2019届云南师大附中高三上学期月考三理科数学试卷【含答案及解析】

云南省云南师范大学附属中学2019届上学期高考适应性月考高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|4}M x x =≤，2{|log 1}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[2,2]-B ．{2}C ．(0,2]D ．(,2]-∞ 【答案】C考点：1、一元二次不等式；2、对数不等式；3、集合的交集. 2.设i 是虚数单位，复数2a ii +-是纯虚数，则实数a=（ ） A ．-2 B ．2 C ．12- D ．12【答案】D 【解析】 试题分析：i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，210a -=∴且20a +≠，12a =∴，故选D ． 考点：1、复数的概念；2、复数的四则运算.3.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ） A ．23 B ．33 C ．43 D ．53 【答案】B 【解析】试题分析：抽样间隔为50510=，由系统抽样的特点，可得所抽编号成等差数列，由等差数列性质知734533a a =+⨯=，故选B ．考点：1、分层抽样；2、等差数列的性质.4.已知ABC ∆中，||6BC =，16AB AC ∙=，D 为边BC 的中点，则||AD =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C考点： 1、平面向量的线性运算；2、平面向量的数量积；3、向量的模的计算.5.若函数()sin f x x x ωω=， 0ω>，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为32π，则ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43D ．2【答案】A 【解析】试题分析：π()2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为12||x x -的最小值为3π42T =，所以6πT =，所以13ω=，故选A ．考点：1、辅助角公式；2、三角函数性质.6.已知变量x ，y 满足约束条件1330x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：作出可行域如图1中阴影部分，目标函数2z x y =+过点(01)，时，最小值为1，故选D ．考点：简单的线性规划问题.7.执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B考点：1、程序框图；2、对数的计算.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“8k<”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．8.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20 B．24 C．16 D．16+【答案】A考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积. 9.数列{}n a 是等差数列，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于（ ）A ．17B ．16C ．15D ．14 【答案】C 【解析】试题分析：∵数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴数列{}n a 为递减数列，又981a a <-， 8900a a ><∴，且890a a +<，又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，，故当15n =时，n S 取得最小正值，故选C ．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列前n 项和公式.10.已知圆C ：22210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆C 上任意一点P 到直线l 的距离 小于2的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．14【答案】D考点：1、点到直线的距离公式；2、弧长公式；3、几何概型.【思路点晴】本题考查点到直线的距离公式、弦长公式、几何概型的概率的计算，属难题.先求得圆心到直线的距离是3，设此弧所对圆心角为α，根据弦心距得cos2α==得圆心角α，根据弧长公式求得α所对的弧长，然后利用几何概型求得所求概率.11. 过双曲线2213yx-=的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足||6AB=的直线l有（）条A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】试题分析：当直线l的倾斜角为90︒时，||6AB=；当直线l的倾斜角为0︒时，||26AB=<．故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得||6AB=，故选B．考点：1、双曲线的几何性质2、直线与双曲线的位置关系.【易错点晴】本题主要考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系，属中档题.本题关键是双曲线的通径长为6，故内弦长为6的直线有一条，又实轴长为2，故外弦长为6的直线有2条，本题考虑弦长为6的直线应考虑内弦长及外弦长两种情况，否则容易出错.12.已知函数11,2()2ln,2x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，方程()0f x ax-=恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是（）A．ln21(,)2eB．1(0,)2C．1(0,)eD．11(,)2e【答案】A考点：1、分段函数的图象；2、利用导数求切线斜率；3、数形结合思想.【方法点晴】本题主要考查方程根的个数、函数的交点个数、分段函数的图象以及利用导数求函数切线斜率，属于难题.方程根的个数可以转化为函数图象的交点个数，步骤如下：①先转化方程为()f x ax =；②画出()y f x =即y ax =的图象；③求出y ax =过(2,ln 2)的直线斜率以及y ax =与ln (2)y x x =>相切时a 的值；④结合图象得出方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，实数a 的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设函数()f x 是定义在R 上的周期为3的偶函数，当3[0,]2x ∈时，()1f x x =+，则5()2f = . 【答案】32【解析】试题分析：55111331222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．考点：1、函数的周期性；2、函数的奇偶性.14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点P 是CD 上一点，且1DP =，过点11,,A C P 三点的平 面角底面ABCD 于PQ ，点Q 在直线BC 上，则PQ= .考点：面面平行的性质定理.15.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积22()S b c a =+-，则sin A = .【答案】817【解析】 试题分析：由余弦定理222222cos 2cos 2b c a A b c a bc Abc+-=+-=，∴，22222()2S b c a b c a bc =+-=+-+∵2(cos 1)bc A =+，又1s i n 2S b c A =，12(cos 1)sin 2bc A bc A +=∴，1cos 1sin 4A A +=∴，即1c o s s i n14A A =-，221sin sin 114A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴，8sin 17A =∴．考点：1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求sin A ，且ABC ∆的面积22()S b c a =+-，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得sin A 与cos A 的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得sin A .16.点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为M 为线段2PF 的中点，且22||||OF F M =，则该双曲线的离心率为 .考点：1、双曲线的定义；2、直线斜率；3、双曲线的离心率.【思路点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.求与圆锥曲线的离心率的关键是怎样列出关于a 和c 的方程式，本题根据三角形中位线、等腰三角形性质以及双曲线的定义，分别求出1||PF =，22PF c =，利用双曲线定义即可求得离心率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知向量(2cos2xa ω=，(3cos,sin )2xb x ωω=，0ω>，设函数()3f x a b =⋅-的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为等边三角形，其高为（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.【答案】（1）[-（2.（Ⅱ）因为0()f x =，由（Ⅰ）有00ππ()43x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即0ππ4sin 435x⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由010233x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，，得0ππππ4322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，所以0ππ3cos 435x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故000ππππππ(1)443434x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦00ππππsin cos 4343x x ⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． …………………………………………………………（12分）考点：1、三角函数的图像与性质；2、向量数量积公式；3、两角和的正弦公式.18.（本小题满分12分）某学生参加3个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为45， 第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为x ，y （x y >），且不同项目是否能够测试过关相互独立，记ξ为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：（1）求该生至少有2个项目测试过关的概率； （2）求ξ的数学期望()E ξ. 【答案】（1）82125；（2）95.考点：1、互斥事件的概率；2、相互独立事件同时发生的概率；3、离散型随机变量的分布列及其数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，侧面SAB ⊥底面ABCD ，并且2SA SB AB ===，F 为SD 的中点. （1）求三棱锥S FAC -的体积；（2）求直线BD 与平面FAC 所成角的正弦值.【答案】（1）12；（2试题解析：（Ⅰ）如图4，取AB 的中点E ，连接SE ，ED ，过F 作FG SE ∥交ED 于G ， 因为平面SAB ABCD ⊥平面，并且2SA SB AB ===，SE ABCD ⊥∴平面，FG ACD ⊥∴平面，又ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SE且12FG SE ==，122sin1202ACD S =︒△ ∴三棱锥S −FAC 的体积S FAC S ACD F ACD V V V ---=-三棱锥三棱锥三棱锥1111332232S ACD V -===三棱锥． …………………………………………（6分）（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，取AB 的中点E ，连接SE ，则BD AC ⊥，SE AB ⊥，以O 为原点，AC ，BD 为轴建系如图5所示，考点：1、线面垂直的判定；2、空间几何体的体积；3、空间向量数量积；4、线面角的求法.20.（本小题满分12分）如图，过椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>内一点(0,1)A的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆Γ所截得的线段长均为（1）求椭圆Γ的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点(0,1)A的动直线l 都满足||||||||BM AN AM BN∙=∙？若存在，求出定点B的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在点B 的坐标(02)，．（Ⅱ）当直线l 平行于x 轴时，则存在y 轴上的点B ，使||||||||BM AN AM BN =，设0(0)B y ，； 当直线l 垂直于x轴时，(0(0M N ，，， 若使||||||||BM AN AM BN =，则||||||||BM AM BN AN=，=，解得01y =或02y =．所以，若存在与点A 不同的定点B 满足条件，则点B 的坐标只可能是(02)，．………………………………………………………………………………（6分）下面证明：对任意直线l ，都有||||||||BM AN AM BN =，即||||||||BM AM BN AN =．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为1=+．y kx考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质；3、直线与椭圆的位置关系；【易错点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及其应用，属难题.本题还考查了考生的推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般、分类与整合等数学思想，设直线方程时一定要讨论直线的斜率是否存在，,x x与k的关系，由当直线斜率存在时，将直线方程与圆锥曲线联立，利用韦达定理求得12B M N '，，三点共线，从而得出结论.21.（本小题满分12分）设函数ln ()12x af x x x=++，()()g x f x =1x =是函数()g x 的极值点. （1）求实数a 的值； （2）当0x >且1x ≠时，ln ()1x nf x x x>+-恒成立，求整数n 的最大值. 【答案】（1）2a =；（2）0． 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ln 1()1x f x x x=++， 由ln ()1x n f x x x >+-，得ln 1ln 11x x nx x x x+>++-， 于是22ln ln 11(2ln 1)111x x x x n x x x x x x <+-=-++--对0x >且1x ≠恒成立， 令2()2ln 1h x x x x =-+，则()2ln 22h x x x '=+-，再次求导2()20h x x''=-<， ①若1x >，可知()h x '在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h ''<=， 可知()h x 在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h <=， 而2101x <-， 则21()01h x x >-， 即221(2ln 1)01x x x x-+>-； ②若01x <<，可知()h x '在区间(01)，上递增，有()(1)0h x h ''<=，可知()h x 在区间(01)，上递减，有()(1)0h x h >=，而2101x>-， 则21()01h x x >-，即221(2ln 1)01x x x x -+>-．故当221(2ln 1)1n x x x x<-+-恒成立时，只需(0]n ∈-∞，，又n 为整数， 所以，n 的最大值是0． ………………………………………………………（12分）考点：1、函数的导数运算；2、函数的极值；3、导数在研究函数中的应用.【易错点睛】本题考查函数的导数的运算、函数的极值的应用、导数在研究函数中的应用，同时考查了化归与转化思想、分类讨论思想，属难题.利用1x =是函数()g x 的极值点，极值点处导数值为0，可得(1)0g '=，从而求得a 的值.第二问中问题转化为22ln ln 11(2ln 1)111x x x x n x x x x x x<+-=-++--对0x >且1x ≠恒成立，构造函数一定注意函数的定义域，否则容易出错，对函数求导后看不出单调性可以对导数进一步求导，根据函数图象求得其最大值，从而得出结论.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=A ，B 两点的极坐标分别为(2,),(2,)2A B ππ.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值. 【答案】（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4.考点：1、参数方程与极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离公式.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|2|f x x =-.（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：,()()2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.【答案】（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）首先(1)(2)4f x f x +++<，即|1|||4x x -+<，然后分三种情况：①当0x ≤时、②当01x <≤时、③当1x >时分别解不等式，三种情况求并集即可；（2）因为()()|2||f a x a f x a x a x +=-+-，又因为2a >，所以|2||2|ax a x -+-|2||2|ax ax a =-+-|2||2|ax a ax =-+-≥|22||22|2ax a ax a -+-=->. 试题解析：（Ⅰ）解：(1)(2)4f x f x +++<，即|1|||4x x -+<，①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-，302x -<∴≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，01x <∴≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <，考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值不等式的证明；3、绝对值不等式的性质．。

云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考理科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，Z为整数集，则A. B. C. D. 0，【答案】A【解析】解：．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.若复数z满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，得，故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求z．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数A. 0B. 1C.D.【答案】B【解析】解：；点P在y轴上；；．故选：B．根据条件，可先求出，根据点P在y轴上，即可得出，从而求出m．考查向量坐标的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，起点在原点的向量坐标为终点坐标，向量坐标的加法和数乘运算．4.若随机变量～，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由～，可知该正态分布密度曲线的对称轴为，所以，故选：D．根据X服从正态分布正态分布密度曲线的对称轴为，由图象的对称性可得结果本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．5.我国明代程大位的《算法统宗》是一本流传很广的著作，书中许多题目都用诗歌体叙述，读起来朗朗上口，下面这个问题便是其中有名的一个；“九百九十九文钱，甜果苦果买一千四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟延”则所买甜果的个数为A. 343B. 345C. 567D. 657【答案】D【解析】解：设甜果、苦果的个数分别是x和y，则，解得，故选：D．根据题意设甜果，苦果个数，列二元一次方程组，求解即可．此题考查了二元一次方程组，难度不大．6.如图，网格纸的小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥而得，侧面底面ABCD，底面边长为4，锥体的高为4，四棱锥的体积为，半圆锥的体积为，该几何体的体积为，故选：C．由三视图还原原几何体，可知原几何体为一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥，再由棱锥体积减去半圆锥体积求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，联立解得：．故选：D．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】解：由程序框图知，第一次循环：，，，；第二次循环：，，，；第三次循环：，，，；第四次循环：，，，，故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.已知函数满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数满足，是函数的对称轴，是偶函数，图象关于y轴对轴，向右平移两个单位，得到，，，．故选：B．是函数的对称轴，是偶函数，图象关于y轴对轴，从而向右平移两个单位，得到，进而，由此能求出．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，则的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由题意得数，，，将的图象向左平移个单位长度得到函数：，再将函数向上平移1个单位长度得到函数的图象，即，所以当时，，故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的关系式，最后求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为2的直线l与C交于A，B两点若C的准线上一点M满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线焦点，设直线AB的方程为，联立方程组，消元得．设，，．则，．，．，，即．．，整理得：，解得．则．故选：C．写出直线的点斜式方程，与抛物线方程联立得出A，B两点的坐标关系，根据列方程解出M的坐标即可求得则．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．12.已知三棱锥的两条棱长为1，其余四条棱长为2，有下列命题：该三棱锥的体积是；该三棱锥内切球的半径是；该三棱锥外接球的表面积是．其中正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图1所示，三棱锥中，，取BC，PA的中点D，E，作如图的连接则，，平面PAD并求得：；，三棱锥的体积为，正确；设内切球的半径为r，球心为M，显然四个面三角形全等，解得，正确；事实上，外接球球心O必在过D点与BC垂直的平面PAD内，和过E点与PA垂直的平面BCE内，故O点在平面PAD和平面BCE的交线DE上，在内，同样，在内，≌，即O为DE的中点，可求得外接球半径R的平方：外接球故错误故选：B．利用过BC中点D与BC垂直的截面三角形PAD为底，以BC高求得体积，验证正确；利用四面全等，由内切球球心为顶点把三棱锥等分四份，不难求得半径r，验证正确；首先确定DE中点为外接球球心，不难求解，验证错误．此题综合考查了锥体体积的灵活处理，内切球及外接球半径的解法，难度适中．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______【答案】2【解析】解：如图所示阴影部分为满足约束条件的可行域，当直线l：过点时，最小，z取得最大值2．故答案为：2．先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点A 时，从而得到的最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．14.已知双曲线C：的焦点为，，离心率为若C上一点P满足，则C的方程为______．【答案】【解析】解：由双曲线的定义可知，由，得，则，所以双曲线C的方程为．故答案为：．根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．15.在数列中，，，则数列的通项______．【答案】【解析】解：由题意可得：，利用累加法，得：，，于是：．故答案为：直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，累加法在求数列通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：画出函数的图象如图所示：，当时，是在点处的切线，也是在点处的切线，如图所示．过点与点的直线为：．数形结合可知，时，函数的图象与有两个交点．即函数恰有两个零点，故答案为：．画出函数的图象，数形结合，可得时，函数的图象与有两个交点，进而可得答案．本题考查的知识点是分段函数的图象和性质，函数的零点，数形结合思想，难度中档．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且．求的值；若，，求的面积．【答案】本小题满分12分解：由题，得，可化得，，，，由正弦定理，得分由，，及余弦定理得，又由知，代入中，解得，则，分【解析】由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由，即，可求，由正弦定理即可求得．由及已知及余弦定理得a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间100的为一等品；指标在区间的为二等品现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】解：由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中有一等品：件，二等品：件，所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．记事件A为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则；分由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中，一等品的频率为，二等品的频率为；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数～，所以，，，；的分布列为：所以数学期望为分【解析】由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值；由题意知随机变量～，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题．19.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，．求证：平面平面PBD；若，，，E为线段PA的中点，求二面角的余弦值．【答案】本小题满分12分证明：如图，连接PO．在菱形ABCD中，O是AC的中点，且，，在中，．又，PO、平面PBD，平面PBD．又平面PAC，平面平面分解：在菱形ABCD中，，，则，又，．在等边中，，．是BD的中点，，在中，，．又，AC，平面ABCD，平面分以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题知0，，1，，，0，分为线段PA的中点，，，0，，设y，是平面BDE的一个法向量，则，．设y，是平面CDE的一个法向量，则，分，二面角的余弦值为分【解析】连接PO，推导出，由此能证明平面PBD，从而平面平面PBD．求出，推导出，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：的左焦点为，且点在C上．求C的方程；设点P关于x轴的对称点为点不经过P点且斜率为k的直线l与C交于A，B 两点，直线PA，PB分别与x轴交于点M，N，若，求k．【答案】解：设右焦点为，则，由题意知，，由椭圆的定义，得，所以，又椭圆C的半焦距，所以，所以椭圆C的方程为，由点P关于x轴的对称点为点q，则轴．如图7所示，由，得．设直线PA的方程为，，则直线PB的方程为．图7设，由得，且，即．由于直线PA与C交于P，A两点，所以，；同理可得，，所以．综上，得直线l的斜率k为．【解析】根据椭圆的定义可求出a，再根据半焦距c，可求得b，则C的方程可写出；根据两个角相等，推出两直线斜率为相反数，设出直线PA，与椭圆联立可解得A的坐标，同理得B的坐标，最后用斜率公式可求得斜率．本题考查了直线与椭圆的综合，属难题．21.已知函数．求的单调区间和极值；当时，若，且，证明：．【答案】解：函数的定义域为，，当时，，在上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值．证明：当时，，，依题意，，则，所以，即由均值不等式可得，所以，则有．而，将代入上式得，令，则，，，，即，在上单调递减，于是，即，得证．【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；代入a的值，求出函数的导数，结合均值不等式以及函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，为参数，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；若射线l：与曲线，的交点分别为A，B异于原点，求的取值范围．【答案】解：曲线的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．射线l：的倾斜角，由，得：，由，得，所以．由，所以，故的取值范围为：【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变变换和函数的定义域求出函数的值域．1本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设实数x，y满足．若，求x的取值范围；若，，求证：．【答案】解：由，得，所以不等式，即为，所以有或或解得或或，所x的取值范围为．证明：，，所以，当且仅当，即时取等号．又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号．【解析】分3种情况去绝对值解不等式，再相并；先变形：，再用基本不等式．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{(21)(31)(41)(32)(42)(43)}card()6P P ==，，，，，，，，，，，，，P 的非空子集的个数为621- 63=，故选C ．2．(i 1)(1i)(2i 1)(1i)13i z +-=--=+，1313i i 2222z z =+=-，，故选B ． 3．172635489229a a a a a a a a a +=+=+==+=，，∴916S =，故选B ． 4．由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=，故选C ．5．213(sin cos )12sin cos 2sin cos 044A A A A A A A +=+==-<，，为钝角，2(sin cos )1A A -=-72sin cos sin cos 4A A A A =-=，，∴cos A =，故选A ．6．由题意可知22i x ==，；324i x ==+，；4246i x ==++，；；5524108i x ==+++，，最后输出的2461085554x ++++==，故选B ．7．2222|32|9||12||||cos604||132||3||20m n m m n n n n -=-︒+=--=，，解得||2n =，故选D ． 8．他只能再试两次，第一次试成功的概率是14，第二次试成功的概率是311434=，两次是互斥事件，∴111442P =+=，故选C ． 9．由题意知，当球与正三棱柱的部分面相切时，体积最大，若球与三个侧面都相切时，选取时球的半径为2，而2>理科数学参考答案·第2页（共8页）∴3max 44ππ33V R ==⨯=，故选D ．10．由题可知(1)1(0)0f f -==，，∴(1)(0)(1)011(2)(1)(0)1f f f f f f =--=-=-=-=--，01=-，(3)(2)(1)110(4)(3)(2)011f f f f f f =-=-+==-=+=，，(5)(4)(3)f f f =-=101(6)(5)(4)110f f f -==-=-=，，，当123n =，，，时，()f n 的取值依次是11--，，011011--，，，，，，，故()f x 的取值是以6为周期，且(1)(2)(6)f f f +++0=，∴(1)f (2)f +(2019)3360(1)(2)(3)2f f f f ++=⨯+++=-，故选A ．11．由题意可知12(0)(0)F c F c -，，，，一条渐近线方程为by x a=-，1F 到它的距离为d =b =，设1PF 与渐近线交于M ，因为线段1F P 被双曲线的渐近线垂直平分，则1||||F M MP b ==，连接2PF ，由双曲线的定义有122||||2||22PF PF a PF b a -=⇒=-，又O为12F F 的中点，∴2//OM F P ，∴21F PF ∠为直角，∴22244()4c b a b =-+，又22c b =+2a ， ∴22b a c =⇒224ca a e a-=⇒=，故选A ． 12．令()2()e x f x F x +=，则()()2()0e x f x f x F x '--'=>，∴()F x 在R 上为增函数，又(1)e 2f =-，∴(1)2(1)1e f F +==，∵()2e x f x +>可化为()21e xf x +>，即()(1)F x F >，∴(1)x ∈+∞，，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．如图1，画出不等式组的区域，(13)(11)(22)A B C ，，，，，，22(2)x y +-表示ABC △内部的点()M x y ，到(02)P ，的距离的平方，所以221(2)4x y <+-≤．理科数学参考答案·第3页（共8页）14．3e (31)e (32)e x x x y x x '=-+-+=--，所以0|2x k y ='==-，故切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+． 15．在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010a a a a a a a a ====10m =，∴12lg lg a a +++2018122018lg lg()a a a a ==100912018lg()1009lg101009m a a m ==．16．如图2，∵(10)(10)F P -，，，，设1122()()A x y B x y ，，，，()M x y ，，l ：(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，，得2222(24)0k x k x k +-+=212122421k x x x x k -⇒+==，，并且0∆>⇒ 110k k -<<≠，，∵||||||||||||MA AM PB BM PA MB =⇒=||||PA PB ， 而1122||||x x y y MA MB x x y y --==--，12||||y PA PB y =，∴12y y y y -=-12y y ，从而有21212121222(1)(1)2(1)(1)y y k x x y k y y k x k x ++===++++，又()M x y ，在线段AB 上，即2(1)12k k x x =+⇒+=1x ⇒=，又110k k -<<≠，，所以M 点的轨迹方程是1(220x y y =-<<≠，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵54sin cos 135B ADC =∠=，， ∴123cos sin 135B ADC =∠=，， ∵3124516sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=，由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠．………………………………………………………………………………（6分）（2）∵3sin sin(π)sin 5BDA ADC ADC ∠=-∠=∠=， 图1图2理科数学参考答案·第4页（共8页）由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=， ∴115sin 39322402213ABC S BA BC B ==⨯⨯⨯=△． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知3x =，100y =，∴5152215141515008.555455i ii ii x yx yb xx ==--===---∑∑，125.5a y bx =-=，∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+． ……………………………………（5分） 令9x =，则8.59125.549y =-⨯+=，∴该学校第9周的不文明人次为49人次． …………………………………………（6分） （2）∵012X =，，， 3436C 41(0)C 205P X ====，214236C C 123(1)C 205P X ====，124236C C 41(2)C 205P X ====，所以X 的分布列如下：………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：在PCD △中，2PC PD CD ===，222PC PD CD +=， ∴PC PD ⊥，∵90CDA ∠=︒，∴AD CD ⊥， 又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥， 又PDAD D =，∴PC ⊥平面PAD ，∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． …………………………………………………………（6分）理科数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：取CD 的中点O ，连接PO ，OB ，∵PC PD ==1PO CD PO ⊥=，， 又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，∴PO ⊥平面ABCD ，如图3，以O 为原点建立空间直角坐标系，则11(000)(110)(100)(010)(010)(001)022O A B C D P E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 设平面ACE 的法向量为1111()n x y z =，，， ∵11(120)122AC CE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，，，，， ∴11111112011022n AC x y n CE x y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，，∴1(210)n =，，， 设平面CDE 的法向量为2222()n x y z =，，， ∵11(020)122DC CE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，，∴2222222011022n DC y n CE x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩，，∴2(101)n =-，，， ∴121212cos ||||5n n n n n n ===<，> 由图可知二面角A CE D --的平面角为锐角， 所以二面角A CE D --． ………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得2145AF F ∠=︒，所以由1AB AF ⊥和椭圆的定义，得12AF AF a ==， 并且2222242a c a c =⇒=，又124FAF S =△， 得28a =，24c =，故2224b a c =-=，图3理科数学参考答案·第6页（共8页）所以椭圆E ：22184x y +=．……………………………………………………（4分） （2）①当直线1l 的斜率为0时，2l 的斜率不存在，此时||2AB a ==22||b CD a==11||||822ACBD S AB CD ==⨯；……………………………………（6分） ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+， 则直线CD 的方程为12x y m=-+，设1122()()A x y B x y ，，，， 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，，得22(2)440m y my ++-=， 2221616(2)32(1)m m m ∆=++=+，12||y y-==， 12|||AB y y =-=， ………………………………………………（8分）用1m -取代m ，得2211||12m CD m⎫+⎪⎝⎭==+ ∴11||||22ACBDS AB CD ==⨯ 42422424221(252)168252252m m m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++ 228825m m=-++， …………………………………………………………………（10分）又22224m m +≥，当且仅当1m =±时取等号， 所以22864882925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++，， 综上，四边形ACBD 面积的取值范围是6489⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ………………………………（12分）21．（本小题满分12分）理科数学参考答案·第7页（共8页）解：（1）2(1)(1)()()(1)= (0)a x a x a x x a f x x a x x x x-++--'=-++=>，当1a ≤时，()f x 在[1e]，上为增函数，∴min 9()(1)2f x f a ==-； 当1e a <<时，()f x 在(1)a ，上为减函数，在(e)a ，上为增函数， ∴2min()()5ln 2a f x f a a a a ==--++；当e a ≥时，()f x 在[1e]，上为减函数，∴2min e ()(e)(1)e 52f x f a a ==-+++，综上所述，当1a ≤时，min 9()2f x a =-； 当1e a <<时，2min ()5ln 2a f x a a a =--++；当e a ≥时，2mine ()(1)e 52f x a a =-+++． …………………………………………（6分）（2）由题可知min min ()()f x g x <， 由（1）知，当e a ≥时，2min e ()(1)e 52f x a a =-+++， 下求()g x 的最小值，()e 2(0)x g x x x '=-≥，∴()e 2x g x ''=-，令()0g x ''=，则ln 2x =，令()0g x ''>，则ln 2x >；令()0g x ''<，则0ln 2x <<， ∴()g x '在(0ln 2)，上为减函数，在(ln 2)+∞，上为增函数， ∴()(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g x g ''=-=->≥， 故()g x 在[0)+∞，上为增函数，∴min ()(0)1g x g ==，∴2e (1)e 512a a -+++<，∴2e 2e 82e 2a -+>-， 又22e 2e 88e e 02e 22e 2-+--=>--，∴2e 2e 82e 2a ⎛⎫-+∈+∞ ⎪-⎝⎭，． ……………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第8页（共8页）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）∵2ρ=，∴24ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………（1分） 由点A 的极坐标为π26⎛⎫⎪⎝⎭，，知点A的直角坐标为1)，菱形ABCD 的顶点都在圆2C 上，所以菱形ABCD 是正方形，故知各顶点的直角坐标为1)(1(1)(1A B C D --，，，，．………………………………………………………………………………（5分）（22||MB+2(1)x +22222228x y x y +++，将22440x y --=22||10MB x +=，∵||1x ≥，∴21x ≥2||10MB +，当1x =±时，取得最小值10． ………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：当12a =时，1221111()12222122x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，结合图象知，不等式()2f x <的解集{|11}M x x =-<<， …………………………（2分） 同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………………………………（4分）（2）证明：∵m M n P ∈∈，， ∴22111114122m n m n -<<-<<<<，，，， 22222222(2)(12)441(1)(14)0m n mn m n m n m n +-+=+--=--<， ∴22(2)(12)m n mn +<+，即|2||12|m n m n +<+． ………………………………（10分）。

高考数学精品复习资料2019.5云南师大附中高三适应性月考卷(三)数学(理)试题参考答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．当k＝0时，x＝1；当k＝1时，x＝2；当k＝5时，x＝4；当k＝8时，x＝5，故选B．2．1i22z=-对应的点是1122⎛⎫-⎪⎝⎭，，故选A．3．由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为PAC△，是边长为2的正三角形，PD ABC⊥平面，且PD ABC△为等腰直角三角形，AB BC==，所以体积为1132V=，故选B．4．根据奇偶性定义知，A、C为偶函数，B为奇函数，D定义域为{|1}x x>-不关于原点对称，故选D．5．1211134242322k S k S==+⨯===+⨯=当时，；当时，；332233103428k S k x k==+⨯====当时，；当时，输出．故选A．6．14p x-：≤≤，记33(0)33(q m x m m m x m m-++-：≤≤＞或≤≤＜，依题意，03134mmm⎧⎪--⎨⎪+⎩＞， ≤，≥或3134mmm⎧⎪+-⎨⎪-⎩＜， ≤，≥，解得44m m-≤或≥．7．12332(32)d 3S x x x -=--=⎰，故选D ． 8．sin sin cos ()cos sin cos x x x f x x x x ⎧=⎨⎩，＜，，≥，由图象知，函数值域为1⎡-⎢⎣⎦，A 错；当且仅当π2π()4x k k =+∈Z，C 错；最小正周期为2π，D 错． 9．不等式组所表示的区域如图2所示，直线z kx y y kx z =-⇒=-过(31)，时z 取最大值，即直线y kx z =-在y 轴上的截距z -最小，由图可得直线y kx z =-的斜率112k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，故选C ． 10．由函数图象可知，不等式的解为23220x x x -><⎧⎨⎩，，即(30)x ∈-，，故选B ． 11．画图可知选B ．12．构造函数()()x f x g x e=，则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''''--==，因为x ∀∈R ，均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()xf xg x e =在R 上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g-><，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)f f f f e e--><，，也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4【解析】13．当α∈π3π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，斜率1k ≥或1k -≤，又2y x '=，所以012x ≥或012x -≤，所以P ＝1112．14．sin 2sin sin()2sin cos sin()sin()A B A C A A A C A C =--∴=+--，，2sin cos 2cos sin .cos 0π1sin sin 2232ABC A A A C ABC A A C A C B S ∴=∴≠∴====∴=⨯⨯=△△是锐角三角形，，，即，15．如图3，设三棱锥A BCD -的外接球球心为O ，半径为r ，BC ＝CD ＝BDAB ＝AC ＝AD ＝2，AM BCD ⊥平面，M 为正BCD △的中心，则DM ＝1，AM OA ＝OD ＝r ，所以22)1r r +=，解得r =，所以2164ππ3S r ==． 16．由图知，2222()()a c b c c +=++，整理得220c ac a --=，即210e e --=，解得e =，故e =． 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)113354(2)n n n n S S a a n ---=-≥，1122n n n n aa a a --∴==，，……(3分)又12a =，{}22n a ∴是以为首项，为公比的等比数列，……(4分) 1222n n n a -∴=⋅=．……(5分)(Ⅱ)2n n b n =⋅，1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅．……(8分)两式相减得：1212222n n n T n +-=+++-⋅，12(12)212n n n T n +-∴-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，……(11分)12(1)2n n T n +∴=+-⋅．……(12分)18．(本小题满分12分)＝解：(Ⅰ)设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则999~2()210105X B E X ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，，故，则该选手在A 区投篮得分的期望为92 3.65⨯=．……(3分)设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则11~3()3133Y B E Y ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，，故，则该选手在B 区投篮得分的期望为313⨯=．所以该选手应该选择A 区投篮．……(6分)(Ⅱ)设“该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”为事件C ，“该选手在A 区投篮得4分且在B 区投篮得3分或0分”为事件D ，“该选手在A 区投篮得2分且在B 区投篮得0分”为事件E ，则事件C D E =，且事件D 与事件E 互斥．…………(7分)81483()1009275P D ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，……(9分)1884()1002775P E =⨯=，……(11分) 3449()()57575P C P DE ==+=， 故该选手在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975．……(12分) 19．(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：如图4，取BD 中点M ，连接AM ，ME ．因为AB ＝AD AM ⊥BD ， 因为DB ＝2，DC ＝1，BC ＝，满足：DB 2＋DC 2＝BC 2，所以△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形，BD ⊥DC ， 因为E 是BC 的中点，所以ME 为△BCD 的中位线， ∴ME ∥12CD ， ∴ME ⊥BD ，ME ＝12，……(2分) ∴∠AME 是二面角A －BD －C 的平面角，AME ∴∠＝60°． AM BD ⊥，ME BD ⊥且AM 、ME 是平面AME 内两条相交于点M 的直线，BD AEM ∴⊥平面，AE ⊂平面AEM ，BD AE ∴⊥．……(4分)AB AD ==2DB =，ABD ∴△为等腰直角三角形，112AM BD ∴==，在△AME 中，由余弦定理得：2222cos AE AM ME AM ME AME AE =+-⋅⋅∠∴=，， 2221AE ME AM AE ME ∴+==∴⊥，，BD ME M BD BDC ME BDC =⊂⊂，平面，平面，AE BDC ∴⊥平面．……(6分) (Ⅱ)解法一：等体积法．解法二：如图5，以M 为原点，MB 所在直线为x 轴，ME 所在直线为y 轴，平行于EA 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，……(7分)则由(Ⅰ)及已知条件可知B (1，0，0)，1002E ⎛⎫⎪⎝⎭，，，102A ⎛ ⎝⎭，，D (100)-，，，C (110)-，，． 则131(010)2AB CD ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，，，，，，……(8分) 112AD ⎛=--- ⎝⎭，，，设平面ACD 的法向量为n ＝()x y z ，，，则1·002·00n AD x y n CD y ⎧⎧=--=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩，，，令x =则z ＝－2， (302)n∴=-，，，……(10分)记点B 到平面ACD 的距离为d ，则AB n d n ⋅=，所以d ==．……(12分) 20．(本小题满分12分)(Ⅰ)解：()ln 1f x x =+'，令1()0f x x e='=，得．当10()0()x f x f x e ⎛⎫∈< ⎪'⎝⎭，，，单调递减；当1()0()x f x f x e ⎛⎫∈+∞> ⎪'⎝⎭，，，单调递增．……(2分)因为10+22t t e＞，＞＞，(1)当0＜t ＜1e 时min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，；(2)当t ≥1e时，min ()()ln .f x f t t t ==所以min110()1ln .t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，，≥……(6分)(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，当(0)x ∈+∞，时，()ln f x x x =的最小值是min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，(当且仅当x ＝1e 时取到最小值)问题等价于证明2ln x x x x e e>-，设2()((0))x x m x x e e=-∈+∞，， 则1()x x m x e -='，易得max 1()(1)m x m e==-，(当且仅当x ＝1时取到最大值) 从而对一切(0)x ∈+∞，，都有12ln xx e ex>-成立．……(12分) 21．(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)当M 的坐标为(01)-，时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =， 整理得2440x kx -+=，①令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±，代入方程①得2x =±，故得(21)A ，，(21)B -，． 因为M 到AB 的中点(0，1)的距离为2，从而过M A B ，，三点的圆的标准方程为22(1)4x y +-=． 易知此圆与直线l ：y ＝－1相切．……(6分)(Ⅱ)设切点分别为11()A x y ，、22()B x y ，，直线l 上的点为M 00()x y ，，过抛物线上点11()A x y ，的切线方程为11()y y k x x -=-， 因为2114x y =，12x k =，从而过抛物线上点11()A x y ，的切线方程为111()2x y y x x -=-， 又切线过点00()M x y ，，所以得2110024x x y x =-，即21010240x x x y -+=．同理可得过点22()B x y ，的切线方程为22020240x x x y -+=，……(8分) 因为12MA x k =，22MB xk =且12x x ，是方程200240x x x y -+=的两实根， 从而，12012024x x x x x y +=⎧⎨=⎩，，所以12022MA MB x x k k y ⋅=⨯=， 当01y =-，即1m =时，直线l 上任意一点M 均有MA ⊥MB ，……(10分) 当01y ≠-，即m ≠1时，MA 与MB 不垂直．综上所述，当m ＝1时，直线l 上存在无穷多个点M ， 使MA ⊥MB ，当m ≠1时，直线l上不存在满足条件的点M ．……(12分)22．(本小题满分10分)【选修4—1：几何证明选讲】(Ⅰ)证明：23AE AB =，∴13BE AB =． 在正△ABC 中，13AD AC =，∴AD BE =， 又AB BC =，BAD CBE ∠=∠，∴△BAD≌△CBE，∴ADB BEC∠=∠，即πADF AEF∠+∠=，所以A，E，F，D四点共圆．……(5分) (Ⅱ)解：如图6，取AE的中点G，连结GD，则12A G G E A E==．23AE AB=，∴1233AG GE AB===，1233AD AC==，60DAE∠=︒，∴△AGD为正三角形，∴23GD AG AD===，即23GA GE GD===，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为23．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为23．…(10分)23．(本小题满分10分)【选修4—4：坐标系与参数方程】解：(Ⅰ)由点M的极坐标为π4⎛⎫⎪⎝⎭，，得点M的直角坐标为(44)，，所以直线OM的直角坐标方程为y＝x．……(4分)(Ⅱ)由曲线C的参数方程1xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩，(α为参数)，化成普通方程为：2)1(22=+-yx，圆心为A(1，0)，半径为2=r，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|5r-=-10分) 24．(本小题满分10分)【选修4—5：不等式选讲】解：(Ⅰ)原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x xx x x x⎧⎧>-⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-+--⎩⎩，≤≤，或≤≤或12(21)(23)6xx x⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩，≤，解之得3131212222x x x<--<-≤或≤≤或≤，即不等式的解集为{|12}x x -≤≤．……(5分) (Ⅱ)()2123(21)(23)4f x x x x x =++-+--=≥， 14a ∴->，解此不等式得35a a <->或．……(10分)。

云南师大附中2019届高三适应性月考卷（三）数学（理）试题)()()222n x x x x x ⎤-+-++-为样本平均数 其中S 为底面面积， A B 等于 D ．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （ ）A ．||2x y = B．1(y g x =C ．22x x y -=+D ．111y g x =+ 5．执行如图2所示的程序框图，则输出的x 值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．36．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]4,4- C ．(][),44,-∞-+∞D ．(][),11,-∞-+∞7．如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是（ ） A ．353B ．C ．2D ．32A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,|2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1.12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(],1-∞-10．已知函数21,0,()1,0,x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩则满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为 （ ）A ．[)3,0-B ．（－3，0）C ．（－3，1）D ．（－311．若在曲线f （x ，y ）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f （x ，y ）=0的“自公切线”。

下列方程：①221x y -=；②2||y x x =-，③3sin 4cos y x x =+；④||1x +=对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④12．已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f >′（x ），则有 （ ）A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -><类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出 “焚金双曲线”的离心率为 。

云南师大附属中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是实数（i为虚数单位），则实数的值是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算可得解.【详解】是实数，所以故选B．【点睛】本题主要考查了复数的运算，属于基础题.2.已知集合A=｛y|｝,B=｛x|｝,则下列结论正确的是A. －3∈AB. 3 BC. A∪B=BD. A∩B=B【答案】D【解析】【分析】分别求得集合A,B的范围，由两集合的包含关系可得解.【详解】，所以有,故.故选D．【点睛】本题主要考查了集合的表示法及集合间的关系，属于基础题.3.定义在上的函数的图象大致形状如A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数值的正负，利用排除法可得解.【详解】易知为偶函数，排除C,D；当时，，所以，排除B.故选A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.已知正三角形ABC的边长为，重心为G，P是线段AC上一点，则的最小值为A. B. －2 C. D. －1【答案】C【解析】【分析】过点作，垂足为，分析可知当取得最小值时，点在线段上，从而得，利用二次函数的性质可得最值.【详解】如图，过点作，垂足为，当点位于线段上时，；当点位于线段上时，，故当取得最小值时，点在线段上，，当时，取得最小值，故选C．【点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，额题主要是通过向量的数量积运算得到关于某线段长的二次函数，确定其定义域求最值即可.5.设F2是双曲线的右焦点，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为H，若O为原点且|OF2|=2|OH|,则双曲线C的离心率为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由，可得，再由距离公式可得，从而得，即可求离心率.【详解】一方面，由，得，故；另一方面，双曲线的渐近线方程为，故，于是，即，故，得，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A、B、C所对的变分别为a、b、c，面积为S，则“三斜公式”为S=，若，B=,则用“三斜公式”求得△ABC的面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理可得，从而得解.【详解】根据正弦定理，由，得，则由，得，则，故选A．【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，属于基础题.7.某算法的程序框图如图1所示，若，，输入58,92,61,74,89,93,101,120,99,135，则输出的结果为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】执行程序框图可知，该程序的作用为统计90到120（含90和120）之间的个数，从而得解. 【详解】该框图是计数90到120（含90和120）之间的个数，可知，故选C.【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解.【详解】设在这周能进行决赛为事件，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件，，，则，又事件，，两两互斥，则有，故选D．【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=,AB=AC=2AA1,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为A. B. － C. D. －【答案】A【解析】【分析】将三棱柱补为长方体，异面直线与的所成角即为，利用余弦定理即可得解.【详解】将三棱柱补为长方体，异面直线与的所成角即为，设，则.由题意知，故选A．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．10.已知函数在上有两个零点，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由五点作图法画出简图，使得有两个零点可得，从而得解.【详解】，由五点作图法可得其图象如图，由题意得，即，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数的五点作图，属于中档题.11.函数的定义域为R,，当时，；对任意的，.下列结论：①；②对任意，有；③是R上的减函数.正确的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】由赋值法可得再由，得即可得②成立；由单调性的定义对任意的，不妨设，判断的正负可得③错误.【详解】令，则，又因为，所以，故①正确；当时，，当时，，即当时，；当时，，则，由题意得，则，故②成立；对任意的，不妨设，故存在正数使得，则，因为当时，，所以，因为对任意的，有，所以，故，即，所以是上的增函数，故③错误，故选C．【点睛】本题主要考查了抽象函数的赋值法，属于中档题.12.设直线l过椭圆C：的左焦点F1与椭圆交于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的内切圆的面积的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过面积分割可得，从而得，由直线与椭圆联立，计算，从而得最大值，即可得解.【详解】设内切圆的圆心为，连接，设内切圆的半径为，则，，即，当的面积最大时，内切圆的半径最大，由题意知，直线不会与轴重合，可设直线：，，，由得，，，令，则，当时，函数单调递增，所以，当取得最小值4时，取得最大值3，此时，所以内切圆的面积的最大值为，故选B．【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；【答案】【解析】【分析】通过求导得切线斜率，再由点斜式可得切线方程.【详解】，则，故．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.14.已知实数x,y满足约束条件，则的取值范围是_；【答案】【解析】【分析】作出可行域，平移直线，由纵截距的范围可得z的范围.【详解】作出可行域如图，平移直线，根据图形可知，经过点时，z有最小值，经过点时，z有最大值，可得．【点睛】（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线；②平移：将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较；③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．（2）用线性规划解题时要注意的几何意义，分清与直线在y轴上的截距成正比例还是反比例．15.已知，则=________；【答案】【解析】【分析】将条件平方可得，结合范围取舍即可.【详解】由题意得，两边同时平方得，即，解得或舍去．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，及正弦的二倍角公式，属于基础题. 16.正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，若该棱锥的底面边长为，侧棱与侧棱所成角的余弦值为，则该球的表面积为___________；【答案】【解析】【分析】先根据余弦定理求解，为的中心，进而求得，所以为球心，球的半径，从而得解.【详解】如图，在正三棱锥中，为的中点，为的中心，，由余弦定理可得，解得，即，在中，，则，在中，，则，故为球心，球的半径，所以球的表面积为．【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球，属于常考考点，本题的关键在于确定球心的位置，属于中档题.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是数列的前n项和，是等比数列且各项均为正数，且，，.（1）求和的通项公式；（2）记，证明：数列的前n项和.【答案】(1) ,;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由，时，可得，设的公比为，根据条件可解得，从而得；（2）由（1）得，利用错位相减可得，从而得证.【详解】（1）解：由题知当时，；当时，，所以．设的公比为，则，解得或（舍去），所以．（2）证明：由（1）得，则，两边同乘，得，上面两式相减，得，所以．因为，所以．【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.某企业生产某种产品，为了提高生产效益，通过引进先进的生产技术和管理方式进行改革，并对改革后该产品的产量x（万件）与原材料消耗量y（吨）及100件产品中合格品与不合格品数量作了记录，以便和改革前作对照分析，以下是记录的数据：表一：改革后产品的产量和相应的原材料消耗量表二：改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数（1）请根据表一提供数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程. （2）已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料，根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料？（3）请根据表二提供的数据，判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”？【答案】（1）线性回归方程为;(2)见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）先计算和，利用公式求解和即可；（2）将代入（1）中的方程即可；（3）计算，查表下结论即可.【详解】（1）由表一得，，∴，，所以所求线性回归方程为．（2）当时，，从而能够节省吨原材料．（3）由表二得，因此，没有的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”．【点睛】本题主要考查了求解回归直线方程及独立性检验的应用，属于基础题.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC=2,AB=PA=PB=2.(1)证明：PC⊥平面ABC；（2）若点D在棱AC上，且二面角D-PB-C为30°，求PD与平面PAB所成角的正弦值。

2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x 2﹣a ≤0}，B={x|x ＜2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，4] B ．（﹣∞，4） C ．[0，4] D ．（0，4）2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列说法正确的是（ ）A ．“x ＜1”是“log 2（x+1）＜1”的充分不必要条件B ．命题“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”C ．命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题D ．命题“若a+b ≠5，则a ≠2或b ≠3”为真命题．4．已知函数f （x ）=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x=对称 B ．f （x ）的周期为πC ．若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+2k π（k ∈Z ）D ．f （x ）在区间[，]上单调递减5．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a 0，a 1，a 2，…，a n 分别为0，1，2，…，n ，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（ ）A ．248B ．258C ．268D ．2786．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．48．已知实数x ，y 满足x 2+4y 2≤4，则|x+2y ﹣4|+|3﹣x ﹣y|的最大值为（ ） A ．6B ．12C ．13D ．149．三棱锥A ﹣BCD 内接于半径为的球O 中，AB=CD=4，则三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m 最小时，点P 恰好在以F ，Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数y=|log 3x|的图象与直线l 1：y=m 从左至右分别交于点A ，B ，与直线从左至右分别交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数f （x ）=lnx 与函数g （x ）=x 2+2x+a （x ＜0）有公切线，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（ln ，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣ln2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f （x ）=e x +x 3，若f （x 2）＜f （3x ﹣2），则实数x 的取值范围是 ． 14．点P 是圆（x+3）2+（y ﹣1）2=2上的动点，点Q （2，2），O 为坐标原点，则△OPQ 面积的最小值是 ．15．已知平面向量满足，则的最小值是 ．16．已知数列{a n }满足a 1=2，且，则a n = ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）证明：△ABC 为钝角三角形；（2）若△ABC 的面积为，求b 的值．18．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示． （1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求二面角B﹣CD﹣A的余弦值．20．已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．（1）求抛物线C的方程；（2）点Q（x0，y）（x≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）令g（x）=f（x）+（x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．（1）求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；（2）设，若对∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，求实数a的取值范围．2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．[0，4] D．（0，4）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分类讨论，利用集合的包含关系，即可得出结论．【解答】解：a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=∅，满足题意；当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，再求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵ =，∴，则其共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：（，﹣），位于第三象限．故选：C．3．下列说法正确的是（）（x+1）＜1”的充分不必要条件A．“x＜1”是“log2B ．命题“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”C ．命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题D ．命题“若a+b ≠5，则a ≠2或b ≠3”为真命题． 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可．【解答】解：选项A ：log 2（x+1）＜1可得﹣1＜x ＜1，所以“x ＜1”是其必要不充分条件；选项B ：“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”，不满足命题的否定形式；选项C ：命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题是“若ac 2≤bc 2，则a ≤b ”， 当c=0时，不成立；选项D ：其逆否命题为“若a=2且b=3，则a+b=5”为真命题，故原命题为真． 故选：D ．4．已知函数f （x ）=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x=对称 B ．f （x ）的周期为πC ．若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+2k π（k ∈Z ）D ．f （x ）在区间[，]上单调递减【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】f （x ）=|sinx|•cosx=，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵f （x ）=|sinx|•cosx=，故函数的图象关于直线x=k π，k ∈Z 对称，故A 错误； f （x ）的周期为2π中，故B 错误；函数|f （x ）|的周期为，若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+k π（k ∈Z ），故C 错误；f （x ）在区间[，]上单调递减，故D 正确；故选：D5．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a 0，a 1，a 2，…，a n 分别为0，1，2，…，n ，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（ ）A ．248B ．258C ．268D ．278 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解． 【解答】解：该程序框图是计算多项式f （x ）=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x=2时的值， 而f （2）=258， 故选：B ．6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，以体积为测度，即可得出结论．【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，体积为=，∴所求概率为=，故选：A ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，画出几何体的直观图，进而可得答案．【解答】解：由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为，故选A．8．已知实数x，y满足x2+4y2≤4，则|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为（）A．6 B．12 C．13 D．14【考点】绝对值三角不等式．【分析】设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），即可得出结论．【解答】解：设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为12，故选B．9．三棱锥A﹣BCD内接于半径为的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A﹣BCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=××4×h×4，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为，则四面体ABCD的体积的最大值为V=××4×2×4=．故选：B．10．已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出F（0，1），Q（0，﹣1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m 有最小值，设P （），然后求解a ，c ，即可求解椭圆的离心率、【解答】解：由已知，F （0，1），Q （0，﹣1），过点P 作PM 垂直于准线，则PM=PF ．记∠PQM=α， 则m=，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ 与抛物线相切于点P设P （），可得P （±2，1），所以|PQ|=2，|PF|=2，则|PF|+|PQ|=2a ，∴a=，c=1，∴e==，故选：D ．11．函数y=|log 3x|的图象与直线l 1：y=m 从左至右分别交于点A ，B ，与直线从左至右分别交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】依题意可求得A ，B ，C ，D 的横坐标值，得==，利用基本不等式可求最小值．【解答】解：在同一坐标系中作出y=m，y=（m＞0），y=|log3x|的图象，如图，设A（x1，y 1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由|log3x|=m，得x1=3﹣m，x2=3m，由log3x|=，得x3=，x4=．依照题意得==，又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥，当且仅当（2m+1）=，即m=时取“=”号，∴的最小值为27，故选B．12．若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣ln2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=e x+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），则实数x的取值范围是（1，2）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，判断单调性，转化不等式求解即可．【解答】解：因为函数f（x）=e x+x3，可得f′（x）=e x+3x2＞0，所以函数f（x）为增函数，所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等价于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2，故答案为：（1，2）．14．点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是 2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值．【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x，所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以△OPQ面积的最小值为．故答案为2．15．已知平面向量满足，则的最小值是 4 ．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q），根据向量的数量积的运算得到n=﹣，再根据向量的模的和基本不等式即可求出答案．【解答】解：不妨设=（1，0），=（m ，n ），=（p ，q ）则m=1，p=2， =2+nq=1，则nq=﹣1，∴n=﹣，∴=（1，﹣），=（2，q ），∴2=+2+2+2•=1+1++4+q 2+2+2+4=14++q 2≥14+2=16，∴≥4，当且仅当q 2=1，即q=±1时“=”成立．故答案为：416．已知数列{a n }满足a 1=2，且，则a n =．【考点】数列递推式．【分析】由，可得：=+，于是﹣1=，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：由，可得：=+，于是﹣1=，又﹣1=﹣，∴数列{﹣1}是以﹣为首项，为公比的等比数列，故﹣1=﹣，∴a n =（n ∈N *）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC的面积为，求b的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又，进而可求b的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：由正弦定理：，∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．又∵sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，所以，所以，所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形．…（2）解：因为，∴．又，∴，∴bc=24．又，所以，∴b=4．…18．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示． （1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图能完成2×2列联表，由列联表求出K 2≈3.46＜3.841，从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． （2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可得：由列联表可得：K2=≈3.46＜3.841，所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．…（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以分布列为数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．…19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求二面角B﹣CD﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一，过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．可得四边形MFEN为平行四边形，即可证明EF∥平面ABC．法二，取AD中点G，连接GE，GF，得平面GEF∥平面ABC，即可对EF∥平面ABC（Ⅱ）解：作BO⊥AC于点O，过点O作OH∥PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，利用向量法求解．【解答】（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．∵点E为CD的中点，∴EN∥AD，EN=．又D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．∴FM=，FM∥AD，∴FM∥EN且FM=EN，所以四边形MFEN为平行四边形，∴EF∥MN，∵EF⊄平面ABC，MN⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．…法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB，因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，所以EF∥平面ABC．…（Ⅱ）解：作BO⊥AC于点O，过点O作OH∥PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则C（0，，0），B（），D（0，﹣，1），∴，则平面CDA的一个法向量为设平面CDB的一个法向量为，则可取，所以cos＜＞==，所以二面角B﹣CD﹣A的余弦值为．…20．已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．（1）求抛物线C的方程；（2）点Q（x0，y）（x≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设P（x，y）为轨迹上任意一点，则N（2x，2y），把N点坐标代入抛物线E的方程化简即可；（2）设圆的切线斜率为k ，得出切线方程，计算A ，B 的坐标，利用根与系数的关系计算|AB|，从而得出△QAB 的面积关于x 0的函数，求出此函数的最小值即可． 【解答】解：（1）设线段ON 的中点坐标为P （x ，y ），则点N （2x ，2y ）， ∵N 为在抛物线y 2=8x 上的动点， ∴4y 2=16x ，即y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为：y 2=4x ．（2）设切线方程为：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0）， 令y=0，得x=x 0﹣，∴切线与x 轴的交点为（x 0﹣，0），圆心（2，0）到切线的距离为d==2，∴（2k+y 0﹣kx 0）2=4（1+k 2），整理得：（x 02﹣4x 0）k 2+（4y 0﹣2x 0y 0）k+y 02﹣4=0，设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=，k 1k 2=，∴S △QAB =|（x 0﹣）﹣（x 0﹣）|•|y 0|=y 02||==2[（x 0﹣1）++2]令x 0﹣1=t ，则f （t ）=t++2，t ∈[4，+∞）， 则f ′（t ）=1﹣＞0，∴f （t ）在[4，+∞）上单调递增，∴f （t ）≥f （4）=，∴S △QAB =2f （t ）≥，∴△QAB 的面积的最小值为．21．已知函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣ax ．（1）若曲线y=f （x ）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f （x ）在[0，1]上的最值；（2）令g （x ）=f （x ）+（x 2﹣a 2），若x ≥0时，g （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当a=0且x ＞0时，证明f （x ）﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a ，设h （x ）=e x ﹣2x ，求出导数和单调区间，以及最小值，可得f （x ）的单调性，进而得到f （x ）的最值；（2）求得g （x ）的导数，令m （x ）=e x ﹣x ﹣a ，求出单调区间和最值，讨论（i ）当1﹣a ≥0即a ≤1时，（ii ）当1﹣a ＜0即a ＞1时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到a 的范围；（3）f （x ）﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1等价于e x ﹣x 2﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1，即e x ﹣ex ≥xlnx ﹣x+1．等价于﹣lnx ﹣﹣e+1≥0．令h （x ）=﹣lnx ﹣﹣e+1，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明．【解答】解：（1）∵f ′（x ）=e x ﹣2x ﹣a ，∴f ′（0）=1﹣a=1，∴a=0，∴f ′（x ）=e x ﹣2x ，记h （x ）=e x ﹣2x ，∴h ′（x ）=e x ﹣2，令h ′（x ）=0得x=ln2．当0＜x ＜ln2时，h ′（x ）＜0，h （x ）单减；当ln2＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）单增，∴h （x ）min =h （ln2）=2﹣2ln2＞0，故f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）min =f （0）=1，f （x ）max =f （1）=e ﹣1．（2）∵g （x ）=e x ﹣（x+a ）2，∴g ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ． 令m （x ）=e x ﹣x ﹣a ，∴m ′（x ）=e x ﹣1，当x ≥0时，m ′（x ）≥0，∴m （x ）在[0，+∞）上单增，∴m （x ）min =m （0）=1﹣a ． （i ）当1﹣a ≥0即a ≤1时，m （x ）≥0恒成立，即g ′（x ）≥0，∴g （x ）在[0，+∞）上单增，∴g （x ）min =g （0）=1﹣≥0，解得﹣≤a ≤，所以﹣≤a ≤1．（ii ）当1﹣a ＜0即a ＞1时，∵m （x ）在[0，+∞）上单增，且m （0）=1﹣a ＜0， 当1＜a ＜e 2﹣2时，m （ln （a+2））=2﹣ln （2+a ）＞0，∴∃x 0∈（0，ln （a+2）），使m （x 0）=0，即e=x 0+a ．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，g （x ）单减； 当x ∈（x 0，ln （a+2））时，m （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，g （x ）单增．∴g （x ）min =g （x0）=e ﹣（x 0+a ）2=e﹣e=e（1﹣e）≥0，∴e≤2可得0＜x 0≤ln2，由e =x 0+a ，∴a=e﹣x．记t（x）=e x﹣x，x∈（0，ln2]，∴t′（x）=e x﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，综上，a∈[﹣，2﹣ln2]．（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于e x﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，即e x﹣ex≥xlnx﹣x+1．∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0．令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1，则h′（x）=．∵x＞0，∴e x﹣1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标坐标变为原来的2倍，得到曲线C1的极坐标方程为．系，曲线C2的极坐标方程；（1）求曲线C1的交点为O，P，与曲线（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为Q，求△MPQ的面积．C2【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由题意求出曲线C 1的参数方程，从而得到曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程．（2）设点ρ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直线l 的极坐标方程为，它与曲线C 1的交点为O ，P ，分别求出O ，P 的极坐标，从而求出|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，再由M 到直线l 的距离为，能求出△MPQ 的面积．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】 解：（1）∵曲线（t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1，∴由题意知，曲线C 1的参数方程为（t 为参数），∴曲线C 1的普通方程为（x ﹣1）2+y 2=1，即x 2+y 2﹣2x=0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ． … （2）设点ρ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），则由，得P 的极坐标为P （1，），由，得Q 的极坐标为Q （3，）．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，又M 到直线l 的距离为，∴△MPQ 的面积．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|﹣2|x ﹣1|．（1）求f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积； （2）设，若对∀s ，t ∈（0，+∞）恒有g （s ）≥f （t ）成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；函数恒成立问题．【分析】（1）求出f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），即可求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；（2）求出g（s）有最小值4﹣a，f（t）有最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|=∴f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），∴f（x）的图象与x轴围成的三角形面积S==．…（2）∵∀s∈（0，+∞）恒有g（s）=s+﹣a≥4﹣a，∴当且仅当s=2时，g（s）有最小值4﹣a．又由（Ⅰ）可知，对∀t∈（0，+∞），f（t）≤f（1）=2．∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，等价于4﹣a≥2，即a≤2，∴实数a的取值范围是a≤2．…。

云南师大附中2019届高考适应性月考卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|log 4}A x x =<，集合{|||2}B x x =≤，则A B =（ ）A ．(0,2]B ．[0,2]C ．[2,2]-D ．(2,2)- 2.已知复数z 在复平面内对应的点为(1,1)-，则复数32z z ++的模为（ ） A ．10 B ．102C ．2D ．2 3.已知||4cos 8a π=，||2sin8b π=，2a b •=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．3π B ．4πC ．34πD ．23π4.圆22420x y x y a ++-+=截直线50x y ++=所得弦的长度为2，则实数a =（ ） A ．4 B ．-2 C ．-4 D ．25.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．3024 B ．1007 C ．2015 D ．20166.给出下列四个结论：①已知直线1:10l ax y ++=，22:0l x ay a ++=，则12//l l 的充要条件为1a =±；②函数()3sin cos f x x x ωω=+满足()()2f x f x π+=-，则函数()f x 的一个对称中心为(,0)6π； ③已知平面α和两条不同的直线,a b ，满足b α⊂，//a b ，则//a α； ④函数1()ln f x x x=+的单调区间为(0,1)(1,)+∞. 其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 7.已知22sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则sin()αβ-的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．13- D ．102278.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，2AB AD CD ===，22BD =，BD CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，则球O 的体积为（ ）A ．43πB ．32π C ．823π D ．2π 9.若,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，当且仅当3x y ==时，z ax y =+取得最大值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．23(,)35-B ．32(,)(,)53-∞-+∞ C ．32(,)53- D ．23(,)(,)35-∞-+∞ 10.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．438219++B ．438419++C ．838419++D ．838219++11.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的最大值为（ ）A C D ．1 12.已知曲线x ay e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2ln 23)-∞+B ．(,2ln 23)-∞-C ．(2ln 23,)-+∞D ．(2ln 23,)++∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设24cos n xdx π=⎰，则二项式1()n x x-的展开式的常数项是 .14. ()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(2)()f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则11()2f -= . 15.已知曲线221y x b a-=（0a b •≠且a b ≠）与直线20x y +-=相交于,P Q 两点，且0OP OQ •=（O 为原点），则11b a-的值为 . 16.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12,2(1)n n a S n a ==+，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos c A C =. （1）求角C ；（2）若c =sin sin()5sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.（1）先求出,,,x y p q的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整；（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.（3）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在(2000,2500]和(2500,3000]两组所抽出的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求(2000,2500]组获得现金将的数学期望.如图4，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，,E F 分别是,BC PC 的中点.（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）取2AB =，若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E AF C --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知O 为坐标原点，抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52，C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴. （1）求线段OQ 的长；（2）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交C 交点A 和B ，交1l 于点E ，若直线,PA PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由.函数32()f x mx x n =++，()ln g x a x =.（1）若()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求()f x 的表达式； （2）若对任意[1,]x e ∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线:2cos C ρθ=，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线1C，又已知直线cos 3:sin3x t l y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点.（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点P ，求11||||PA PB +.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()1(2)f x f x +<的解集M ； （2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.云南师大附中2019届高考适应性月考卷理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．，，，故选A．2．，则，模为，故选B．3．设与的夹角为，则，，又，∴，故选D．4．圆的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=5−a，r2=5−a，则圆心(−2，1)到直线x+y+5=0的距离为，由12+(2)2=5−a，得a=−4，故选C．5．该程序框图表示的是通项为的数列前2016项和，2+2016=3024，故选A.6．对于①，由l1∥l2得∴，①错；对于②，由得，∴的周期为，，∴，时，②错；对于③，当时，结论不成立，③错；对于④，，的定义域为(0，)，，由得，由得，∴的单调区间为(0，1)，(1，)，④错．故选D．7．∈，∴∈(0，π)．∵sin=，∴cos2α=1−2=−，∴sin2α= =，而α，β∈，∴α+β∈(0，π)，∴sin(α+β)= =，∴=sin=sin2αcos(α+β)−cos2αsin(α+β)=×−×=，故选D．8．根据题意，AB=AD=2，BD=2，则∠BAD=．在Rt△BCD中，BD=2，CD=2，则BC=2，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以球心就是BC的中点，半径为r=，所以球的体积为：，故选A．9．作出约束条件表示的平面区域如图1所示．由z=ax+y得y=−ax+z，∵z=ax+y仅在(3，3)处取得最大值，∴−＜−a＜，解得−＜a＜，故选C．10．由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为，两个侧面是全等的三角形，三边分别为，，4，面积之和为，另一个侧面为等腰三角形，面积是×4×4=8，故选B．11．由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′（其中F′是椭圆的左焦点），因此四边形AFBF′是矩形，于是，|AB|=|FF′|=2c，|AF|=2c sin，|AF′|=2c cos，根据椭圆的定义，|AF|+|AF′|=2a，∴2c sin+2c cos=2a，∴椭圆离心率e===，而∈，∴+，∴sin，故e的最大值为，故选A．12．的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，故选B．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16答案 6 (−4，−2][1，2)【解析】13．∵，设第r项为常数项，则，令，可得，∴．14．由f(x+2)=可得，f(x+4)==f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，．15．将y=2−x代入，得设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.=x1x2+y1y2=x1x2+(2−x1) (2−x2)=2x1x2−2(x1+x2)+4，所以+4=0，即2a−2b=ab，即a−b=ab，所以．16．时，，整理得，又，故．不等式可化为：，设，由于，由题意可得解得或．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，可得c sin A=a sin C，因为c sin A=a cos C，所以a sin C=a cos C，可得sin C=cos C，得tan C=，因为C(0，)，所以C=．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）因为sin C+sin(B−A)=5sin2A，C=，sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)+sin(B−A)=5sin2A，所以2sin B cos A=2×5sin A cos A．因为△ABC为斜三角形，所以cos A≠0，所以sin B=5sin A，由正弦定理可知b=5a，①所以S△ABC=ab sin C=×1×5×……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在(2500，3000]的频率为0.4−0.3=0.1，即q=0.1，且y=100×0.1=10，从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图2所示．………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）相应的2×2列联表为：由公式K2=，因为5.56>5.024，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．……………………………………………（8分）（Ⅲ）在(2000，2500]和(2500，3000]两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，则(2000，2500]组获奖人数X为0，1，2，且，故(2000，2500]组获得现金奖的数学期望+1000+2000=1500．…………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC. ……………………………………………（1分）又BC∥AD，因此AE⊥AD．……………………………………………（2分）因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．………………………………………………………（3分）而PA平面PAD，AD平面PAD，PA AD=A，所以AE⊥平面PAD．…………………………………………（5分）（Ⅱ）解法一：为上任意一点，连接，．由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．…………………………………………（6分）在中，，所以当AH最短时，即当时，EHA最大，此时，因此．……………………………………………（7分）又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．…………………………………（8分）因为PA⊥平面ABCD， PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC．过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E−AF−C的平面角．……………………………………………（9分）在Rt△AOE中，，．又F是PC的中点，在Rt△ASO中，．又，………………………………………………（10分）在Rt△ESO中，，…………………………………（11分）即所求二面角的余弦值为．…………………………………………（12分）解法二：由（Ⅰ）可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AP=a，………………（6分）则A(0，0，0)，B(，−1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，a)，E(，0，0)，F，，，H(0，2−2，a)(其中)，∴，，，平面PAD的法向量为=(1，0，0)，设为EH与平面PAD所成的角，．EH与平面PAD所成最大角的正切值为，∴的最大值为，即在的最小值为5，函数对称轴(0，1)，所以，计算可得a=2，…………………（8分）所以，0，0)，，．设平面AEF的一个法向量为=(x1，y1，z1)，则因此取，则= (0，2，−1)，…………………………………………（9分）= (，3，0)为平面AFC的一个法向量，………………………（10分）所以cos，=，………………………（11分）所以，所求二面角的余弦值为．…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线在第一象限内的点P到焦点的距离为，得，，抛物线C的方程为y2=2x，P(2，2)．………………………………（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为，则y′=，故C在点P处的切线斜率为，切线的方程为．令y=0得x=−2，所以点Q的坐标为(−2，0)．故线段OQ的长为2．……………………………………………（5分）（Ⅱ）l2恒过定点(2，0)，理由如下：由题意可知l1的方程为x=−2，因为l2与l1相交，故．由l2：，令x=−2，得，故．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得：，则，．………………………………………………（7分）直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为．因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，所以，即．………………………（10分）整理得：，因为l2不经过点Q，所以，所以2m−b+2=2m，即b=2．故l2的方程为，即l2恒过定点(2，0). ………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，得，. 又点(1，f(1))在直线上，∴，，∴. ………………………（3分）（Ⅱ）由，得．∵，，且等号不能同时取得，∴，即.∴恒成立，即.令，，则，当时，，，，从而.∴在区间上为增函数，∴，∴. …………（7分）（Ⅲ）由条件假设曲线上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设()，则()．∵是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴，是否存在P，Q等价于该方程且是否有根．当时，方程可化为，化简得，此时方程无解；当时，方程可化为，即．设，则()，显然，当时，，即在区间上是增函数，的值域是，即．∴当时方程总有解，即对于任意正实数a，曲线上总存在两点P，Q，使得是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：，即，∴曲线的直角坐标方程为，∴曲线表示焦点坐标为，长轴长为4的椭圆．……………（4分）（Ⅱ）直线：（t是参数），将直线的方程代入曲线的方程中，得．设对应的参数分别为，则，，结合t的几何意义可知，．……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：，即．当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解集为．综上，．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证．∵a，b M，∴a2>1，b2>1，∴(a2−1)(b2−1)>0成立，所以原不等式成立．………………………………………（10分）。

绝密★启用前云南省云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考卷高三数学（理）试题考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，但其中第12题相对比较新颖，第9、10、11、12、16题突出考查逻辑思维能力与运算能力，同时也注重知识交汇性的考查，如第10题等，解答题重视数学思想方法的考查，如第20题考查分类讨论、构造函数、转化的思想、推理与计算能力，第19题探索性命题、考查了转化思想、推理和空间想象能力．第23题考查了恒成立问题，体现转化思想，本卷适合第一轮复习使用．一、选择题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 4B. -4C. 5D. -55．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A. -2B. -3C. -4D. -56．若的展开式中常数项为，则实数的值为（）A. B. C. -2 D.7．将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B.C. D.9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.10．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（）A. B. C. D.11．已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.12．已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A. -1B. -2C. -3D. -4二、填空题13．若实数满足不等式组，则的最小值为__________．[KS5UKS5U] 14．设数列的前项和为，且，，则__________．15．已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是__________．16．已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题17．在中，分别是角的对边，.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.18．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设与曲线相交于两点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数.（1）解不等式；（2）若对于，使恒成立，求实数的取值范围.云南省云南师范大学附属中学2019届高三高考适应性月考卷数学（理）试题参考答案1．C【解析】，∴，故选C．2．B【解析】，，对应点为 ,故选B．3．B【解析】对于成立是真命题，∴，即，故选B．4．A【解析】由题意可知输出结果为，故选A．【方法点晴】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5．D【解析】∵，∴，故选D．【方法点晴】已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间是单调区间的子集；8．A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，，∴，故选A．9．A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．【方法点晴】空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．【方法点晴】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．C【解析】对于任意的，都有成立，等价于在，函数，，在上单调递减，在上单调递增，且，∴．在上，恒成立，等价于恒成立．设，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选C．【方法点晴】函数的双变元问题，任意的，都有成立，等价于在，函数，转化为两侧的函数最值问题，先求出最值好求的一边，，转化为恒成立，再变量分离；13．【解析】画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．和相交于一点A，，目标函数最小时即截距最小时，由图像知在A点取得；故结果为14;14．【解析】①，②，①②得：，又∴数列，首项为1，公比为的等比数列，∴．故结果为85；15．【解析】依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，，如图2，点恰好取自区域的概率．故结果为；【方法点晴】考查集合概型，和积分，利用面积之比求出概率即可；则，切线的斜率为，则切线方程为，即，∵且，∴，即，则，即，则，∴，∴要使两个函数图象有个交点，则．【方法点晴】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．17．【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得，最后根据三角形内角范围求角的大小；（2）由余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据面积公式得最大值18．【解析】试题分析：（1）计算K 2的值，根据K 2的值，，可得没有以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（2）用样本容量乘以男生所占的比例，可得应抽取的男生数，用样本容量乘以女生所占的比例，可得应抽取的女生数． 试题解析：（Ⅰ）列联表补充如下：[KS5UKS5UKS5U]由题意得，∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，则抽取男生人，抽取女生人，所以的分布列服从参数的超几何分布，的所有可能取值为，其中．由公式可得， ，[KS5UKS5U][KS5UKS5U.KS5U所以的数学期望为．[KS5UKS5U.KS5U19．【解析】（Ⅰ）证明：由已知，得，∵，，试题解析：又，∴．又底面，平面，则，∵平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．则，因为在平行四边形中，，则，∴．又，知．设平面的法向量为，则即取，则．设平面的法向量为，则即取，则．若平面与平面所成的二面角为，则，即，化简得，即，解得（舍去）或．于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．【方法点晴】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角；20．【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值（2）先根据导函数是否变化分类讨论：当时，导函数恒为正，所以最小值为；当时，导函数先负后正，所以最小值为；当时，导函数为负，最小值为，最后根据最小值为1，解对应的值。

2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学（理）试题第I卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.f x —4 |1.设集合A= {0,1, 2, 4} , B= x R| 0，则A] B =( )I X—2 JA. {1, 2, 3 , 4}B. {2, 3, 4}C. {2, 4}D. { x|1：：:X ^4}【答案】C【解析】试题分析：AflB ={0, 1 2, 4}P]{x1 ：：：xW4} ={2 , 4}，故选 C.考点：集合的交集运算1 _2i -2. 若复数z 的共轭复数是z = a • bi（a,b R）,其中i为虚数单位，则点（a , 3为（）iA. （一1.2 ）B. （- 2, 1）C. （1 , —2）D. （2, 一1）【答案】B【解析】试题分析：•/ z = 1― = _2 —i z = -2 • i ,故选 B.i考点：复数的计算•—e x ° x 兰03. 已知函数f（x）,若f （a）=—1,则实数a的值为（）[x-2,x >0A、2 B± 1 C. 1 D 一1【答案】C【解析】试题分析: a< 0, —|a<0 ,I e a»二-1 a =1=a =1 ,故选C.4.“ 0< m< l ”是“函数f (x) = cosx • m -1 有零点”的( )考点：函数值4.“ 0< m< l ”是“函数f (x) = cosx • m -1 有零点”的( )C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：T f(x) =0= cosx =1-m ，由 o w m W 1,得 C K 1-m W 1,且-1<cosx w i ，所以函数f (x) =cosx m -1 有零点.反之，函数 f (x) =cosx m 一1 有零点，只需 |m 一1|<1 二 0X m <2，故选 A. 考点：充分必要条件•5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图 1所示，则原【答案】C 【解析】试题分析：如图1,不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥A-AB 1D 1，其体积为-，又正方体的体积6为1,则剩余部分(新工件)的体积为 5，故选C.6考点：三视图A.充分不必要条件B. 必要不充分条件工件材料的利用率为〔材料的利用率新工件的体积 原工件的体积7 4A»圉I|AB A C ^|A B - AC| ，知 _ AC ，以 AB , AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0, 0), B(2, 0), C(0, 1)，于是 E -考点：诱导公式•x - y -2 _ 08.设实数x,y 满足<x +2y —5兰0则 ky —2 兰0A r 1 ©A 、[―,]3 3【答案】D 【解析】=1, k OB =2, k O c 二丄，可见—-,2，结合双勾函数的图象，得 3 2 x _3°2, 130,故选D6.在厶ABC 中,| AB AC|=|AB | , AB =2, AC = 1 , E, F 为BC 的三等分点，则 忑前=（）8 9 【答案】B A 、 10~9 C、 25 "9D 269【解析】盛孔 4，l=8 考点：向量的运算• 2 10 9肓，故选B.•.兀 3 .兀 7.已知 sin( ) ，则 sin(— ■ 2-：匚) 6 5 小 7 25 【答案】 【解析】 JI 6 9 25 C、 试题分析：由sin 卜2町 1625+2町巧一寺-町卜。

2019届云南师大附中高三上学期月考三理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 已知全集为R，集合A={x|x≥0}，B={x|x 2 ﹣6x+8≤0}，则A∩　? R B=（） A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}________C．{x|0≤x＜2或x＞4}________D．{x|0＜x≤２或x≥4}2. 设复数z满足（1+2i）z=5i，则复数z为（）A．2+i________ B．﹣2+i________ C．2﹣i________ D．﹣2﹣i3. 在等比数列{a n }中，a 1 =8，a 4 =a 3 a 5 ，则a 7 =（）A．________ B．________ C．________ D．4. 若椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣ =1的渐近线方程为（）A．y=± x________ B．y=± x________ C．y=± x________ D．y=±ｘ5. 下列有关命题的说法错误的是（）A．若“p ∨ q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“sinx= ”的必要不充分条件是“x= ”D．若命题p：? x 0 ∈ R，x 0 2 ≥0，则命题￢p：? x ∈ R，x 2 ＜06. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的M等于（）A．________ B．________ C．________ D．7. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．________ B．________ C．2+ ________ D．3+8. 已知△ ABC 和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2________ B．3________ C．4________ D．59. 已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ ABC 和△ DB C 所在平面相互垂直，AB=3，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球O的表面积为（）A．4π________ B．12π________ C．16π________ D．36π10. 设函数f（x）=﹣x 3 +bx（b为常数），若方程f（x）=0的根都在区间[﹣2，2 ] 内，且函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，则b的取值范围是（）A．[3，+∞）________ B．（3，4 ]________ C．[3，4 ]________ D．（﹣∞， 4 ]11. 抛物线y 2 =8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是（）A．[3，+∞）________ B．（1，2 ]________ C．[1，4 ]________ D．[1， ]12. 若曲线 C 1 ，y=x 2 与曲线 C 2 ：y=ae x 存在公切线，则a的（）A．最大值为________ B．最大值为________ C．最小值为________ D．最小值为二、填空题13. 掷2个骰子，至少有一个1点的概率为_________ ．（用数字作答）14. 已知α∈（0，），且tan（α+ ）=3，则lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=___________ ．15. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1 = ，a n +b n =1，b n+1 = （n ∈　N * ），则 b 2015 =_________ ．16. 已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x ∈ [0，1 ] 时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3 ] 内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k ∈ R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是 ____________________ ．三、解答题17. 设△ ABC 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 cosC+ =1．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ ABC 的周长l的取值范围．18. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ ABC=60°．PA ⊥平面A BCD，E为PC中点．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值．19. 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP（最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．注：（1）表中a/b表示出手b次命中a次；（2）TS%（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：TS%= ．（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率；（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率；（Ⅲ）用x来表示易建联某场的得分，用y来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．20. 已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若=λ 1 ， =λ 2 ，求证：λ 1 +λ 2 为定值．21. 已知函数f（x）= ，g（x）=e x+m ，其中e=2.718…．（1）求f（x）在x=1处的切线方程；（2）当m≥﹣2时，证明：f（x）＜g（x）．22. 如图，P为⊙ O 外一点，PC交⊙ O 于F，C，PA切⊙ O 于A，B为线段PA的中点，BC交⊙ O 于D，线段PD的延长线与⊙ O 交于E，连接FE．求证：（Ⅰ）△ PBD ∽△ CBP ；（Ⅱ）AP ∥ FE ．23. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+ ）=3 ，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．24. 设函数，f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤１的解集为[0，2 ] ， + =a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

云南省师范大学附属中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理（扫描版）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B DACAACDABCB【解析】1．(2i)(1i)(2)(2)i(1i)(1i)2a a a +-++-=+-，故选B ． 2．(3)(2)A B =-+∞=+∞，，，，故选D ． 3．sin y x x =为偶函数，当0πx <<时，sin 0x >，故选A ．4．如图1，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，当点P 位于线段AD 上时，0GP AP <；当点P 位于线段DC 上时，0GP AP >，故当GP AP 取得最小值时，点P 在线段AD 上，||||||(3||)GP AP AP DP AP AP =-=--，当3||AP =时，取得最小值34-，故选C ．5．一方面，由2||2||OF OH =，得211||||22OH OF c==，故22223||||||F H OF OH c =-=；另一方面，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故222||F H ba b==+，于是3c b=，即222234c b c a ==-，故2214a c =，得2c e a ==，故选A ． 6．根据正弦定理，由2sin 4sin c A C =，得4ac =，则由π3B =，得2224a c b +-=，则ABC S =△1(164)34-=A ．7．该框图是计数90到120（含90和120）之间的个数，可知5k =，故选C.8．设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有345()()()()P A P A P A P A =++=11111171112222228⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯+-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ．图9．如图2，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B D C -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，设11AA =，则由题意知11cos 5255AC D ∠==⨯⨯，故选A ．10．π()3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得其图象如图3， 由题意得11π17ππ66ωω<≤，即111766ω<≤，故选B ． 11．令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =，又因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，故①正确；当0x >时，()1f x >，当0x =时，(0)1f =，即当0x ≥时，()10f x >≥；当0x <时，0x ->，则()0f x ->，由题意得()()()f x x f x f x -=-，则(0)1()0()()f f x f x f x ==>--，故②成立；对任意的12x x ∈，R ，不妨设12x x >，故存在正数z 使得12x x z =+，则12222()()()()()()f x f x f x z f x f x f z -=+-=22()()(()1)f x f x f z -=-，因为当0x >时，()1f x >，所以()10f z ->，因为对任意的x ∈R ，有()0f x >，所以2()0f x >，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③错误，故选C ．12．如图4，设内切圆的圆心为H ，连接2AH BH F H ，，，设内切圆的半 径为r ，则2212||||||||||AB AF BF AF AF ++=++12||||48BF BF a +==，2221(||2ABF ABH AHF BHF S S S S AB =++=+△△△△22||||)4AF BF r r+⨯=，即24ABF S r =△，当2ABF △的面积最大时，内切圆的半径r 最大，由题意知，直线不会与x 轴重合，可设直线AB ：1my x =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得π6x ω+… 2π3πxπ6ω-… 11π6ω 17π6ω π2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0…图图图22(34)690m y my +--=，2212(1)m ∆=+，2121212111||||22ABF AF F BF F S S S F F y =+=+△△△212212121212111121||||||(||||)||||2222m F F y F F y y F F y y ∆+=+=-=⨯⨯=222121121311m m m +==+++，令21m +=1t ≥，则2213131m t t m ++=+=+()f t ，当1t ≥时，函数()f t 单调递增，所以()(1)4f t f =≥，当()f t 取得最小值4时， 2ABF S △取得最大值3，此时34r =，所以内切圆的面积的最大值为9π16，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13141516答案 12y x =263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2(12)-16π13．21e 2xy '=，则012x y ='=，故12y x =． 14．可行域如图5，根据图形可得263z -≤≤．15．由题意得sin cos sin cos αααα+=，两边同时平方得212sin cos (sin cos )αααα+=，即2sin 24sin240αα=--，解得sin22(12)α=-或sin22(1+2)1α=>舍去．16．如图6，在正三棱锥P ABC -中，D 为BC 的中点，E 为ABC △的中心，PA PB PC ==，由余弦定理可得2222cos AB PA PB PA PB APB =+-∠，解得22PA =，即22PA PB PC ===，在ABC △中，3AD =，则2AE =，在PAE △中，222PE AP AE =-=，则AE BE CE ===2PE =，故E 为球心，球的半径2r =，所以球的表面积为24π16πr =．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图图（1）解：由题知当1n =时，1131222a S ==+=；当2n ≥时，2213131(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以31n a n =-． ……………………………………………………………………（3分） 设{}n b 的公比为q ，则2111322b b q b q =+=，，解得12q =或32q =-（舍去），所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222nn n T ---=++++，两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++， ……………………………（8分） 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--，所以235202n n n T -+=-． ………………………………………………………………（10分）因为23502n n -+>，所以20n T <． ……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由表一得3456 2.534 4.54.5 3.544x y ++++++====，，422221345ii x==++∑2686+=， …………………………………………………………（2分）∴23 2.543546 4.54 4.5 3.566.5630.7864 4.55b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-⨯， …………………（4分）ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=， 所以所求线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+． ………………………………………（6分） （2）当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y =⨯+=，从而能够节省6.5 5.25 1.25-=吨原材料． ………………………………………（8分）（3）由表二得22200(90158510)8 2.706100100175257K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………（10分）因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”． ………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AC BC PC ===，22AB PA PB ===，则222AC PC AP +=，222BC PC BP +=，所以PC AC ⊥，PC BC ⊥， ………………………………………（2分）又因为ACBC C =，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥平面ABC ．………………………………………（4分）（2）解：222AC BC BA +=，则AC BC ⊥，即AC ，BC ，PC两两垂直，如图7，建立空间直角坐标系，则(200)A ，，， (002)P ，，，(020)B ，，，设(00)(02)D a a ∈，，，，，则PA =(202)-，，，PB = (022)-，，，(02)PD a =-，，， ……………………（6分）平面PBC 的法向量1u =(100)，，， 设平面PBD 的法向量2()u x y z =，，，则22020y z ax z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =，可得2211u a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，． 1212cos30||||u u u u ︒=，解得6a =， ……………………………………（8分）则602PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，平面PAB 的法向量3(111)u =，，， ………………………（10分）设PD 与平面PAB 的所成角为θ，则33||1421sin 7||||PD u PD u θ==-，所以所求角的正弦值为1421-.………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：设点001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，图则2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12012022x x x y y y +=+=，，由24x y =，得214y x =，故12y x '=，即抛物线C 在点P 处的切线的斜率为12P x x k y x ='==．………………………………………………………………………………（2分）又直线l 的斜率22120012121212244442ABx x x x y y x x k x x x x --+=====--，即AB P k k =，所以直线l 平行于抛物线C 在点P 处的切线． ………………………………………（4分）（2）解：由||0PM a =>，得204x M x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，， 于是直线2000()42x x l y a x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭：，即2200000()2424x x x x l y x x a x a ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭：．………………………………………………………………………………（6分） 联立直线l 与抛物线C 得2200424x y x x y x a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，消去y 得2200240x x x x a -+-=，∴222120120002444(4)160x x x x x x a x x a a +==-∆=--=>，，，………………………………………………………………………………（8分）∴22212121200111||||()4(2)4(4)2222PAB S PM x x a x x x x a x x a a a=-=⨯+---=△ 故PAB △的面积为定值2a ………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，1()e x g x x '=-，令()()G x g x '=，则21()e 0x G x x '=+>，所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，即()g x '在(0)+∞，上单调递增， ………………（2分） 131e 303g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，故存在0113x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0001()e 0x g x x '=-=，（*）当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以对(0)x ∀∈+∞，，均有000()()e ln x g x g x x =-≥，① 由（*）式可得001e x x =，代入①式得00000000011()e ln e ln e e x x x x g x x x x x =-=-=+=+，又00x >，所以0012x x +≥，当且仅当01x =时取“=”，但013x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1，故0012x x +>， 故0()()>2g x g x ≥． ……………………………………（6分）（2）解：由题得2()()()e ln 0x h x g x f x x x ax x =-=-+->，， 于是函数()h x 有两个零点等价于方程2e ln 0x x x ax -+-=有两个不同的解，因为0x ≠，所以又等价于2e ln 0x x x a x -+-=有两个不同的解．令2e ln ()x x x H x a x -+=-，则22e ln e 1()x x x x x H x x ++--'=，………………………（8分）再令2()e ln e 1x x p x x x x =++--，则1()e 20x p x x x x '=++>，所以()p x 在(0)+∞，上单调递增． 又(1)0p =，所以当(01)x ∈，时，()0p x <；当(1)x ∈+∞，时，()0p x >， 故当(01)x ∈，时，()0H x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0H x '>， 于是当(01)x ∈，时，()H x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()H x 单调递增，即(1)1e H a =+- 是()H x 在(0)+∞，上的最小值， 于是，若(1)1e 0H a =+-≥，即1e a +≤时，则当(01)x ∈，时，()(1)0H x H >>， 当(1)x ∈+∞，时，()(1)0H x H >>，故()H x 在(0)+∞，上至多有一个零点1x =； ………………………………………………（10分）若(1)1e 0H a =+-<，即1e a >+时，则当(01)x ∈，时，由于1(01)a ∈，，(1)0H <，11211e ln 11111e ln 201a a a a H a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫=-=-+->+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()H x 在(01)，上有且仅有一个零点111x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 同理，当(1)x ∈+∞，时，由于(1)a ∈+∞，，(1)0H <， 2e ln e ln 22()0a a a a a H a a a a a a a a a a -+-=-=+->+-=>，故()H x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点2(1)x a ∈，，即当(0)x ∈+∞，时，()H x 共有两个零点12x x ，．综上，当1e a >+时，()h x 有两个零点． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）C 的直角坐标方程为22143x y +=， ……………………………………（2分）l 的参数方程为1cos ()2sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，． ………………………………………（4分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得22(1cos )(2sin )143t t αα++=，整理得222(3cos 4sin )2(3cos 42)10t t αααα+++-=，………………………………………………………………（6分）所以1222211||||||||3cos 4sin 3sin PA PB t t ααα===++， …………………………（8分） 而[0π)α∈，，故2sin [01]α∈，， 所以2111||||3sin 43PA PB α⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，． ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由240()404244x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩，≤，，，，≥， ……………………………………………（2分）得min ()4f x =，要使()|2|f x m +≥恒成立，只要|2|4m +≤，即62m -≤≤，故实数m 的最大值为2． ……………………（5分）（2）证明：由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤，222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+，∵01ab <≤，∴222()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥， ∴2a b ab +≥． ……………………………………………………………………（10分）。

云南省师范大学附属中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理（扫描版）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．(2i)(1i)(2)(2)i(1i)(1i)2a a a +-++-=+-，故选B ． 2．(3)(2)A B =-+∞=+∞，，，，故选D ． 3．sin y x x =为偶函数，当0πx <<时，sin 0x>，故选A ．4．如图1，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，当点P 位于线段AD 上时，GP AP <；当点P 位于线段DC 上时，0GPAP >，故当GP AP 取得最小值时，点P 在线段AD 上，||||||(3||)GP AP AP DP AP AP =-=--，当3||AP =时，取得最小值34-，故选C ．5．一方面，由2||2||OF OH =，得211||||22OH OF c==，故2||F H ==；另一方面，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故2||F H b=，于是b =，即222234c b c a ==-，故2214a c =，得2c e a ==，故选A ． 6．根据正弦定理，由2sin 4sin c A C =，得4ac =，则由π3B =，得2224a c b +-=，则ABC S =△=A ．7．该框图是计数90到120（含90和120）之间的个数，可知5k =，故选C.8．设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有345()()()()P A P A P A P A =++=11111171112222228⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯+-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ．图9．如图2，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B D C -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，设11AA =，则由题意知11cos 5AC D ∠=，故选A ．10．π()cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得其图象如图3， 由题意得11π17ππ66ωω<≤，即111766ω<≤，故选B ． 11．令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =，又因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，故①正确；当0x >时，()1f x >，当0x =时，(0)1f =，即当0x ≥时，()10f x >≥；当0x <时，0x ->，则()0f x ->，由题意得()()()f x x f x f x -=-，则(0)1()0()()f f x f x f x ==>--，故②成立；对任意的12x x ∈，R ，不妨设12x x >，故存在正数z 使得12x x z =+，则12222()()()()()()f x f x f xzf x f x f z -=+-=22()()(()1)f x f x f z -=-，因为当0x >时，()1f x >，所以()10f z ->，因为对任意的x ∈R ，有()0f x >，所以2()0f x >，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③错误，故选C ．12．如图4，设内切圆的圆心为H ，连接2AH BH F H ，，，设内切圆的半 径为r ，则2212||||||||||A B A F B F A F A F ++=++12||||48BF BF a +==，2221(||2ABF ABH AHF BHF S S S S AB =++=+△△△△22||||)4AF BF r r+⨯=，即24ABF S r =△，当2ABF △的面积最大时，内切圆的半径r 最大，由题意知，直线不会与x 轴重合，可设直线AB ：1my x =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得π6x ω+… 2π 3π xπ6ω-… 11π6ω 17π6ω π2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0…图图图22(34)690m y my +--=，2212(1)m ∆=+，2121212111||||22ABF AF F BF F SS S F F y =+=+△△△12212121212111||||||(||||)||||2222F F y F F y y F F y y =+=-=⨯=121===1t ≥，则13t t +=+=()f t ，当1t ≥时，函数()f t 单调递增，所以()(1)4f t f =≥，当()f t 取得最小值4时， 2ABF S △取得最大值3，此时34r =，所以内切圆的面积的最大值为9π16，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．21e 2x y '=，则012xy ='=，故12y x =．14．可行域如图5，根据图形可得263z -≤≤．15．由题意得s i n c o ss i n c αααα+=，两边同时平方得212sin cos (sin cos )αααα+=，即2sin 24sin240αα=--，解得sin22(1α=或sin21α=>舍去．16．如图6，在正三棱锥P ABC -中，D 为BC 的中点，E 为ABC △的中心，PA PB PC ==，由余弦定理可得2222cos AB PA PB PA PB APB =+-∠，解得PA =PA PB PC ===ABC △中，3AD =，则2AE =，在PAE △中，2PE ==，则AE BE CE ===2PE =，故E 为球心，球的半径2r =，所以球的表面积为24π16πr =．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图图（1）解：由题知当1n =时，1131222a S ==+=；当2n ≥时，2213131(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以31n a n =-． ……………………………………………………………………（3分） 设{}n b 的公比为q ，则2111322b b q b q =+=，，解得12q =或32q =-（舍去），所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222nn n T ---=++++，两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++， ……………………………（8分） 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--，所以235202n n n T -+=-． ………………………………………………………………（10分）因为23502n n -+>，所以20n T <． ……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由表一得3456 2.534 4.54.5 3.544x y ++++++====，，422221345ii x==++∑2686+=， …………………………………………………………（2分）∴23 2.543546 4.54 4.5 3.566.5630.7864 4.55b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-⨯， …………………（4分）ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=， 所以所求线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+． ………………………………………（6分） （2）当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y =⨯+=，从而能够节省6.5 5.25 1.25-=吨原材料． ………………………………………（8分） （3）由表二得22200(90158510)8 2.706100100175257K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………（10分）因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”． ………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AC BC PC ===，AB PA PB ===则222AC PC AP +=，222BC PC BP +=，所以PC AC ⊥，PC BC ⊥， ………………………………………（2分）又因为ACBC C =，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥平面ABC ．………………………………………（4分）（2）解：222AC BC BA +=，则AC BC ⊥，即AC ，BC ，PC两两垂直，如图7，建立空间直角坐标系，则(200)A ，，， (002)P ，，，(020)B ，，，设(00)(02)D a a ∈，，，，，则PA =(202)-，，，PB = (022)-，，，(02)PD a =-，，， ……………………（6分）平面PBC 的法向量1u =(100)，，， 设平面PBD 的法向量2()u x y z =，，，则22020y z ax z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =，可得2211u a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，． 1212cos30||||u u u u ︒=，解得a =， ……………………………………（8分）则602PD ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，平面PAB 的法向量3(111)u =，，， ………………………（10分）设PD 与平面PAB 的所成角为θ，则33||14sin 7||||PD u PD uθ==-，所以所求角的正弦值为. ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：设点001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，图则2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12012022x x x y y y +=+=，，由24x y =，得214y x =，故12y x '=，即抛物线C 在点P 处的切线的斜率为12P x x k y x ='==．………………………………………………………………………………（2分）又直线l 的斜率22120012121212244442ABx x x x y y x x k x x x x --+=====--，即AB P k k =，所以直线l 平行于抛物线C 在点P 处的切线． ………………………………………（4分）（2）解：由||0PM a =>，得204x M x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，， 于是直线2000()42x x l y a x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭：，即2200000()2424x x x x l y x x a x a⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭：．………………………………………………………………………………（6分） 联立直线l 与抛物线C 得2200424x y x x y x a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，消去y 得2200240x x x x a -+-=，∴222120120002444(4)160x x x x x x a x x a a +==-∆=--=>，，，………………………………………………………………………………（8分）∴12111||||2222PAB S PM x x a =-=⨯=△ 故PAB △的面积为定值2 ………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，1()e x g x x '=-，令()()G x g x '=，则21()e 0x G x x '=+>，所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，即()g x '在(0)+∞，上单调递增， ………………（2分） 131e 303g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，故存在0113x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0001()e 0x g x x '=-=，（*）当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以对(0)x ∀∈+∞，，均有000()()e ln x g x g x x =-≥，① 由（*）式可得001e x x =，代入①式得00000000011()e ln e ln e e x x x x g x x x x x =-=-=+=+，又00x >，所以0012x x +≥，当且仅当01x =时取“=”，但013x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1，故0012x x +>， 故0()()>2g x g x ≥． ……………………………………（6分）（2）解：由题得2()()()e ln 0x h x g x f x x x ax x =-=-+->，， 于是函数()h x 有两个零点等价于方程2e ln 0x x x ax -+-=有两个不同的解，因为0x ≠，所以又等价于2e ln 0x x x a x -+-=有两个不同的解． 令2e ln ()x x x H x a x -+=-，则22e ln e 1()x x x x x H x x ++--'=，………………………（8分） 再令2()e ln e 1x x p x x x x =++--，则1()e 20x p x x x x '=++>，所以()p x 在(0)+∞，上单调递增． 又(1)0p =，所以当(01)x ∈，时，()0p x <；当(1)x ∈+∞，时，()0p x >， 故当(01)x ∈，时，()0H x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0H x '>， 于是当(01)x ∈，时，()H x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()H x 单调递增，即(1)1e H a =+- 是()H x 在(0)+∞，上的最小值，于是，若(1)1e 0H a =+-≥，即1e a +≤时，则当(01)x ∈，时，()(1)0H x H >>， 当(1)x ∈+∞，时，()(1)0H x H >>，故()H x 在(0)+∞，上至多有一个零点1x =； ………………………………………………（10分）若(1)1e 0H a =+-<，即1e a >+时，则当(01)x ∈，时，由于1(01)a ∈，，(1)0H <，11211e ln 11111e ln 201a a a a H a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫=-=-+->+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()H x 在(01)，上有且仅有一个零点111x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 同理，当(1)x ∈+∞，时，由于(1)a ∈+∞，，(1)0H <， 2e ln e ln 22()0a a a a a H a a a a a a a a a a -+-=-=+->+-=>，故()H x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点2(1)x a ∈，，即当(0)x ∈+∞，时，()H x 共有两个零点12x x ，．综上，当1e a >+时，()h x 有两个零点． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）C 的直角坐标方程为22143x y +=， ……………………………………（2分）l的参数方程为1cos ()sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，． ………………………………………（4分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(1cos )sin )143t t αα++=，整理得222(3cos 4sin )2(3cos )10t t αααα+++-=，………………………………………………………………（6分） 所以1222211||||||||3cos 4sin 3sin PA PB t t ααα===++， …………………………（8分） 而[0π)α∈，，故2sin [01]α∈，， 所以2111||||3sin 43PA PB α⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，． ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由240()404244x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩，≤，，，，≥， ……………………………………………（2分）得min ()4f x =，要使()|2|f x m +≥恒成立，只要|2|4m +≤，即62m -≤≤，故实数m 的最大值为2． ……………………（5分）（2）证明：由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤，222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+，∵01ab <≤，∴222()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥， ∴2a b ab +≥． ……………………………………………………………………（10分）。