1．如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A、C坐标分别为
（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．
（1）求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；
（2）一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿AB向B点运动，在P点运动过程中，连接MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在说明理由．
【分析】（1）利用点A、C的坐标和矩形的性质易得B（﹣4，﹣4），D（1，2），然后根据矩形面积公式计算矩形ABCD的面积；
（2）分类讨论：当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，利用平行线的性质易得∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，则∠MPO=∠AMP+∠PON；当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON；
（3）由于AM=4，AP=t，根据三角形面积公式得到S
=t，再利用三角形AMP
△AMP
的面积等于长方形面积的可计算出t=10，则AP=5，然后根据点的坐标的表示
方法写出P点坐标．
【解答】解：（1）∵点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），
而四边形ABCD为矩形，
∴B（﹣4，﹣4），D（1，2）；
矩形ABCD的面积=（1+4）×（2+4）=30；
（2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，
∵AM∥ON，
∴AM∥PQ∥ON，
∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，
∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，
即∠MPO=∠AMP+∠PON；
当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON；
（3）存在．
∵AM=4，AP=t，
=×4×t=t，
∴S
△AMP
∵三角形AMP的面积等于长方形面积的，
∴t=30×=10，
∴AP=×10=5，
∵AN=2，
∴P点坐标为（﹣4，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式和矩形的性质．
2．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC∥x轴，如果A点坐标是（﹣1，2），C点坐标是（3，﹣2）．
（1）直接写出B点和D点的坐标B（﹣1，﹣2）；D（3，2）．（2）将这个长方形先向右平移1个单位长度长度，再向下平移个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，请你写出平移后四个顶点的坐标；
（3）如果Q点以每秒个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从A出到到C 点停止，沿着A﹣D﹣C的路径运动，那么当Q点的运动时间分别是1秒，4秒时，△BCQ的面积各是多少？请你分别求出来．
【分析】（1）根据A、C两点的坐标以及矩形的性质，可得点A与点B关于x轴对称，点C与点D关于x轴对称，进而可得答案；
（2）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意可知，点A与点B关于x轴对称，点C与点D关于x 轴对称，
所以点B的坐标是（﹣1，﹣2），点D的坐标是（3，2）．
故答案为﹣1，﹣2；3，2；
（2）按要求平移长方形后四个顶点的坐标分别是（0，）、（0，﹣3）、（4，﹣3）、（4，）；
（3）运动时间1秒时，△BCQ的面积=×4×4=8，
运动时间4秒时，△BCQ的面积=×4×（4+4﹣4）=8．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．同时考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积公式．
7.1平面直角坐标系 7.1.1有序数对 教学三维目标 知识与技能： 1.理解有序数对的意义。 2.能用有序数对表示实际生活中物体的位置 过程与方法： 1.学生经历有序数对的学习过程，培养学生的概括能力，发展学生的数感。 2. 体会具体-抽象-具体的数学学习过程 情感态度与价值观： 1.通过在游戏中学习有序数对，培养学生合作交流意识和探索精神. 2.经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述现实世界的重要手段 . 教学重点：有序数对及平面内确定点的方法. 教学难点：利用有序数对表示平面内的点. 教学课型：新授课 教学课时：1课时 教学方法：启发、讨论、交流 教学准备：三角尺粉笔多媒体 教学过程： 一、问题与情境 情景引入：游戏“找朋友” 问题： （1）只给一个数据如“第3列”你能确定好朋友的位置吗？ （2）给两个数据如“第3列第2排”你能确定好朋友的位置吗？为什么？（3）你认为需要几个数据能确定一个位置？
二、合作探究 1.【提出问题】 请在教室找到如下表用数对表示的同学位置： 发现：在教室里排数与列数的先后顺序没有约 定的情况下，不能确定参加数学问题讨论的同学 假设约定“列数在前，排数在后”，你能找到参加数学问题讨论的同学的座位吗？ 思考： （1）（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？ （2）如果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？ 2. 【师生归纳】 思考：在生活中还有用有序数对表示一个位置的例子吗？ 3. 【例题讲解】 例1：如图，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街5巷的十字路口，如果用（2,5）表示甲处的位置，那么（2,5）→（3,5）→（4,5）→（5,5）→（5,4）→（5,3）→（5,2）表示从甲处到乙处的一种路线，请你用有序数对写出几种从甲处到乙处的路线。 3街4街5街6街2巷 1巷 1街2街6巷 5巷 4巷 3巷 变式练习：设计一个容易用有序数对描述的图形，并用自己的语言描述这个图形 有序数对： 我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对。 记作（a ，b ）
第七章 平面直角坐标系测试题（9班专用） 一、填空题 1.已知点A （0,1）、B （2,0）、C （0,0）、D （-1,0）、E （-3,0），则在y 轴上的点有 个。 2.如果点A ()b a ,在x 轴上，且在原点右侧，那么a ，b 3.如果点()1,-a a M 在x 轴下侧，y 轴的右侧，那么a 的取值范围是 4.已知两点A ()m ，3-,B ()4,-n ，若AB ∥y 轴，则n = ， m 的取值范围是 . 5.?ABC 上有一点P （0,2），将?ABC 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移3个单位长度，得到的新三角形上与点P 相对应的点的坐标是 . 6,如图所示，象棋盘上，若“将”位于点 （3，-2），“车”位于点（-1，-2），则“马”位于 . 7,李明的座位在第5排第4列，简记为（5,4），张扬的座位在第3排第2列，简记为（3,2），若周伟的座位在李明的后面相距2排，同时在他的左边相距3列，则周伟的座位可简记为 . 8.将?ABC 绕坐标原点旋转180后，各顶点坐标变化特征是： . 二、选择题 9.下列语句：（1）点（3,2）与点（2,3）是同一点；（2）点（2,1）在第二象限；（3）点（2,0） 在第一象限；（4）点（0,2）在x 轴上，其中正确的是（ ） A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（2）（3）（4）D. 没有 10.如果点M ()y x ,的坐标满足 0=y x ，那么点M 的可能位置是（ ） A.x 轴上的点的全体 B. 除去原点后x 轴上的点的全体 C.y 轴上的点的全体 D. 除去原点后y 轴上的点的全体 11.已知点P 的坐标为()63,-2+a a ，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是（ ） A.（3,3） B.（3，-3） C. （6，-6） D.（3,3）或（6，-6） 12.如果点()3,2+x x 在x 轴上方，y 轴右侧，且该点到x 轴和y 轴的距离相等，则x 的值为（ ） A.1 B.-1 C.3 D.-3 13.将某图形的各顶点的横坐标减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ） A.横向右平移2个单位 B.横向向左平移2个单位 C.纵向向上平移2个单位 D.纵向向下平移2个单位 14.下面是小明家与小刚家的位置描述： 小明家：出校门向东走150m ，再向北走200m ； 马将车8题图
平面直角坐标系动点问题 1、已知点A 的坐标是（3，0）、AB=5，（1）当点B 在X 轴上时、求点B 的坐标、（2）当AB//y 轴时、求点B 的坐标 2、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点 1232008P P P P ，，， ，的位置，则点2008P 的横坐标为？ 3、如图6－7，已知A 、B 两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x 轴上行驶，从原点O 出发． （1）汽车行驶到什么位置时离A 村最近？写出此点的坐标． （2）汽车行驶到什么位置时离B 村最近？写出此点的坐标． （3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？
4．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形 (2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ?＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由． (3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：① DCP BOP CPO ∠+∠∠的值不变，②DCP CPO BOP ∠+∠∠的值不变，其中有且只 有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
(江岸)23．（本题满分12分）如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴 和y 轴建立平面直角坐标系，点A (0，a )，C (b ，0) 20b -=． (1) 则A 点的坐标为___________，C 点的坐标为__________； (2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是(1，2)，设运动时间为t (t ＞0)秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝ S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE OEC ∠+∠∠的值是否会发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． （江汉）28．（本题满分12分）
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案） 在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中 没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形 状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与 交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。 求动点轨迹的常用方法 动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。 1. 直接法 （1）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。 依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN -=,所以 (x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45 。动点M 的轨迹是一条直线。 2. 定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点 的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出 轨迹方程。 例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：082 2=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹 方程。 解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。 若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以 ∣M C ∣-∣M P ∣=±4 动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。 动点的轨迹方程为： 3. 相关点法 若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则 将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。
平面直角坐标系动点问题 （一）找规律 1．如图1，一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） 图1 A ．（4，0） B ．（5，0） C ．（0，5） D ．（5，5） 图2 2、如图2，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是（ ） A 、（13，13） B 、（﹣13，﹣13） C 、（14，14） D 、（﹣14，﹣14） 3.如图3，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中点的坐标分别为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…的规律排列，根据这个规律，第2019个点的横坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示。 图3 （1）填写下列各点的坐标：1A （____，____），3A （____，____），12A （____，____）； （2）写出点n A 4的坐标（n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向．
5.观察下列有序数对：（3，﹣1）（﹣5，）（7，﹣）（﹣9，）…根据你发现的规律，第100个有序数对是 ． 6、观察下列有规律的点的坐标： 依此规律，A 11的坐标为 ，A 12的坐标为 ． 7、以0为原点，正东，正北方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，一个机器人从原点O 点出发，向正东方向走3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2，再向正西方向走9米到达A 3，再向正南方向走12米到达A 4，再向正东方向走15米到达A 5，按此规律走下去，当机器人走到A 6时，A 6的坐标是 ． 8、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2019次，点P 依次落在点 201921,,,P P P 的位置，则点2019P 的横坐标为 . 9、如图，在平面直角坐标系上有个点P （1，0），点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是 ．点P 第2019次跳动至点P 2019的坐标是 ． 图4 图5 10、如图5，已知A l （1，0），A 2（1，1），A 3（﹣1，1），A 4（﹣1，﹣1），A 5（2，﹣1），…．则点A 2019的坐标为 ．
平面直角坐标系 漂市一中钱少锋 二、知识要点梳理 知识点一：有序数对 比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)． 要点诠释： 对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。 知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念 1.平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。 注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。 2.点的坐标
点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。 注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。 ②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|示点到x轴的距离。 知识点三：点坐标的特征 l.四个象限内点坐标的特征： 两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）． 2.数轴上点坐标的特征： x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）； y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)． 注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。
第七章 平面直角坐标系测试题 一、填空题（每小题3分，共30分） 1.在平面直角坐标系内，点P （-1，-2）在第 象限，点P 与横轴相距 个单位长度，与纵轴相距 个单位长度。 2.已知点P 在第二象限，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标是 。 3.以点A(0，-1)、B(2，-1)、C(3，4)为顶点的三角形的面积是 . 4.若点A （y x --1,9）在第一象限内，则x ，y . 5.已知点P （-3,4）和Q （-3,6），则经过P 、Q 两点的直线与x 轴 ，与y 轴 . 6.如果点P ()2,3-+m m 在轴上，那么m = ，点P 的坐标为 . 7.如图，如果用（0,0)表示A 的位置，用（2,1）表示B 的位置，则五角星五个顶点的坐标分别为 、 、 、 、 . 8.若点A ()b a ,在第三象限，则点C ()53,1--+b a 在第 象限. 9.若点M 、N 的坐标分别为（-2,3）和（-2，-3），则直线MN 与y 轴的位置关系是 . 10.如图，每个小正方体的边长为1个单位长度，对于A 、B 的位置，下列说法正确的有 。① 如果A （0,0），那么B （-2,2）；②如果A （0,0），那么B （-2，-2）；③ B 在A 的北偏东45o方向，且相距大约2个单位长度；④ 将点B 先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点A 重合。 二、选择题（每小题3分，共30分） 11.如图，点A 的坐标为（ ） A.（3,4） B.（4,0） C.（4,3） D.（0,3） 12.点M （2，-3）到x 轴的距离是（ ） A.2 B.-3 C.3 D.以上都不对 13.若点()y x ,关于y 轴的对称点在第二象限，则x 和y 的符号是（ ） A. 0πx B. 0φx C. 0πx D. 0φx 0φy 0φy 0πy 0πy 14如图将三角形向上平移3个单位长度，平移后三个顶点坐标是（ ） 7题图 14题图
平面直角坐标系提升练习 热身题：如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动． （1）a= ，b= ，点B的坐标为； （2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时， 求点P移动的时间． 题型一:已知面积求点的坐标 1．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） … （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．（2）求△ABC的面积； （3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等， 求点P的坐标． 2、已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）． （1）求△ABC的面积是多少 （2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S △ACP =2S △ABC ，求点P的坐标 / （3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S △BCQ =2S △ABC ，求点Q的坐标
3、如图，在平面直角坐标系2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S △APD =S ABOC ，若存在，请 求出t值，若不存在，请说明理由． 】 3、点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少 （3）当S=12时，求点P的坐标； （4）△OPA的面积能大于24吗为什么 { 4、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。
平面直角坐标系教案（1） 【教学目标】 1、认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系； 2、在给定的直角坐标系中，能由点的位置写出点的坐标（坐标都为整数）； 3、渗透数形结合的思想； 4、通过介绍数学家的故事，渗透理想和情感的教育． 【重点难点】 重点：认识平面直角坐标系。 难点：根据点的位置写出点的坐标。 【教学准备】 教师：收集有关法国数学家笛卡儿的有关资料（也可以将有关的直角坐标系制作成课件）。【教学过程】 一、情境导入 1、在一条笔直的街道边，竖着一排等距离的路灯，小华、小红、小明的位置如图1所示，你能根据图示确切地描述他们三个人的位置关系吗？ 在学生进行叙述后，教师可以抓住以什么为“基准”，并借助于数轴来处理这个问题，从而进入课题． 设计意图：学生可以以其中的一人为基准进行描述，其目的是为数轴上的点的坐标的确定做准备。 2、如果我们画一条数轴，取小红的位置为原点，取向右的方向为正方向，取两盏路灯间的距离为一个单位长度，那么小华的位置（A）就可以用－3来表示，小明的位置（B）就可以用6来表示（如图2).此时，我们说点A在数轴上的坐标是－3，点B在数轴上的坐标是6．这样数轴上的点的位置与坐标之间就建立了对应关系．
设计意图：将数轴上点的坐标的概念学习置于具体的问题情境中。 问题：(1)在上述情境中，如果小兵位于小明左侧的第二盏路灯处，你能说出小兵在数轴上对应的点的坐标吗？ (2)如果小兵站在一个长方形的操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？ (3)如果小兵站在一个大操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？ 设计意图：三个问题的安排有一定的层次性，为下一步引出平面直角坐标系作铺垫。 二、探究新知 1、平面直角坐标系的引入 对于上述第(2)个问题，我们可以用图3来表 示：这时，小兵(P)的位置就可以用两个数来表 示．如点P离AB边1 cm，离AD边1. 5 cm，如 果1 cm代表20 m，那么小兵离AB边20 m，离AD 边30 m. 对于上述第(3)个问题，我们是否也可以借助 于这样的一些线来确定小兵的位置呢？我们在小兵所在的平面内画上一些方格线（如图4)，利用上节课所学的知识，就可以解决这个问题了． （然后由学生回答这个问题的解决过程） 受上述方法的启发，为了确定平面内点的位置，我们可以画一些纵横交错的直线，便于标记每一条直线的顺序，我们又可以以其中的两条为基准（如图5).
7.1．1有序数对 【教学目标】 1、理解有序数对的意义。 2、能用有序数对表示实际生活中物体的位置 3、经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述世界的重要手段，体验数形结合思想 【教学重点】利用有序数对准确地表示出一个点的位置 【教学难点】有序数对中有序的理解 教学过程 一、导入新知 问题：如果老师要提问同学（下面为某教室平面图） 1、只给一个数据“第3列”，你能确定回答问题的同学的位置吗？ 2、给两个数据“第3列第2排”，你能确定该同学的位置吗？ 3、你认为在平面中需要几个数据才能确定一个位置？ 二、探究新知 通过找“列数”和“排数”的交叉点，我们就能找个具体的位置。 问题1、（约定“列数”在前，“排数”在后） （1） 请在教室内找到下表用数对表述的位置。 （2）观察上面四组数对以及他们所对应的位置，思考：1，3和3，1表示的是不是同一位置？ 归纳：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，如果约定了前面的数表示“列数”，后面的数
表示“排数”，那么a与b组成的数对就表示一个确定的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。像表格中的数对可以记作（1，3）、（5，2）（3，6）。 问题2：利用有序数对可以准确表示一个位置，你能举出生活中用有序数对表示地理位置的例子吗？ 三、应用新知 游戏情境：下面我们通过游戏来加强同学们对有序数对的了解。约定“列数”在前，“排数”在后，请找出与以下有序数对相对用的同学（1，5)），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（7，3），看看叫什么名字？ 练习1、根据左下图例子（3，2），口答其他圆点的有序数对？ 练习2、如右下图，红马的位置是（2，1），你能表示出红帅、红车、红炮的位置吗？ 练习3、如果将一张“12排10号”的电影票记为（12，10），那么（10，12）的电影票表示的位置是，“6排25号”简单记为 练习4、下列数据不能确定物体位置的是（） A、希望路25号 B、北偏东30° C、东经118°，北纬40° D、西南方向50米处 四、总结提升：本节课主要学习了有序数对 1、什么叫做有序数对？ 2、注意的问题：（1）表示平面内的点的位置可以用有序数对；（2）有序数对用符号表示时，中间用逗号隔开，外边必须加小括号。 五、精留作业 课本65页第1题 课本68页第1题
平面直角坐标系 一、本章的主要知识点 （一）有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对。 1、记作（a ，b ）； 2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形 ； 2、构成坐标系的各种名称； 3、各种特殊点的坐标特点。 （三）坐标方法的简单应用 1、用坐标表示地理位置； 2、用坐标表示平移。 二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： 平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 三、各象限的角平分线上的点的坐标特点： 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同； 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。 四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 关于x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 五、特殊位置点的特殊坐标： 六、用坐标表示平移：见下图 一、判断题 （1）坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ） （2）横坐标为0的点在 轴上（ ） （3）纵坐标小于0的点一定在轴下方（ ） （4）到 轴、 轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ） 坐标轴上 点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X 轴 Y 轴 原点 平行X 轴 平行Y 轴 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、 三象限 第二、四象限 (x,0) (0,y) (0,0) 纵坐标相同横坐标不同 横坐标相同纵坐标不同 x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0 (m,m) (m,-m) P （x ，y ） P （x ，y －a ） P （x －a ，y ） P （x ＋a ，y ） P （x ，y ＋a ） 向上平移a 个单位 向下平移a 个单位 向右平移a 个单位 向左平移a 个单位
点的存在性问题（运动性）1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-5,0），B（5.0），D（2，7），（1）求C点的坐标； （2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C 点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）。设从出发起运动了x秒。 ①请用含x的代数式分别表示P,Q两点的坐标； ②当x=2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标，若不存在，说明理由？ 2、（1）在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB平移至线段CD，连接AC、BD。 ①直接写出图中相等的线段、平行的线段； ②已知A（-3,0）、B（-2，-2），点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且=5，求点C、D的坐标； （2）在平面直角坐标系中，如图，已知一定点M（1,0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，-2b+3），请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM。若存在，求以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由。 3、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴的正方向运动。 （1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标。 （2）如图，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角平分线相交于点P，问：点A、B 在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若
发生变化，请说明理由。 （3）如图，延长BA 至E ，在∠ABO 的内部作射线BF 交x 轴于点C ，若∠EAC 、∠FCA 、∠ABC 的平分线相交于点G ，过点G 作BE 的垂线，垂足为H ，试问∠AGH 和∠BGC 的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由。 9、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，18ABC S =V ， （1）求点C 的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得12 APC ABC S S =V V 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。 10、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A 、B 分 别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。 （1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积； （2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使12 APB ABDC S S =V 四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。 11、如图，已知长方形ABCO 中，边AB=8，BC=4。以O 为原点，OAOC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系。 （1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标； （2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向CO 方向移动（不超过点O ）,点Q 从原点O 出发，以1单位/秒的速度向OA 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.
（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）
平面直角坐标系 二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： 平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 三、各象限的角平分线上的点的坐标特点： 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同； 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。 四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 五、特殊位置点的特殊坐标： 七、用坐标表示平移：见下图 例1、平面点的坐标是（） A 一个点 B 一个图形 C 一个数对 D 一个有序数对 学生自测 1．在平面要确定一个点的位置，一般需要________个数据； 在空间要确定一个点的位置，一般需要________个数据． 2、在平面直角坐标系，下列说法错误的是（） A 原点O不在任何象限 B 原点O的坐标是0 C 原点O既在X轴上也在Y轴上 D 原点O在坐标平面 知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标 点在x轴上，坐标为（x,0）在x轴的负半轴上时，x<0, 在x轴的正半轴上时，x>0 点在y轴上，坐标为（0,y）在y轴的负半轴上时，y<0, 在y轴的正半轴上时，y>0 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上)；坐标点（x，y）xy>0 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x直线上)；坐标点（x，y）xy<0 平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
例1 点P 在x 轴上对应的实数是-3，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上 ，对应的实数是3 1，则点Q 的坐标是 ， 例2 点P （a-1，2a-9）在x 轴上，则P 点坐标是 。 学生自测 1、点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 . 2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。 3、 已知:A(1,2),B(x,y),AB ∥x 轴,且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是 . 4．平行于x 轴的直线上的点的纵坐标一定（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．相等 D ．互为相反数 (3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= . (3)已知点P （3-x ，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= . 5．过点A （2，-3）且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ，则点B 坐标为（ ）． A ．（0，2） B ．（2，0） C ．（0，-3） D ．（-3，0） 6．如果直线AB 平行于y 轴，则点A ，B 的坐标之间的关系是（ ）． A ．横坐标相等 B ．纵坐标相等 C ．横坐标的绝对值相等 D ．纵坐标的绝对值相等 知识点三：点符号特征。 点在第一象限时，横、纵坐标都为 ，点在第二象限时，横坐标为 ，纵坐标为 ，点有第三象限时，横、纵坐标都为 ，点在第四象限时，横坐标为 ，纵坐标为 ；y 轴上的点的横坐标为 ，x 轴上的点的纵坐标为 。 例1 .如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 例2、如果x y ＜0，那么点P （x ，y ）在（ ） (A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限学生自测 1.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第 象限． 2、点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 。 3．点 A 在第二象限 ，它到 x 轴 、y 轴的距离分别是3、2，则A 坐标是 ； 4. 若点Ｐ（x ，y ）的坐标满足xy ﹥０，则点Ｐ在第 象限； 若点Ｐ（x ，y ）的坐标满足xy ﹤０，且在x 轴上方，则点Ｐ在第 象限． 若点P （a ，b ）在第三象限，则点P ＇（－a ，－b ＋1）在第 象限； 5．点(x ，1-x )不可能在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6．（本小题12分）设点P 的坐标（x ，y ），根据下列条件判定点P 在坐标平面的位置： （1）0xy =；（2）0xy >；（3）0x y +=．
平面直角坐标系 一、选择题:(每小题3分,共12分) 1.如图1所示,点A 的坐标是 ( ) A.(3,2); B.(3,3); C.(3,-3); D.(-3,-3) 2.如图1所示,横坐标和纵坐标都是负数的点是 ( ) 点 点 点 点 3.如图1所示,坐标是(-2,2)的点是 ( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 4.若点M 的坐标是(a,b),且a>0,b<0,则点M 在( ) A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 二、填空题:(每小题3分,共15分) 1.如图2所示,点A 的坐标为_______,点A 关于x 轴的对称点B 的坐标为______, 点B 关于y 轴的对称点C 的坐标为________. 2.在坐标平面内,已知点A(4,-6),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为_____,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_______. 3.在坐标平面内,已知点A(a,b),那么点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为______,点A 关于y 轴的对称点A″的坐标为_____. 4.点A(-3,2)在第_______象限,点D(-3,-2)在第 _______象限,点C( 3, 2) 在第______象限,点D(-3,-2)在第_______象限,点E(0,2)在______轴上, 点F( 2, 0) 在______轴上. 5.已知点M(a,b),当a>0,b>0时,M 在第_______象限;当a____,b______时,M 在第二象限;当a_____,b_______时,M 在第四象限;当a<0,b<0时,M 在第______象限. 三、基础训练:(共12分) 如果点A 的坐标为(a 2+1,-1-b 2),那么点A 在第几象限?为什么? 四、提高训练:(共15分) 如果点A(t-3s,2t+2s),B(14-2t+s,3t+2s-2)关于x 轴对称,求s,t 的值. 五、探索发现:(共15分) 如图所示,C,D 两点的横坐标分别为2,3,线段CD=1;B,D 两点的横坐标分别为-2,3,线段BD=5;A,B 两点的横坐标分别为-3,-2,线段AB=1. (1)如果x 轴上有两点M(x 1,0),N(x 2,0)(x 1 圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． A B C P E M 第25题图1 D A B C M 第25题图2 N 25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长． A B E F C D O A B E F C D O 25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1 的半径； （3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．圆的动点问题--经典习题及答案
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