用平面法向量求空间距离

应用空间向量解立体几何之
用平面法向量求空间距离
空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离 重难点归纳 .空间中的距离主要指以下七种
(1)两点之间的距离 (2)点到直线的距离 (3)点到平面的距离 (4)两条平行线间的距离 (5)两条异面直线间的距离
(6)平面的平行直线与平面之间的距离 (7)两个平行平面之间的距离
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距
离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点
求点到平面的距离 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (3)向量法
求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)
函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的
本节课重点来学习如何用面法向量来求空间距离 一、复习
1、向量的射影定义
2、平面的法向量的定义
二、新课讲解
（一）平面法向量的求法
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题推导平面法向量的方法如下：
在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y = [或(,1,)n x z =
，或 (1,,)n y z = ]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b。

由n α⊥ ，得0n a ⋅= 且 0n b ⋅= ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n。

有时为了需要，也求法
向量n 上的单位法向量
0n ，则0n =
图1
例1 在棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -中，
求平面1A C D 的法向量n
和单位法向量0n
（二）用平面法向量求空间距离 1、异面直线之间距离
方法指导：①作直线a 、b 的方向向量a 、b ，求a 、b 的法向量n ，即此异面直线a 、b 的公垂线的方向向量；②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量AB ；③求向量AB 在n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为
||
AB n d n ⋅= ，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈
例2、已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1，求异面直线DA 1与AC 的距离
练习：如图ABCD 是正方形，SB ⊥面ABCD ，且SA 与面ABCD 所成的角为45o ，点S 到平面ABCD 的距离为1，求AC 与SD 的距离
A B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
S
2、点到平面的距离
方法指导：若点P 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到平面
α
的距离公式为d =
例3、已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG=2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求点B 到平面GEF 的距离
练习：已知SA ⊥平面ABCD ，∠DAB=∠ABC=90o
，SA=AB=BC=a ，AD=2a ，求A 到平面SAD 的距离
A
C
S
D
A
B
D
A 1
B 1
M N E
F D 1 C 1
3、直线与平面间的距离
学法指导：直线a 与平面α之间的距离：||
AB n d n ⋅=
，其中,A a B α∈∈。

n
是平面α的法向量 例4、已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG=2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求点BD 到平面GEF 的距离
4、平面与平面间的距离
学法指导：两平行平面,αβ之间的距离：||
AB n d n ⋅=
，其中,A B αβ∈∈。

n
是平面α的法向量 例5（备用）在边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点，求平面AMN 与平面EFDB 的距离
小结： 作业：另附。