河北科技大学复变函数试题与答案 (1)

ez
8. 设
1，则 z ___ .
9.
若 z0 是
f ( z) 的极点，则
lim
z z0
f ( z)
___ .
10. Res( ez ,0) ____. zn
三. 计算题 . (40 分)
1
1. 将函数 f ( z) z2ez 在圆环域 0 z
内展为 Laurent 级数 .
2.
试求幂级数 n
n! nn
《复变函数论》试题库 梅一 A111
《复变函数》考试试题（一）
dz ( z 1、 |z z0| 1 z0 ) n
__________. （ n 为自然数）
2. sin 2 z cos2 z _________.
3. 函数 sin z 的周期为 ___________.
1
f (z)
4. 设
z2 1 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 __________.
f ( z) 2. 设
是一整函数，并且假定存在着一个正整数
n，以及两个数 R
及 M，使得当 | z | R 时
| f (z) | M | z |n ，
5
f (z) 证明 :
是一个至多 n 次的多项式或一常数 .
《复变函数》考试试题（六）
1.
一、填空题（ 20 分）
1.
若 zn
n 2 i (1 1 )n ，则 lim zn
3、设 f (z)
ez z2
1
，求
Re
s(
f
( z),
i)
.
sin z3 4、求函数 z6 在 0 z
内的罗朗展式 .
5、求复数 w z 1 的实部与虚部 . z1

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

∴方程的解为
---------------------------- 6分
2．函数 在复平面内何处可导，何处解析，并求
解：设 ， 则
．四个偏导数在复平面上都连续，
由C—R方程得： ．
故 仅在直线 上可导，在复平面上处处不解析．
--------------------------- 4分
且因为点 在曲线 上，所以 ．
大学《复变函数》试卷及答案
一.判断题(每小题2分,共10分.
正确打“√”，错误打“×”.）
评
分
阅
卷
人
1． ．（）
2．若 在 不解析，则 不存在．（）
3． 为函数 的孤立奇点．（）
4．级数 收敛．（）
5． 在点 处不连续．（）
二.填空题(每小题2分,共10分.
将正确结果填在横线上.）
评
分
阅
卷
人
1.复参数方程 （t为参数）的直角坐标方程为
3.下列结论错误的是（）
（A） 是函数 的二阶极点．（B） 是函数 的可去奇点．
（C） ．(D) 是函数 的本性奇点．
4.下列结论错误的是（）
（A）C为不通过原点的简则 也为解析函数．
(C)在点 解析的函数一定可以在点 的邻域内展开成泰勒级数．
(D)对于任意的复数 ．
解：由于 在平面上处处解析，所以积分
与路径无关，又 的一个原函数为 ，
---------------------------- 5分
故
＝ ．
------------------------ 7分
2． ．
解： 在 内有两个不解析点， 分别为简单极
点、二级极点
，
------------------------ 5分

《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是（ C ）时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为（ B ） (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在 3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是（ D ） (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点 4、计算12()i eπ-的结果是（ B ）(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是（ C ）(A) (B) (C)(D)z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()= 6．当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan; B. x yarctan ; C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7．argz 1z 2=( A )..A ．argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π（k 1是某个整数）; D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是（ C ） A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是（ B ）.A ．直线y=x; B. 双曲线 y=x1;C 椭圆周；D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处（ A ）. A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A ．i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微，则w=f(z)在点z 0（ D ） A 解析； B 某邻域内处处解析； C.不解析。

复变函数试题及答案解析一、选择题（每题3分，共15分）1. 若复数z满足|z|=1，则z的辐角的取值范围是（）。

A. [0, 2π)B. [0, π]C. [0, π/2]D. [π/2, 3π/2]答案：A解析：复数z的模长|z|=1表示z在复平面上位于单位圆上，因此其辐角可以取遍[0, 2π)范围内的所有值。

2. 函数f(z)=1/z在z=0处（）。

A. 可导B. 不可导C. 连续D. 间断答案：B解析：函数f(z)=1/z在z=0处没有定义，因此不可导。

3. 函数f(z)=z^2在z=i处的导数为（）。

A. 2iB. -2iC. -2D. 2答案：A解析：根据复变函数的导数定义，f'(z)=2z，代入z=i得到f'(i)=2i。

4. 若f(z)是解析函数，则以下哪个选项是正确的（）。

A. f(z)的实部和虚部都是调和函数B. f(z)的实部和虚部都是解析函数C. f(z)的实部和虚部都是连续函数D. f(z)的实部和虚部都是可导函数答案：A解析：解析函数的实部和虚部都是调和函数，这是解析函数的基本性质之一。

5. 以下哪个函数不是解析函数（）。

A. f(z)=sin(z)B. f(z)=e^zC. f(z)=z^2D. f(z)=|z|答案：D解析：解析函数在其定义域内处处可导，而函数f(z)=|z|在z=0处不可导，因此不是解析函数。

二、填空题（每题4分，共20分）6. 复数z=3+4i的共轭复数为______。

答案：3-4i解析：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，因此z=3+4i的共轭复数为3-4i。

7. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的实部为______，虚部为______。

答案：u(x,y)；v(x,y)解析：根据复变函数的表示，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)为实部，v(x,y)为虚部。

8. 若f(z)在区域D内解析，则f(z)满足柯西-黎曼方程，即______。

复变函数14套题目和答案《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛，则与都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点.()7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()9.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1.__________.（为自然数）2._________.3.函数的周期为___________.4.设，则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若，则______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1.若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cos z 与sin z在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.()8.若数列收敛，则与都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设，则 2.设，则________.3._________.（为自然数）4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设，则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.(20分).1.cos z与sin z的周期均为.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛，则与都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在上解析,且,则.（）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点.()10.若是的可去奇点，则.()二.填空题.(20分)1.设，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若，则__________.4.___________.5._________.（为自然数）6.幂级数的收敛半径为__________.7.设，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设，则.9.若是的极点，则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：，其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。

复变函数论试题库及答案《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（⼀）⼀、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平⾯为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( )9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任⼀简单闭曲线C 0)(=?C dz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（）⼆.填空题（20分）1、 =-?=-1||00)(z z nz z dz __________.（n 为⾃然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤⽴奇点有__________. 5.幂级数0n n nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平⾯上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为⾃然数. 9. zz sin 的孤⽴奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2. .cos 11||?=z dz z3. 设?-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平⾯能分出两个单值解析分⽀, 并求出⽀割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那⽀在1z =-的值.《复变函数》考试试题（⼆）⼀. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平⾯有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →⼀定不存在. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任⼀简单闭曲线C 0)(=?Cdz z f . ( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( )10. 存在⼀个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )⼆. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3. =-?=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为⾃然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. ⽅程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________.8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤⽴奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平⾯上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的⼀个解析分⽀，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：?-=ii z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求 dz z z z ?=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试⽤儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）⼀. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f (z )在z 0处满⾜柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )⼆. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-?=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为⾃然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤⽴奇点有__________. 8. 设1-=z e ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z . 10. ____)0,(Res =n zze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数. 2. 试求幂级数n n n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：?-C z z z z e )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数.2. 设)(z f 是⼀整函数，并且假定存在着⼀个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是⼀个⾄多n 次的多项式或⼀常数。

大学复变函数试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 复数z=1+i的共轭复数是（）。

A. 1-iB. 1+iC. -1+iD. -1-i答案：A2. 对于复数z=a+bi，其模长|z|等于（）。

A. √(a²+b²)B. a²+b²C. a+biD. a²-b²答案：A3. 以下哪个函数是解析函数（）。

A. f(z)=|z|B. f(z)=z²C. f(z)=√zD. f(z)=z/|z|答案：B4. 函数f(z)=sin(z)的导数是（）。

A. cos(z)B. -sin(z)C. cos(z)D. -cos(z)答案：A5. 复变函数f(z)=1/z的极点是（）。

A. z=0B. z=1C. z=-1D. z=i答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 复数z=3+4i的模长|z|等于_________。

答案：57. 函数f(z)=z³+1的导数f'(z)等于_________。

答案：3z²8. 函数f(z)=e^z的导数f'(z)等于_________。

答案：e^z9. 函数f(z)=1/(z-1)的极点是_________。

答案：z=110. 函数f(z)=z²的零点是_________。

答案：z=0三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算复数z=2+3i的共轭复数，并求其模长。

解：z的共轭复数为2-3i，模长|z|=√(2²+3²)=√13。

12. 计算函数f(z)=z³-3z²+2z-1在z=1处的导数值。

解：f'(z)=3z²-6z+2，代入z=1，得到f'(1)=3(1)²-6(1)+2=-1。

13. 计算函数f(z)=1/(z²+1)的极点，并判断极点的性质。

大学数学复变函数练习题及答案1. 解析函数（1）求函数 $f(z)=|z|^2+z^3$ 的实部和虚部。

解：设 $z=x+yi$，其中 $x,y \in \mathbb{R}$，则有$f(z)=|z|^2+z^3=(x^2+y^2)+(x+yi)^3=(x^2+y^2)+(x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3))$则实部为$u(x,y)=x^3-3xy^2+x^2+y^2$，虚部为$v(x,y)=3x^2y-y^3$。

（2）求函数 $f(z)=xe^z$ 的实部和虚部。

解：设 $z=x+yi$，其中 $x,y \in \mathbb{R}$，则有$f(z)=xe^z=x(e^x \cos y + i e^x \sin y)$则实部为 $u(x,y)=x e^x \cos y$，虚部为 $v(x,y)=x e^x \sin y$。

2. 应用题（1）一个圆盘的温度分布表示为 $u(r,\theta)=r^2(1-\cos \theta)$其中 $r$ 表示距离圆心的半径，$\theta$ 表示与 $x$ 轴的夹角。

求圆盘表面的温度分布。

解：由题意可知，圆盘的温度分布是一个解析函数，且满足实部和虚部均为调和函数的条件。

而根据复变函数理论，解析函数的等温线一定是亚纯函数的对数螺旋线。

由此，圆盘表面的温度分布可以表示为$f(z)=|z|^2(1-\cos(\arg(z)))$，其中 $z=re^{i\theta}$。

（2）已知 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数，其中 $u(x,y)$ 和$v(x,y)$ 均为连续可微函数。

试证明：当且仅当 $u_x=v_y$ 和 $u_y=-v_x$ 时，$f(z)$ 为调和函数。

证明：设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数，则满足柯西-黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。

复变函数与积分变换考试复习题一、判断题(判断下列各题，正确的在题干后面的括号内打“√”，错误的打“×”。

1．互为共轭的两个复数的模相等.（ √ ）2．函数sin z 在区域|z|<1内为有界函数.（ √ ）3．解析函数的零点必是孤立的.（ × ）4．若函数f(z)在点a 解析,且f ′(a)=0,f ″(a)≠0，则a 是f(z)的二阶零点.（ × ）5．若z=a 分别是f(z)和g(z)的三阶极点，则z=a 也是f(z)+g(z)的三阶极点.（ × ）6．如果z=1是函数f(z)的可去奇点，则1z Res =f(z)=0.（ √ ） 7．分式线性变换必将圆周变换成圆周或直线.（ √ ）二、填空题1复数z=(1+i)3的主幅角argz=________（-π<argz ≤π）.2.不等式Rez>0表示z 平面上的区域是________.3.|e 3i |=________.4.函数w=e z 将z 平面上的带形区域0<Imz<3π变换为w 平面上的区域________. 5.积分⎰=++1|z |222z z dz=________.6.方程z 8+3z 3-1=0在单位圆|z|<1内有________个根.7.复数-2是复数________的一个平方根。

8设y 是实数，则sin(iy)的模为________。

9.设a>0，则Lna=________。

10.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件。

11.方程z=t+it (t 是实参数)给出的曲线为________。

12.设幂级数c z a n n n ()-=+∞∑0，在圆K:|z-a|<R 上收敛于f(z),则n C =______ (n=0,1,…)。

13.cosz 在z=0的幂级数展式为________。