微积分课件完整版
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微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
词目释义
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。
（1）运动中速度与距离的互求问题
求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是
是无意义的。但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题
这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
第 1 页 《微积分》讲义
第一章 极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴ x 为变量；⑵ A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A， f＝A
例：判定 是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴ ＝f± g
⑵ ＝f · g
⑶ ＝ …… g≠0
⑷ k·f＝k· f
四、例：
五、两个重要极限
⑴ ＝1 ＝1
⑵ ＝e ＝e ………
型
理论依据：
⑴ 两边夹法则：若f≤g≤h，且 limf＝limh＝A，
则：limg＝A 第 2 页 ⑵ 单调有界数列必有极限。
例题：
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理： f＝A f＝A＋a （ a＝0）
七、函数的连续性
1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴ x0时，y0。即： y＝0
⑵ f＝f
⑶ 左连续： f＝f 右连续： f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴ 若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵ 若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数 f(j(x)) 在点处连续。 第 3 页 例： ＝
4、函数的间断点：
⑴ 可去间断点： f＝A，但 f 不存在。
⑵ 跳跃间断点： f＝A ， f＝B，但 A≠B。
⑶ 无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：
微积分初步
1 第一讲函数、极限和连续部分
一、教学内容与教学要求
二、学习重难点解析
三、典 型 例 题
一、教学内容与教学要求
（一）教学内容
1．函数
常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。
2．极限
极限的定义，极限的四则运算。
3．连续函数
连续函数的定义和四则运算，间断点。
（二）教学要求
1．了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。
2．了解极限概念，会求简单极限。
3．了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。
二、学习重难点解析
（一）关于函数的概念
1．组成函数的要素:
（1）定义域:自变量的取值范围D；
（2）对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f。
函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量。因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定。所以说，两个函数相等（即f(x)=g(x)）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等。若两者之一不同，就是两个不同的函数。
2．函数定义域的确定
对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定：
（1）函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零；
（2）函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负；
（3）函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零；
（4）如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分；
（5）对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集；
（6）对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。
3．函数的对应关系
函数的对应关系f或f（）表示对自变量x的一个运算，通过f或f（）把x变成了y，例如y=f(x)=2x3-5x+1，微积分初步
2 则f代表算式
f( )=2( )3-5( )+1
周世国：《微积分》讲义第一章
周 世 国 讲 义
第一章 函数的极限
第一节 数列的极限
一．数列的极限
1．定义1：按一定次序排列着的无穷多个数：x1,x2, ,xn, 称为一个数列，记为{xn}或间记为xn.也称xn为数列{xn}的通项.
二．数列的极限
1．引例 观察下列几个数列的取值规律：
111 （1）{xn}：1,,,...,,... 23n
11⎛1⎫ （2）{yn}:,, , ⎪, 24⎝2⎭
（3）:{zn}1,-1,1,-1,...,(-1)
（4）{wn}:1,2,3, ,n,
这几个数列的取值都有明显的规律性.但前两个数列随着n无限地增大，其取值明显地会无限地接近某个常数，我们就称这两个数列具有极限,并分别记为limxn=0，limyn=0.而后两个数列则不然，如数列{zn}的取值随着n无限地n→∞n→∞n-1n,...
增大，始终在1与-1之间来回变动，而不会无限地接近某个常数，这时我们就称数列{zn}无极限.又如数列{wn}的取值随着n无限地增大也无限地增大，此时，我们也称数列{wn}无极限.为了体现出数列{wn}的这种取值随着n无限地增大也无限地增大的特点，形象地记limwn=∞，但我们一定要论清楚，数列{wn}其实n→∞
是无极限的.
问题：请同学们自己观察出下列数列的取值规律：
（1）{xn}:c,c, ,c,
（2）{yn}:-1,-2, ,-n,
（3）{zn}:2,,...22,23, ,2n,
周世国：《微积分》讲义第一章
（4）{Wn}:1111,2,3, ,n, 2222
注意：
（1）.刚才几个常见数列的结果要会背，可作为结论来使用；
（2）如果所给的数列取值无任何规律可循，如何求它的极限？（无任何规律可
循的数列，其自然无极限；另外，我们也根本不会去研究这种无任何规律可循的
无穷数列.）
2．数列极限的定义
（1）.描述性定义：设有数列{xn}，如果当n无限地增大，数列{xn}的值就会无
