以及等腰三角形的性质可得∠CDA=∠BDO 进而得到∠ADC+∠ADO=90° 据此证明.题型2：切线的判定-作垂直证半径2.ΔABC为等腰三角形O为底边BC的中点腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明：过点O作OE∠AC于点E 连结OD OA∵AB与O相切于点D∴AB∠OD∵∠ABC为等腰三角形O是底边BC的中点∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD 即OE是O的半径∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE∴AC是O的切线。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【362179 课程名称：《圆》单元复习：经典例题3】1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为-2≤OP≤0．故答案为：-2≤OP≤2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【362179 课程名称：《圆》单元复习 ：经典例题1-2】【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O3()3333332844AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ， ∴OD=CD=2，∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S △OCD ﹣S 扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为. 故选C.。

切线长定理—知识讲解（提高）审稿：【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、切线长定理1.如图，等腰三角形ABC中，6AC BC==，8AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF AC⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90BDC∠=︒．∴CD AB⊥．∵ AC BC=，∴AD BD=．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DO AC∥．∵EF AC⊥于F．∴EF DO⊥．∴EF是⊙O的切线．【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，，∵∠A=30°∴OA=图（2）∴x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.如图，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，∠O ＝140°，则∠I 为（ ） （A ）140° （B ）125° （C ）130° （D ）110°【答案】B ．【解析】因点O 为△ABC 的外心，则∠BOC 、∠A 分别是BC 所对的圆心角、圆周角，所以∠O ＝2∠A ，故∠A ＝21×140°＝70°．又因为I 为△ABC 的内心， 所以∠I ＝90°＋21∠A ＝90°＋21×70°＝125°．【总结升华】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式．类型三、与相切有关的计算与证明【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4. 如图，已知直径与等边△ABC 的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O与圆O 相交于点F 、G. (1) 求证：DE ∥AC.(2) 若△ABC 的边长为a ，求△ECG 的面积.【答案与解析】（1）∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠A=60°∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE.∴∠BDE=60°=∠A, ∴DE//AC.（2）分别连接OD 、OE ，作EH ⊥AC 于点H ．∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心， ∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE ，AD=EC.∴△ADO ≌△CEO,有AO=OC=12a . ∵圆O 直径等于△ABC 的高,∴半径 ,∴CG=OC+OG=2a ． ∵EH ⊥OC ，∠C ＝60°,可推知EH =8a . ∴【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查到切线的性质，全等三角形的判断，等边三角形的性质等，是一道很不错的题．。

专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°；第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。

本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于090。

1．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠A ＝26°，则∠C的度数为（）A．26°B．32°C．52°D．64°【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝26°，∴∠AOB＝90°﹣26°＝64°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝32°，故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，∴OM＝2，NO＝8，∴NM＝6，∵PD⊥NM，∴DM＝3∴OD＝5，∴OQ2＝OM•ON＝2×8＝16，OQ＝4．∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．即点P的坐标是（4，5）．故选：D．3．（长郡）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．【解答】（1）证明：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，在Rt△AOC和Rt△AOD中，∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．（2）解：设半径为r，在Rt△ODB中，r2+32＝（r+1）2，解得r＝4；由（1）有AC＝AD，AB＝AD+DB＝AC+DB＝AC+3，BC＝BE+2r＝1+8＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC2+92＝（AC+3）2，解得AC＝12，∴S＝AC•BC﹣πr2＝×12×9﹣π×42＝54﹣8π．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC 于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，（1）求证：CD是⊙O的直径；（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；（3）当AB＝，BC＝6时，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵AC的垂直平分线是DE，∴∠CED＝90°，∴CD是⊙O的直径；（2）解：连接OE，∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC，∵若BE是⊙O的切线，∴BE⊥OE，∠BED+∠DEO＝∠DEO+∠OEC＝90°，∴∠BED＝∠OEC，∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠C＝∠OEC，在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO＝180°，∴∠C＝30°．（3）解：∵AB＝2，BC＝6，∴tan C＝，∠C＝30°，AC＝2AB＝4，∴EC＝2，∵cos∠C＝，∴cos30°＝，∴CD＝4，∴OC＝CD＝2，∵∠C＝∠CEO＝30°，∴∠COE＝120°，∴扇形OEC的面积为＝π，作OF⊥EC，垂足是F，∵∠C＝30°，∴OF＝OC＝1，∴△OCE的面积为×2×1＝，即阴影部分的面积为π﹣．切线长定理：5．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA【解答】解：由切线长定理可得：∠1＝∠2，P A＝PB，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝P A＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．6．（长郡）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．7．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．47【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．8．（青竹湖）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，在Rt△OAD和Rt△OED，，∴Rt△OAD≌Rt △OED（HL）∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，∵∠DOE+∠COE＝90°，∴△COD是直角三角形，∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，∴S梯形ABCD＝2（S△DOE+S△COE）＝2S△COD＝OC•OD＝48，即xy＝48，又∵x+y＝14，∴x2+y2＝（x +y ）2﹣2xy ＝142﹣2×48＝100， 在Rt △COD 中，CD ＝＝＝＝10，∴CD ＝10．内切圆与外接圆半径问题9．两直角边长分别为6cm 、8cm 的直角三角形外接圆半径是 cm ．【解答】解：∵直角边长分别为6cm 和8cm ，∴斜边是10cm ，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm ． 故答案为：5．10．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，则三角形内切圆的半径为 ． 【解答】解：∵∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝＝＝8，∴△ABC 的内切圆半径r ＝＝2．故答案是：2．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 的周长为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC +BC ﹣AB ）＝1，∴AC +BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14． 故选：B ．12.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_________. 【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，如图，设Rt △ABC 的内切圆的半径为r ，则OD=OE=r ，∵∠C=90°，∴CE=CD=r ，AE=AN=3-r ，BD=BN=4-r ，∴4-r+3-r=5，解得r=1，∴AN=2，在Rt △OMN 中，MN=AM -AN=21， ∴25OM ，则该三角形内心与外心之间的距离为25.13．（长沙中考）如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，CE ∥AD ，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【解答】（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE＝2AD＝6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，而∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE ＝∠E，∴AE＝AC，而AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB＝＝5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42＝R2，解得R＝，∴PD＝P A﹣AD＝﹣3＝，∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ＝S△ABC，∴•r•5+•r•8+•r•5＝•3•8，解得r＝，即QD＝，∴PQ＝PD+QD＝+＝．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．14.（青竹湖）如图，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 对角线， DG AC ⊥于点G ，延长DG 交AB 于点E ，已知6AD =，8CD =。

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。

2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。

4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。

圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。

2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。

圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。

切线长定理【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点进阶：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理例1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．例2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.OFDCBA3421OFDCBA例3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A.12B.24C.8D.6类型二、圆外切四边形例4.已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【巩固练习】 一、选择题1. 下列说法中，不正确的是 ( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.21（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.31（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r3.如图，点P 在⊙O 外，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∠P=50°，则∠AOB 等于（ ）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°第4题图 第5题图5．如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°，∠P 的度数为（ ）A.35°B.45°C.65°D.70°6．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中， 半径是3cm 的圆是( )二、填空题7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o，则∠A 的度为________．第7题图 第8题图 第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．10．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P ____度．第10题图 第11题图11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .12.已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．三、解答题13．已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是BC上任意一点，过点P 作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO=d，BO=r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．14. 已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．15.如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．（1）求证：四边形OECF为正方形；（2）求⊙O的半径；（3）求AB的长．。

第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。

2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。

3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。

知识点01 切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA 与PB的长度是切线长。

2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。

圆心和这一点的连线两条切线的夹角。

即P A PB，∠APO∠BPO。

推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒AM⌒AM⌒⇒AB OP。

题型考点：①切线长定理的应用。

【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02 三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。

三角形叫做圆的。

2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。

所以圆心到三角形三边的距离相等。