中国科学院大气物理研究所

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中国科学院大气物理研究所 2006年博士生入学试题
《概率与数理统计》(满分100)
1. (15分)设A ,B 是两个随机事件,A 和B 分别表示事件A 和B 不发生.当
,)|( ,)( ,)(c A B P b B P a A P ===且1 ,1<<b a ,求)B P(A|B A P ),(⋃.
2. (10分)已知随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤<≤=其它 ,0,21 ,210 ,)(x -x ,x x x f
求|1|-=X Y 的概率密度函数。

3. (25分)设),(ηξ的联合分布密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<+=.
0,1,|| 1|| ,441),(其它y x xy y x f (1)ξ与η是否相互独立?为什么?
(2)2ξ和2η相互独立吗?为什么?
4. (25分)已知随机变量X 和Y 分别服从)3,1(2N 和)4,0(2N ,X 与Y 的相关系数21-=XY ρ,令Y X Z 2
131-= (1)求:Z 的数学期望和方差;
(2)求:X 与Z 的相关系数;
(3)问X 与Z 是否相互独立?为什么?
5. (25分)设),,,(21n X X X 是取自总体X 的一个样本,已知X ln 服从正态分布)1,(2μN ,求未知参数μ的矩估计和极大似然估计。