高中数学人教A版选修2-1课时作业：1.1.2 四种命题

第一章　1.1　课时作业2一、选择题1．[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )A. “若x<y，则x2<y2”B. “若x>y，则x2>y2”C. “若x≤y，则x2≤y2”D. “若x≥y，则x2≥y2”解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：C　2．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．答案：A　3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.答案：B　4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．4 B．3C．2　D．0解析：原命题和它的逆否命题为真命题．答案：C　二、填空题5．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________．答案：若x≤y，则x3≤y3－1，将条件、结论分别否定即可．6．[2014·江西省临川一中月考]命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．答案：真7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x<2成立，则m－1<x<m＋1也成立，∴Error!∴1≤m≤2.答案：[1,2]三、解答题8．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解：(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)垂直于同一个平面的两直线平行．(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．。

高二数学上：选修2-1答案答案：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

假。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，真；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题。

10.略。

11.原命题真；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neqk\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则 $\alpha=\beta$”假；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则 $\tan\alpha\neq\tan\beta$”假；逆否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”真。

改写：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

这是错误的。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，这是正确的；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题。

10.略。

11.原命题是真命题；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则$\alpha=\beta$”是错误的；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则$\tan\alpha\neq\tan\beta$”是错误的；逆否命题：“已知$\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”是正确的。

四种命题(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·长春高二检测)命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是( )A.若a∉A,则b∉BB.若a∈A,则b∉BC.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∉A【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”,“∈”与“∉”互为否定形式.2.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是( )A.邻补角不互补B.互补的两个角是邻补角C.不是邻补角的两个角不互补D.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.【变式训练】“△ABC中,若∠C=90°,则∠B,∠A全是锐角”的否命题为( )A.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角B.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角C.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【解析】选B.否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.3.(2014·烟台高二检测)下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题【解析】选A.对于A:逆命题为若x>|y|,则x>y,真命题.对于B:否命题为若x≤1,则x2≤1,显然此命题为假,比如x=-2命题不成立.对于C:否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,此命题是假命题,如x=-2命题不成立.对于D:逆否命题为:若x≤1,则x2≤0,显然此命题是假命题,故选A.4.关于命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的叙述正确的是( )A.命题的逆命题为真命题B.命题的否命题为真命题C.命题的逆否命题为真命题D.以上都正确【解析】选C.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆命题为“若a≠b,则|a|≠|b|”,是假命题.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的否命题为“若|a|=|b|,则a=b”,是假命题.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆否命题为“若a=b,则|a|=|b|”,是真命题.5.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题是( )A.若x=y=0,则x2+y2≠0B.若x,y都不为0,则x2+y2≠0C.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0D.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2=0【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”,故选C【误区警示】解答本题易出现选B的错误,导致出现这类错误的原因是对“x,y全为0”的否定搞不清楚所致.事实上,x,y全为0的否定为x,y中至少有一个不为0.6.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=【解题指南】由逆否命题的概念知,否定原命题的条件,“α≠”作结论;否定原命题的结论,“tanα≠1”作条件.【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”,故选C.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·九江高二检测)原命题:“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数是.【解析】逆命题:若ac2>bc2,则a>b,真命题.否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,真命题.逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题.答案:28.(2014·天津高二检测)请写出命题“若a+b=2,则a2+b2≥2”的否命题: .【解析】根据否命题的形式,原命题的否命题为“若a+b≠2,则a2+b2<2”.答案:若a+b≠2,则a2+b2<29.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是命题(填真、假).【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题.答案:真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·武汉高二检测)设命题p:若m<0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,则m<0.p的否命题:若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,则m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.11.判断下列命题的真假:(1)“若x∈A∪B,则x∈B”的逆命题与逆否命题.(2)“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.【解析】(1)逆命题:若x∈B,则x∈A∪B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若x∉B,则x∉A∪B.逆否命题为假.如2∉{1,5}=B,A={2,3},但2∈A∪B.(2)逆命题:若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为( )A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行【解析】选A.命题“若A,则B”的否命题为“若A,则B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是.【解析】将原命题中,条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1”.答案:若直线l1与l2平行,则a=1或a=-12.下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x>-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是同位角,假命题.3.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解析】选C.逆命题与否命题错误,逆否命题正确,故选C.4.命题“若-1<x<1,则x2<1”的逆否命题是( )A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1B.若x2<1,则-1<x<1C.若x2>1,则x>1或x<-1D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1【解析】选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若q,则p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·广州高二检测)下列四个命题中:①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;②“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;③“全等三角形的面积相等”的否命题;④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.其中真命题的序号是.【解析】①逆命题为“若一个三角形的三内角均为60°,则这个三角形为等边三角形”,是真命题;②Δ=4+4k,当k>0时,Δ>0,所以原命题为真命题,其逆否命题是真命题;③不全等的两个三角形面积也有可能相等,所以③是假命题;④否命题为“若ab=0,则a=0”,是假命题.综上可知,真命题是①②.答案:①②【变式训练】有下列四个命题,其中真命题是__________.①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.【解析】①逆命题是:“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②逆命题是:“若两三角形的周长相等,则它们相似”,是假命题,所以原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,所以③是真命题,其逆否命题也是真命题;④若A∪B=B,则A⊆B,所以原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,所以④是假命题.综上可知①③为真命题.答案:①③6.(2014·成都高二检测)给出下列三个命题:①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0;③若x,y∈N+,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,其中逆命题为真命题是.【解析】①③逆命题为真,②逆命题为假.答案:①③三、解答题(每小题12分,共24分)7.写出命题:若x+y=5,则x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,是真命题.否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,是真命题.逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,是假命题.【变式训练】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.【解析】(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数,真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数,真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数,真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高,真命题.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等,真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高,假命题.(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题.逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.8.(2014·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{a n}中,前n项的和为S n,若S m,S m+2,S m+1成等差数列,则a m,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题.(2)判断公比q为何值时,逆命题为真?公比q为何值时,逆命题为假?【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题,然后根据等差数列的性质判断何时为真命题,何时为假命题.【解析】(1)逆命题:在公比为q的等比数列{a n}中,前n项和为S n,若a m,a m+2,a m+1成等差数列,则S m,S m+2,S m+1成等差数列.(2)由{a n}为等比数列,所以a n≠0,q≠0.由a m,a m+2,a m+1成等差数列,得2a m+2=a m+a m+1,所以2a m·q2=a m+a m·q,所以2q2-q-1=0.解得q=-或q=1.当q=1时,a n=a1(n=1,2,…),所以S m+2=(m+2)a1,S m=ma1,S m+1=(m+1)a1, 因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1,即2S m+2≠S m+S m+1,所以S m,S m+2,S m+1不成等差数列.即q=1时,原命题的逆命题为假命题. 当q=-时,2S m+2=2·,S m+1=,S m=,所以2S m+2=S m+1+S m,所以S m,S m+2,S m+1成等差数列.即q=-时,原命题的逆命题为真命题.。

1.1.2 四种命题1.．命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是2.．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是3．已知命题甲：p⇒q，命题乙：q⇒p，命题丙：¬p⇒¬q，命题丁：¬q⇒¬p.(1)若甲真则乙为真；(2)若乙真则丙为真；(3)若丙真则丁为真；(4)若丁真则甲为真．说法正确的是4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是5．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是____________________．6．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．7．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．8．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．9．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.10.．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．[答案]1.a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数2.．不能被3整除的整数，一定不能被6整除3.（2）（4）4. 25. 若x >－3，则x 2＋x －6≤06. 假7. 若A ∪B ≠B ，则A B 若A B ，则A ∪B ≠B8.[答案] 逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数． 如a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a 、b 是实数，若a 、b 不都是无理数，则a ＋b 不是无理数． 如a ＝2，b ＝2，则a ＋b ＝2＋2是无理数，故逆否命题为假9.[答案] 若a >b ，由c ≤0知b ≥b ＋c ，∴a >b ＋c .∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c ≤0，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b .10.[答案] 解法1：是真命题．∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题．解法2：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．。

人教版数学选修2—1作业本答案与提示第一章常用逻辑用语1．1．命题及其关系1．1．1命题1．1．2 四种命题1．C 2．C 3．D 4．若A不是B的子集，则A∪B≠B5．①6．逆7．(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数．真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．假命题8．原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交．逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行．否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交．逆否命题：在平面中?若两条直线相交，则这两条直线不平行。

以上均为真命题9．若ab≠0，则a，b都不为零．真命题10．逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)，则a+b ＜0，真命题．证明略11．甲1．1．3 四种命题间的相互关系1．C 2．D 3．B 4．0个、2个或4个5．原命题和逆否命题6．若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数；真7．逆命题：若a^2＝b^2，则a＝b．假命题．否命题：若a≠b，则a^2≠b^2．假命题．逆否命题：若a^2≠b^2，则a≠b．真命题8．用原命题与逆否命题的等价性来证．假设a,b,c都是奇数，则a^2,b^2,c2也都是奇数，又a^2+b^2=c^2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a，b，c不可能都是奇数9．否命题：若a^2+b^2≠0，则a≠0或b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0，或b≠0，则a2+b2≠0．真命题10．真┌(4a)2一4(一4a+3)＜0，11．三个方程都没有实数根的情况为┤(a－1)2一4a2＜0，=>－3/2＜a＜－l└4a2+8a＜0所以实数a的取值范围a≥一l，或a≤－3/21．2 充分条件与必要条件1．2．1 充分条件与必要条件1．A 2．B 3．A 4．(1) ≠> (2) ≠> (3) ≠> (4)≠>5．充分不必要6．必要不充分7．“c≤d”是“e≤f”的充分条件8．充分条件，理由略9．一元二次方程ax^2+2x+l＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a＜0 10．m≥911．是1．2．2 充要条件1．C 2．B 3．D 4．假；真5．C和D 6．λ+μ=17．略8．a=－39．a≤l10．略11．q=－1，证明略1．3 简单的逻辑联结词1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)1．A 2．C 3．C 4．真5．①③6．必要不充分7．(1)p:2＜3或q:2=3；真(2)p:1是质数或q:1是合数；假(3)非p,p:0∈φ；真(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分；真8，(1)p∧q:5既是奇数又是偶数，假；p∨q:5是奇数或偶数，真；┑p:5不是偶数，真(2)p∧q:4＞6且4+6≠10，假；p∨q:4＞6或4+6≠10，假；┑p:4≤6，真9．甲的否定形式：x∈A，且x∈B；乙的否命题：若(x－1)(x－2)＝0，则x=1，或x=2 10．m＜－l 11．(5/2，+∞)1．4 全称量词与存在量词1．4．1 全称量词1．4．2 存在量词1．D 2．C 3．(1)真(2)真4，③5．所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和6．若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真7．(1)x，x^2≤0(2)对x，若6｜x则3｜x (3)正方形都是平行四边形8．(1)全称；假(2)特称；假(3)全称；真(4)全称；假9．p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假；p∨q:有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真；┑p:所有实数的绝对值都不是正数，假10．(1)存在，只需m＞一4即可(2)(4，+∞)11．a≥一21．4．3 含有一个量词的命题的否定1．C 2．A 3．C 4．存在一个正方形不是菱形5．假6．所有的三角形内角和都不大于180°7．(1)全称；┑p假(2)全称；┑p假(3)全称；┑p真8．(1)┑p:存在平方和为0的两个实数，它们不都为0(至少一个不为0)；假⑵┑p: 所有的质数都是偶数；假(3)┑p:存在乘积为0的三个实数都不为0；假9．(1)假(2)真(3)假(4)真10．a≥311．(一√2，2)单元练习1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D11．5既是17的约数，又是15的约数：假12．[1，2)13．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角14．充要；充要；必要15．b≥0 16．既不充分也不必要17．①③④18．a≥319．逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真；命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假20．充分不必要条件21．令f(x) = x^2+(2k一1)x+k^2，方程有两个大于1的实数根┌ △=(2k2－1)－4k2≥0，<=>┤－＞1，即是k＜－2，所以其充要条件为k＜－2．└ f (1)＞0，22．(－3，2]10．a√3/3。

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1．四种命题的概念及表示形式(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0，2，4，不会是奇数．1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数B[原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．] 4．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．(填“互逆”“互否”“互为逆否”)互逆[两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．]否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．1．写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是()A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成正比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b 都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为() A．0个B．1个C．2个D．4个(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．思路探究：(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(1)C[当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C.](2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．判断命题真假的方法(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证．(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？[提示]一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．[提示]根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．【例3】(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.思路探究：(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．(1)[－3，0][∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，若a ＝0，则－3≤0恒成立，∴a ＝0符合题意． 若a ≠0，由题意知⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，即⎩⎨⎧a <0，－3≤a ≤0， ∴－3≤a <0，综上知，a 的取值范围是[－3，0]．](2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.[证明] “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1 ＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．“命题”的三个关注点(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．2．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别两者具有不同的含义，具体区分如下：前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题.1．命题“若a A，则b∈B”的逆命题是()A．若a A，则b B B．若a∈A，则b BC．若b∈B，则a A D．若b B，则a AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.] 3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.] 4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]。