2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国III卷)(含答案)

绝密★启用前2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷（一）（全国Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-，12C x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则集合C =() A ．()UA B ⋂B ．()UA B C ．()UA BD ．()UA B答案：B观察集合,A B ，算出A B ，再算其补集，即可得答案；解：全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-， 12A B x x ⎧⎫∴⋃=<⎨⎬⎩⎭，∴()12U AB x xC ⎧⎫=≥=⎨⎬⎩⎭，故选：B. 点评：本题考查集合的交、并、补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z -=（） A ．12i -+ B ．12i -C ．-1D ．12i +答案：D因为复数1z i =+，所以222221+1+1+12(1)2z i i i i i z i i-=-=-=+=++，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分． 3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多答案：D根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案；解：对A，可知90后占了56%，故A正确；对B，技术所占比例为39.65%，故B正确；对C，可知90后明显比80前多，故C正确；对D，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D错误.故选：D.点评：本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题.4．某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）A．240种B．150种C．120种D．60种答案：D分析：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，由分步计数原理计算可得答案．详解：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52=10种选法，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，则有10×6=60种不同的安排方法， 故选：D ．点睛：本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础题.5．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =，2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为() A ．3B ．22C ．3 D ．23答案：C三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，设S 在面ABC 内的射影为AB 中点H ，确定S ABC -的外接球的球心O 的位置，再利用直角三角形的性质，即可得答案； 解：三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH 上任意一点到A ，B ，C 的距离相等.3SH =1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 交SC 于M ， 则O 为S ABC -的外接球球心.2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，23SO ∴=3OH ∴=O 到平面ABC 的距离. 故选：C. 点评：本题考查三棱锥的外接球问题、点到面的距离，考转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.6．已知曲线421y x ax =++在点()()1,1f --处切线的斜率为6，则()1f -=()A ．3B ．4-C ．3-D ．4答案：C对函数求导，再根据'(1)6y -=可得a 的值，再将1x =-代入函数中，即可得答案；解：342y x ax '=+，426a ∴--=，5a ∴=-，()1113f a ∴-=++=-.故选：C. 点评：本题考查导数几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 7．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是()A ．20B ．26C ．57D ．16答案：B阅读程序框图根据T 与S 的大小关系，一步一步模拟运行程序，即可得答案； 解：第一次循环，00≤是，44S S ∴=+=，20T T n =+=，11n n =+=； 第二次循环，04≤是，48S S ∴=+=，21T T n =+=，12n n =+=； 第三次循环，18≤是，412S S ∴=+=，24T T n =+=，13n n =+=； 第四次循环，412≤是，416S S ∴=+=，211T T n =+=，14n n =+=； 第五次循环，1116≤是，420S S ∴=+=，226T T n =+=，15n n =+=；2620≤否，故输出T 的值是26.故选：B. 点评：本题考查程序框图中的直到型循环，考查运算求解能力，求解时注意程序运行终止的条件. 8．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是()A ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭答案：A利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到12log 1x >，解绝对值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围. 解：偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，由12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得12log 1x >，所以12log 1x >或12log 1x <-，解可得，102x <<或2x >. 故选：A. 点评：本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题. 9．函数()sin 2xf x x =-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．答案：A分析：由函数的解析式，求解函数函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；再由x π=时，()0f π>，排除C ，即可得到答案． 详解：由函数()sin 2x f x x =-，则满足()sin()(sin )()22x xf x x x f x --=--=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项； 由当x π=时，()sin 022f ππππ=-=>，排除C ，故选A ．点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10．在ABC 中，若2π3C =，3AB =，则ABC 的周长的最大值为() A ．9 B ．6C ．323+D ．33+答案：C利用正弦定理将三角形的周长表示成关于A 的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 解：根据正弦定理，3232πsin sin sin sin3AB BC AC C A B ====， 那么23BC A =，23AC B =， 所以周长等于π23sin 23sin 323sin sin 33A B A A ⎤⎛⎫++=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦3123cos sin 322A A ⎫=++⎪⎪⎭ π2333A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当6A π=时，ABC 的周长的最大值为323+故选：C.点评：本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意A 的范围.11．一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成的角为()090θθ︒<<︒的平面所截，截面是一个椭圆面，当45θ=︒时，这个椭圆的离心率为()A ．12B ．22C 3D ．23答案：B结合图形可得椭圆的短半轴b R =，2a R =，再利用离心率公式，即可得答案；解：由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ， 所以椭圆的长轴长22cos Ra θ=，得2a R =， ()22222c a b R R R =-=-=，所以椭圆的离心率22c e a ==. 故选：B. 点评：本题考查椭圆离心率的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意充分利用图形的特点进行解题. 12．若()0,πa ∈，()sin ,cos ,x x af x x x a >⎧=⎨≤⎩的图象关于x a =对称，则()2f a =()A ．1-B ．12-C ．1D ．3 答案：C作出图象如图所示，可得a 的值，再代入函数的解析式求函数值，即可得答案； 解：画出图象如图所示：由图象可得π4a =，∴()sin ,,4cos ,,4x x f x x x ππ⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩则()ππ2sin 122f a f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 点评：本题考查正余弦函数的图象与性质、三角函数值的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题13．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为60°，且满足()121e e e λ⊥-，则实数λ的值为______. 答案：2根据向量垂直，数量积为0，可得()1210e e e λ⋅-=，再利用数量积的定义进行运算，即可得答案；解：由单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=， 由()121e e e λ⊥-，可得()1210e e e λ⋅-=，∴()21210e e e λ⋅-=，则102λ-=，解得2λ=.故答案为：2. 点评：本题考查向量垂直与数量积的关系，考运算求解能力，属于基础题. 14．函数ππsin cos 33y x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______. 答案：262利用两角和的正弦和两角差的余弦公式展开可得π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得答案； 解：11sin cos cos 2222y x x x x =+++)1sin cos 2x x =+π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴点评：本题考查三角恒等变换及三角函数的最值，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.15．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为__________．答案：2213y x -=由题意知，2c a =，即2c a =，则b =，由圆的方程可知，其圆心坐标为(),0a ，半径2r =不妨取双曲线渐近线0bx ay -=，则=，即=1a =，则b =故所求双曲线的方程为2213y x -=.点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.16．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都等于2，D 在1 AC 上，F 为1BB 中点，且1FD AC ⊥，则1ADDC=______.答案：1由F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，可证得D为1AC 中点，即可得答案；解：F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，2215AF FC AB BF∴==+=1AFC∴△为等腰三角形，又1FD AC⊥，D∴为1AC中点，11ADDC∴=.故答案为：1点评：本题考查空间几何中线段长度的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.三、解答题17．某公司准备将1000万元资金投人到市环保工程建设中，现有甲，乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ（万元）的概率分布列如表所示：1ξ110 120 170P m0.4 n且1ξ的期望()1120Eξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为14和34.若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与2ξ的关系如表所示：X0 1 2（1）求m ，n 的值； （2）求2ξ的分布列.答案：（1）0.5m =，0.1n =；（2）分布列见解析.（1）根据分布列中概率和为1，期望值为120，可得关于,m n 的方程，解方程组即可得答案； （2）根据相互独立事件相乘的概率，可得2ξ的分布列. 解：（1）由题意得0.411101200.4170120m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩，解得0.5m =，0.1n =.（2）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204，()213341.2114416P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21133105117.64444168P ξ==⨯+⨯==，()21332044416P ξ==⨯=，所以2ξ的分布列为：点评：本题考查离散型随机变量分布列的性质、相互独立事件概率计算，考查阅读理解能力和运算求解能力.18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=︒.（1）求证：CD BF ⊥； （2）若22AB EF ==，2BC =，直线BF 与平面ABCD 所成角为60°，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）42. （1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面ABCD ，因此FO ⊥OB .证明CD ⊥平面FOB ，即可证明结论；（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，求出平面ADE 的法向量()1,1,0m =，平面BCF 的法向量()3,3,1n =，代入向量的夹角公式，即可得答案；解：（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面ABCD ，因此FO ⊥OB .FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=︒，FOC FOB ∴△≌△，OB OC ∴=，由已知45DCB ∠=︒得BOC 为等腰直角三角形， 因为OB CD ⊥，又CD FO ⊥，OB OF O ⋂=，CD平面FOB ，CD BF ∴⊥.（2）//AB CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，平面ABEF平面CDEF EF =，//AB EF ∴.由（1）可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，由题设可得60FBO ∠=︒，进而可得()1,2,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -，(0,3E -，(3F .设平面ADE 的法向量()111,,m x y z =，则00m AD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，111030x y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，可取()1,1,0m =.设平面BCF 的法向量()222,,n x y z =，则00n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2222030x y y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可取()3,3,1n =.则2342cos ,727m n m n m n⋅===⋅⋅.∴二面角的余弦值为427.点评：本题考查面面垂直性质定理和线面垂直判定定理的运用、向量法求二面角的余弦值，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意定理条件的完整性. 19．已知数列{}n a 中，11a =，()*112n n n a a n N +⋅=∈. （1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，求2n T . 答案：(1)答案详见解析；（2）213[1()]2nn T =- （1）由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得221212n n n a a +⋅=，21222112n n n a a +++⋅=，两式相除即可证明结论.（2）将数列n a 的奇数列构造成新的数列n c ，由（1）的证法可得数列n c 也为等比数列，用分组求和法即可得到答案. 解：因为在数列{}n a 中，()*112n n n a a n N +⋅=∈， 所以221212n n n a a +⋅=①，21222112n n n a a +++⋅=②，②式除以①式得22212n n a a +=，即2(1)212n n a a +=， 由2n n b a =得，2(1)121()2n n n n a b n N b a +*+==∈， 又11a =，所以1212a a =，则212a =，所以1212b a ==， 所以数列{}n b 是12为首项以12为公比的等比数列.（2）令21()n n c a n N *-=∈,由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得2122112n n n a a --⋅=，221212n n n a a +⋅=，所以212112n n a a +-=，所以2(1)1121212112n n n n n n a c a c a a +-++--===， 又111c a ==，所以数列{}n c 是1为首项以12为公比的等比数列. 所以2123212n n n T a a a a a -=+++++1321242()()n n a a a a a a -=+++++++1212()()n n c c c b b b =+++++111[1()][1()]12223[1()]1121122n n n --=+=--- 点评：本题主要考查等比数列的证明，构造等比数列，分组求和法，属中档题. 20．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数．(1)若0a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围． 答案：（1）见解析；（2）122a e -≤-.分析：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，利用函数的单调性可求出函数的极值；（2）()f x 在()0,a -上单调递增等价于()0f x '≥在()0,x a ∈-上恒成立，求得导数和单调区间，讨论a -与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得a 范围.详解：（1）当0a =时：()2ln xf x x =的定义域为()0,+∞ ()312ln xf x x -'=令()0f x '=，得x =当(x ∈时，()0f x '>，()f x在(上单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x在)+∞上单调递减；当x =()f x的极大值为12fe=，无极小值. （2）()()312ln ax x f x x a +-+'=()f x 在()0,a -上单调递增 ()0f x ∴'≥在()0,x a ∈-上恒成立，()()30,,0x a x a ∈-∴+< ∴只需12ln 0ax x+-≤在()0,x a ∈-上恒成立 ∴2ln a x x x ≤-在()0,x a ∈-上恒成立令()()2ln ,0,g x x x x x a =-∈- 则()2ln 1g x x ='+ 令()0g x '=，则：12x e -=①若120,a e -<-<即120e a --<<时()0g x '<在()0,x a ∈-上恒成立∴()g x 在()0,a -上单调递减∴()()()2ln a a a a ≤---- ∴()ln 0a -≥，∴11a a -≥⇒≤-这与12a e ->-矛盾，舍去 ②若12,a e -->即12a e -<-时当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当12,x e a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在12,e a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当12x e -=时，()g x 有极小值，也是最小值，∴()1111122222min 2ln 2g x g e e e e e -----⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭∴122a e -≤-综上122a e -≤-点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a 的最大值.21．已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2.直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 交于点M . （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 答案：（1）24x y =；（2）4.（1）根据焦点到准线的距离为p ，即可得到抛物线的方程；（2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为1-，从而求得直线l 方程为1y kx =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；解：（1）由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-.由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-. 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=. 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+. 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1M k -. M 点到直线l的距离d ==.()241AB k ==+，所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥.当0k =时，MAB △面积取得最小值4. 点评：本题考查抛物线方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积最值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的方程为ρ=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的任意点，求AB 的最小值.答案：（Ⅰ）4y x =-+，2214x y +=分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.(2)设点B 为()2cos ,sin θθ,再求出AB=|AB|的最小值.详解：（Ⅰ）由2x=2x =-，代入2y =+， 得1C 的普通方程4y x=-+. 由ρ=，得2223sin 4ρρθ+=.因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2214x y +=.（Ⅱ）因为椭圆2C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.可设点B 为()2cos ,sin θθ， 由点到直线的距离公式，得AB===，其中cosϕ=sin ϕ=由三角函数性质可知，当()sin 1θϕ+=时，AB点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用. 23．已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈. （1）当1a =，解不等式()2f x ≥；（2）求证：1()22f x a a ≥--. 答案：（1）1{|1}3x x x ≤-≥-或.（2）见解析.试题分析：（1）当1a =，不等式即()2212f x x x =+++≥，零点分段可得不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-.（2）由题意结合绝对值不等式的性质可得：()222a a f x x x x =+++++222a a x ≥-++22a ≥-()122a a =--122a a ≥--. 试题解析：（1）当1a =，()2212f x x x =+++≥2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或12212x x ⎧-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或12332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩2x ⇔≤-或21x -<≤-或13x ≥-1x ⇔≤-或13x ≥-，所以不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）()22f x x x a=+++222a a x x x =+++++222a ax ≥-++2222a a≥-=-()122a a =--122a a ≥--122a a =--.。

全国Ⅰ卷理数1．设1i2i 1iz-=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5aA ．12-B ．10-C ．10D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC- B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．5C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x xf x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A 33B 23C ．324D 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{(,)|A x y x=，*y N∈，}y x，{(,)|8}B x y x y=+=，则A B中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．62．复数113i-的虚部是()A．310-B．110-C．110D．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．140.1p p==，230.4p p==B．140.4p p==，230.1p p==C．140.2p p==，230.3p p==D．140.3p p==，230.2p p==4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKI te--=+，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95I t K=时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )(193)ln≈A．60 B．63 C．66 D．695．设O为坐标原点，直线2x=与抛物线2:2(0)C y px p=>交于D，E两点，若OD OE⊥，则C的焦点坐标为()A．1(4，0)B．1(2，0)C．(1,0)D．(2,0)6．已知向量a，b满足||5a=，||6b=，6a b=-，则cos a<，(a b+>=) A．3135-B．1935-C．1735D．19357．在ABC∆中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则cos(B=)A．19B．13C．12D．238．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．642+B．442+C．63+D．43+初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，．P 是C上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则(a = )A ．1B ．2C ．4D ．8 12．已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan (θ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．210．若直线l与曲线y =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为( )A ．21y x =+B ．122y x =+C ．112y x =+D ．1122y x =+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【答案】C1【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB 1146=++=．∴该阳马的外接球的表面积：264()6ππ⨯=． 故选C ．4．若3sin()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．2425C ．725-D ．2425-【答案】C 【解析】 由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．5．二项式812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A ．448B ．900C ．1120D ．1792【答案】C 【解析】该二项展开式通项为()888288122rrrr r rC C x x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令820r -=，则4r =，常数项等于44821120C =.故选：C.6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

目录2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）.......................................................................................... 1 2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）.......................................................................................... 9 2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）. (18)绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12BC ．23D6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）8．点(0)1-，到直线()1y k x =+距离的最大值为 A ．1BCD ．29．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．10．设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图像关于y 轴对称 C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国卷(3)理科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）理科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合$A={(x,y)|x,y\in N^*,y\geq x}$，$B={(x,y)|x+y=8}$，则$A\cap B$中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．62.复数的虚部是$\dfrac{1-3i}{1331}$，则实部是A．$-\dfrac{3}{1331}$ B．$-\dfrac{1}{1331}$ C．$\dfrac{1}{1331}$ D．$\dfrac{3}{1331}$3.在一组样本中，1，2，3，4出现的频率分别为$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，且$\sum\limits_{i=1}^4 p_i=1$，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A．$p_1=p_4=0.1$，$p_2=p_3=0.4$ B．$p_1=p_4=0.4$，$p_2=p_3=0.1$ C．$p_1=p_4=0.2$，$p_2=p_3=0.3$ D．$p_1=p_4=0.3$，$p_2=p_3=0.2$4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。

有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数$I(t)$（$t$的单位：天）的Logistic模型$I(t)=\dfrac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中$K$为最大确诊病例数，当$I(t^*)=0.95K$时，标志着已初步遏制疫情，则$t^*$约为（$\ln19\approx3$）A．60 B．63 C．66 D．695.设$O$为坐标原点，直线$x=2$与抛物$C:y^2=2px$（$p>0$）交于$D$，$E$两点，若$OD\perp OE$，则$C$的焦点坐标为A．$(1,0)$ B．$(2,0)$ C．$\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$ D．$\left(-1,0\right)$6.已知向量$\vec{a},\vec{b}$满足$|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6,\vec{a}\cdot\vec{b}=-6$，则$\cos\angle(\vec{a},\vec{a}+\vec{b})=$A．$-\dfrac{31}{119}$ B．$-\dfrac{35}{101}$ C．$\dfrac{35}{101}$ D．$\dfrac{31}{119}$7.已知$\triangle ABC$中，$AB=2$，$AC=4$，$BC=3$，则$\cos B=$A．$\dfrac{11}{12}$ B．$\dfrac{9}{32}$ C．$\dfrac{1}{2 }$ D．$\dfrac{3}{8}$8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．$6+4\sqrt{2}$ B．$4+4\sqrt{2}$ C．$6+2\sqrt{3}$ D．$4+2\sqrt{3}$9.已知$2\tan\theta-\tan(\theta+\dfrac{\pi}{4})=7$，则$\tan\theta=$A．$-2$ B．$-1$ C．$1$ D．$2$11.该市空气质量等级为1，2，3，4的概率分别为P1，P2，P3，P4.2.求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值，即（400*P1+400*P2+800*P3+1200*P4）/4.3.完成2*2列联表，判断一天中到公园锻炼的人次与该市当天的空气质量是否有关，使用公式计算P值，若P值小于0.05，则有95%的把握认为有关。