2014-2015年辽宁省大连三中高一上学期数学期末试卷和解析

2014-2015学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷命题学校：辽宁省实验中学 命题人：刘铭 王清礼注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）sin 210cos300︒+︒= （ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D （2）已知1tan 2α=，则tan(45)α︒+= （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）下列叙述中错误．．的是： （ ） （A ）如果事件A 与事件B 对立，则()()1P A P B +=（B ）如果事件A 与事件B 互斥，则1)(=B A P （C ）如果事件A 包含于事件B ，则)()(B P A P ≤ （D ）如果事件A 与事件B 相等，则()()P A P B =（4）现有一组数据：7.17，3.16，6.14，7.18，9.17，0.12，3.15，6.14，0.14，9.18，0.21，1.18 某同学借助计算机对这组数据进行统计学分析．在数据录入的过程中该同学不慎将某一数据的小数点遗漏（例如将数据17.9录入为179）．则有误数据的计算结果，与正确数据的计算结果可能相同的是 （ ） （A ）平均数 （B ）标准差 （C ）极差 （D ）中位数（5）已知(1,3)=a ，=b (,2)x ，(1,2)=c ，若(2)+a b ∥c ，则x = （ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（6）已知平面向量||1=a ，||2=b ，且()⊥-a a b ，则|2|+a b 的值是 （ ）（A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4 （7）根据程序框图（左图）写出程序（右图），则 程序中横线处所缺少的语句及运行的结果是 （ ）（A ）for n=1 :1 : 5和120 （B ）for n=1 :1 : 5和720 （C ）while n=1 :1 : 5和120 （D ）while n=1 :1 : 5和720（8）设曲线sin y x =（0x π≤≤）与线段0y =（0x π≤≤）所围成区域的面积为S （左图）．我们可以用随机模拟的方法估计S 的值，进行随机模拟的程序框图如下．S 表示估计结果，则图中空白框内应填入 （ ）（A ）sin i i y x ≤ （B ）sin i i y x ≥ （C ）sin()i i y x π≤ （D ）sin()i i y x π≥（9）将函数sin(2)4y x π=+的图象的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再向右平移6π个单位长度，则所得图象的函数解析式是 （ ） （A ）)12sin(π+=x y （B ）7sin()12y x π=+（C ）)1254sin(π+=x y （D ）sin(4)12y x π=+（10）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0ω>，02ϕπ≤<)的部分图像如图所示，点P 2(,0)9π是该图像与x 轴一个交点，点Q 3)是该图像与y 轴交点，则 （ ）（A ）()2sin(3)3f x x π=+（B ）2()2sin(3)3f x x π=+（C ）15()2sin()23f x x π=+（D ）152()2sin()23f x x π=+（11）设函数()f x 的定义域为A ．若函数()f x 满足: （ⅰ）{|21,}A x x k k =≠-∈Z ；（ⅱ）函数()f x 是奇函数；（ⅲ）对任意x ∈A ，有1(1)()f x f x +=-．则下面关于函数()f x 的叙述中错误．．的是 （ ） （A ）函数()f x 是周期函数，且最小正周期是2 （B ）函数()f x 的图像关于点(1,0)中心对称 （C ）函数()f x 在区间(0,1)上是增函数 （D ）函数()f x 的零点是2x k =(其中k ∈Z )（12）已知点O 是△ABC 所在平面内一点，且点O 不在△ABC 三边所在直线上.设点P 满足123OP OA OB OC λλλ=++（其中i λ∈R ，3,2,1=i ），则下列叙述中正确的是 ①当11λ=且230λλ==时，点P 与点A 重合； （ ） ②当121λλ+=且30λ=时，点P 在直线AB 上；③当1231λλλ++=且0i λ>（其中3,2,1=i ）时，点P 在△ABC 内． （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

珠海市2014～2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高一数学（B 卷）试卷满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：必修一、必修二． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 答案：BADDA BDACB BC1．已知集合}4,2,1,0{=A ，}3,1,0,1{-=B ，则AB =A ．}4,3,2,1,0,1{-B ．}1,0{C ．{}4,3,2,1-D ．{0,1,2} 2．已知点),3(a A 在直线072=-+y x 上，则=a A ． 1 B ．1- C ．2 D ．2-3．直线013=+-y x 的倾斜角为A ． 0135 B ．0120 C ．045 D ．0604．已知两直线0243:1=-+y x l 与038:2=--y ax l 平行，则a 的值是 A ．3 B ．4 C ．6 D ．-65．若函数)(x f 是x x g 3log )(=的反函数，则=)2(fA ．9B ．91 C ．2log 3D ．36．下列四个说法中错误的个数是①两条不同直线分别垂直于同一条直线，则这两条直线相互平行 ②两条不同直线分别垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行 ③两个不同平面分别垂直于同一条直线，则这两个平面相互平行 ④两个不同平面分别垂直于同一个平面，则这两个平面相互垂直 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积是（ ）A ．23B ．34C ．36D ．388．圆01222=--+y y x 关于直线x y =对称的圆的方程是A ． 2)1(22=+-y xB ．2)1(22=++y xC ． 2222)1(=+-y xD ．2222)1(=++y x9．已知3.05131)51(,3,5log ===c b a ，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．函数()lg f x x x =+的零点所在的区间是 A ． 110,10⎛⎫--⎪⎝⎭B ． 1(, 1)10C ． (1, 10)D ． 1(0, )10 11．匀速地向下部是球形、上部是圆柱形的容器(如右图所示)内注水, 那么注水时间t 与容器内水的高度h 之间的函数关系 h = f (t )的 图象大致是下图中的12．函数xy a =≠-b(a>0且a 1)的图像不经过第一象限，则第11题图A ．11><-a b 且B ．11<<-a b 且C ．11<≥a b 且D ．11<≤a b 且二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．函数)1ln(2)(-+-=x x x f 的定义域是 ．（用区间表示）]2,1(14．幂函数()f x αx =的图象过点(3，则()f x 的解析式是_____________．()(0)f x x ≥15．若15log 4=x ，则x5的值为 ．416．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤-=-2,220,log 0,2)(22x x x x x x f x ，则=)2(f ．2117．棱长为3的正方体的外接球（各顶点均在球面上）的表面积为 ．π27 18．如图：正四棱锥V-ABCD 中，高为2，底面ABCD 是边长为4的正方形，则二面角V-AB-C 的平面角为 ．04519．过点()2,1且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．03=-+y x 或x y 2=20．在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，则M 到空间直角坐标系Oxyz 的点(2,3,1)N 的最小距离为_________ 3三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共 50 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知函数])1,1[(12)(-∈-=x x x f ．（1）作出)(x f 的图像；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求)(x f 的单调区间．解：1） （3分）2）对任何[]1,1-∈x ，)(1212)(x f x x x f =-=--=-)(x f 是偶函数 （7分）3）当[]1,0∈x 时，12)(-=x x f ，)(x f 递增 （8分） 当)0,1[-∈x 时，12)(--=x x f ，)(x f 递减 （9分） 所以)(x f 的增区间为[]1,0，减区间为)0,1[-（10分） 22．已知两点)1,1(-A ，)3,3(B ．（1）求直线AB 的方程；（2）求线段AB 的垂直平分线l 的直线方程． 解：（1）直线AB 的两点式方程：)1(3)1(131----=--x y ，（3分） 即2321+=x y （4分） （2）线段AB 的中点坐标为)231,231(++-，即)2,1(（6分） 21)1(313=---=AB k （7分）直线AB l ⊥，∴1-=⋅l AB k k 21-=-=ABl k k （8分）第21题图第24题图D 1C 1B 1A 1DCBA)1(22:--=-x y l （9分） 42:+-=∴x y l （10分）23．已知圆02:221=-+x y x C 与直线02:=-+y x l ．（1）求圆心1C 到直线l 的距离；(2)判断直线与圆的位置关系，如果两者相交，请求出交点坐标．解：（1）圆1C ：1)1(22=+-y x ，)0,1(1C （2分）2221112011122==+-⨯+⨯=d （5分） （2） 122<=d ∴直线与圆相交 （7分） 联立方程组：⎩⎨⎧=-+=-+020222y x x y x （8分）解得：⎩⎨⎧==02y x ,⎩⎨⎧==11y x ,交点坐标为)0,2(和)1,1( （10分）24.在长方体1111D C B A ABCD -中，BC AB =． （1）证明：C D 1//平面BD A 1； （2）证明：D D BB AC 11平面⊥． 解：（1）B A C D 11// ，BD A B A 11面⊂，BD A C D 11面⊄， BD A C D 11//平面∴ （5分）（2） 矩形ABCD 中BC AB =， ∴BD AC ⊥ （7分）在长方体1111D C B A ABCD -中， ABCD B B 平面⊥1，ABCD AC 平面⊂， ∴B B AC 1⊥（9分）BD B B 与1相交于点B ，D D BB B B 111平面⊂，D D BB BD 11平面⊂ ∴D D BB AC 11平面⊥ （10分）25．已知函数34)(2-+=x ax x f 在区间]2,0[上的最小值为-4，求a 的值．解：1）当0=a 时，34)(-=x x f ，3)0()(min -==f x f ，不合题意；(2分) 2）当0>a 时，对称轴a a x 224-=-=0<，函数在]2,0[上单调递增，3)(min -=x f ，不合题意；(5分)3）当0<a 时，对称轴aa x 224-=-=0>，(6分) 当120≤-<a时，函数在]2,0[a -上递增，在]2,2[a -上递减，4)2()(min -==f x f ，即4384-=-+a ，49-=a (7分)当221≤-<a时，函数在]2,0[a -上递增，在]2,2[a -上递减，3)0()(min -==f x f ，不合题意；(8分)当22>-a 时，函数在]2,0[上递增，3)0()(min -==f x f (9分) 综上所述，49-=a (10分)。

2014-2015学年辽宁省营口市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60，每小题给出的四个选项中只有一个符合题意）1．（5.00分）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5.00分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程为（）A．2x﹣y+2=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．2x+y+2=0 D．2x+y﹣2=03．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|4．（5.00分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）6．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1）．若g（a）=a，则f（a）=（）A．2 B．C．D．a27．（5.00分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣1）=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．08．（5.00分）将一张坐标纸对折，使点（0，2）与点（﹣2，0）重合，点（7，3）与点（m，n）重合，则m﹣n=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．49．（5.00分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）10．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A．60+12B．56+12C．30+6D．28+611．（5.00分）已知线段PQ的两个端点的坐标分别为P（﹣1，6）、Q（2，2），若直线mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）C．[﹣2，3] D．[﹣3，2]12．（5.00分）三棱锥P﹣ABC中，D、E分别为PB、PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积大于1，则b的取值范围是．14．（5.00分）已知点在幂函数y=f（x）的图象上，点在幂函数y=g（x）的图象上，若f（x）=g（x），则x=．15．（5.00分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5.00分）对于实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（3x﹣1）⊗（x﹣1）．且关于x的方程f（x）=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）设函数f（x）=x2+ax+b的值域为A，关于x的不等式f（x）＜c 的解集为B．（1）若a=4，b=﹣2．c=3，求集合A与B；（2）若A=[0，+∞），B=（m，m+6），求实数c的值．18．（12.00分）已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y=0和x+ay=0上，且线段AB的中点为P（0，）．求AB所在的直线方程，并求线段AB的长．19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．20．（12.00分）已知直线l1：ax+2y+a+4=0，l2：x+（a+1）y+5=0，l1∥l2，线段AB的两个端点分别在指向l1与l2上运动，设AB中点C的坐标为（m，n）．求m2+n2的最小值．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a（a＞0，且a≠1）为奇函数，且f（1）=﹣1．（1）求实数a与m的值；（2）用定义证明函数f（x）的单调性；（3）解不等式f（）+1＜0．22．（12.00分）已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λf（ax）﹣f（2ax）．（1）若函数g（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；（2）对任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立，求实数λ的取值范围．2014-2015学年辽宁省营口市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60，每小题给出的四个选项中只有一个符合题意）1．（5.00分）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：∵P={x|x2≤1}，∴P={x|﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．2．（5.00分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程为（）A．2x﹣y+2=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．2x+y+2=0 D．2x+y﹣2=0【解答】解：设与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，把（1，0）代入2x+y+m=0，可得2+m=0，解得m=﹣2．所求直线方程为：2x+y﹣2=0．故选：D．3．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．4．（5.00分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．5．（5.00分）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．6．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1）．若g（a）=a，则f（a）=（）A．2 B．C．D．a2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数由f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2 ①得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣x﹣a x+2=﹣f（x）+g（x）②①②联立解得f（x）=a x﹣a﹣x，g（x）=2由已知g（a）=a∴a=2∴f（a）=f（2）=22﹣2﹣2=故选：B．7．（5.00分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣1）=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0【解答】解：由题意知，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1=﹣[f（﹣1）+（﹣1）2]，解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）﹣1=﹣3﹣1=﹣4，故选：A．8．（5.00分）将一张坐标纸对折，使点（0，2）与点（﹣2，0）重合，点（7，3）与点（m，n）重合，则m﹣n=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【解答】解：∵将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（﹣2，0）重合，∴折痕是y=﹣x．∴点（7，3）与点（﹣3，﹣7）重合，故m=﹣3，n=﹣7．故m﹣n=4故选：D．9．（5.00分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，+∞）【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B ．10．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A ．60+12B ．56+12C ．30+6D ．28+6【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面，且此侧面为等腰三角形，三棱锥的高为4，底边长为5，如图所示．所以S 底=×4×5=10，S后=×5×4=10，S 右=×4×5=10，S 左=×2×=6． 几何体的表面积为：S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6．故选：C ．11．（5.00分）已知线段PQ 的两个端点的坐标分别为P （﹣1，6）、Q （2，2），若直线mx +y ﹣m=0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）B ．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）C ．[﹣2，3]D．[﹣3，2]【解答】解：直线mx+y﹣m=0等价为y=﹣m（x﹣1）则直线过定点A（1，0），作出对应的图象如图：则由图象可知直线的斜率k=﹣m，满足k≥k AQ或k≤k AP，即﹣m≥或﹣m≤，则m≤﹣2或m≥3，故选：A．12．（5.00分）三棱锥P﹣ABC中，D、E分别为PB、PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8【解答】解：如图，∵D，E为PB，PC的中点，∴，则=，=V A﹣PBC=V2，∵V P﹣ABCV D﹣ABE=V A﹣BDE=V1，且三棱锥A﹣PBC与三棱锥A﹣BDE高相等，∴V1：V2=S△BDE：S△PBC=1：4．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积大于1，则b的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：由直线x﹣2y+b=0化为=1，∴直线在坐标轴上的截距分别为：b，﹣．∴＞1，∴|b|＞2．解得b＜﹣2或b＞2．∴b的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．14．（5.00分）已知点在幂函数y=f（x）的图象上，点在幂函数y=g（x）的图象上，若f（x）=g（x），则x=±1．【解答】解：由题意，可设f（x）=xα，g（x）=xβ∵点在幂函数y=f（x）的图象上，点在幂函数y=g（x）的图象上∴=2，=解得β=﹣2，α=2∴f（x）=x2，g（x）=x﹣2，又f（x）=g（x），∴x2=x﹣2，解得x=±1故答案为±115．（5.00分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：816．（5.00分）对于实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（3x﹣1）⊗（x﹣1）．且关于x的方程f（x）=m恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（，1）．【解答】解：由题意，当x≤0时，3x﹣1≤x﹣1；则f（x）=（3x﹣1）⊗（x﹣1）=（3x﹣1）（3x﹣1﹣x+1）=2x（3x﹣1）；当x＞0时，3x﹣1＞x﹣1；则f（x）=（3x﹣1）⊗（x﹣1）=（x﹣1）（﹣3x+1+x﹣1）=﹣2x（x﹣1）；则f（x）=；作函数f（x）=的图象如下，不妨设x1＜x2＜x3，易知x2+x3=1；而由0＜2x1（3x1﹣1）＜及x1＜0解得，﹣＜x1＜0；故＜x1+x2+x3＜1；故答案为：（，1）．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）设函数f（x）=x2+ax+b的值域为A，关于x的不等式f（x）＜c 的解集为B．（1）若a=4，b=﹣2．c=3，求集合A与B；（2）若A=[0，+∞），B=（m，m+6），求实数c的值．【解答】解：（1）a=4，b=﹣2，c=3时，f（x）=x2+4x﹣2=（x+2）2﹣6≥﹣6；∴函数的值域为A=[﹣6，+∞）；又∵f（x）＜c，∴x2+4x﹣5＜0，解得﹣5＜x＜1；∴不等式的解集为B=（﹣5，1）；即△=a2﹣4b=0①；又设f（x）﹣c=x2+ax+b﹣c=0的两个实数根为x1、x2，且B=（m，m+6），∴=a2﹣4（b﹣c）②；由①②知，62=4c，∴c=9．18．（12.00分）已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y=0和x+ay=0上，且线段AB的中点为P（0，）．求AB所在的直线方程，并求线段AB的长．【解答】解：由直线2x﹣y=0和x+ay=0垂直可得a=2，则P（0，5），设，于是有，解得．于是A（4，8），B（﹣4，2），∴AB所在的直线方程为，即3x﹣4y+20=0．|AB|=．19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于F，由E为棱PD的中点，F为BD的中点，又EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，则PB∥平面EAC；（2）由PA⊥平面PCD，则PA⊥CD，底面ABCD为矩形，则CD⊥AD，又PA∩AD=A，则有CD⊥平面PAD，由CD⊂平面ABCD，则有平面PAD⊥平面ABCD．20．（12.00分）已知直线l1：ax+2y+a+4=0，l2：x+（a+1）y+5=0，l1∥l2，线段AB的两个端点分别在指向l1与l2上运动，设AB中点C的坐标为（m，n）．求m2+n2的最小值．【解答】解：由l1∥l2，可知，解得a=﹣2．∴两条直线方程分别为l1：x﹣y﹣1=0，l2：x﹣y+5=0．由题意，点C在平行于l1，l2且到l1，l2距离相等的直线上，即直线x﹣y+2=0上．m2+n2=|CO|2（O为坐标原点）．|CO|的最小值为点O到直线x﹣y+2=0的距离d=．∴．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a（a＞0，且a≠1）为奇函数，且f（1）=﹣1．（1）求实数a与m的值；（2）用定义证明函数f（x）的单调性；【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=log a m=0，解得m=1，∴f（x）=log a，又f（1）=﹣1，∴log a=﹣1，解得a=3；（2）易得函数f（x）=log 3的定义域为（﹣2，2），任取x1，x2∈（﹣2，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log3﹣log3=log3＞log3=log31=0，∴函数f（x）在（﹣2，2）单调递减；（3）不等式f（）+1＜0可化为f（）＜﹣1，可化为f（）＜f（1），由（2）知函数f（x）在（﹣2，2）单调递减，∴1＜＜2，解得﹣1＜x＜0，∴不等式f（）+1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜0}．22．（12.00分）已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λf（ax）﹣f（2ax）．（1）若函数g（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；（2）对任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由已知得3a+2=18⇒3a=2⇒a=log32，此时g（x）=λ•2x﹣4x设0≤x1＜x2≤1，因为g（x）在区间[0，1]上是单调减函数，所以g（x1）﹣g（x2）=（2x2﹣2x1）（﹣λ+2x2+2x1）≥0成立，∵2x2﹣2x1＞0∴λ≤2x2+2x1恒成立，由于2x2+2x1＞20+20=2，所以实数λ的取值范围是λ≤2；（2）任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立即为λ•2x﹣4x≤2在x∈[0，1]恒成立，即有λ≤在x ∈[0，1]恒成立．令t==2x +（0≤x ≤1），由于2x ∈[1，2]，则2x +≥2=2，当且仅当2x =，即有x=时，取得最小值2．即有λ≤2．则实数λ的取值范围是（﹣∞，2]．。

2014-2015学年辽宁省大连二十中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}2．（5分）下列四个集合中，是空集的是（）A．{x|x+3=3}B．{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}C．{x|x2＜x}D．{x|x2﹣x+1=0}3．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）4．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＜2}B．{a|a≥﹣1}C．{a|a＞﹣1}D．{a|﹣1≤a＜2}5．（5分）已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m6．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x2﹣4x C．y=D．y=﹣log2x7．（5分）函数f（x）=的最大值是（）A．B．C．D．8．（5分）下面四个结论中，正确的个数是（）①奇函数的图象关于原点对称；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④偶函数的图象一定与y轴相交．A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是（）A．y=（x∈R）B．y=（x≤0）C．y=（x≤0）D．y=（）1﹣x（x∈R）10．（5分）设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x）是偶函数11．（5分）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1 B．4 C．1或4 D．或412．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）=log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞1二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知全集U={2，3，5}，A={|a﹣5|，2}，∁U A={5}，则实数a=．14．（5分）函数y=（x∈R）的值域为．15．（5分）已知f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+），则f（﹣8）=．16．（5分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=．三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）分别在四个坐标系中画出幂函数y=，y=x3，y=，y=x﹣2的草图．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x ﹣8=0}（1）若A∩B=A∪B，求a的值；（2）若A∩B=A∩C≠∅，求a的值．19．（12分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？20．（12分）已知函数f（x）=x﹣（x≠0）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，+∞）为单调增函数；（Ⅲ）求满足f（x）＞0的x的取值范围．21．（12分）不等式≤43x﹣2的解集为M，求函数f（x）=log2（2x）log2（x ∈M）的值域．22．（12分）已知函数f（x）=x+有如下性质：如果常数m＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（Ⅰ）如果函数f（x）=x+（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求实数b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=x+在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；（Ⅲ）设常数c∈[1，4]，求函数h（x）=x+（1≤x≤2）的最大值．2014-2015学年辽宁省大连二十中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}【解答】解：∵S∪T={1，3，5，6}，∴C U（S∪T）={2，4，7，8}．故选：B．2．（5分）下列四个集合中，是空集的是（）A．{x|x+3=3}B．{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}C．{x|x2＜x}D．{x|x2﹣x+1=0}【解答】解：若x+3=3，则x=0，则A={0}≠∅若y2=﹣x2，则x=y=0，则B={（0，0）}≠∅若x2＜x，则0＜x＜1，则C=（0，1）≠∅∵x2﹣x+1=0，△＜0，所以{x|x2﹣x+1=0}是空集．故选：D．3．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜1，故选：A．4．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＜2}B．{a|a≥﹣1}C．{a|a＞﹣1}D．{a|﹣1≤a＜2}【解答】解：由集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x≤a}，又∵A∩B≠∅，∴实数a的取值范围为：a≥﹣1．故选：B．5．（5分）已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log 0.95.1，则这三个数的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m【解答】解：设函数f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x则f（x）单调递减，g（x）单调递增，h（x）单调递减∴0＜f（5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m＜1g（0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n＞1h（5.1）=log0.95.1＜log0.91=0，即p＜0∴p＜m＜n故选：C．6．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x2﹣4x C．y=D．y=﹣log2x【解答】解：y=，所以该函数在（0，2）上为减函数；y=x2﹣4x的对称轴是x=2，所以在（0，2）上是减函数；，，所以该函数在（0，2）上是增函数；y=﹣log2x，显然x增大时，y减小，所以该函数在（0，2）上是减函数．故选：C．7．（5分）函数f（x）=的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，∴f（x）=≤，f（x）max=．故选：D．8．（5分）下面四个结论中，正确的个数是（）①奇函数的图象关于原点对称；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④偶函数的图象一定与y轴相交．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，奇函数的图象关于原点对称，故①对；对于②，例如y=为奇函数，但图象不过原点，故②错；对于③，偶函数的图象关于y轴对称，故③对；对于④，比如y=x﹣2，为偶函数，且图象与y轴不相交，故④错．故选：B．9．（5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是（）A．y=（x∈R）B．y=（x≤0）C．y=（x≤0）D．y=（）1﹣x（x∈R）【解答】A中，5﹣x∈（0，+∞），∴5﹣x+1∈（1，+∞），∴y∈（0，1），∴A不符合；B中，x=0时，y=0，∴值域不是（0，+∞），∴B不符合；C中，x=0时，y=0，∴值域不是（0，+∞），∴B不符合；∴只有D符合，故选：D．10．（5分）设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x）是偶函数【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，故选：D．11．（5分）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1 B．4 C．1或4 D．或4【解答】解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4故选：B．12．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）=log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞1【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）=|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）=在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a≤；故选：D．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知全集U={2，3，5}，A={|a﹣5|，2}，∁U A={5}，则实数a=2或8．【解答】解：∵全集U={2，3，5}，A={|a﹣5|，2}，∁U A={5}，∴|a﹣5|=3，即a﹣5=3或﹣3，解得：a=2或8．故安安为：2或814．（5分）函数y=（x∈R）的值域为[，+∞）．【解答】解：令t=x2﹣2x，则t=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴（t≥﹣1）．即函数y=（x∈R）的值域为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．15．（5分）已知f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+），则f（﹣8）=﹣24．【解答】解：由于f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣8）=﹣f（8），当x＞0时，f（x）=x（1+），则f（8）=8（1+2）=24，故有f（﹣8）=﹣24．故答案为：﹣24．16．（5分）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a ﹣b=2．【解答】解：由f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，得（ax+b）2+4（ax+b）+3=x2+10x+24，即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24．比较系数得求得a=﹣1，b=﹣7，或a=1，b=3，则5a﹣b=2．故答案为2三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）分别在四个坐标系中画出幂函数y=，y=x3，y=，y=x﹣2的草图．【解答】解：画出幂函数y=，y=x3，y=，y=x﹣2的图象如图（1）、（2）、（3）、（4）所示；，，，．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x ﹣8=0}（1）若A∩B=A∪B，求a的值；（2）若A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【解答】解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．∴2和3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．（2）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0解得a=﹣3，a=5．当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=﹣3．19．（12分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【解答】解：设日销售金额为y（元），则y=p•Q，y===，当0＜t＜25，t∈N，t=10时，y max=900（元）；当25≤t≤30，t∈N，t=25时，y max=1125（元）．由1125＞900，知y max=1125（元），且第25天，日销售额最大．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣（x≠0）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，+∞）为单调增函数；（Ⅲ）求满足f（x）＞0的x的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，由于f（﹣x）=﹣x+=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）证明：任取，所以f（x）在（0，+∞）为单调增函数；（Ⅲ）解：f（x）=0解得x=±1，所以零点为±1，当x＞0时，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（1）的x的取值范围为（1，+∞），又该函数为奇函数，所以当x＜0时，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（﹣1）的x的取值范围为（﹣1，0），综上：所以解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．21．（12分）不等式≤43x﹣2的解集为M，求函数f（x）=log2（2x）log2（x ∈M）的值域．【解答】解：不等式可化为，即x2+x≤6x﹣4，解得M={x|1≤x≤4}又．令log2x=t（1≤x≤4），则0≤t≤2，则原函数化为y=，所以当t=取得最小值，当t=0时取最大值﹣4．所以，所以函数f（x）的值域为．22．（12分）已知函数f（x）=x+有如下性质：如果常数m＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（Ⅰ）如果函数f（x）=x+（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求实数b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=x+在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；（Ⅲ）设常数c∈[1，4]，求函数h（x）=x+（1≤x≤2）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，∴2b=16，则b=4；┅┅┅┅（2分）（Ⅱ）在区间递减，在递增，┅┅┅┅（3分）∴0＜a≤﹣1时，y min=；﹣1＜a≤时，y min=2；＜a时，y min=a+；，┅┅┅┅（7分）（Ⅲ）∵c∈[1，4]，∴∈[1，2]，∵h（1）﹣h（2）=，┅┅┅┅（8分）当1≤c＜2时，函数f（x）的最大值是h（2）=2+；┅┅┅┅（10分）当c=2时，函数f（x）的最大值是h（1）=f（2）=3；┅┅┅┅（11分）当2＜c≤4时，函数f（x）的最大值是h（1）=1+c┅┅┅┅（12分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若x，y∈R，，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=（）A．（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）2．（5分）集合A={a，b}，B={0，1，2}，则从A到B的映射共有（）个．A．6 B．7 C．8 D．93．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β4．（5分）若3x1﹣4y1﹣2=0，3x2﹣4y2﹣2=0，则过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线方程是（）A．4x+3y﹣2=0 B．3x﹣4y﹣2=0 C．4x+3y+2=0 D．3x﹣4y+2=05．（5分）设a=1.60.3，b=log2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（5分）函数y=的定义域是（）A．[﹣4，0）∪（0，1）B．[﹣4，0）∪（0，1]C．（﹣4，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A．π B．2C．（2）πD．（2）8．（5分）若函数f（x）=|x|+（a＞0）没有零点，则a的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．（0，1）∪（2，+∞）9．（5分）若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2的内部，则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定10．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+4b的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）11．（5分）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A． B． C．D．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图：则满足f（2x）•f（lg（x2﹣6x+120））≤0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=，则f[f（）]=．14．（5分）正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是．15．（5分）若过点P（1，﹣1）作圆x2+y2+kx+2y+k2=0的切线有两条，则实数k的取值范围是．16．（5分）一个长为8cm，宽为6cm，高为10cm的密封的长方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，则小球在盒子中总不能到达的空间的体积为cm3．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）解方程：log2（4x+4）=x+log2（2x+1﹣3）18．（12分）设f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，当0≤x≤3时，f（x）单调递减，若f（1﹣2m）＜f（m）成立，求m的取值范围．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．20．（12分）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且P（4，3）到直线l的距离为3，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）．（I）求实数a的取值集合A；（Ⅱ）若a∈A，且函数g（x）=1g[ax2+（a+3）x+4]的值域为R，求实数a的取值范围．22．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（x，y）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=2|PA|．（I）求动点P的轨迹方程C；（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；（Ⅲ）若以P为圆心所做的⊙P与⊙O有公共点，试求⊙P半径取最小值时的P点坐标．2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若x，y∈R，，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=（）A．（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）【分析】先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，最后根据新定义进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}=[0，2]B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}∴A*B={x|0≤x≤1或x＞2}故选C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型．2．（5分）集合A={a，b}，B={0，1，2}，则从A到B的映射共有（）个．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由card（A）=2，card（B）=3，可得从A到B的映射的个数为9个．【解答】解：∵card（A）=2，card（B）=3，则从A到B的映射的个数为card（B）card（A）=32=9个，故选：D【点评】本题考查的知识点是映射，熟练掌握当非空集合A中有m个元素，B中有n个元素时，由A到B的映射共有n m个，是解答的关键．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒ a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．4．（5分）若3x1﹣4y1﹣2=0，3x2﹣4y2﹣2=0，则过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线方程是（）A．4x+3y﹣2=0 B．3x﹣4y﹣2=0 C．4x+3y+2=0 D．3x﹣4y+2=0【分析】利用点的坐标满足的方程判断求解即可．【解答】解：3x1﹣4y1﹣2=0，3x2﹣4y2﹣2=0，则过A（x1，y1），B（x2，y2）两点都满足3x﹣4y﹣2=0，所以过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线方程是3x﹣4y﹣2=0．故选：B．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题．5．（5分）设a=1.60.3，b=log2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】判断三个数与0，1的大小关系，推出结果即可．【解答】解：a=1.60.3＞1，b=log2＜0，c=0.81.6∈（0，1）．可得b＜c＜a．故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，注意中间量0，1的应用．6．（5分）函数y=的定义域是（）A．[﹣4，0）∪（0，1）B．[﹣4，0）∪（0，1]C．（﹣4，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：﹣4≤x＜1，且x≠0．∴函数y=的定义域是[﹣4，0）∪（0，1）．故选：A．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础的计算题．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A．π B．2C．（2）πD．（2）【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体，从而求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体；该圆锥的底面半径为1，高为1；∴该几何体的表面积为S=2×π•1•=2π．故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．8．（5分）若函数f（x）=|x|+（a＞0）没有零点，则a的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．（0，1）∪（2，+∞）【分析】根据函数f（x）没有零点，等价为函数y=与y=﹣|x|的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a的取值范围．【解答】解：令|x|+=0得=﹣|x|，令y=，则x2+y2=a，表示半径为，圆心在原点的圆的上半部分，y=﹣|x|，表示以（0，）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图，根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于1，或者圆心到折线的距离大于半径，∴a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）故选：D．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件构造函数，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2的内部，则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】先利用点到直线的距离，求得圆心到直线x0x+y0y=r2的距离，根据P在圆内，判断出x02+y02＜r2，进而可知d＞r，故可知直线和圆相离．【解答】解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=∵点P（x0，y0）在圆内，∴x02+y02＜r2，则有d＞r，故直线和圆相离．故选：C．【点评】本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查了直线与圆的位置关系．考查了数形结合的思想，直线与圆的位置关系的判定．解题的关键是看圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．10．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+4b的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）【分析】由绝对值的含义将函数化成分段函数的形式，可得a＜b且f（a）=f（b）时，必有ab=1成立．利用基本不等式，算出a+4b≥4，结合题意知等号不能成立，由此运用导数判断单调性，可得a+4b的取值范围．【解答】解：∵f（x）=|lgx|=，∴若a＜b，且f（a）=f（b）时，必定﹣lga=lgb，可得ab=1，∵a、b都是正数，0＜a＜1＜b，∴a+4b=a+≥2=4，因为a=4b时等号成立，与0＜a＜b矛盾，所以等号不能成立．∴a+4b＞4，由a+的导数为1﹣＜0，可得在（0，1）递减，即有a+＞5，故选：C．【点评】本题考查了对数的运算法则、分段函数和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题和易错题11．（5分）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A． B． C．D．【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE==，∵圆O1的半径为4，∴O1E===2∴O2E═=3∴圆O2的半径为故选D．【点评】本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查．解决本题的关键在于得到OO1EO2为矩形．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图：则满足f（2x）•f（lg（x2﹣6x+120））≤0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]【分析】由x2﹣6x+120＞100，可得lg（x2﹣6x+120））＞2，即f（lg（x2﹣6x+120））＜0，故有f （2x）≥0，2x ≤2，由此求得x的范围．【解答】解：由f（x）的图象可得，f（x）≤0，等价于x≥2；，f（x）≥0，等价于x≤2．∵f（2x）•f（lg（x2﹣6x+120））≤0，∵x2﹣6x+120=（x﹣3）2+111＞100，∴lg（x2﹣6x+120））＞2，∴f（lg（x2﹣6x+120））＜0，∴f（2x）≥0，2x ≤2，∴x≤1，故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象特征，解抽象不等式，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=，则f[f（）]=．【分析】先由计算，然后再把与0比较，代入到相应的函数解析式中进行求解．【解答】解：∵∴故答案为：．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是计算出后，代入到函数的解析式时，要熟练应用对数恒等式．14．（5分）正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是．【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出从A点沿表面到D1的路程是多少，求出即可．【解答】解：将所给的正六棱柱按图1部分展开，则AD′1==，AD1==，∵AD′1＜AD1，∴从A点沿正侧面和上底面到D1的路程最短，为．故答案为：．【点评】本题考查了几何体的展开图，以及两点之间线段最短的应用问题，立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解，是基础题目．15．（5分）若过点P（1，﹣1）作圆x2+y2+kx+2y+k2=0的切线有两条，则实数k的取值范围是或．【分析】由题意可知P在圆外时，过点P总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2=0作两条切线，可得12+（﹣1）2+k﹣2+k2＞0，且k2+4﹣4k2＞0，即可得到k的取值范围．【解答】解：由题意可知P在圆外时，过点P总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2=0作两条切线，所以12+（﹣1）2+k﹣2+k2＞0，且k2+4﹣4k2＞0解得：或，则k的取值范围是或．故答案为：或．【点评】此题考查学生掌握点与圆的位置的判别方法，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．16．（5分）一个长为8cm，宽为6cm，高为10cm的密封的长方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，则小球在盒子中总不能到达的空间的体积为cm3．【分析】小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在长方体顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，再求出在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内小球不能到达的空间，其他空间小球均能到达，即可得到结果．【解答】解：在长方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[1﹣]=8﹣，除此之外，在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为4[1×1×6+1×1×4+1×1×8﹣]=72﹣18π．其他空间小球均能到达．故小球不能到达的空间体积为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，棱柱的体积，其中熟练掌握棱柱和不堪的几何特征，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）解方程：log2（4x+4）=x+log2（2x+1﹣3）【分析】由已知得4x+4=2x（2x+1﹣3），由此能求出原方程的解．【解答】解：∵∴4x+4=2x（2x+1﹣3），∴4x﹣3•2x﹣4=0，∴2x=4或2x=﹣1（舍）∴x=2．经检验x=2满足方程．【点评】本题考查对数方程的求解，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．18．（12分）设f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，当0≤x≤3时，f（x）单调递减，若f（1﹣2m）＜f（m）成立，求m的取值范围．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，∴f（1﹣2m）＜f（m）等价为f（|1﹣2m|）＜f（|m|），∵当0≤x≤3时，f（x）单调递减，∴，∴，∴，解得．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．【分析】（1）连结OC，推导出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能证明AO⊥平面BCD．=V A﹣OCD，能求出点O到平面ACD的距离．（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h，由V O﹣ACD【解答】证明：（1）连结OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，∴．在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=0，∴AO⊥平面BCD．…（6分）解：（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h．=V A﹣OCD，∴．∵V O﹣ACD在△ACD中，AD=CD=2，．而，，∴．∴点O到平面ACD的距离为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．20．（12分）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且P（4，3）到直线l的距离为3，求直线l 的方程．【分析】当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，再根据P（4，3）到直线l的距离为3，求得k的值，可得此时直线的方程．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y﹣a=0，由P（4，3）到直线l的距离为3，求得a的值，可得此时直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，再根据P（4，3）到直线l的距离为3，可得=3，求得k=，故此时直线的方程为y=x．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y﹣a=0，由P（4，3）到直线l的距离为3，可得=3，求得a=1，或a=13，故此时直线的方程为x+y﹣1=0或x+y﹣13=0．综上可得，所求直线的方程为y=x，或x+y﹣1=0，或x+y﹣13=0．【点评】本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想属于基础题．21．（12分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）．（I）求实数a的取值集合A；（Ⅱ）若a∈A，且函数g（x）=1g[ax2+（a+3）x+4]的值域为R，求实数a的取值范围．【分析】（I）当a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）不为单调函数，即﹣1+a＞a2﹣7a+14，综合讨论结果可得答案；（Ⅱ）由题意可得z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数，讨论，a=0，a＞0，判别式不小于0，解不等式，再与A求交集，即可得到所求范围．【解答】解：（I）当﹣＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当﹣≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞a2﹣7a+14，解得：3＜a＜5，综上所述：实数a的取值集合是A=（﹣∞，2）∪（3，5）；（Ⅱ）由题意可得z=ax2+（a+3）x+4取到一切的正数，当a=0时，z=3x+4取得一切的正数；当a＞0，判别式△≥0，即为（a+3）2﹣16a≥0，解得a≥9或0＜a≤1．综上可得，a的范围是，即为0≤a≤1．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，考查对数函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解答的关键．22．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（x，y）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=2|PA|．（I）求动点P的轨迹方程C；（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；（Ⅲ）若以P为圆心所做的⊙P与⊙O有公共点，试求⊙P半径取最小值时的P点坐标．【分析】（I）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=4PA2，即x2+y2﹣1=4（x﹣2）2+4（y﹣1）2，化简可得动点P的轨迹方程C；（Ⅱ）求出PA长的最小值，即可求线段PQ长的最小值；（Ⅲ）⊙P半径取最小值时，OC与圆C相交的交点为所求．【解答】解：（I）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知|PQ|=2|PA|．可得PQ2=4PA2，即x2+y2﹣1=4（x﹣2）2+4（y﹣1）2．化简可得3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0．（2）3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0，可化为（x﹣）2+（y﹣）2=，圆心C（，），半径为∵|CA|==，∴|PA|min=﹣，∴线段PQ长的最小值为2（﹣）；（Ⅲ）⊙P半径取最小值时，OC与圆C相交的交点为所求，直线OC的方程为y=x，代入3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0，可得15x2﹣80x+84=0，∴x=，∴P半径取最小值时，P（，）．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式，属于中档题．。

2014—2015学年度第一学期期末考试高一数学注意事项：1.本试卷备有答题卡，请在答题卡上作答，否则无效。

2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，试卷满分150分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A ={}x |y =lg ()x +3，B ={}x |x ≥2，则A ⋂B =（A ）(-3,2]（B ）(-3,+∞)（C ）[2,+∞)（D ）[-3,+∞)（2）设a ＝log 0.62，b ＝log 0.63，c ＝20.6，d ＝0.62，则这四个数的大小关系是（A ）a ＜b ＜c ＜d （B ）b ＜a ＜d ＜c （C ）b ＜a ＜c ＜d（D ）d ＜c ＜a ＜b（3）已知集合A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f:x →y ＝ax ＋b ，若4和10的原象分别对应6和9，则19在f作用下的象为（A ）18（B ）30（C ）272（D ）28（4）用二分法求方程3x +3x -8=0在(1,2)内近似解的过程中，设f (x )=3x +3x -8得f (-1)<0，f (0)<0,f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.3)>0，则该方程的根落在区间（A ）（1.3,1.5）（B ）（0,1）（C ）（1,1.3）（D ）（-1,1）（5）已知直线ax +2y +2=0与3x-y -2=0平行，则系数a =（A ）-3（B ）-6（C ）-32（D ）23参考公式：球的体积公式：V =43πR 3，（其中R 表示球的半径）球的表面积公式：S =4πR 2（其中R 表示球的半径）锥体体积公式：V =13sh ，其中s 为底面面积，h 为锥体高（6）下列函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在（-∞，0）上单调性也相同的是（A ）y =-1x （B ）y ＝log 2|x |（C ）y ＝1－x 2（D ）y ＝x 3－1（7）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（A ）24（B ）30（C ）12（D ）18（8）圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2-6y +5=0的位置关系是（A ）外切（B ）内切（C ）外离（D ）内含（9）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（A ）AB ∥m （B ）AC ⊥m （C ）AB ∥β（D ）AC ⊥β（10）某圆锥的侧面展开图是半径为1m 的半圆，则该圆锥的体积是（A3（B 3（C 3（D ）π24m 3（11）设点A （－2,3），B （3,2），若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是（A ）（－∞，－52]∪[43，＋∞）（B ）（－43，52）（C ）[－52，43]（D ）（－∞，－43]∪[52，＋∞）（12）已知二次函数f （x ）=x 2-（a -1）x +5在区间（12，1）上是增函数，则实数a 的取值范围和f （2）的取值范围分别是（A ）a <2，f (2)∈()7 , +∞（B ）a <2，f (2)∈[)7 , + ∞（C ）a ≤2，f (2)∈()7 , +∞（D ）a ≤2，f (2)∈[)7 , +∞34233主视图左视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（13）空间直角坐标系中A (－2,1,3)，B (－1,2,1)，点P 在x 轴上,且|PA|=|PB|,则点P 的坐标为________．（14）一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．（15）已知y ＝f （x ）＋x 2是奇函数，且f （1）＝1，若g （x ）＝f （x ）＋2，则g （-1）＝________.（16）P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分。

云南省景洪市第三中学2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题 时间：120分钟 总分：150分姓名： 班级： 得分：第一卷一．选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{} ,3,2,4,3,1==B A 则B A ⋂等于（ ）A.{}2B.{}4,1 C.{}3 D.{}4,3,2,1 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. x x y ||= 与 1=y B. 1-=x y 与 {1,11,1>-<-=x x x x yC. 2x y = 与 x x y 3=D.123++=x x x y 与 x y = 3. 327-的值是（ ）A. 3B. -3C. 3±D. -94. 函数313-=x y 的定义域为（ ）A. [)+∞,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,31 C. [)+∞-,1 D. (]1,-∞- 5. 函数2x y -=的单调递增区间为（ ）A ．]0,(-∞B ．),0[+∞C ．),0(+∞D ．),(+∞-∞6．下列函数是偶函数的是（ ）A. x y =B. 322-=x yC. 21-=x y D.]1,0[,2∈=x x y7.函数()33--=xxf x的一个零点所在区间是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)10、如图的组合体的结构特征是( )A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台11、有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( ) A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对12、已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A ．32a2B ．34a2C ．64a2 D ．6a213. 圆锥的表面积公式（ ）A. rl r S ππ+=2B. rl r S ππ222+=C. rl S π=D. Rl rl R r S ππππ+++=2214.一个球的表面积是π16，那么这个球的体积为（ ）A.π332 B ．π16 C ．π316D ．π24第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省大连市第八中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影．．部分表示的集合为 ( ) A ． {|1}x x ≥ B. {|12}x x ≤< C. {|01}x x <≤ D.{|1}x x ≤ 2.若()x x g 21-=，()21log 1f g x x =⎡⎤⎣⎦+，则()1f -=（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．23.若函数y=()f x 的图象经过（0，-1），则y=(4)f x +的反函数图象经过点( ) A ．（4，一1） B ．（-4,- 1）C ．（一1,-4）D ．（1,-4）4. 已知函数)1(+x f 的定义域为)1,2(--，则函数)12(+x f 的定义域为（ ） A ．（-32,-1） B ．（-1,-12） C ．（-5,-3） D ．（-2,-32） 5.已知映射f A B →：,其中A B R ==，对应法则222f x y x x →=-+：，若对实数k B ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ( ） A ．1k ≤ B ．1k < C ．1k ≥ D ．1k >6.定义运算⎩⎨⎧≥<=⊕ba bb a ab a 若函数()xxx f -⊕=22,则)(x f 的值域是( )A ． ),1[+∞B ．),0(+∞C ．(0,1]D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,217.求值：006.0lg 61lg )2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++⋅=（ ）A ．3B ． 2C ． 1D ．08.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下左图所示，则函数1()()x g x b a=+的图象是 （ ）9.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)(<x f 的解集为( )A ．)0,(-∞B ．()+∞,0C ．)1,(-∞D ．()+∞,110.对于函数2()f x ax bx =+，存在一个正数b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则非零实数a 的值为( )A ． 2B ．-2C ．-4D ．411. 设,x y 为实数，且满足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则 =+y x ( )A ．2014B ．1002C ． 4026D ． 4028 12.设函数lg |2|,2()1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f恰有5个不同的实数解x 1、x 2、x 3、x 4、x 5则f(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)等于（ ） A ． 3 B ．c lg C ．)1lg(--b D ．3 2lg 第II 卷本卷包括填空题和解答题两部分，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合{}R x x y y M ∈+==,12，{}22x y x N -==，则 M （N R）=______．14.奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的表达式为 =)(x f15.设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是16.问题“求方程xxx13125=+的解”有如下的思路：方程xxx13125=+可变为11312135=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx ，考察函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312135)(可知1)2(=f ，且函数)(x f 在R 上单调递减，所以原方程有唯一解2=x .仿照此解法可得到不等式：x x ->-2lg 24lg 的解集为三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分10分） 设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求值:)20142013()20142012()20142()20141(p p p p ++++ . 18. （本小题满分12分）某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y （y 吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数0>k ）。

2014-2015学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不必要也不充分条件2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a9=10，则S9的值为（）A．30B．45C．90D．1803．（5分）已知椭圆+=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（）A．6B．5C．3D．14．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真5．（5分）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣17．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（）A．12B．8C．6D．48．（5分）双曲线x2﹣y2=3的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x 9．（5分）设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值为（）A．﹣e B．C．e2D．﹣10．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．11．（5分）若函数f（x）=x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m12．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个双曲线的离心率是（）A．B．+2C．+1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式＜0的解集为．（用区间表示）14．（5分）曲线y=x2﹣2x在点（1，﹣）处的切线方程为．15．（5分）等差数列{a n}、{b n}满足=（n∈N*），且前n项和分别为A n、B n，则的值为．16．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx，若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞λx 成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共小6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了130人，其中女性70人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视；男性中有35人主要的休闲方式是运动．（Ⅰ）根据以上数据完善下列2×2列联表（表1）；（Ⅱ）能否有95%的把握认为休闲方式与性别有关．表1参考公式x2=表218．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a4，a13成等比数列，数列{a n}前O项和为S n．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．20．（12分）已知动点M到点（4，0）的距离比它到直线l：x=﹣3的距离多1．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）求过点（4，0）且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．21．（12分）已知函数f（x）=（x+a）e x，其中A为常数．（Ⅰ）若函数f（x）是区间[﹣3，+∞）上的增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥e2在x∈[0，2]时恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆上两点A，B坐标分别为A（a，0），B（0，b），若△ABF2的面积为，∠BF2A=120°．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．2014-2015学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不必要也不充分条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x2＞x得x＞1或x＜0，则“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件，故选：C．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a9=10，则S9的值为（）A．30B．45C．90D．180【分析】直接利用等差数列的前n项和得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1+a9=10，得．故选：B．3．（5分）已知椭圆+=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（）A．6B．5C．3D．1【分析】根据椭圆的标准方程，得椭圆的长轴2a=10，得椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为2a=10，由此结合P到一个焦点的距离为4，不难算出P到另一个焦点的距离．【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴a2=25，得椭圆的长轴2a=10，∵点P到它的一个焦点的距离等于4，到两个焦点的距离之和为2a∴点P到另一个焦点的距离等于2a﹣4=6．故选：A．4．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真【分析】A．利用逆否命题的对于即可判断出；B．利用命题的否定即可判断出；C．利用基本不等式的性质即可判断出；D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不成立．【解答】解：对于A．“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题，正确；对于B．“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；对于C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2=2，正确；对于D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，m=0时不成立．故选：D．5．（5分）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上，得到线性回归方程一定过的点．【解答】解：∵=1.5，=4，∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）根据线性回归方程一定过样本中心点得到，线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，4）故选：D．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z max=3×3+2=11，故选：B．7．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（）A．12B．8C．6D．4【分析】利用抛物线的定义将P到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x，设其焦点为F，∴其准线l的方程为：x=﹣2，设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，即|PF|=d=x0﹣（﹣2）=x0+2∵点P到y轴的距离是6，∴x0=6∴|PF|=6+2=8．故选：B．8．（5分）双曲线x2﹣y2=3的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【分析】由双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，即可得到所求方程．【解答】解：双曲线x2﹣y2=3即为=1，由双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，则双曲线x2﹣y2=3的渐近线方程为y=±x．故选：A．9．（5分）设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值为（）A．﹣e B．C．e2D．﹣【分析】确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）．∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴0＜x＜，f′（x）＜0，x＞，f′（x）＞0，∴x=时，f（x）的极小值为﹣．故选：D．10．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：B．11．（5分）若函数f（x）=x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m【分析】根据函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增，得出f′（x）≥0恒成立，利用判别式△≤0，求出m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，∴f′（x）=3x2+4x+m≥0恒成立，即△=16﹣4×3m≤0，解得m≥；∴m的取值范围是m≥．故选：A．12．（5分）已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个双曲线的离心率是（）A．B．+2C．+1D．【分析】先设|F1F2|=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，利用∠PF1F2=60°，求出|PF1|、|PF2|，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设|F1F2|=2c，由于P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点则△F1F2P是直角三角形，∠F1PF2=90°，由∠PF1F2=2∠PF2F1，则∠PF1F2=60°，∴|PF2|=c，|PF1|=c，∴|PF2|﹣|PF1|=c﹣c=2a，∴e===+1．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式＜0的解集为（﹣∞，0）∪（9，+∞）．（用区间表示）【分析】根据两数相乘积异号得负的取符号法则变形，即可求出解集．【解答】解：不等式转化为x（9﹣x）＜0，且9﹣x≠0，可得出x（x﹣9）＞0，转化为：或，解得：x＞9或x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）∪（9，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（9，+∞）．14．（5分）曲线y=x2﹣2x在点（1，﹣）处的切线方程为2x+2y+1=0．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由y=x2﹣2x，得y′=x﹣2，∴y′|x=1=1﹣2=﹣1，即曲线y=x2﹣2x在点（1，﹣）处的切线的斜率为﹣1，∴曲线y=x2﹣2x在点（1，﹣）处的切线方程为，化为一般式得：2x+2y+1=0．故答案为：2x+2y+1=0．15．（5分）等差数列{a n}、{b n}满足=（n∈N*），且前n项和分别为A n、B n，则的值为．【分析】在等差数列中，由=结合已知求得答案．【解答】解：∵{a n}、{b n}为等差数列，且前n项和分别为A n、B n，∴=，又=，则．即=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx，若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞λx 成立，则实数λ的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】求出函数的导数，由题意可得当0＜x＜π时，λ＜sinx，成立．求函数y=sinx在（0，π）的最大值问题即可解决．【解答】解：f（x）=sinx﹣xcosx的导数为f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx，因为f′（x）＞λx，所以xsinx＞λx．当0＜x＜π时，λ＜sinx，当0＜x＜π时，sinx∈（0，1]，当x=时，sinx取得最大值1．即有λ＜1．故答案为：（﹣∞，1）．三、解答题：本大题共小6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了130人，其中女性70人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视；男性中有35人主要的休闲方式是运动．（Ⅰ）根据以上数据完善下列2×2列联表（表1）；（Ⅱ）能否有95%的把握认为休闲方式与性别有关．表1参考公式x2=表2【分析】（1）根据共调查了130人，其中女性70人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视；男性中有35人主要的休闲方式是运动，得到列联表．（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有95%的把握认为休闲方式与性别有关．【解答】解：（1）（4分）（2）∴没有95%的把握认为休闲方式与性别有关．（10分）18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a4，a13成等比数列，数列{a n}前O项和为S n．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2），利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵a1，a4，a13成等比数列，∴，即，又d=2，解得a1=3，则a n=3+2（n﹣1）=2n+1，S n==n（n+2）．（2），∴==．19．（12分）已知函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，即可求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求出函数的极值点，列出f（x）在[﹣3，1]上的导函数符号，求出函数的极值与端点值，即可求解函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4（2分）令f′（x）＞0，则x＜﹣2或，令f′（x）＜0，则﹣2，所以增区间为，减区间为（﹣2，）（6分）（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=﹣2或x=，∵f（﹣3）=（﹣3）3+2×（﹣3）2+4×3+5=8．f（﹣2）=13，f（）=，f（1）=13+2×12﹣4×1+5=4．∴函数的最大值为：13，最小值为：．20．（12分）已知动点M到点（4，0）的距离比它到直线l：x=﹣3的距离多1．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）求过点（4，0）且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．【分析】（1）根据抛物线的定义即可求动点M的轨迹C的方程；（2）求出直线方程，联立直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，利用弦长公式进行求解即可．【解答】解：（1）由题意易知，动点M到点（4，0）的距离与到直线x=﹣4的距离相等，故M点的轨迹为以（4，0）为焦点，x=﹣4为准线的抛物线，此抛物线方程为y2=16x．（2）设直线与抛物线交点为A，B，直线AB方程为y﹣0=（x﹣4），即y=，将直线方程与抛物线方程联立，得x2﹣56x+16=0，故x A+x B=56，x A x B=16，|AB|=x A+x B+p=56+8=64．21．（12分）已知函数f（x）=（x+a）e x，其中A为常数．（Ⅰ）若函数f（x）是区间[﹣3，+∞）上的增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥e2在x∈[0，2]时恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）是区间[﹣3，﹣∞）上的增函数，可得f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[﹣3，+∞）上恒成立，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）f（x）≥e2在x∈[0，2]时恒成立，等价于f（x）min≥e2在x∈[0，2]时恒成立，分类讨论，求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e x，所以f′（x）=（x+a+1）e x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因为函数f（x）是区间[﹣3，+∞）上的增函数，所以f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[﹣3，+∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）因为y=x+a+1是增函数，所以满足题意只需﹣3+a+1≥0，即a≥2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=﹣a﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）f（x），f′（x）的情况如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）①当﹣a﹣1≤0，即a≥﹣1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（0），若满足题意只需f（0）≥e2，解得a≥e2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）②当0＜﹣a﹣1＜2，即﹣3＜a＜﹣1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（﹣a﹣1），若满足题意只需f（﹣a﹣1））≥e2，求解可得此不等式无解，所以a不存在；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）③当﹣a﹣1≥2，即a≤﹣3时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（2），若满足题意只需需f（2）≥e2，解得a≥﹣1，所以此时，a不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上讨论，所求实数a的取值范围为[e2，+∞）．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆上两点A，B坐标分别为A（a，0），B（0，b），若△ABF2的面积为，∠BF2A=120°．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．【分析】（1）在RT△BOF2中，∠BF2O=60°，计算得：b=c，a=2c，由S△ABF2=（a﹣c）b=，可计算得a=2，b=，c=1，从而可求椭圆标准方程．（2）分情况进行讨论：由题意，当直线MN的斜率不存在，此时可设M（x0，x0），N（x0，﹣x0），再由A、B在椭圆上可求x0，此时易求点O到直线MN 的距离；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OM⊥ON，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线MN的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．【解答】解：（1）在RT△BOF2中，∠BF2O=60°，计算得：b=c，a=2c由S=（a﹣c）b=，△ABF2计算得a=2，b=，c=1，所以椭圆标准方程为，证明：（2）由题意，当直线MN的斜率不存在，此时可设M（x0，x0），N（x0，﹣x0）．又MN两点在椭圆C上，所以，x02=．所以点O到直线MN的距离d==．当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m．由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由已知△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2）．所以x1+x2=﹣，x1x2=．因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0．所以x 1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．所以（k2+1）﹣km×+m2=0．整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．所以点O到直线MN的距离d===为定值．。

KMNC'B'A'D'D CBAMN D E B'A'C'CBA郑州一中2014—2015学年上期期末学业水平测试高中一年级 数学 参考答案一、选择题CBCBD CDCBA AB 二、填空题13:26 14: 7 15: 20x y -+= 16: 23三、解答题 17. 依题意得()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ 且()()f x f x -=- 即：332121x x k k -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭33202112x x x k k ⋅⇒+++=--()321221x xk -⇒=-32k ⇒= 18. 令()22222f x x px p p =-+++，则()()22022110f p p p =++=++>由A +=∅R I 知()f x 没有正实根（Ⅰ）若A =∅,即()f x 无实数根，则()f x 的判别式小于零()2244220p p p ⇒-++<1p ⇒>-（Ⅱ）若A ≠∅,即()f x 有实数根但是非正，则由(1)知1p ≤-且对称轴不能在y 轴右侧，即0p ≤1p ⇒≤- 综上所述: R p ∈均满足条件.19．直三棱柱'''ABC A B C -中, ,D M 分别为,''AB A B 的中点//'DB A M ⇒且'DB A M =⇒四边形'DBMA 为平行四边形 '//A D MB ⇒又'A D ⊄面MNCB ,MB ⊂面MNCB '//A D ⇒面MNCB 同理: '//A E ⇒面MNCB又'''A E A D A = ⇒平面'//A DE 平面MNCB 20．（Ⅰ）在正方形''''A B C D 中，△''D A M ≌△''A B N (SAS)''''''''90NA B D MA A D M D MA ⇒∠+∠=∠+∠= ''D M A N ⇒⊥又在正方体中'AA ⊥面''''A B C D ,'D M ⊂ 面''''A B C D''D M AA ⇒⊥又'''AA A N A = ⇒'D M ⊥面'AA N（Ⅱ） 连接','AB A B 交于点K ,连接DK .由//'AD B N 知,,,'A D N B 共面,AD ⊥面''AD ABB A ⊥AD BK ⇒⊥又'AB BK ⊥，'AD AB A = ⇒BK ⊥面'ADB N⇒BK DK ⊥且BDK ∠即为直线DB 与平面ADN 所成的角设正方体棱长为a ，则2BD a =,22BK a =，212sin 22aBK BDK BD a ∠===30BDK ⇒∠= 即直线DB 与平面ADN 所成的角为30.21．设()2,M t t 为抛物线上任意一点,直线l 的一般式为: 220x y --=则点M 到直线l 的距离为: ()2222212t t d --=+-21152485t ⎛⎫---⎪⎝⎭=21152485t ⎛⎫-+⎪⎝⎭= 1585≥358= 当14t =时,等号成立.即所求的最小距离为358. 20. （Ⅰ）设点M 的坐标为(),x y ,则()2222312x y x y +=-+22660x y x ⇒+-+=()2233x y ⇒-+= 即点M 的轨迹方程为: ()2233x y -+=（Ⅱ）M 的轨迹为圆心在()3,0,半径为3的圆. 由图易知l 的斜率存在.∵l 过点()1,0Q -,∴设l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到l 的距离为2301k k k-++由垂径定理知()2222302321k k k ⎛⎫-+⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭221621k k ⇒=+217k ⇒=77k ⇒=±于是l 的方程为()717y x =+或()717y x =-+.。