九年级数学:切线长定理
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初中数学什么是切线长定理
初中数学中,切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义:
-切线长定理:在一个圆上,一个角的顶点在切点上,另外两个顶点在圆上,这个角的两条边分别与切线相交,那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质:
-定理性质1:切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交,且角的顶点在切点上,那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念:
-切点:切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度:切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念,它可以帮助我们理解和应用几何知识,解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时,需要注意定理的定义和性质,并运用几何知识进行推理和分析。
例如,如果我们需要判断两条切线的长度是否相等,我们可以先找到这两条切线与同一个角相交,并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质,我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
九年级切线长定理知识点九年级切线长定理是数学中的一个重要定理,它在解决几何问题中起到了至关重要的作用。
切线长定理的应用范围非常广泛,涉及到各种与圆相关的数学问题。
本文将从几何概念、切线的定义、切线长定理的推导和应用等方面进行讲解。
首先,我们来回顾一下一些基本的几何概念。
在平面几何中,圆是指平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径决定,其中圆心是指到圆上任意一点的线段的中点,半径是指圆心到圆上任意一点的线段。
而切线是指与圆只有一个公共点的直线。
那么,如何准确地描述切线的定义呢?我们可以从圆的性质出发来定义切线。
对于任意一点P在圆上,过P点与圆心O的直线,称为弦。
如果弦只有一个公共点与圆相交,那么这条弦就是切线。
换言之,切线是与圆只有一个交点的直线。
接下来,我们来探索一下切线长定理的推导过程。
假设已知圆的半径为r,切线与半径的交点为A,切线与圆的切点为B,那么我们要证明切线长与半径和半径所对的圆心角存在相等关系。
首先,我们可以得到△OBA为直角三角形。
通过勾股定理,我们可以得到OB的平方等于OA的平方加上AB的平方,即OB²=OA²+AB²。
运用一些几何性质,我们得到△OBA与△OAB相似。
由于两个三角形的对应边的比例相等,于是可以得到OA的比例等于AB的比例,即OA/AB=AB/OB。
同时,AB/OB等于弦两端的线段的比例,即AB/2r,因为弦被半径平分。
将这个比例代入前面的等式中,我们可以得到OA²=2r×AB。
这就是切线长定理的推导过程。
经过推导,我们可以得出切线长与半径之间的关系。
具体来说,切线长等于半径的平方乘以2,即l=2r。
这意味着在圆上,如果我们知道了圆的半径,就可以直接计算出切线的长度,而不需要知道切线与半径的具体交点位置。
切线长定理在解决几何问题中发挥了重要的作用。
它在很多应用中都展现出了其独特的价值。
例如,当我们需要计算切线的长度时,只需要知道圆的半径即可,无需知道切线与圆的具体交点位置。
切线长定理【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理;2.了解圆外切四边形定义及性质;3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.要点进阶:切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长,不是“切线的长”的简称.切线是直线,而非线段. 2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶:切线长定理包含两个结论:线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理例1.已知PA、PB分别切⊙O于A、B,E为劣弧AB上一点,过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1)若PA=6,求△PCD的周长.(2)若∠P=50°求∠DOC.例2.如图,△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于D,E为BC中点.求证:DE是⊙O切线.举一反三:【变式】已知:如图,⊙O为ABC∆的外接圆,BC为⊙O的直径,作射线BF,使得BA平分CBF∠,过点A作AD BF⊥于点D.求证:DA为⊙O的切线.OFDCBA3421OFDCBA例3.如图,正方形ABCD边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,过A作半圆的切线,与半圆相切于F点,与DC相交于E点,则△ADE的面积()A.12B.24C.8D.6类型二、圆外切四边形例4.已知四边形ABCD中,AB∥CD,⊙O为内切圆,E为切点.(Ⅰ)如图1,求∠AOD的度数;(Ⅱ)如图1,若AO=8cm,DO=6cm,求AD、OE的长;(Ⅲ)如图2,若F是AD的中点,在(Ⅱ)中条件下,求FO的长.举一反三:【变式】在圆外切四边形ABCD中,AB:BC:CD:AD只可能是().A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【巩固练习】 一、选择题1. 下列说法中,不正确的是 ( )A .三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B .锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C .垂直于半径的直线是圆的切线D .三角形的内心到三角形的三边的距离相等2.△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,它的内切圆的半径为r ,则△ABC 的面积为( ) A.21(a +b +c )r B.2(a +b +c ) C.31(a +b +c )r D.(a +b +c )r3.如图,点P 在⊙O 外,PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点,∠P=50°,则∠AOB 等于( )A .150°B .130°C .155°D .135°4. 如图所示,⊙O 的外切梯形ABCD 中,如果AD ∥BC ,那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°第4题图 第5题图5.如图,PA 、PB 分别是⊙O 的切线,A 、B 为切点,AC 是⊙O 的直径,已知∠BAC=35°,∠P 的度数为( )A.35°B.45°C.65°D.70°6.已知如图所示,等边△ABC 的边长为2cm ,下列以A 为圆心的各圆中, 半径是3cm 的圆是( )二、填空题7.如图,⊙I 是△ABC 的内切圆,切点分别为点D 、E 、F ,若∠DEF=52o,则∠A 的度为________.第7题图 第8题图 第9题图8.如图,一圆内切于四边形ABCD ,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD 的周长为________.9.如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆,∠BAC=50o,则∠BOC 为____________度.10.如图,PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ,点E 是⊙O 上一点,且 60=∠AEB ,则=∠P ____度.第10题图 第11题图11.如图,PA与⊙O相切,切点为A,PO交⊙O于点C,点B是优弧CBA上一点,若∠ABC=32°,则∠P 的度数为 .12.已知点P是半径为1的⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且PA=1,AB是⊙O的弦,AB=,连接PB,则PB= .三、解答题13.已知,如图,A是⊙O外一点,AB,AC分别与⊙O相切于点B,C,P是BC上任意一点,过点P 作⊙O的切线,交AB于点M,交AC于点N,设AO=d,BO=r.求证:△AMN的周长是一个定值,并求出这个定值.14. 已知:如图,PA,PB,DC分别切⊙O于A,B,E点.(1)若∠P=40°,求∠COD;(2)若PA=10cm,求△PCD的周长.15.如图,∠C=90°,⊙O是Rt△ABC的内切圆,分别切BC,AC,AB于点E,F,G,连接OE,OF.AO的延长线交BC于点D,AC=6,CD=2.(1)求证:四边形OECF为正方形;(2)求⊙O的半径;(3)求AB的长.。
切线长定理【知识要点】 一、切线长定理: 1.切线长概念:在经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 2.切线长和切线的区别切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,是圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量. 3.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.要注意:此定理包含两个结论,如图,PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点,①PA=PB ②PO 平分APB ∠. 4.两个结论:圆的外切四边形对边和相等; 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.【典型例题】例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点,若PO=13㎝,PED ∆的周长为24㎝,40APB ∠=︒, 求:①⊙O 的半径;②EOD ∠的度数.例2 如图,⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,若,,BC a AC b AB c ===. (1)求AD 、BE 、CF 的长;P(2)当90C ∠=︒,求内切圆半径r .例3 如图,PA 、PB 为⊙O 的切线,A 、B 为切点,AGB:AMB=1:2,AP=6,试求AB 、OA 、OP 、OC 、PG 的长度。
例4 如图,已知经过半径为6cm 的⊙O 的直径AB 的两端作该圆的切线AC 和BD ,再过⊙O 上一点P 作切线与AC 、BD 分别交于C 、D 两点,四边形ABDC 的面积为902cm ,求四边形ABDC 各边的长。
例5.如图,AB 是⊙O 的直径,AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B 、E,DO 交AE 于F ,OC 交BE 于G .求证:(1)CO DO ⊥(2)四边形EFOG 是矩形BAPGCOBM·ABC PDO·AODBCEFG【课堂训练】1.如图,PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ,OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论,错误的是( ) A 、OP AB ⊥ B、AM=DM C 、APO BPO ∠=∠ D 、M 是PAB ∆的外心2.若⊙O 的切线长和半径相等,则两条切线所夹的角的度数为:( ) A 、30︒ B 、45︒ C 、60︒ D 、90︒ 3.圆的外切平行四形一定是 形.4.圆外切梯形的周长为24cm ,则它的中位线的长是 ㎝.5.直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝,则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝, 内切圆半径为 ㎝.6.如图,直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ,且AB ∥CD ,若OB=6㎝,OC=8㎝,则BOC ∠= ,⊙O 的半径= ㎝,BE+CG= ㎝.7.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,AB 交OP 于点M ,若2,OM cm AB PB ==, 则⊙O 的半径是 ㎝.8.如图,四边形ABCD 是直角梯形,以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E ,若此圆半径为6㎝,梯形ABCD 的周长为38㎝,求梯形的上、下底AD 、BC 的长.C课后作业姓名日期完成时间家长签名1.如图,Rt ABC∆中,90BAC∠=︒,以AB为直径的⊙O交BC于点D,切线DE交AC于E.求证:12DE AC=.2.如图,AF是⊙O直径,CB切⊙O于B,CE⊥AF于E,交AB于D,求证:CB=CD.3.如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.(1)求证:2AB AE BC=⋅;(2)已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF的长.·AODBE·AODB CEF。
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】(一)知识要点----切线长定理1.切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长。
如图,PA,PB即为P点到圆的切线长。
2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
(二)知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
练习1.已知:如图,AB 为⊙O 的直径,PA 、PC 是⊙O 的切线,A 、C 为切点,∠BAC =30. (1)求∠P 的大小;(2)若AB =6,求PA 的长.【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论,利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。
2.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,PD 切⊙O 于点D ,过点B 作BE ⊥PD ,交PD 的延长线于点C ,连接AD 并延长,交BE 于点E .(1)求证:AB=BE ;(2)连结OC ,如果PD=∠ABC=,求OC 的长.603.如图,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于D,过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G.(1)求证:CG是⊙O的切线;4.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,∠OAB=90°.⊙P1是△OAB的内切圆,且P1的坐标为(3,1).(1)OA的长为__________,OB的长为__________;(2)点C在OA的延长线上,CD∥AB交x轴于点D.将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2,将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3,按照同样的方法继续操作,依次得到⊙P4,…⊙Pn.若⊙P1,⊙P2,…⊙Pn均在△OCD的内部,且⊙Pn恰好与CD相切,则此时OD的长为__________.(用含n的式子表示)【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三条边的距离都相等。
切 线 长 定 理 胜利中学刘秀峰
学习目标:理解切线长、切线长定理,并会用切线长定理解决实际问题。
培养学生的观察、
分析能力,转化思想。
重点:切线长定理及实际应用。
难点:切线长定理的实际应用。
学习过程:
一、如图:在同一平面内,你能过已知点,作出已知圆的切线吗?
二填空:
1、经过 一点作圆的切线, 和 之间的 叫做这点到圆的
2、如图:(1)直线PA ,PB 叫 。
(2)线段PA 、PB 的长叫 。
3、切线和切线长是两个不同的概念:
(1)、切线是一条与圆相切的 ,不能 ;
(2)、切线长是 ,这条线段的两个端点分别是 和切点,可以 。
4、切线长定理:从 可以引圆的两条切线,它们的 相等,这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角.
5、切线长定理的数学语言是:
∵
∵
6、如图:PA 、PB 是∵O 的两条切线,A 、B 为切点;由切线长定理可以得出哪些结论?
(1) 图中所有的直角三角形是:
(2) 图中所有的等腰三角形是:
(3) 图中所有的全等三角形是:
三、尝试应用(一),我最棒! 如图:已知∵O 的半径为3cm ,PO =5cm ,PA ,PB 分别切∵O 于A ,B ,
(1)PA = ,PB = .
(2)若PO 交∵O 于点Q ,直线CD 切∵O 于点Q ,交PA 、PB 于点C 、D ,则
∵PCD 的周长是______.
· O · O · O ·P ·P ·P O B A P O B A P C Q D Q D C 。
A O C P B
四、如图:有一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮?
五、尝试应用(二)
已知:在∵ABC 中,BC =14厘米,AC =9厘米,AB =13厘米,它的内切圆I 分别和BC ,AC ,AB 相切于点D ,E ,F ,求AF ,BD 和CE 的长
六、小结:
1、本节课你有什么收获?
2、你还有什么不明白的问题吗?
七、课堂检测,我是高手!要求认真读题、回扣知识点!
1、直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm 则其内切圆的半径为______。
2.已知:AB,BC,CD 分别与⊙O 相切于E,F,G 三点,且AB ∥CD ,BO=6cm ,CO=8cm.求BC 的长..
A B C ● I D E F B
A C a b c r A F E D C
B O G。