2017_2018学年高中数学课下能力提升二十七倍角公式及其应用

第1课时 倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式S 2α，C 2α中，角α为任意角，在T 2α中，只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π4(k ∈Z )时，才成立． 2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)12－sin 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. [尝试解答] (1)原式＝12(2sin 75°cos 75°)＝12sin 150°＝12×12＝14. (2)原式＝12(1－2sin 2π8)＝12cos π4＝12×22＝24.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.二倍角公式的“三用”： (1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的． (2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (3)公式的变形用主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α(升幂公式)，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2(降幂公式)．练一练 1．求值：(1)sin π64cos π64cos π32cos π16cos π8＝________；(2)2sin 50°＋cos 10°（1＋3tan 10°）1＋cos 10°＝________．解析：(1)原式＝12sin π32cos π32cos π16cos π8＝14sin π16cos π16cos π8＝18sin π8cos π8 ＝116sin π4＝232. (2)原式＝2sin 50°＋cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）2cos 25° ＝2sin 50°＋cos 10°＋3sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2（12cos 10°＋32sin 10°）2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos 50°2cos 5°＝22（22sin 50°＋22cos 50°）2cos 5°＝22sin 95°2cos 5°＝2.答案：(1)232(2)2讲一讲2．已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin （α＋π4）cos （2α＋4π）的值．[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝513，∴sin α＝1213.原式＝22（sin α＋cos α）cos 2α＝22·sin α＋cos αcos 2α－sin 2α ＝22·1cos α－sin α＝22×1513－1213＝－13214.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．练一练2．已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）的值．解： (1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3.∵3π4<α<π， ∴－1<tan α<0， ∴tan α＝－13.(2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）＝5（sin 2α2＋cos 2α2）＋4sin α＋61＋cos α2－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.讲一讲3．(湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．[尝试解答] (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－2，故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．解决此类问题的步骤：(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为a sin α＋b cos α＋k 的形式；(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y ＝a 2＋b 2sin(ωα＋φ)＋k 或y ＝a 2＋b 2cos(ωα＋φ)＋k 的形式．(其中φ可由a ，b 的值唯一确定)(3)利用f (x )＝sin x 或f (x )＝cos x 的性质进行研究，求得结果． 练一练3．(山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力． (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.已知cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．[解] 法一：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，由cos x ＋sin x ＝2sin (π4＋x )，cos x －sin x ＝2cos(π4＋x )，∴原式＝sin 2x tan(π4＋x )．又∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， ∴sin(π4＋x )<0，∴sin(π4＋x )＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43.而sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos 2(π4＋x )，∴原式＝－43sin 2x ＝43cos(2x ＋π2)＝43cos2(x ＋π4) ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1＝－2875.法二：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x ＝sin 2x ＋2sin x cos xsin xcos x 1－tan x＝sin 2x 1＋tan x1－tan x＝sin 2x tan(π4＋x )．(*)又∵17π12<x <7π4.∴5π3<π4＋x <2π， ∵cos(π4＋x )＝35，∴sin(π4＋x )＝－1－cos 2（π4＋x ）＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43，又sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos2(π4＋x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝1－2×925＝725，将上述结果代入(*)式有，原式＝725×(－43)＝－2875.法三：原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝sin 2x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，①由cos(π4＋x )＝35，得22(cos x －sin x )＝35，即cos x －sin x ＝325.②平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725③∴(cos x ＋sin x )2＝1＋sin 2x ＝3225.又∵17π12<x <3π2，∴cos x ＋sin x <0.则cos x ＋sin x ＝－425.④将②③④代入①有原式＝725×（－452）352＝－2875.1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：选B 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.4．cos2π8－sin 2π8＝________． 解析：cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 答案：225．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 012答案： 2 0126．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：法一：由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0. ∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－179.tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 法二：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝13×(－173)＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.一、选择题1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225 D.2425解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sinαcos α＝2×35×(－45)＝－2425.2．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0. 3．(江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝eq \f (\r (3),4)，θ∈(34π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( )A.62 B ．－62 C ．－22 D.22解析：选C cos(π4＋θ)×cos(π4－θ)＝sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)，∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12，∴sin θ＋cos θ＝－22. 二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________． 解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)．∴T ＝2π2＝π.答案：π6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20°＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3.答案： 37．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan 2x 的值为________．解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.又∵tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ，∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49.答案：498．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：1 三、解答题9．已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4.∴sin(α＋π4)＝－1－cos 2（α＋π4）＝－1－（35）2＝－45.∴cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425，sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35.所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.。

课下能力提升（二十六) 二倍角的三角函数一、填空题1．若sin错误!＝错误!,则cos α＝________.2．已知α是第一象限角，且cos α＝错误!，则错误!的值为________．3。

错误!－错误!的值是________．4．（上海高考）若cos x cos y＋sin x sin y＝错误!,则cos（2x－2y）＝________.5．化简：cos2错误!－sin2错误!＝________.二、解答题6．化简：错误!.7．已知cos 2θ＝错误!，错误!＜θ＜π，(1)求tan θ；(2)求错误!.8．已知sin(2α－β)＝错误!,sin β＝－错误!，且α∈错误!，β∈错误!，求sin α的值．答案1．解析:因为sin错误!＝错误!,所以cos α＝1－2sin2错误!＝1－2错误!2＝错误!。

答案:错误!2．解析:∵α为第一象限角，且cos α＝错误!，∴sin α＝错误!.原式＝错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝－错误!.答案：－错误!3．解析：1sin 10°－错误!＝错误!－错误!＝错误!＝错误!＝4.答案：44．解析：因为cos x cos y＋sin x sin y＝cos(x－y)＝错误!，所以cos2（x－y）＝2cos2（x－y)－1＝－错误!。

答案：－错误!5．解析：原式＝错误!－错误!＝12错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!cos x。

答案：错误!cos x6．解：∵1＋错误!tan 10°＝错误!＝错误!＝错误!.∴原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

7．解：（1）由cos 2θ＝725，得1－2sin2θ＝错误!，sin2θ＝错误!，∵错误!<θ〈π,∴sin θ＝错误!，cos θ＝－错误!，∴tan θ＝错误!＝－错误!.（2)错误!＝错误!＝2.8．解：∵错误!＜α＜π，∴π＜2α＜2π.又－错误!＜β＜0，∴0＜－β＜错误!，∴π＜2α－β＜错误!。

2019-2020年高中数学课下能力提升二十七倍角公式及其应用北师大版必修一、选择题1．(大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225 D.24252．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－13．(江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.434．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，则sin θ＋cos θ的值是( )A.62 B ．－62 C ．－22 D.22二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________． 6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________． 7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．8．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 三、解答题9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．答案1．解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.2．解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0. 3．解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．解析：选C cos(π4＋θ)×cos(π4－θ)＝sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)，∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12，∴sin θ＋cos θ＝－22.5．解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)．∴T ＝2π2＝π.答案：π6．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20°＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3.答案： 37．解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.又∵tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ，∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49. 答案：498．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4.∴sin(α＋π4)＝－1－cos 2（α＋π4）＝－1－（35）2＝－45.∴cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425，sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35.所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.2019-2020年高中数学课下能力提升二十三圆与圆的位置关系北师大版必修一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝12．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．1＜m ＜121 B ．1≤m ≤121 C ．1＜m ＜11 D ．1≤m ≤113．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0和x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于( )A．2 2 B．2C. 2 D．14．两圆(x－a)2＋y2＝1和x2＋(y－b)2＝1外切的条件是( )A．a2＋b2＝4 B．a2＋b2＝2C.a2＋b2＝1D.a2＋b2＝45．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36二、填空题6．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．7．点P在圆(x－4)2＋(y－2)2＝9上，点Q在圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上，则|PQ|的最大值为________．8．与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程为________．三、解答题9．已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，N＝{(x，y)|x2＋(y－1)2≤a－1}，若M∩N＝N，求实数a的取值范围．10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．答案1．解析：选A 设圆心为(0，a)，则－2＋－a2＝1，∴a＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．解析：选B 两圆的圆心和半径分别为O1(0,0)，r1＝m，O2(－3,4)，r2＝6，它们有公共点，则两圆相切或相交．∴|m－6|≤ 32＋42≤m＋6.解之，得1≤m≤121.3．解析：选B 将两圆化成标准式分别为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1，(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，两圆相交时最长的公共弦应该为小圆的直径2.4．解析：选A两圆的圆心坐标为(a,0)和(0，b)，由两圆外切的条件得a －2＋－b2＝1＋1，即a2＋b2＝4.5．解析：选D ∵所求圆的半径为6，而A、B中的圆的半径为6，不符合题意，∴排除A、B.所求圆的圆心为(4,6)时，两圆的圆心距d＝42＋－2＝5＝6－1，这时两圆内切，当所求圆的圆心为(－4，6)时，圆心距d＝－2＋－2＝5＝6－1，这时两圆内切．∴所求圆的圆心为(±4,6)，半径为6.6．解析：∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径为1和5，两圆外切时有－4－2＋a－2＝1＋5，∴a＝±25，两圆内切时有－4－2＋a－2＝5－1，∴a＝0.综上a＝±25或a＝0.答案：±25或07．解析：圆心距d＝＋2＋＋2＝35，而两圆的半径分别为r1＝3，r2＝2，∴|PQ|的最大值＝d＋r1＋r2＝35＋5.答案：35＋58．解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．则a－2＋b2＝r＋1，①b＋3＝3，②a－3|a＋3b|＝r.③2解①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.答案：(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝369．解：∵M∩N＝N，∴N⊆M，①当N＝∅时，即a＜1时满足条件；②当N≠∅时，若a＝1，集合N＝{(x，y)|(0,1)}，∵点(0,1)在圆x2＋y2＝16内部，∴N⊆M.若a＞1，要使N⊆M，须圆x2＋(y－1)2＝a－1，内切或内含于圆x2＋y2＝16，∴4－a－1≥1，解得1≤a≤10，又a＞1，∴1＜a≤10.综上所述，a的取值范围为(－∞，10]．10．解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1的斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解之得k ＝34. 所求直线l 1的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0. (2)依题意设D (a,2－a )， 又已知圆C 的圆心(3,4)，r ＝2， 由两圆外切，可知|CD |＝5， ∴可知a －2＋－a －2＝5，解得a ＝3，或a ＝－2，∴D (3，－1)或D (－2,4)．∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9或(x ＋2)2＋(y －4)2＝9.。

倍角公式及推导过程三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根据棣美弗定理,(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c 考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 +C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*虚部：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...对所有的自然数n, 1. cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示. 2. sin(nθ)：(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示.(2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就是cosθ)的一次方无法消掉. (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)三角函数倍角公式和半角公式有哪些倍角公式：二倍角公式Sin2A=2SinA·CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=2tanA/1-tanA^2三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3(α)cos3α=4cos3(α)-3cosα半角公式：sin2(α/2)=(1-cosα)/2cos2(α/2)=(1+cosα)/2tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα2倍角公式推导过程有哪些tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]上下同除以cos3(α)，得：tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)=3sinα-4sin3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]=4cos3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin3(α)cos3α=4cos3(α)-3cosα。

课下能力提升（二）[学业水平达标练]题组1 弧度的概念1．下列叙述中正确的是（)A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位2．与角－错误!终边相同的角是( )A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!3．角－错误!π的终边所在的象限是（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题组2 角度与弧度的换算4．下列转化结果错误的是( ）A．60°化成弧度是错误!B．－错误!π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－错误!πD.错误!化成度是15°5．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．6．已知角α＝2 010°。

(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z，0≤θ＜2π）的形式，并指出α是第几象限角；（2）在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角;（3)在区间［0，5π)上找出与α终边相同的角．题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( )A。

错误!πB。

错误!π C.错误!D.错误!π8．若扇形的面积为错误!,半径为1，则扇形的圆心角为( )A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．10。

如图，已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6，求弓形ACB的面积．[能力提升综合练]1．角α的终边落在区间错误!内，则角α所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )A.1sin 0.5B．sin 0。

5C．2sin 0。

5 D．tan 0.53．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为（)A。

第二十七课 两倍角公式 明确目标 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 重点难点 重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用 课型 □讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它 教 学 内 容 与 教 师 活 动 设 计 学生活动设计 一．知识点： 1. 2:S sin22sincos 2. 2:C 22cos2cossin,2cos22cos1;2cos212sin 3. 2:T22tantan21tan; ()224kkkR且. 4.对两倍角公式的理解 倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2是4的二倍、3α是32的二倍等等都是适用的.要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 二、合作探究 1.公式的逆用 例1求下列各式的值 （1）2sin30cos30oo;（2）22cos30sin30oo 【思路分析】 降幂，变为一角一函数求解. 【解析】（1）2sin30cos30sin230ooo32 （2）22cos30sin30cos230ooo12 【点评】降幂，变为一角一函数，是通常求三角函数值的方法。 ☆自主探究 1．求下列各式的值 （1）sincos_________1212;（2）22cos1________12 2．关于齐次式 例2已知tan2，求sincossincos的值. 【思路分析】将所求式子分子分母同除以cos转化为已知求解。 【解析】（方法一）∵tan2,∴sincossincostan1coscossincossincostan1coscos21321 （方法二）∵tan2，∴sin2cos,∴sincos2coscos3sincos2coscos 【点评】齐次式是指所求的式子的分母和分子各项的指数幂都是相等的。其解题方法是：将所求式子分子分母同除以cosn转化为已知（tan）求解。这样可以减少很多运算量。 ☆自主探究 2．已知tan3，求22222sincos3sincos的值. 三、总结提升 总结：齐次式是指所求的式子的分母和分子各项的指数幂都是相等的。其解题方法是：将所求式子分子分母同除以cosn转化为已知（tan）求解。这样可以减少很多运算量。 四．问题过关 1. sin15°cos15°的值等于( ) A.1 B.12 C. 14 D. 18 2. 2012cos15的值等于( ) A. 32 B.32 C.12 D.12 3. cos48－sin48等于（ ） A.0 B.22 C.1 D.－22 4. 22sincos1212= 5. 001tan151tan15 6. 22tan22.51tan22.5 7．212cos________12 8．212sin________12 9．已知tan3，求2212sincos2的值.

学业分层测评(二十七)倍角公式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝()A.2B.3C.4D.6【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.【答案】D2.(2016·铁岭高一检测)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝()A.－53 B.－19C.19 D.53【解析】因为sin α＝23所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－1＋2×232＝－19.【答案】B 3.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝()A.－34 B.34C.－43D.43【解析】因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×－31－－32＝34.【答案】B4.(2016·沈阳高一检测)若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于()A.2cos xB.－2cos xC.2sin xD.－2sin x【解析】因为sin x ·tan x <0，所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0，所以1＋cos 2x ＝2cos 2x ＝2|cos x |＝－2cos x .【答案】B 5.已知cos 2x 2cosx ＋π4＝15，则sin 2x ＝()A.－2425 B.－45C.2425 D.255【解析】∵cos 2x 2cos x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.【答案】A 二、填空题6.(2016·广州高一检测)已知sin π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________.【解析】法一：∵sin π4－x ＝35，∴cos π2－2x 2π4－x ＝1－2×35＝725，∴sin 2x ＝cos π2－2x ＝725.法二：由π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725.【答案】7257.已知sin 2α＝14，α∈π4，π2cos α－sin α＝________.【导学号：72010086】【解析】因为α∈π4，π2，所以sin α>cos α即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有cos α－sin α＝－cos α－sin α2＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32.【答案】－32三、解答题8.化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1).【解】原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin －10°cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.9.求证：(1)1sin 10°－3cos 10°＝4；(2)3tan 12°－3sin 12°4cos 212°－2＝－4 3.【证明】(1)左边＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝212cos 10°－32sin 10°12sin 20°＝4sin 30°－10°sin 20°＝4＝右边.所以原等式成立.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°2cos 212°－1＝2312sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin 12°－60°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边.所以原等式成立.[能力提升]1.(2016·牡丹江一中期末)已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为()A.π3B.π2C.2π3D.π【解析】sin α＝23sin β，①cos α＝1－23cos β，②①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79，由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429，∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427，∴tan(α＋2β)＝0，又α＋2β∈0，32π∴α＋2β＝π.故选D.【答案】D2.(2014·江苏高考)已知α∈π2，π，sin α＝55.(1)求sin π4＋α的值；(2)求cos 5π6－2α【解】(1)由题意知cos α＝－1－552＝－255，所以sin π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35，所以cos 5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×－45＝－33＋410.。