2020-2021学年数学人教A版必修4学案：1.2.1第1课时三角函数的定义
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1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数第1课时 三角函数的定义[目标] 1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义． 2.能判断任意角的三角函数值的符号． 3.掌握公式一及其应用．[重点] 任意角的三角函数的定义及诱导公式一的应用．[难点] 任意角的三角函数的定义．知识点一 三角函数的定义[填一填](1)单位圆：圆心是原点，半径长为单位长度．(2)定义：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．(3)一般地，设角α终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x .[答一答]1．三角函数值的大小与点P 在终边上的位置是否有关？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝－22，cos α＝22，tan α＝－1.知识点二 三角函数的定义域[填一填][答一答]3．求函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域．提示：要使函数有意义，则有x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数y ＝sin x＋tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．知识点三 三角函数值的符号法则[填一填]结合任意角的三角函数的定义，请将三种三角函数的值在各象限的符号填入下图的横线上：[答一答]4．三角函数值的符号变化有什么规律？提示：三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即在第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正．知识点四诱导公式一[填一填][答一答]5．诱导公式一有什么规律？提示：终边相同的角的同一三角函数值相同．类型一利用三角函数的定义求三角函数值[例1](1)利用定义求23π的正弦，余弦和正切值．(2)已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．[分析](1)先求出已知角的终边与单位圆的交点坐标，再根据单位圆中三角函数的定义求解．(2)已知点的坐标，先求出r的值，再分别求出a>0和a<0时对应的三角函数值．[解](1)如图所示，2π3的终边与单位圆的交点为P，过P作PB⊥x轴于点B，在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝32，|OB|＝12，则P⎝⎛⎭⎪⎫－12，32.所以sin2π3＝32，cos2π3＝－12，tan2π3＝32－12＝－ 3.(2)因为角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)， 所以r ＝5|a |，x ＝a ，y ＝2a .当a >0时，sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55，tan α＝y x ＝2a a ＝2；当a <0时，sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a＝－55，tan α＝y x ＝2a a ＝2.利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值；(2)若已知角α终边上一点P (x ，y )(x ≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ；(3)若已知角α终边上一点P (x ，y )(x ≠0)不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，应先求r ＝x 2＋y 2，然后根据三角函数定义求角α的三角函数值，即sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ；(4)若角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．[变式训练1] (1)如果角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.(2)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，则sin θ＋tan θ的值为310＋3010或310－3010. 解析：(1)由题意知r ＝|OP |＝⎝⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， 所以sin α＝y r ＝121＝12，cos α＝x r ＝－321＝－32，tan α＝y x ＝12－32＝－33. (2)因为r ＝x 2＋9，cos θ＝x r ，所以1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10.又y ＝3>0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；则sin θ＋tan θ＝310＋3010. 当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.则sin θ＋tan θ＝310－3010. 类型二 三角函数值的符号确定[例2] 判断下列各式的符号：(1)tan125°·sin273°；(2)sin 54π·cos 45π·tan 116π；(3)sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π. [解] (1)因为125°角是第二象限角，所以tan125°<0；因为273°是第四象限角，所以sin273°<0，所以tan125°·sin273°>0，式子符号为正．(2)因为5π4是第三象限角，4π5是第二象限角，11π6是第四象限角，所以sin 5π4<0，cos 4π5<0，tan 11π6<0，从而sin 5π4·cos 4π5·tan 11π6<0，式子符号为负．(3)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0，∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan(－23π4)>0，∴sin3·cos4·tan(－234π)<0，式子符号为负．(1)准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．(2)记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．[变式训练2] 设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2 ＝－sin θ2，则角θ2为第四象限角．解析：因为θ是第三象限角，所以π＋2k π<θ<32π＋2k π，k ∈Z ，所以π2＋k π<θ2<34π＋k π，k ∈Z ，所以角θ2为第二、四象限角，又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2<0，所以θ2为第四象限角． 类型三 公式一的应用[例3] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin810°＋cos360°－tan1 125°.[解] (1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1.(2)sin810°＋cos360°－tan1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z ；(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值；(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值. [变式训练3] 计算：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 12π5·tan4π. (2)tan405°－sin450°＋cos750°.解：(1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2π＋cos 12π5·tan0＝sin π6＋0＝12＋0＝12. (2)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32.1．cos450°等于( C )A ．1B.12 C ．0 D.32 解析：cos450°＝cos90°＝0.故选C.2．已知角α的终边经过点P (－3，－4)，则sin α的值为( A )A ．－45B.35C.45 D ．－35解析：由三角函数的定义知sin α＝－4(－3)2＋(－4)2＝－45.故选A. 3．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为－π2<α<0，所以cos α>0，且sin α<0，所以点Q (cos α，sin α)在第四象限，选D. 4．sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4的值为0. 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值． 解：在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)，则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |.①若x >0，则r ＝5x ，从而sin α＝2x 5x＝255， cos α＝x 5x ＝55，∴cos α＋sin α＝355. ②若x <0，则r ＝－5x ，从而sin α＝2x －5x＝－255， cos α＝x －5x＝－55， ∴cos α＋sin α＝－355.——本课须掌握的两大问题1．三角函数的定义(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．2．公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α.(3)公式一的作用：利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．学习至此，请完成课时作业3学科素养培优精品微课堂对三角函数的定义理解不准确致误开讲啦已知某角的终边上的一点，求三角函数值时，如果此点的坐标含有字母参数，常忽略对字母的分类讨论，导致解题结果出错，一定要注意对字母进行分类讨论．[典例]已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sinα，cosα，tanα的值．[错解] 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.[错因分析] 条件中点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0.[正解] 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.[针对训练] 已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，则sin α＝1010或－1010.解析：由题意可得：|OP |＝(－3m )2＋m 2＝10|m |.当m >0时，|OP |＝10|m |＝10m ，则sin α＝m 10m＝1010. 当m <0时，|OP |＝10|m |＝－10m ，则sin α＝m －10m＝－1010.。
