分式易错点剖析

初中分式运算技巧及易错点解析一、技巧1.分式的化简：(1)将分式的分子和分母约分为最简形式，即分子和分母没有公共因数；(2)将整数、分数和小数互转；(3)利用公式简化表达式。

2.分式的加减法：(1)分子相同的分式相加或相减，只需将分数加或减即可，分母保持不变；(2)分母相同的分式相加或相减，只需将分子加或减即可，分母保持不变；(3)分母不同的分式相加或相减，需先找到它们的最小公倍数，将分式的分母都化为最小公倍数，然后进行加减。

注意：在化简和相加减时，要保持分式的基本性质不变。

3.分式的乘除法：(1)分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；(2)分式相除时，将除法转化为乘法，即将除号后面的分式倒过来，然后进行相乘。

二、易错点1.正确理解负指数：在分式运算中，遇到负指数时，经常容易出现错误。

一般来说，对于有理数a，a的负指数表示a的倒数，并且指数为负数时等于1除以a的指数为相反数的数。

例如，a⁻²=1/a²。

2.注意相乘前的化简：在进行分式的乘法运算时，往往需要对分式进行化简。

如果在相乘前没有对分式进行化简，很容易导致最后的结果错误。

3.加减运算时的通分问题：在分式的加减运算中，遇到分母不同的情况，需将分母化为相同的形式才能进行运算。

这就涉及到通分的问题。

如果没有正确进行通分，就会导致最后的结果错误。

4.除数不为零：在分式的除法运算中，被除数和除数都不能为零。

如果出现零作为除数的情况，就会导致运算结果不存在。

5.乘法和除法的顺序问题：在分式的运算中，乘法和除法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序进行运算。

通过掌握以上的技巧和注意点，可以提高分式运算的准确性，并避免常见的错误。

在学习过程中，可以通过大量的练习来加深对分式运算的理解和掌握。

另外，要注重思考和交流，及时纠正错题，加强对分式运算的认识和应用能力。

分式约分易错点剖析在数学学习过程中，分式是一个非常基础且重要的概念，而分式的约分是其中一个关键的知识点。

然而，许多学生在学习过程中往往容易犯一些约分的错误。

本文将从常见的易错点入手，深入剖析分式约分的相关知识，帮助读者更加准确地掌握这一内容。

一、忽略最大公约数的存在在进行分式约分的过程中，很多学生容易忽略最大公约数的存在，直接对分子和分母进行简单的除法操作，导致无法得到最简形式的结果。

因此，在进行约分时，一定要先找到分子和分母的最大公约数，并将其约掉，以确保结果的准确性。

例如，对于分式$\frac{24}{36}$，很多学生可能直接进行简单的除法运算得到$\frac{24}{36}$= $\frac{2}{3}$。

然而，正确的做法应该是找到24和36的最大公约数为12，然后将分子和分母同时除以12，得到最简形式$\frac{2}{3}$。

二、未进行因式分解有些复杂的分式约分问题需要进行因式分解后才能正确地约分。

如果直接进行简单的除法操作，往往难以得出正确的结果。

例如，对于分式$\frac{20m^2n}{28mn}$，正确的约分过程应该是先因式分解分子和分母，得到$\frac{2*2*5*m*m*n}{2*2*7*m*n}$，再约去相同的因子，得到最简形式$\frac{5m}{7}$。

三、未考虑负号的影响在约分过程中，负号是一个常见的容易被忽略的因素。

很多学生在处理包含负号的分式时，常常出现符号计算错误，导致最终结果出现偏差。

例如，对于分式$\frac{-15}{-20}$，很多学生可能直接除去负号得到$\frac{15}{20}$= $\frac{3}{4}$。

然而，正确的做法应该是先约去最大公约数5，再考虑负号的影响，得到最简形式$\frac{-3}{4}$。

四、未保持等价关系在进行分式约分时，一定要保持等价关系，即约去的公因数必须同时存在于分子和分母中。

否则，就会导致最终结果出现错误。

例如，对于分式$\frac{8a^2b}{12a}$，如果直接约分得到$\frac{4b}{6}$= $\frac{2b}{3}$。

分式计算易错题剖析一、忽视符号变化出错1．计算：1+-+-ab b b a a ． 错解：原式=b a a b a b a b a -=--++2)(． 剖析：在进行分式的加减运算时，一定要注意符号变化，将互为相反数的因式变形时，要把其中一个因式的“—”号提出．正解： ．二、同分母分式加减时，忽视分数线的括号作用2．计算：xyy x xy y x --+22． 错解：原式=xyy x y x --+22=0． 剖析：错解忽略了分数线的括号作用，由于分数线有两层含义，其一是符号作用，表示除法；其二是具有括号作用，分数线相当于“（ ）÷（ ）”的形式．因此，在分子相加减时，应注意把减式中的分子添上括号，以免产生错误．正解： ．三、分式减去一个整式时，变形错误3．计算：112---a a a ． 错解：原式=1121)1(111222--=---=---a a a a a a a a ． 剖析：上述解法错在第一步，1--a 应写成11+-a ，而不是11--a ． 正解： ．四、忽视“通分”与“去分母”的区别 4．计算：4141+--x x ． 错解：原式=)4)(4(41)4)(4(41+-⨯+-+-⨯-x x x x x x =8)4(4=--+x x ． 剖析：这是由于把“分式运算”的恒等变形与“解方程”的同解变形混淆了，在运算的过程中，不知不觉丢掉了分母．其实，分式的通分是等值变形，不同于解方程时去分母的同解变形，两者不能混淆．正解： ．参考答案：1．原式=222)(=--=--+-ba b a b a b a b a ． 2．原式=xy y x y x )(22--+=xxy y 22=． 3．方法一：原式=111)1)(1(11122-=-+--=+--a a a a a a a a ． 方法二：原式=111)1()1(111122-=-----=---a a a a a a a a a ． 4．原式=)4)(4(4)4)(4(4-+---++x x x x x x =)4)(4(8-+x x ．。

第06讲分式易错点梳理易错点梳理易错点01分式值为0时，忽略分母不为0的条件分式的值为0，必须同时满足两个条件，即分子的值为0，分母不等于0，两者缺一不可。

易错点02在分式约分过程中出现乱约分或约分不彻底的错误分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的，分子或分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约为要彻底，使分子、分母没有公因式。

易错点03分式运算时忽视分数线的括号作用在分式的运算中遇到减法，并且减式的分子是一个多项式，当分子相减时必须给分子加上括号，因为分数线有括号的作用。

易错点04解分式方程去分母时出现漏乘现象解分式方程去分母时，方程两边的每一部分都要乘以最简公分母，当单独一个整数作为一项时，容易出现漏乘现象。

易错点05解分式方程忘记检验检验所得的解是否为增根是解分式方程的必要步骤，不可忽略。

例题分析考向01分式有意义的条件和分式值为0的条件例题1：（2021·广西贵港·中考真题）若分式15x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≠－5B ．x ≠0C ．x ≠5D ．x ＞－5【答案】A【思路分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．例题2：（2021·广西桂林·中考真题）若分式23x x -+的值等于0，则x 的值是（）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【答案】A【思路分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．【解析】由题意可得：20x -=且30x +≠，解得2,3x x =≠-．故选A ．【点拨】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．考向02分式的基本性质例题3：（2021·河北安次·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（）A ．3322m m =--B ．55n nm m -=-C ．3377m mn n-=--D ．3344m mn n=--【答案】C【思路分析】根据分式的基本性质进行判断即可．【解析】解：A 、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；B 、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；C 、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；D 、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C ．【点拨】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．例题4：（2021·广东·广州市第十六中学二模）下列计算正确的是（）A ．()22239pq p q -=-B ．22a ab b-=-C 0=D ．933b b b ÷=【答案】C【思路分析】A 、根据积的乘方运算法则判断；B 、根据分式的基本性质判断；C 、根据二次根式的性质判断；D 、根据同底数幂的除法法则判断．【解析】解：A 、222(3)9pq p q -=，故本选项不合题意；B 、当a b ¹时，22a ab b-≠-，故本选项不合题意；C 、由题意可得0a =0=，故本选项符合题意；D 、936b b b ÷=，故本选项不合题意；故选：C ．考向03分式的运算例题5：（2021·山东济南·中考真题）计算22111m m m m ----的结果是（）A ．1m +B ．1m -C ．2m -D ．2m --【答案】B【思路分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．【解析】解：()2221212111111m m m m m m m m m m ---+-===-----；故选B ．【点拨】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．例题6：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．11b aa b ab--=B ．222323y x y x+=C ．()326339a b a b -=-D ．22(2)4x x -=-【答案】A【思路分析】根据分式的计算法则，积的乘方计算法则和完全平方公式对每个选项进行计算即可．【解析】A ：11b a b a a b ab ab ab --=-=，符合题意．B ：22222222929323333y y x y x x y x x x x++=+=≠，不符合题意．C ：()()()()333322636333279a b a b a b a b -=-=-≠-，不符合题意．D ：222(2)444x x x x -=-+≠-，不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查分式的计算法则，积的乘方计算法则和多项式的乘法法则，熟练掌握这些运算法则是解题关键．考向04分式方程的概念例题7：（2021·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m xx+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（）A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2【答案】B【思路分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠.【解析】解：302m xx+-=-方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m =-，∴68m -≠，∴2m ≠-，故选B.【点拨】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.例题8：（2021·广西百色·中考真题）方程1x ＝233x -的解是（）．A ．x ＝﹣2B ．x ＝﹣1C ．x ＝1D ．x ＝3【答案】D【思路分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．【解析】∵1x ＝233x -∴332x x -=∴3x =经检验，当3x =时，x 与33x -均不等于0∴方程1x ＝233x -的解是：x ＝3故选：D ．【点拨】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．考向05分式方程的应用例题9：（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元/件）m10m -售价（元/件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【思路分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；（2）根据题意列不等式组解答；（3）设总利润为w ，表示出w 与x 的函数解析式，再分三种情况：①当6070a <<时，②当70a =时，③当7080a <<时，分别求出利润的最大值即可得到答案．【解析】解：（1）依题意得：3000270010m m =-，整理，得：3000(10)2700m m -=，解得：100m =，经检验，100m =是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫x 件，乙种衬衫(300)x -件，根据题意得：(260100)(18090)(300)34000(260100)(18090)(300)34700x x x x -+--⎧⎨-+--⎩，解得：100110x，x 为整数，110100111-+=，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为w ，则(260100)(18090)(300)(70)27000(100110)w a x x a x x =--+--=-+ ，①当6070a <<时，700a ->，w 随x 的增大而增大，∴当110x =时，w 最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当70a =时，700a -=，27000w =，（2）中所有方案获利都一样；③当7080a <<时，700a -<，w 随x 的增大而减小，综上：当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，（2）中所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【点拨】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．例题10：（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【思路分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．【解析】解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．微练习一、单选题1．（2021·重庆八中二模）函数y ＝3xx-中自变量x 的取值范围是（）A ．x ≠﹣3B ．x ≠3C ．x ≤3D ．x ≤﹣3【答案】B【分析】解：由题意，得3﹣x ≠0，解得x ≠3．故选：B ．2．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）PM 2.5是指大气中直径小于或等0.0000025m 的颗粒物，将数据0.0000025科学记数法表示为（）A ．72510-⨯B ．60.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52.510-⨯【答案】C【分析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：C ．3．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简2()b b a a a -÷-的结果是（）A ．－a －1B ．a －1C ．－a ＋1D ．－ab ＋b【答案】B【分析】原式=(1)(1)1(1)b b b a a a a a a a a b -⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故选B ．4．（2021·四川省成都市七中育才学校一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；方程4102x -=+的根为x=2，故②正确；方程11=的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；5．（2021·重庆八中二模）若数a使关于x的不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程31222y ay y++--＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】解：解不等式组3124(2) 53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩，解得：435xax≥-⎧⎪+⎨<⎪⎩，∵不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，∴﹣1＜35a+≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程31222y ay y++--＝1，得y＝102a+，∵y＝102a+≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的分式方程232x bx-=-的解是非负数，则b的取值范围是（）A．4b≠B．b≤6且b≠4C．b＜6且b≠4D．b＜6【答案】B【分析】解：去分母得，2x－b＝3x－6，∴x＝6－b，∵x≥0，∴6－b≥0，解得，b≤6，又∵x－2≠0，∴x≠2，即6－b≠2，b≠4，则b的取值范围是b≤6且b≠4，故选：B．7．（2021·甘肃庆阳·二模）关于x的分式方程32x a x=-的解为2x=，则常数a的值为（）A．-1B．1C．2D．5【答案】A8．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程522x mx x-+--＝1时产生增根，那么常数m的值为（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【答案】D【分析】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，∵方程有增根，∴x＝2，将x＝2代入x﹣5﹣m ＝x﹣2，得：m＝﹣3，故选D．9．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=+B．18018032x x-=+C．18018032x x-=-D．18018032x x-=-【答案】D【分析】解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：18018032x x-=-，故选：D．10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（）A．1.2 1.216x+=B．1.2 1.213x+=C．1.2 1.2162x+=D．1.2 1.2132x+=【答案】C【分析】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为16，设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为1x，由题意可得，1.2 1.2162x+=，故选：C．11．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（）A．10406x x=-B．10406x x=+【分析】解:设第二次分钱的人数为x 人,则第一次分钱的人数为(6)x -人,依据题意:10406x x=-,故选A ．12．（2021·内蒙古东胜·二模）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x 万份，据题意可列方程（）A ．400500510x x =-+B ．400500510x x =+-C ．400500510x x =+-D ．400500510x x=--【答案】B【分析】解：设更新技术后每天生产x 万份疫苗，则更新技术前每天生产（x -10）万份疫苗，依题意得，400500=510x x+-，故选：B ．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若分式16x x --+有意义，则x 的取值范围是_________．【答案】6x ≠-【分析】解：∵分式16x x --+有意义，∴60x +¹，解得：-6x ≠，故答案为：x ≠-6．14．（2021·北京·101中学三模）242x x --分式的值等于0，则x ＝_______．【答案】-2【分析】解：根据题意，得x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）＝0且x ﹣2≠0．所以x +2＝0．所以x ＝﹣2．故答案是：﹣2．15．（2021·广东实验中学三模）代数式||11x x +-有意义时，x 应满足的条件为______．【答案】x ≠1【分析】解：根据题意得：x −1≠0，解得：x ≠1．故答案为：x ≠116．（2021·福建·模拟预测）化简1(1)(11m m +-+的结果是_____．【答案】m【分析】1(1)(1)1m m +-+11(1)()11m m m m +=+-++(1)1mm m =++m =．故答案为：m ．17．（2021·湖北青山·一模）计算22168x -+的结果是______．【分析】解：221688164x x x x-+-+-()()()244844x x x x +-=---4844x x x +=---44x x -=-1=．18．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校一模）分式方程2152x x =+-的解是______．【答案】9x =【分析】解：2152x x =+-，方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+，去括号，得245x x -=+，移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解，故答案为：9x =．19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x 的方程2222x m m x x +=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】解：①当方程有增根时，方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =，故m 的值是1，②当方程没有增根时，方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221m x m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.20．（2021·广东·江门市第二中学二模）方程511x x x =+-的解是______．【答案】3【分析】解：511x x x =+-，两边同乘(x +1)(x -1)得：x (x -1)=5(x +1)，解整式方程得，x=3经检验，x=3是原分式方程的解．故答案为：x=3三、解答题21．（2021·安徽·三模）解方程：24111x x x -=--．【答案】x ＝3【分析】解：方程的两边同乘x −1，得：()214x x --=，解这个方程，得：x ＝3，检验，把x ＝3代入x −1＝3－1＝2≠0，∴原方程的解是x ＝3．22．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）解分式方程：11222x x x -=---．【答案】无解知购进一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少8元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N 95口罩的单价各是多少元?（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次外科口罩多少只?【答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)至少购进一次性医用外科口罩1000只．【分析】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则N95口罩的单价是(x +8)元，由题意可知：2000100008x x =+，解得：2x =，经检验，2x =是原方程的解，x +8=2+8=10，故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有2y +10(1800-y )≤10000，解得y ≥1000，故至少购进一次性医用外科口罩1000只．24．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）为提升青少年的身体素质，我市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的45．（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？（2）学校计划购买篮球、足球共60个，总费用不多于5200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．【分析】解：（1）设篮球每个x 元，足球每个45x 元，由题意得：800800245x x =-，解得：x =100，经检验：x =100是原方程的解且符合题意，则足球的单价为：45x ＝45×100＝80（元），答：篮球每个100元，足球每个80元；（2）足球m 个，总费用为w 元，则篮球（60-m ）个，由题意得，w =80m +100（60-m ）=-20m +6000，再由题意可得，20600052006015m m -+≤⎧⎨-≥⎩，解得，40≤m ≤45，由w =-20m +6000，∵-20＜0，∴w 随m 的增大而减小，。