《复变函数》考试试题与答案(八)

《复变函数》在线作业参考资料一、单选题1、设则（C ）ABCD2、当iiz −+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A i B i − C 1 D 1−3、若，则双边幂级数的收敛域为(A)A B C D4、复数)2(tan πθπθ<<−=i z 的三角表示式是（D ）A )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i B )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i C )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++−iD )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++−i5、设为复数，则方程的解是（B ）A B C D6、若z 为非零复数，则22z z −与z z 2的关系是（C ）A z z z z 222≥−B z z z z 222=−C z z z z 222≤−D 不能比较大小 7、下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）A BC D8、设y x ,为实数，yi x z yi x z +−=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 9、关于圆周的对称点是(C)ABCD10、一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31−，则原向量对应的复数是（A ）A 2B i 31+C i −3D i +311、积分( B)A0 B C10 D12、使得22z z =成立的复数z 是（D ）A 不存在的B 唯一的C 纯虚数D 实数13、设复数满足那么（A ）A B C D14、在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析15、方程232=−+i z 所代表的曲线是（C ）A 中心为i 32−，半径为2的圆周B 中心为i 32+−，半径为２的圆周C 中心为i 32+−，半径为2的圆周D 中心为i 32−，半径为２的圆周16、函数在点处是(B)A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导17、00)Im()Im(lim0z z z z x x −−→（D ）A 等于iB 等于i −C 等于0D 不存在18、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ）A ),(y x u 在),(00y x 处连续B ),(y x v 在),(00y x 处连续C ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续D ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续19、设为解析函数的级零点，那么(A)ABCD20、设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+−=的最小值为（A ）A 3−B 2−C 1−D 1 21、积分(C)A0 B C D22、设为函数的级极点，那么(C)A5 B4 C3D223、设为负向，正向，则(B)AB0 CD24、幂级数在内的和函数为(A)A B C D25、设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么(C)A1 B2 C3 D426、设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于.如果在上的值为2，那么对内任一点(C)A等于0 B等于1 C等于2 D不能确定27、设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径(C)A B1 C D28、设是复数，则(C)A在复平面上处处解析 B的模为C一般是多值函数 D的辐角为的辐角的倍29、满足不等式的所有点构成的集合是（D）A有界区域 B无界区域 C有界闭区域D无界闭区域30、下列级数中，绝对收敛的级数为(D)A B C D31、设，则( A)A2 B C D32.、设为正向圆周，则(C)A B C0 D33、是函数的(D)A可去奇点B一级极点C一级零点 D本性奇点34、分式线性变换将区域:映射为(D)A BC D35、下列命题中，正确的是(C) A 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C 若在区域内解析，则为内的调和函数D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数36、函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的(B) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件也非必要条件 37、下列命题中，正确的是(D) A 设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导C 若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 38、下列函数中，为解析函数的是(C)A xyi y x 222−−B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +−+−D 33iy x + 39、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f −++−+=在复平面内处处解析，那么实常数=a (C)A 0B 1C 2D 2−40、如果)(z f ′在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(−=f ，那么在1<z 内≡)(z f (C)A 0B 1C 1−D 任意常数41、设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是(C)A 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数B 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数C 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 D 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 42、设22)(iy x z f +=，则=+′)1(i f (A) A 2 B i 2 C i +1 D i 22+43、ii 的主值为(D)A 0B 1C 2πe D 2π−e43、ze 在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析 44、设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是(C) A )(z f 在复平面上处处解析 B )(z f 以π2为周期 C 2)(iziz e e z f −−= D )(z f 是无界的45、设α为任意实数，则α1(D)A 无定义B 等于1C 是复数，其实部等于1D 是复数，其模等于1 46、下列数中，为实数的是(B)A 3)1(i − B i cos C i ln D i e23π−47、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+∫cdz iy x )(2(D)A i 6561−B i 6561+−C i 6561−−D i 6561+ 48、设c 为不经过点1与1−的正向简单闭曲线，则dz z z zc∫+−2)1)(1(为(D)A 2iπ B 2i π− C 0 D(A)(B)(C)都有可能二、判断题1、如果是的可去奇点，则一定存在且等于零（错）2、若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析(错）3、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（对）4、有界整函数必在整个复平面为常数（对）5、若在区域内解析，则||也在内解析（错）6、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛（对）7、是一个有界函数（错）8、若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann 条件（对）9、有界整函数必为常数（对）10、若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）（对）11、如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数（错）12、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点（对）13、若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则（对）14、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点（对）15、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（对）16、（错）17、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数(错）18、若函数是区域内的单叶函数，则（对）19、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续（对） 20、若函数在解析，则在的某个邻域内可导（对）21、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续（对）22、若，则为的n 阶零点（错）23、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（对）24、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析(错） 25、若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线（错）26、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f (错）27、若函数是非常的整函数，则必是有界函数（错）28、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数（对）29、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数（对）30、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析(错）31、设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有（对）32、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f （对）33、与在复平面内有界（错）34、若0z是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f （对）35、若是的一级极点，则（对）36、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件（对） 37、当复数时，其模为零，辐角也为零（错）38、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析(错）39、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大（对）40、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界(错）41、若收敛，则与都收敛（对）42、设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有（对）43、一定不存在（对）44、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （对） 45、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（对）46、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（对） 47、若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析.（错） 48、设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数.（对）49、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（对） 50、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在.（对）51、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D ′≠∀∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（错）52、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11max{()}max{()}.z z f z f z ≤==（对）。

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则Cz f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz __________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re nz ze s ________，其中n 为自然数.9.zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=Cd zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0R e 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0R e 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）1、 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nnf .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10.____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分) 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若nn ni nn z )11(12++-+=，则=∞→nz n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nz ze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-Czz z z e )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时nz M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

第一章 复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j Λ=≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ΛΛ2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s ρ和n ρ为平面向量，将s ρ按逆时针方向旋转2π即得n ρ.如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s vn u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ρ,n ρ的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 （C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ； ２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()(Λ=≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f yz f xz f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1(Λ=++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nni （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数Λ+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=ΛΛ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=)()(n nn z z cz f 成立，其中=n c ． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f rn n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

《复变函数》考试试题（八）参考答案一、判断题.1. ×2. ×3. ×4. √5. × 二、填空题.1. 1-2. ()π-3. 1()f z z z=+4. 0,∞5. i6. 2π7. 18. 221nπ-9.本性 10. π- 三、计算题.1.解：arg 2155z k ik w zeπ+= 0,1,2,3,k =1=- 得251k ieππ+-= 从而有2k =4114105102331(1)22(co s sin )44iw i e i i ππππ-+--=⋅=+=2.解：（1）2()1L n z f z z =-的各解析分支为2ln 2()1k z k f z z π+=-，(0,1,)k =± .1z =为0()f z 的可去奇点，为()k f z 的一阶极点(0,1,)k =± 。

0R e ((),1)0s f z = R e ((),1)ks f z k i π= (1,2,)k =±± （2）1100011R e R e !!znn n z z n e z ss zz n n ∞++===⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦∑ 3.计算下列积分 解：（1）72323221()12(1)(2)(1)(1)zf z z z z zz==-+-+1R e (,)1s f C -∞=-=-2()2[R e (,)]2z f z d z i s f i ππ==-∞=⎰（2）设2222222()()()()zzf z z a z a i z a i ==++-令22()()zz z a i ϕ=+， 32()()a iz z z a i ϕ'=+则23()2()1R e (,)1!(2)4a i a i s f a i i a i aϕ'===-I m 0()2R e (,)2z f z d z i s f a i aππ>==⎰2222()2x d x x a aπ+∞-∞=+⎰4.儒歇定理：设c 是一条围线，()f z 及()z ϕ满足条件： （1）它们在c 的内部均解析，且连续到c ； （2）在c 上，()()f z z ϕ>则f 与f ϕ+在c 的内部有同样多零点，即()10f z = 6()6g z z z =+有 ()()f z g z >由儒歇定理知66100z z ++=在1z <没有根。

应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。

（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。

()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。

()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。

第一章 复数与复变函数一、 选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A)i (B)i - (C)1 (D)1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A)i 31+- (B)i +-3 (C)i 2321+-(D)i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式就是( ) (A))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系就是( ) (A)z z z z 222≥- (B)z z z z 222=- (C)z z z z 222≤- (D)不能比较大小５.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹就是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 ６.一个向量顺时针旋转3π,向右平移３个单位,再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数就是( )(A)2 (B)i 31+(C)i -3 (D)i +3７.使得22z z =成立的复数z 就是( )(A)不存在的 (B)唯一的 (C)纯虚数 (D)实数 ８.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解就是( )(A)i +-43 (B)i +43 (C)i -43 (D)i --43９.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合就是( ) (A)有界区域 (B)无界区域 (C)有界闭区域 (D)无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线就是( )(A)中心为i 32-,半径为2的圆周 (B)中心为i 32+-,半径为２的圆周 (C)中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D)中心为i 32-,半径为２的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不就是圆周的为( ) (A)221=+-z z (B)433=--+z z (C))1(11<=--a azaz (D))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A)i 44-- (B)i 44+ (C)i 44- (D)i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→( )(A)等于i (B)等于i - (C)等于0 (D)不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件就是( ) (A)),(y x u 在),(00y x 处连续 (B)),(y x v 在),(00y x 处连续(C)),(y x u 与),(y x v 在),(00y x 处连续(D)),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为( )(A)3- (B)2- (C)1- (D)1 二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６.不等式522<++-z z 所表示的区域就是曲线 的内部７.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线就是连续点 与 的线段的垂直平分线９.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22、五、设复数i z ±≠,试证21zz+就是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM 、六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像、 七、试证１、)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; ２、)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j Λ=≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ΛΛ2121、八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>、 九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2、十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1、⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2、⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处就是( )(A)解析的 (B)可导的(C)不可导的 (D)既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导就是)(z f 在点z 解析的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的就是( )(A)设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B)若0z 就是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D)若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的就是( )(A)xyi y x 222-- (B)xyi x +2(C))2()1(222x x y i y x +-+- (D)33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于1- (D)不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常 数=a ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)2-7.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(-=f ,那么在1<z 内≡)(z f ( )(A)0 (B)1 (C)1- (D)任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的就是(A)若)(z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 (B)若))(Re(z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 (C)若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内就是一常数 (D)若)(arg z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A)2 (B)i 2 (C)i +1 (D)i 22+10.ii 的主值为( )(A)0 (B)1 (C)2πe (D)2π-e11.ze 在复平面上( )(A)无可导点 (B)有可导点,但不解析 (C)有可导点,且在可导点集上解析 (D)处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的就是( )(A))(z f 在复平面上处处解析 (B))(z f 以π2为周期(C)2)(iziz e e z f --= (D))(z f 就是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A)无定义 (B)等于1(C)就是复数,其实部等于1 (D)就是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的就是( )(A)3)1(i - (B)i cos (C)i ln (D)i e 23π-15.设α就是复数,则( )(A)αz 在复平面上处处解析 (B)αz 的模为αz(C)αz 一般就是多值函数 (D)αz 的辐角为z 的辐角的α倍 二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内就是解析的,如果v u +就是实常数,那么)(z f 在D 内就是3.导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=∂∂z w . 四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dz wd dz dw 、 六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导、七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(、 八、设s ρ与n ρ为平面向量,将s ρ按逆时针方向旋转2π即得n ρ、如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ρ,n ρ的方向导数)、 九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析、 十、解方程i z i z 4cos sin =+、第三章 复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2( )(A)i 6561- (B)i 6561+- (C)i 6561-- (D)i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc ⎰+-2)1)(1(为( ) (A)2i π (B)2i π- (C)0 (D)(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ( ) （A ） i π2- (B)0 (C)i π2 (D)i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) (A)1sin - (B)1sin (C)1sin 2i π- (D)1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )(A))1sin 1cos 3(2-i π (B)0 (C)1cos 6i π (D)1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(,其中4≠z ,则='）i f π(( ) (A)i π2- (B)1- (C)i π2 (D)17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )(A)于i π2 (B)等于i π2- (C)等于0 (D)不能确定 8.设c 就是从0到i 21π+的直线段,则积分=⎰cz dz ze ( )(A)21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) (A)i π22(B)i π2 (C)0 (D)i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) (A)ie π2 (B)eiπ2 (C)0 (D)i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于2 (D)不能确定 12.下列命题中,不正确的就是( ) (A)积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B)2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段(C)若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D)若)(z f 在10<<z 内解析,且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零,则)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调与函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(就是 ( )(A)c iz +2(B) ic iz +2(C)c z +2(D)ic z +214.下列命题中,正确的就是( )(A)设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调与函数,则必有21v v = (B)解析函数的实部就是虚部的共轭调与函数 (C)若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu∂∂为D 内的调与函数 (D)以调与函数为实部与虚部的函数就是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调与函数,则下列函数中为D 内解析函数的就是( )(A)),(),(y x iu y x v + (B)),(),(y x iu y x v -(C)),(),(y x iv y x u - (D)xv i x u ∂∂-∂∂ 二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233.设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f4.设c 为正向圆周3=z ,则=+⎰cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ,那么)(z f 在B 内8.调与函数xy y x =),(ϕ的共轭调与函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调与函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调与函数为 三、计算积分 1、⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2、⎰=++22422z z z dz. 四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-、试证１.在B 内处处有0)(≠z f ; ２.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()(Λ=≤n r r M n a fnn 、六、求积分⎰=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e 、 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理)、八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析,且2)0(,1)0(='=f f ,试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值、九、设iv u z f +=)(就是z 的解析函数,证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂、十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(、第四章 级 数一、选择题:1.设),2,1(4)1(Λ=++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A)等于0 (B)等于1 (C)等于i (D)不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A)∑∞=+1)231(n ni (B)∑∞=+1!)43(n n n i(C) ∑∞=1n nn i (D)∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in(B)∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nni (D)∑∞=-12)1(n nn n i 4.若幂级数∑∞=0n nnz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( ) (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 与∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系就是( )(A)321R R R << (B)321R R R >> (C)321R R R <= (D)321R R R == 6.设10<<q ,则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )(A)q (B)q1(C)0 (D)∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 (B)2 (C)2 (D)∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的与函数为 (A))1ln(z + (B))1ln(z -(D)z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A)∞+ (B)1 (C)2π(D)π 10.级数Λ+++++22111z z z z的收敛域就是( ) (A)1<z (B)10<<z (C)+∞<<z 1 (D)不存在的11.函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( )(A)12-ic π (B)12ic π (C)22ic π (D))(20z f i 'π14.若⎩⎨⎧--==-+=ΛΛ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A)3141<<z (B)43<<z (C)+∞<<z 41 (D)+∞<<z 3115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为 .2.设幂级数∑∞=0n nn z c与∑∞=0)][Re(n nnz c 的收敛半径分别为1R 与2R ,那么1R 与2R 之间的关系就是 . 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立,其中=n c .5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 .6.设幂级数∑∞=0n nnzc的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 . 8.函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 . 9.设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式. 四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ、2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

《复变函数》考试复习模拟卷注意：（以通信专业考过复变函数的经验，挂科的情况比较多，题目题型都是以大题的形式出现，本类复习模拟卷，主要是让大家熟悉知识点，考试题型并非如此；另本模拟卷可能涉及我们没讲的知识点，大家可以忽略，还有共有14套卷子比较多，大家有选择的去做一下 祝大家考出好成绩）《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=ii z z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

第一章 复数与复变函数一、 选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于〔 〕 〔A 〕i 〔B 〕i - 〔C 〕1 〔D 〕1-2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z 〔 〕 〔A 〕i 31+- 〔B 〕i +-3 〔C 〕i 2321+- 〔D 〕i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是〔 〕 〔A 〕)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i 〔B 〕)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i 〔C 〕)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i 〔D 〕)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．假设z 为非零复数，那么22z z -与z z 2的关系是〔 〕〔A 〕z z z z 222≥- 〔B 〕z z z z 222=-〔C 〕z z z z 222≤- 〔D 〕不能比拟大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，那么动点),(y x 的轨迹是〔 〕〔A 〕圆 〔B 〕椭圆 〔C 〕双曲线 〔D 〕抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，那么原向量对应的复数是〔 〕〔A 〕2 〔B 〕i 31+ 〔C 〕i -3 〔D 〕i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是〔 〕 〔A 〕不存在的 〔B 〕唯一的 〔C 〕纯虚数 〔D 〕实数８．设z 为复数，那么方程i z z +=+2的解是〔 〕〔A 〕i +-43 〔B 〕i +43 〔C 〕i -43 〔D 〕i --43 ９．满足不等式2≤+-iz i z 的所有点z 构成的集合是〔 〕 〔A 〕有界区域 〔B 〕无界区域 〔C 〕有界闭区域 〔D 〕无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是〔 〕〔A 〕中心为i 32-，半径为2的圆周 〔B 〕中心为i 32+-，半径为２的圆周〔C 〕中心为i 32+-，半径为2的圆周 〔D 〕中心为i 32-，半径为２的圆周11．以下方程所表示的曲线中，不是圆周的为〔 〕〔A 〕221=+-z z 〔B 〕433=--+z z 〔C 〕)1(11<=--a az a z 〔D 〕)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，那么=-)(21z z f 〔 〕〔A 〕i 44-- 〔B 〕i 44+ 〔C 〕i 44- 〔D 〕i 44+-13．00)Im()Im(lim 0z z z z x x --→〔 〕 〔A 〕等于i 〔B 〕等于i - 〔C 〕等于0 〔D 〕不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是〔 〕〔A 〕),(y x u 在),(00y x 处连续 〔B 〕),(y x v 在),(00y x 处连续〔C 〕),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续〔D 〕),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，那么函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为〔 〕 〔A 〕3- 〔B 〕2- 〔C 〕1- 〔D 〕1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，那么=z 2．设)2)(32(i i z +--=，那么=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，那么=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部 ７．方程1)1(212=----zi i z 所表示曲线的直角坐标方程为 ８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线 ９．对于映射z i =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz 三、假设复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21z z +是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、假设0)(lim 0≠=→A z f x x ，那么存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z yx +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论以下函数的连续性： 1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xy z f 2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章 解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )〔A 〕解析的 〔B 〕可导的〔C 〕不可导的 〔D 〕既不解析也不可导2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既非充分条件也非必要条件3．以下命题中，正确的选项是( )〔A 〕设y x ,为实数，那么1)cos(≤+iy x〔B 〕假设0z 是函数)(z f 的奇点，那么)(z f 在点0z 不可导〔C 〕假设v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，那么iv u z f +=)(在D 内解析〔D 〕假设)(z f 在区域D 内解析，那么)(z if 在D 内也解析4．以下函数中，为解析函数的是( )〔A 〕xyi y x 222-- 〔B 〕xyi x +2〔C 〕)2()1(222x x y i y x +-+- 〔D 〕33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在0=z 处的导数( )〔A 〕等于0 〔B 〕等于1 〔C 〕等于1- 〔D 〕不存在6．假设函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，那么以下命题中，正确的选项是〔A 〕假设)(z f 在D 内是一常数，那么)(z f 在D 内是一常数〔B 〕假设))(Re(z f 在D 内是一常数，那么)(z f 在D 内是一常数〔C 〕假设)(z f 与)(z f 在D 内解析，那么)(z f 在D 内是一常数〔D 〕假设)(arg z f 在D 内是一常数，那么)(z f 在D 内是一常数9．设22)(iy x z f +=，那么=+')1(i f ( )〔A 〕2 〔B 〕i 2 〔C 〕i +1 〔D 〕i 22+10．i i 的主值为( )〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2πe 〔D 〕2π-e11．z e 在复平面上( )〔A 〕无可导点 〔B 〕有可导点，但不解析〔C 〕有可导点，且在可导点集上解析 〔D 〕处处解析12．设z z f sin )(=，那么以下命题中，不正确的选项是( )〔A 〕)(z f 在复平面上处处解析 〔B 〕)(z f 以π2为周期 〔C 〕2)(iziz e e z f --= 〔D 〕)(z f 是无界的 13．设α为任意实数，那么α1( )〔A 〕无定义 〔B 〕等于1〔C 〕是复数，其实部等于1 〔D 〕是复数，其模等于114．以下数中，为实数的是( )〔A 〕3)1(i - 〔B 〕i cos 〔C 〕i ln 〔D 〕i e23π- 15．设α是复数，那么( )〔A 〕αz 在复平面上处处解析 〔B 〕αz 的模为αz〔C 〕αz 一般是多值函数 〔D 〕αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，那么=-→zz f z 1)(lim 0 2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，那么=+-')2323(i f 5．假设解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，那么方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--z e的全部解为 三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，假设记)2,2()2,2(),(i z z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，那么0=∂∂zw ． 四、试证以下函数在z 平面上解析，并分别求出其导数1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx ++-= 五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw . 六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s 按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，那么有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,〔s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数〕. 九、假设函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，那么=+⎰c dz iy x )(2( ) 〔A 〕i 6561- 〔B 〕i 6561+- 〔C 〕i 6561-- 〔D 〕i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，那么dz z z z c⎰+-2)1)(1(为( ) 〔A 〕2i π 〔B 〕2i π- 〔C 〕0 〔D 〕(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，那么=⎰+=dz z z c c c 212sin ( ) （A ） i π2- 〔B 〕0 〔C 〕i π2 〔D 〕i π44．设c 为正向圆周2=z ，那么=-⎰dz z z c 2)1(cos ( ) 〔A 〕1sin - 〔B 〕1sin 〔C 〕1sin 2i π- 〔D 〕1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，那么=--⎰dz z z z c 23)1(21cos ( ) 〔A 〕)1sin 1cos 3(2-i π 〔B 〕0 〔C 〕1cos 6i π 〔D 〕1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，那么='）i f π(( ) 〔A 〕i π2- 〔B 〕1- 〔C 〕i π2 〔D 〕17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，那么积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()()(2)( ( ) 〔A 〕于i π2 〔B 〕等于i π2- 〔C 〕等于0 〔D 〕不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，那么积分=⎰c z dz ze 〔 〕 〔A 〕21e π- (B) 21e π-- (C)i e 21π+ (D) i e 21π- 9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，那么=-⎰dz z z c1)4sin(2π ( ) 〔A 〕i π22 〔B 〕i π2 〔C 〕0 〔D 〕i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，那么=-⎰c dz i a z z 2)(cos ( ) 〔A 〕ie π2 〔B 〕ei π2 〔C 〕0 〔D 〕i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )〔A 〕等于0 〔B 〕等于1 〔C 〕等于2 〔D 〕不能确定12．以下命题中，不正确的选项是( )〔A 〕积分⎰=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 〔B 〕2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 〔C 〕假设在区域D 内有)()(z g z f ='，那么在D 内)(z g '存在且解析 〔D 〕假设)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，那么)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是( )(A)c iz +2 〔B 〕 ic iz +2 〔C 〕c z +2 〔D 〕ic z +214．以下命题中，正确的选项是( )〔A 〕设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，那么必有21v v =〔B 〕解析函数的实部是虚部的共轭调和函数〔C 〕假设iv u z f +=)(在区域D 内解析，那么xu ∂∂为D 内的调和函数 〔D 〕以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，那么以下函数中为D 内解析函数的是( )〔A 〕),(),(y x iu y x v + 〔B 〕),(),(y x iu y x v -〔C 〕),(),(y x iv y x u - 〔D 〕xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，那么=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，那么=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，那么=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，那么=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，那么=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．假设函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，那么常数=a 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz． 四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证 １．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，假设)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，那么),2,1()(!)()( =≤n rr M n a fnn . 六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =〔刘维尔Liouville 定理〕.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、假设)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，那么n n a ∞→lim ( ) 〔A 〕等于0 〔B 〕等于1 〔C 〕等于i 〔D 〕不存在2．以下级数中，条件收敛的级数为( )〔A 〕∑∞=+1)231(n ni 〔B 〕∑∞=+1!)43(n n n i 〔C 〕 ∑∞=1n n n i 〔D 〕∑∞=++-11)1(n n n i3．以下级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in 〔B 〕∑∞=+-1]2)1([n n n i n(C)∑∞=2ln n n n i 〔D 〕∑∞=-12)1(n nnn i 4．假设幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )〔A 〕绝对收敛 〔B 〕条件收敛 〔C 〕发散 〔D 〕不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，那么321,,R R R 之间的关系是( )〔A 〕321R R R << 〔B 〕321R R R >> 〔C 〕321R R R <= 〔D 〕321R R R ==6．设10<<q ，那么幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )〔A 〕q 〔B 〕q1〔C 〕0 〔D 〕∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 〔B 〕2 〔C 〕2 〔D 〕∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为〔A 〕)1ln(z + 〔B 〕)1ln(z -〔D 〕z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( )〔A 〕∞+ 〔B 〕1 〔C 〕2π〔D 〕π10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) 〔A 〕1<z 〔B 〕10<<z 〔C 〕+∞<<z 1 〔D 〕不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) 〔A 〕)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n〔B 〕)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n〔C 〕)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n 〔D 〕)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )〔A 〕)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n〔B 〕)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn〔C 〕)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n〔D 〕)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π 〔B 〕12ic π 〔C 〕22ic π 〔D 〕)(20z f i 'π14．假设⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，那么双边幂级数∑∞-∞=n n n z c 的收敛域为( ) 〔A 〕3141<<z 〔B 〕43<<z 〔C 〕+∞<<z 41 〔D 〕+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4 二、填空题 1．假设幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n nn z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数∑∞=0n nn zc的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．三、假设函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，那么称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式． 四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

第一章 复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 （C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ； ２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。

（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。

（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。

( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。

（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。

（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。

（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。

（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。

（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。

（ ）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。

（ ） 12、有界整函数必为常数。

（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。

（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。

（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。

（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。

（ ）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。

《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。

（ ）2、有界整函数必在整个复平面为常数。

（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。

( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。

（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。

（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。

（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。

（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。

（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。

（ ） 二、填空题（4x5=20分）1、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-⎰C ndz z z )(1__________。

2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz _________。

3、设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。

4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。

5、=)0,(Res n zz e _____________。

三、计算题（8x5=40分）：1、设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式。

2、求⎰⎰==+--+3||1||1)4)(1(21sin z z z z z dzi zdz e π。

复变函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个函数在全平面上是解析的？A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案：B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案：C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数，其中r和θ是极坐标系下的变量。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案：A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若u和v满足柯西-黎曼方程，则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案：A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若f(z)在实轴上是解析的，则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案：C二、填空题（每空5分，共30分）1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数，则它的共轭函数为________。

答案：f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数，且满足柯西-黎曼方程的实部形式，则函数f(z)可表示为f(z) = ________。