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线性系统特征根与零输入响应分析

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1
一、 证明：1）若A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在
时趋近于零，给出例子；
2）若A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，给出
正反两个例子；
3）若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯
虚根的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零，给出正反两
个例子；（）
4）讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的关系，针对所举的
例子作说明。

系统的状态空间描述为：
1-1
当系统的的输入为零时，则状态空间描述可写为：

1-2
那么该系统的输出为(t>0）：
1-3
而
1-4
将式1-4代入1-3中有：
1-5
设其拉氏变换为：

1-6
其中N(s)的阶次大于D(s)的阶次。那么式1-6可化为：
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2
1-7
1) 由于A矩阵的特征根均有负实部，即均在复平面的左边，
那么对上式进行拉式反变换有：
1-8
∵均在复平面的左边
∴当时，，则有当时，
例1：设有一状态空间模型为：

的系统。其特征根分别为=-3，=-5，=-6
取初始状态为X(0)=,其零输入响应如图表 1所示：

图表 2
可以看到在时有，其零输入响应趋近于0。
2) 若A矩阵有正实部特征根时，由式1-7，我们可以取有正实部（为
中的某一个数），那么的拉式反变换为
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3
。
∵有正实部 ∴在时发散。即该系统的零输入响应在非零
状态下且时趋近于

若式1-6可化为

则：
2-1
可以看到极点与零点抵消了，由式2-1与式1-6类似
∴当，依然有。
例2：设有一状态空间模型为：

的系统。其特征根分别为=-2，=3，=-4
取初始状态为X(0)=,其零输入响应如图表 2所示：

图表 2
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4
可以看到在时有，其零输入响应趋近于∞。
例3：设有一状态空间模型为：

的系统。其特征根分别为=-2，=3，=-4
取初始状态为X(0)=,其零输入响应如图表 3所示：

图表 3
可以看到在时有，其零输入响应趋近于0。例2，例3系统的特征根相同，但是他们同
状态下的响应却不同，前者在时其零输入响应趋近于∞，而后者在时其零输入响
应趋近于0。
由于例3系统的传递函数为，显然s-3项上下抵消，所以该系统等效
的传递函数为，此时特征根3并不影响系统的输出。
3)
若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，且纯虚根的重
数大于1。我们以纯虚根的重数等于2为例，为正实数，那么式1-6可写
为：

3-1
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5
我们抽出重根项：则，
3-2
其中a，b，均为常数，a、。当时，at，所以有可能趋近于（在
处震荡）。

而当式3-1能化为:
3-3
可以看出重根项可以被消除，则式3-3可写为：
3-4
由1）可得：当时，，则有当时，
例4：设有一状态空间模型为：

的系统。其特征
根分别为=-2，=-3，=，，，
取初始状态为X(0)=,其零输入响应如图表 4所示：
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图表 4
可以看到在时有，其零输入响应趋近于∞（在处震荡）。
例5：设有一状态空间模型为：

的系统。其特征根分别为
=-2，=-3，=，，，
取初始状态为X(0)=,其零输入响应如图表 5所示：
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7
图表 5
可以看到在时有，其零输入响应趋近于0。例4，例5系统的特征根相同，但是他们同
状态下的响应却不同，前者在时其零输入响应趋近于∞，而后者在时其零输
入响应趋近于0。
由于例5系统的传递函数为，显然s-3项上下抵消，所以该系统等效
的传递函数为，此时重虚根并不影响系统的输出。
4) ○当
A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在时趋近
于零，系统稳定；如例1所示。
○2当
A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，此时系统
部分状态不稳定。由于系统结构，可能存在系统的输出与这部分不稳定的状
态无关，即存在零极点对消的情况，把正实部特征根抵消了。那么系统输出
稳定。如例2、例3所示.
○当
A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根
的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零。1.当它的重数为1时，
其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态临界稳定，系统
输出临界稳定。2.当存在零极点对消，把纯虚根抵消了，此时系统的输出与
该特征根无关，系统状态临界稳定，系统输出稳定。3. 当它的重数为2时，
8

其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态不稳定，输出也
不稳定。4. 当存在零极点对消，把纯虚根抵消了1重，此时系统状态临界
稳定，系统输出临界稳定。5. 当存在零极点对消，把纯虚根完全抵消了，
此时系统的输出与该特征根无关，系统状态不稳定，但是系统输出稳定。如
例4、例5所示.

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信号与线性系统分析第三章

信号与线性系统分析第三章


系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
线性系统的稳定性分析

线性系统的稳定性分析

第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。

否则，系统不稳定。

一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。

因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。

对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。

应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。

然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。

李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。

虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。

技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。

在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。

3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。

注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。

系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。

a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。

信号与线性系统第3章

信号与线性系统第3章


由于激励加入系统前，系统未储能，所以有y(j)(0-)=0。
但是由于在t=0时刻激励的加入，可能使得yf(j)(0+)不为 零。 因此需要根据激励来确定yf(j)(0+)，从而确定零状态响应中 齐次解系数的值。
用δ(t)函数匹配法求0+初始值
若激励f(t)在t=0时刻接入系统，则确定待定系数Ci时用 t=0+ 时刻的值，y(j)(0+)(j=0,1,2,……n-1).
激励为0，因此令方程右端为0：
y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +L+ a1y′(t) + a0 y(t) = 0
可知，零输入响应与经典解法中的齐次解形式相 同。 由于对yx(t)而言，t ≥0时，f(t)=0
所以： { yx(k)(0+) }= { yx(k)(0-) } 因此：零输入响应的系数Ci（i=1,2,…,n)可以由系统的起
y(t) = yx (t) + yf (t)
其中： yx (t) = T[x1(0− ), x2 (0− ),L xn (0− ),0] = T[{x(0− )},0] yf (t) = T[0, f1(t), f2 (t),L, fn (t)] = T[0,{ f (t)}]
求解零输入响应yx(t)
¾ 在每次平衡低阶冲激函数项时，若方程左端所有同阶次δ(t) 函数项不能和右端平衡，则应返回到y(t)的最高阶次项进行补 偿，但已平衡好的高阶次δ(t)函数项系数不变。
系统全响应 y(t) = yx (t) + yf (t)
yf’(0+) = 2+ yf’(0-) = 2 代入初始值求得： yf(t) = -7e-t+4e-2t+3, t>0
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应

系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应

s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
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[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0