最新人教版初中九年级上册数学《切线长定理》教案

初中数学切线长定理教案教学目标：1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理。

2. 通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想。

3. 通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。

教学重点：理解并掌握切线长定理。

教学难点：应用切线长定理解决问题。

教学准备：多媒体计算机、黑板、粉笔。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，如圆的轴对称性、圆的切线与半径的关系等。

2. 提问：从圆外一点可以引几条切线？它们的性质是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍切线长的概念：圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。

2. 引导学生观察图形，猜想切线长定理。

3. 引导学生通过几何画图和度量，验证猜想。

4. 引导学生运用代数方法证明切线长定理。

三、例题分析（15分钟）1. 给出一个应用切线长定理的例题，引导学生分析解题思路。

2. 引导学生一起解答例题，注意引导学生运用切线长定理。

3. 总结解题方法，强调切线长定理在解题中的应用。

四、课堂练习（15分钟）1. 给出几道练习题，让学生独立完成。

2. 引导学生相互讨论，解答练习题。

3. 选取部分学生的作业进行点评，讲解正确解题思路。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结切线长定理的性质和应用。

2. 强调切线长定理在几何解题中的重要性。

六、课后作业（课后自主完成）1. 深化理解切线长定理，尝试解决更复杂的几何问题。

2. 撰写一篇关于切线长定理的学习心得，分享自己的学习体会。

教学反思：本节课通过引导学生观察、猜想、证明和应用，使学生掌握了切线长定理。

在教学过程中，注意调动学生的学习积极性，培养学生的几何思维和代数解题能力。

通过例题分析和课堂练习，让学生更好地理解和运用切线长定理。

在今后的教学中，要继续关注学生的学习情况，针对不同学生制定合适的教学策略，提高教学效果。

第3课时切线长定理教学目标1．了解切线长的概念．2．掌握切线长定理，理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念．教学重点切线长定理及应用．教学难点切线长定理的导出及证明和综合应用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B.1．OB是⊙O的一条半径吗？2．PB是⊙O的切线吗？3．我们把经过圆外一点的圆的切线上，切点与圆外一点之间的线段叫做切线长，本节课主要研究切线长的有关性质．二、自主学习指向目标1．自读教材第99至100页．2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一切线长定理活动一：出示教材第99页“探究”．思考：在折叠的过程中，你发现了什么？【展示点评】1.经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间的线段长叫做切线长．如右图，线段________和________的长就是切线长．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________．如上图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，于是由定理可得两个结论：________＝________，∠________＝∠________.【小组讨论】切线和切线长的区别是什么？教材是如何证明切线长定理的？【反思小结】切线与切线长是不同的概念，切线是直线，不可度量；切线长是切线上的一条线段的长，可以度量．切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二三角形的内切圆活动二：出示教材第99页“思考”问1：与△ABC三边距离相等的点在什么地方？你能作出这个点吗？问2：以这一点为圆心，以该点到三边距离为半径作圆，这个圆与三角形的三条边是什么关系？【展示点评】与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个圆的圆心叫做三角形的内心．【小组讨论】内切圆与外接圆有什么区别？[综合运用]出示教材第100页例2.学生合作交流完成，老师点评．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标有关概念、定理,1.经过圆外一点作圆的切线，这点和______之间的______的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的______相等，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________，内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________．方法、规律,,1.在运用切线长定理时，如左图作出辅助线，可以与等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等知识产生联系．,2.三角形的内心已知时，连接顶点和内心的射线平分这个内角，从而要将内心条件和角平分线条件建立起对应关系．易错点,,如左图，若AB＝AC，且AB与⊙O相切于点B，那么AC也是⊙O的切线．注意这只是真命题，而不是定理，不可当证明依据使用．五、达标检测反思目标1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝75°，则∠BOC的度数为( C )A．105°B．125°C．127.5°D．100°2．如图，△ABC的周长为18，其内切圆分别切三边于D、E、F三点，CE＝3，BE＝4，则AF的长为( A )A．2 B．3 C．4 D．5第1题图第2题图六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第101页习题24.2第11，12题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思。

切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。

2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。

2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。

2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。

3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。

五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。

（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。

4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。

（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。

5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。

6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。

（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。

7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。

《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

第3课时切线长定理【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.由此我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC 中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为3PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.分析：∵I是内心.∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.∴∠ABC+∠ACB=160°.∴∠A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O 的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.3.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝cm4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,O x.∵YW,Y x均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,O x⊥x Y，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x .∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC.则ABC AOB BOC AOC S S S S =++ ()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG .∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。

第3课时 切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC)＋(CF ＋PF)＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝12BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD)2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC.又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.三、板书设计教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.学生励志寄语：同学们，通过这节课的学习，你们学到了哪些知识？要珍惜时间好好学习，要明白时间就像日历一样，撕掉一张就不会再回来。

第3课时切线长定理01 教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．02 预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．03 新课讲授例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【思路点拨】根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，设AE＝x，用含x的代数式表示出BD，CD，根据BC＝14列出方程即可．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】 (24.2.2第3课时习题)如图，已知⊙O 是Rt△ABC (∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F .(1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r .解：(1)证明：∵BC ，AC 分别与⊙O 相切于D ，E ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°.∴四边形ODCE 为矩形．又∵OE ＝OD ，∴矩形ODCE 是正方形．(2)由(1)得CD ＝CE ＝r ，∴a ＋b ＝BD ＋AE ＋2r ＝BF ＋AF ＋2r ＝c ＋2r ，解得r ＝a ＋b －c 2.04 巩固训练1．如图，Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝2．2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD∥BC，则∠DOC＝90°．3．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC＝65°．4．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心．若∠BOC＝140°，则∠BIC＝125°．5．如图，△ABC切⊙O于D，E，F三点，内切圆⊙O的半径为1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为(C)A．12 B．14 C．10＋2 3 D．10＋ 3提示：连接OE，OF，OC.05 课堂小结1．切线长定理．2．三角形的内切圆及内心．3．直角三角形内切圆半径公式．。

切线长定理
【教学目标】
1．切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。

2．应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。

3．让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙的向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。

【教学重点】
1．使学生理解切线长定义。

生，从而使每个学生都能达标。

第五环节：延伸思考，提升层次。

这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究。

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的判定方法、性质定理以及切线长定理。

本节内容是在学习了函数图像、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行学习的，为后续学习解析几何和高中数学打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数图像、直线与圆的位置关系等知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑思维能力。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理的理解和应用还需要加强。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现切线，培养学生的几何直观能力，同时，通过实例讲解，使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握切线的判定方法。

2.使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理和切线长定理的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现和理解切线。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例讲解，使学生直观地理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和探究中加深对切线知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。

2.准备切线相关的实际问题，用于引导学生学习。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如：如何判断一条直线是否为圆的切线？圆的切线有什么特殊的性质？引发学生对切线的兴趣，从而导入新课。

2.呈现（10分钟）讲解切线的判定方法，通过多媒体动画演示和实例讲解，让学生直观地理解和掌握切线的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生通过练习一些切线的判定问题，加深对切线判定方法的理解和应用。