人教版数学必修四：3.1.2两角和与差的正弦(二)学案(教师版)

第三章 三角恒等变换第3节 两角和与差的正弦（2）主备人：张鹏翔 做题人：张娜 审核人：刘主任一．学习目标:1．进一步熟悉两角和与差的正弦公式，并能运用角的变化技巧进行三角函数的化简，求值和恒等式的证明;2．能把ααcos sin b a +化简为一个角的一个三角函数形式.二．学习重、难点：1．辅助角公式的推导、应用.三．课堂活动：活动一：(运用两角和与差的正弦公式及角的变化技巧进行三角函数的化简，求值，证明) 1.tan()2tan ,3sin sin(2).αββααβ+==+例已知求证：例2.求.20cos 20sin 50cos 2的值+思考感悟： 活动二：(能把ααcos sin b a +化简为一个角的一个三角函数形式)思考1.化简：=-x x sin 30cos cos 30sin =-x x sin 23cos 21 思考2：该怎么化简？x x sin 3cos -又该怎么化简呢？x x sin cos -思考3：sin cos a x b x +该怎么化简？sin cos ______________________.a x b x +=结论：例3.化简求值：（1）;12cos 312sin ππ-（2）.50sin 10cos )310(tan-例4.已知函数,cos sin )(x b x a x f +=（1）当的值；时，求的最大值为且b a x f f ,10)(,2)4(=π（2）.)(13的取值范围时，求的最小值为，且）（当k k x f f =π思考感悟：四．小结反思： 巩固练习： 1.=-=+=<<<<ββααπβπαsin 54)cos(53sin ,20，则，已知 . 2. αββααβαsin sin )2cos(sin )2sin(=+-+求证：3.的最小值为2cos sin +-=x x y ，取最小值时x 的取值集合为 .4.=<<--=++ααπαπαcos ,02534sin )3sin(则，已知。

§3.1.2两角和与差的正弦
（一） 教学目标
1 . 知识目标：掌握公式的推倒过程，会用公式求值
2．能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套
用公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）
3．情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维的能力，构建良好的数学思维品质。

（二）教学重点、难点
重点：两角和与差的正弦公式的应用和旋转变换公式
难点：利用两角和的正弦公式变ααcos sin b a +为一个角的三角函数的形式 （三）教学方法
观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法 弦函数和余弦函βα±的正弦函数与单角
求它们合成后的电流的瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。

3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质．[知识链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S α－β吗？答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β) ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β－cos αsin β.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定.要点一 利用和(差)角公式化简例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)． 解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°. 解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 要点二 利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值． 解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.① ∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.② 由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ；(2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 规律方法 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式．跟踪演练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x )∈[－2,2]．4．试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α； (3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α. 解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α) ＝2(sin αcos π4－cos αsin π4) ＝2sin(α－π4)． (2)3sin α＋cos α＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6) ＝2sin(α＋π6)． (3)方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝22. 方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α) ＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ))．其中cos φ＝35，sin φ＝45(或sin θ＝35，cos θ＝45)．1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)错误!sin(α＋β)错误!sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．。

3．1.2 两角和与差的正弦(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)能够利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式． (2)能够利用两角和与差的正弦公式进行化简、求值、证明．(3)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识． 2．过程与方法通过诱导公式导出两角和与差的正弦公式，认识整个公式体系的推理和形成过程，领会其中体现出来的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高基本的数学素养．3．情感、态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆向思维的能力，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：两角和与差的正弦公式的推导及利用公式化简求值． 难点：灵活运用公式进行化简求值．(教师用书独具)●教学建议1．关于由C (α±β)推导S (α±β)的教学 建议教师先引导学生回忆正弦、余弦函数之间相互转化的方法即诱导公式，再让学生思考具体的操作方法，特别注意用哪个公式、公式的结构特征如何，比如：sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]，sin(α－β)＝cos[π2－(α－β)]＝cos[(π2－α)＋β]＝cos[(π2＋β)－α]，sin(α＋β)＝－cos[π2＋(α＋β)]＝－cos[(π2＋α)＋β]等，方法很多，可借此培养学生的发散思维能力．2．关于f (x )＝a sin x ＋b cos x 的教学建议教师一方面讲清变形原理——逆用两角和与差的正弦、余弦公式，说明提取a 2＋b 2的原因，另一方面讲清如何恰当选择公式以便于研究函数的性质．●教学流程 创设问题情境，提出问题：如何利用诱导公式及两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？⇒引导学生推导出两角和与差的正弦公式，并探究公式成立的条件及公式的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握两角和与差的正弦公式解决给角求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的正弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握已知三角函数值求角问题的求解思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)两角和与差的正弦公式 【问题导思】1．如何利用两角和(差)的余弦公式推导出两角和的正弦公式？【提示】 sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α) －β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.2．把公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (1)两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(α，β∈R )． (2)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(α，β∈R ).给角求值 (1)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； (2)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．【思路探究】 (1)的形式与公式有差异，应先由诱导公式化角，再逆用公式求值． (2)所给角有差异，应先拆角，将角统一再用公式，θ＋75°＝(θ＋15°)＋60°，θ＋45°＝(θ＋15°)＋30°.【自主解答】 (1)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．求下列各式的值：(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.【解】 (1)法一 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝6－24.法二 sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 6－24.(2)法一 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.法二 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.给值求值 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．【思路探究】 观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果．【自主解答】 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝ 1－cos 2α－β＝ 1－12132＝513，cos(α＋β)＝－ 1－sin 2α＋β＝－ 1－－352＝－45.所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665. 解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求角”再用诱导公式变成“已知角”．(3)角的拆分方法不惟一，应根据题目合理拆分．(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围．(2013·北京高一检测)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，则sin β＝________.【解析】 ∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，sin α＝1－cos 2α＝437.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝32.【答案】32给值求角0＜α＜π，－π＜β＜0，sin α＝25，cos β＝310，求α＋β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出角α的余弦值与β的正弦值，再由和角的正弦公式求出sin(α＋β)，从而可根据α＋β的范围求出α＋β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55. 又∵－π2＜β＜0，cos β＝31010，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1010， ∴sin(α＋β)＝255×31010＋55×(－1010)＝22.又∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0，∴－π2＜α＋β＜π2.∴α＋β＝π4.已知三角函数值求角的步骤：(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，求角β的值．【解】 由α－β∈(π2，π)，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈(3π2，2π)，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝(－513)×(－1213)－1213×513＝0.又∵α－β∈(π2，π)，α＋β∈(3π2，2π)，∴2β∈(π2，32π)，∴2β＝π，则β＝π2.忽略限制角范围的条件致误 已知sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，求α＋β的值．【错解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2， ∴cos α＝255，cos β＝31010，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. ∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝π4或3π4.【错因分析】 错解原因在于没有利用三角函数值缩小角的范围，从而导致出现两个解的错误．【防范措施】 对于已知三角函数值求角的大小问题，注意以下两个步骤缺一不可． (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．【正解】 ∵sin α＝55，sin β＝1010，0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴cos α＝255，cos β＝31010.又sin α＝55＜12，sin β＝1010＜12， ∴0＜α＜π4，0＜β＜π4，0＜α＋β＜π2.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.∴α＋β＝π4.1．公式记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α＋β)――→以－β代βS (α－β)． (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”． 2．应用公式需注意的两点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式. 1．sin 75°＝________.【解析】 sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 【答案】2＋642．计算sin 43°cos 13°－co s 43°sin 13°的结果等于________． 【解析】 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.【答案】 123．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝_______________________________.【解析】 ∵cos α＝－45，α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝22sin α＋22cos α，＝22×(－35)＋22×(－45)＝－7210. 【答案】 －72104．已知α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α.【解】 ∵α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，∴α∈(0，π2)，－β∈(0，π2)，从而α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈(－π2，0)，sin β＝－210，∴cos β＝7210，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×(－210)＝22， ∵α∈(0，π2)，∴α＝π4.一、填空题1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝________.【解析】 sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.【答案】－322.sinα＋30°－sinα－30°cos α的值为________．【解析】原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.【答案】 13．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin(β＋π3)＝________.【解析】∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin2β＝1－2232＝13，∴sin(β＋π3)＝12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋36.【答案】22＋364．cos(π6－α)sin α＋cos(π3＋α)cos α＝________.【解析】由于cos(π3＋α)＝sin(π6－α)，所以原式＝sin(π6－α)cos α＋cos(π6－α)sin α＝sin(π6－α＋α)＝sinπ6＝12.【答案】125．在△ABC中，2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是________．【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cos B sin A＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B.∴－sin A cos B＋cos A sin B＝0.即sin(B－A)＝0.∴A＝B.【答案】等腰三角形6．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 【解析】由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin2α＋80sin αcos β＋25cos2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos2α＋80 cos α sin β＋25sin2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝4780.【答案】47807．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于________． 【解析】 由条件知cos α＝255，cos(α－β)＝31010(因为－π2＜α－β＜0)，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22，又β为锐角，所以β＝π4. 【答案】 π48．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________.【解析】sin 10°－3cos 10°cos 40°＝212sin 10°－32cos 10°cos 40°＝2sin 10°－60°cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2.【答案】 －2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，cos α＝－12，∴sin α＝32，∵β∈(3π2，2π)，sin β＝－32，∴cos β＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×12＋(－12)×(－32)＝32. 10．已知：π6＜α＜π2，且cos(α－π6)＝1517，求cos α，sin α的值．【解】 因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos(α－π6)＝1517，所以sin(α－π6)＝1－cos2α－π6＝817. 所以sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝83＋1534，cos α＝cos[(α－π6)＋π6]＝cos(α－π6)cos π6－sin(α－π6)sin π6＝153－834.11．求证：sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【证明】 ∵左边＝sin 2α＋β－2cos α＋βsin αsin α＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cos α＋βsin αsin α＝sin[α＋β－α]sin α＝sin βsin α＝右边．∴原等式得证.(教师用书独具)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2.(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ) 或A cos(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在[0，π2)上的单调性，并求f (x )的最大值．【思路探究】 先用同角三角函数基本关系化简f (x )，再把解析式f (x )用构造辅助角法化成A sin(ωx ＋φ)的形式，最后求单调性与最值．【自主解答】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x＝cos x ＋3·sin xcos x·cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2(sin π6cos x ＋cos π6sin x )＝2sin(x ＋π6)(0≤x ＜π2)．(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在[0，π3]上是单调增函数，在(π3，π2)上是单调减函数．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值为2.求函数y ＝sin(x ＋π3)＋2sin(x －π3)的单调增区间．【解】 y ＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2(sin x cos π3－cos x sin π3)＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数y 的单调增区间为[－π3＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z )．。

高一年级数学导学案3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.理解两角和与差的正弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导βα±S 中的作用2.能运用两角和与差的正弦公式进行化简与求值，并要注重公式的正用，逆用和变形用3.熟练掌握辅助角公式，并逐步体会在三角变换中的重要作用重点：公式βα±S 的推导与应用难点：公式的逆用活动一：知识梳理：.两角和与差的正弦 =+)s i n (βα βα+S=-)sin(βα βα-S活动二：合作探究1. 你能结合三角函数诱导公式，由公式βα+C 或βα-C 推导出公式βα-S 吗？2. 如何准确记住公式？3. 辅助角公式222222sin ,cos ),sin(cos sin b a b b a a x b a x b x a +=+=+⋅+=+ϕϕϕ其中活动三：要点导学要点一：求值例1：求 15sin ,75sin 的值要点二：公式的正用，逆用例2：求下列各式的值：（1） 14cos 44sin 14sin 44cos -（2）)36sin()54cos()36cos()54sin(x x x x +-++-（3）15cos 2315sin 21-要点三：给值求值例3：已知βαβα,,32cos ,31sin -==均在第二象限，求)sin()sin(βαβα-+和的值。

要点四：辅助角公式例4：求函数x b x a y cos sin +=的最大值、最小值和周期，其中b a ,是不同时为零的实数。

要点五： 例5：已知向量P O =(3，4),逆时针旋转 45到/P O 的位置，求点),(y x P '''的坐标例6：已知点P(x,y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到),(y x P '''，求证： ⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x课堂小结作业：P139练习A,B。

河北省武邑中学高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）教案 新人教A 版必修4备课人授课时间课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）课标要求 两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换 教 学 目 标 知识目标 两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用 技能目标 灵活运用两角和与差正弦、余弦和正切公式 情感态度价值观重点 两角和、差正弦和正切公式的运用难点ααcos sin b a +类型的变换教 学 过 程 及 方 法问题与情境及教师活动学生活动（一）复习式导入：基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+（二）新课讲授例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．分析：逆用两角和与差正弦、余弦和正切公式学生回答1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动解：（1）、()1sin72cos42cos72sin42sin7242sin302-=-==（2）、()cos20cos70sin20sin70cos2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan45tan15tan4515tan603 1tan151tan45tan15++==+==--．例2、化简2cos6sinx x-解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？()132cos6sin22cos sin22sin3022x x x x x⎛⎫-=-=︒-⎪⎪⎝⎭思考：22是怎么得到的？怎样求ααcossin ba+类型？()()222226=+，我们构造一个使它的正、余弦分别等于12和32的角.归纳：bababa=++=+ϕϕαααtan)sin(cossin22练习：（1）的值为12sin12cos3ππ-学生完成2河北武中·宏达教育集团教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动（2）已知：函数Rxxxxf∈-=,cos32sin2)(（1）求)(xf的最值。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)【课前准备】1．课时目标（1）了解两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式，并会进行简单的化简、求值等应用．2．基础预探（1）两角和的余弦：cos （α+β）=__________；（2）两角和与差的正弦：sin （α+β）=__________；sin （α－β）=__________；（3）两角和与差的正切：tan （α+β）=__________；tan （α－β）=__________．【知识训练】1．满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是（ ） A ．α=12π13，β=4π3 B ．α=2π，β=3π C ．α=2π，β=6π D ．α=3π，β=6π 2．下列等式中成立的是（ ）A ．2120sin 80sin 20cos 80cos =︒︒-︒︒B ．2117sin 13cos 17cos 13sin =︒︒-︒︒ C ．2220sin 25sin 25cos 70sin =︒︒+︒︒D ．2320sin 50sin 20cos 140sin =︒︒+︒︒ 3．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β4．已知sin αcos β=－31，cos αsin β=21，则sin （α+β），sin （α－β）的值分别为（ ） A ．61，65 B ．－61，－65 C ．61，－65 D ．－61，65 5．若tan α=21，则tan （α+4π）=____________． 6．已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值．【学习引领】在两角和与差的三角函数公式中，对应的角α，β可以是单独的两个角，也可以是对应的两个整体部分所组成的角，比如α=（α+β）－β，β=（α+β）－α，2α=（α+β）+（α－β），2β=（α+β）－（α－β），（4π+α）+（4π－α）=2π等，同时在解答时要注意角的范围的讨论．在实际求解问题过程中，要注意对角的变形与整体思维的考虑．运用两角和与差的三角函数公式时的“四要”：一要审查公式成立的条件；二要弄清两角和与差的三角函数公式中角、函数的排列顺序及式中每一项的符号；三要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用；四要注意和、差的相对性．【题型探究】题型一：公式的直接应用例1．已知α，β都是锐角，且sin α=55，cos β=10103，求α+β的值 思路导析：利用两角和的余弦公式分三步进行：①先求α+β的余弦值；②确定α+β所在的范围（或区间）；③求角α+β的值．点评：其实，间接利用公式求解有关角的值的问题，可以结合不同的三角函数值加以解决：①求cos （α+β），在（0，π）内余弦值为22的角是唯一的，故可求之；②求sin （α+β），将角α+β的范围缩小到（0，2π）或更小，使之正弦值为22的角是唯一的；③求tan （α+β），在（0，π）内正切值为1的角也是唯一的．变式练习1：已知α，β是锐角，且sin α=51，cos β=101，求α－β的值．题型二：公式的整体应用例2．求sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）的值．思路导析：这道题的常规方法是利用两角和与差的公式直接展开，再加以必要的合并与化简，而这里的75º与15º均为非特殊角，又要通过必要的两角和与差的公式，最终达到求值的目的．而如果通过整体思维考查，令β=α+15º，通过换元转化加以运算，则更加简单、快捷．点评：这道题充分突出整体思维，通过整体换元，把非特殊角的三角函数的求值问题转化特殊角的三角函数的求值问题，从而使问题迎刃而解．变式练习2：设2)tan(=-βα，3)4tan(=-βπ，则)4tan(απ-等于（ ） A ．71 B ．71- C ．51 D ．51- 题型三：公式的综合应用例3．已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围． 思路导析：先把cos α+cos β作为一个整体，利用条件中相关等式的变形与组合，结合同角三角函数基本关系式与两角和的余弦公式，利用三角函数的图象与性质加以综合．点评：综合利用同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等来解决相关三角函数式的取值范围问题，关键在是等价变换与应用等．变式练习3：不查表，求下式的值：tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒．【随堂练习】1．tan15°+cot15°等于（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 2．cos75°－cos15°的值等于（ ）A ．26B ．－26C ．－22D ．22 3．cos20ºcos110º+sin20ºsin110º的值为（ ）A ．0B ．－21 C ．21 D ．1 4．锐角βα,满足54cos =α，53)cos(=+βα，则βsin =________． 5．cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=________．6．已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm -+11tan α．【参考答案】【课前准备】2．基础预探（1）cos αcos β－sin αsin β；（2）sin αcos β+cos αsin β，sin αcos β－cos αsin β；（3）βαβαtan tan 1tan tan -+，βαβαtan tan 1tan tan +-． 【知识训练】1．A ；【解析】由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A ； 2．D ；【解析】根据两角和与差的公式加以判断；3．B ；【解析】由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得sin αsin β=0，∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）；4．C ；【解析】根据两角和与差的正弦公式加以求解；5．3；【解析】tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3； 6．解 由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，解得tan α=31， 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32． 【典例导析】例1. 解 ∵α是锐角，sin α=55，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=10103，∴sin β=β2cos 1-=1010， 那么cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β=552·10103－55·1010=22， ∵α，β是锐角，∴0<α+β<π，故α+β=4π．变式练习1：解 ∵α是锐角，sin α=51，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=101，∴sin β=β2cos 1-=10103， 那么cos （α－β）=cos αcos β+sin αsin β=22， ∵α，β是锐角，∴－2π<α－β<2π， 又sin α=51<10103= sin β，则α<β，故α－β=－4π． 例2. 解 令β=α+15º，则sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）=sin （β+60º）+cos （β+30º）－3cos β=sin βcos60º+cos βsin60º+cos βcos30º－sin βsin30º－3cos β =21sin β+23cos β+23cos β－21sin β－3cos β=0． 变式练习2：A ； 【解析】)4tan(απ-＝)]()4tan[(βαβπ---＝)tan()4tan(1)tan()4tan(βαβπβαβπ--+---＝23123⨯+-＝71； 例3. 解析：令t =cos α+cos β， ①而sin α+sin β=22， ② 由①2+②2，得t 2+21=（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2=cos 2α+cos 2β+2cos αcos β+sin 2α+sin 2β+2sin α+sin β=2+2cos （α－β），∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］， ∴t ∈［－214，214］，即cos α+cos β的取值范围为［－214，214］．变式练习3：解 因为tan （23︒+22︒）=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan （23︒+22︒）（1－tan23︒tan22︒）， 原式=tan45︒ （1－tan23︒tan22︒）+tan23︒tan22︒=1－tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1；【随堂练习】1．C ；【解析】由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-，∴原式=3333+-+3333-+=4；2．C ；【解析】cos75°－cos15°=cos （45º+30º）－cos （45º－30º）=cos45ºcos30º－sin45ºsin30º－（cos45ºcos30º+sin45ºsin30º）=－2sin45ºsin30º=－22； 3．A ；【解析】cos20ºcos110º+sin20ºsin110º=cos （20º－110º）=cos （－90º）=cos90º=0；4．257；【解析】根据锐角βα,和条件，可得53sin =α，54)sin(=+βα，则βsin =])sin[(αβα-+=αβααβαsin )cos(cos )sin(+-+=257； 5．21；【解析】cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos[90º－（45º+x ）]sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－sin （45º+x ）sin （15º－x ）=cos[（45º+x ）+（15º－x ）]=cos60º=21； 6．证明：∵sin β=m sin （2α+β），∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］，∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α，∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α，∴tan （α+β）=m m -+11tan α．。

3.1.2 两角和与差的正弦一、课题：两角和与差的正弦 二、三维目标：1、知识与技能：理解两角和与差的正弦公式及其推导。

2、过程与方法：（1）掌握()S αβ±的推导过程及公式特点。

（2）利用上述公式进行简单的求值与证明。

3、情感、态度与价值观：培养学生的探索与创新意识，激发学生学习兴趣，提高学生解题的灵活性。

三、教学重点：()S αβ±公式及诱导公式的推导、运用； 四、教学难点：()S αβ±公式及诱导公式的运用。

五、教学过程： （一）复习：1．()C αβ±公式； 2．练习：化简：（1）cos3cos sin 3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-．（二）新课讲解： 1.课题导入首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式. 首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos （π2－θ）＝sin θ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论?2.推导公式sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=--cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+- sin cos cos sin αβαβ=+即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

3．例题分析：例1：求值(1)sin 75； (2)sin195； （3）cos79cos56cos11cos34-．解：（1）sin 75sin 30cos 45cos30sin 45=+=12 ；（2）sin195sin(18015)=+sin15(sin 45cos30cos45sin30)=-=--=；（3）cos79cos56cos11cos34-cos(7956)=+=-． 例2：已知2sin ,(,)32πααπ=∈，33cos ,(,)42πββπ=-∈，求sin()αβ-，cos()αβ+．解： 2sin ,(,)32πααπ=∈， ∴cos α==33cos ,(,)42πββπ=-∈， ∴sin β==，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=．又sin()αβ+=∴sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ ==． 例3：已知5cos 13θ=-，求cos()6πθ+及sin(6πθ+的值。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦（第2课
时）教案新人教版必修4
教学目标：
进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题.
教学重点：
灵活运用两角和与差的正（余）弦公式,巧妙进行角的变换．
教学过程：
一、数学运用
1．进一步的运用．
讨论解题思路,探讨不同的解法，并展开讨论：
（1）课本中的解法体现了什么样的解题思想？
（2）为什么把式中的角统一用A＋B及A角表示？
（3）能不能把式中的角统一用A及B角表示？这样做行吗？
（4）能不能把式中的角统一用A＋B及B角表示？这样做行吗？
例2 求2cos10sin20
cos20
︒-︒
︒
的值.
讨论解题思路，探讨不同的解法，并展开讨论：
（1）课本中的解法体现了什么样的解题思想？
（2）为什么把式中的10°角用30°－20°角表示？
（3）能不能把式中的20°角用30°－10°角表示? 这样做行吗？
讨论解题思路，探讨不同的解法，并展开讨论．
2．练习．
教材第111页练习第1题，第2题．
二、回顾小结
让学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结：
1．通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一. 2．要注意公式的“正用”、“逆用”、“创造条件用”．
3．注意体会方程思想在解题中的应用
三、课外作业
教材第112页习题第10题、第11题．。

导学案：3.1. 2两角和与差的正弦一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】1、重点是两角和与差的正弦公式的应用2、会构造两角和的正弦公式,把函数解析式变形为一个角的三角函数形式三、【学习目标】1、理解两角和与差的正弦公式2、熟练掌握公式的正反两个方面的的应用,及变形应用3、培养学生的分析，归纳推理能力，四、自主学习1、sin()αβ+= 请证明sin()αβ-= 请证明 提示：sin()cos(())cos(())22ππαβαβαβ+=-+=--，将其打开。

2、自主学习测试（1）求sin 75o =（2）sin(x －y)cosy ＋cos(x －y)siny =例1、已知4sin 5α=，α∈(2π,π)，,求sin()6πα-.对应练习、如果），（并且26178)6sin(ππ∈θ=π-θ，求sin θ引申1、在△ABC 中，135cos =A ，3cos 5B =，求 sinC 的值.例2、如果21)sin(=β+α，31)sin(=β-α，求βαtg tg :的值.对应练习、=︒-︒15sin 75sin例3、求证 1sin sin()23πααα+=+ sin 2sin()3πααα+=+对应练习：（1）求()cos sin f x x x =+的最大值、最小正周期（2）求x x x f cos 5sin 12)(+=的最大值、最小正周期五、合作探究1、求下列各式的值（1）sin13cos17cos13sin17+o o o o（2）sin 70cos 25cos70sin 25-o o o o（3）sin35cos 25sin55cos65-o o o o2、化简（1）sin()cos cos()sin αβααβα+-+ （2）sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ-++-+3、如果153sin 172πααπ=-∈并且（，2），求sin()4πα+4、οοοοοο8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+5、求x x x f sin cos )(-=的最大值、最小正周期6对应练习求()cos sin()6f x x x π=+-的最大值、最小正周期六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：。

第2课时（一）导入新课思路1(复习导入)让生回忆上节课所的六个公式，并回忆公式的龙去脉，然后让一个生把公式默写在黑板上或打出幻灯教师引导生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用思路2(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让生先根据上节课所的公式进行解答 1化简下列各式(1)cs （α＋β）csβ＋sin （α＋β）sinβ;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+[]答案1(1)csα;(2)0;(3)1 2证明略教师根据生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所的六个公式进行回顾复习，由此展开新课（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同们回忆这一段时间我们一起所的和、差角公式②请同们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考 活动：待生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数思想方法教师引导生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所的诱导公式其实是两角和与差公式的特例在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β)2()2(2βαβαβα---=+等让生在整个的数体系中会数知识，会数方法，更重要的是会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数素养sin （α±β）＝sinαcsβ±csαsinβ〔Ｓ（α±β）〕; cs （α±β）＝〔（α±β）〕; tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕讨论结果：略（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin72°cs42°-cs72°sin42°; （2）cs20°cs70°-sin20°sin70°;[]（3）15tan 115tan 1-+ 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用熟悉公式，可由生自己完成对部分生，教师点拨生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式(α+β)右边形式一致，生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21 （2）由公式(α+β)得原式=cs(20°+70°)=cs90°=0 （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求生能够从正、反两个角度使用公式与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解变式训练 1化简求值：（1）cs44°sin14°-sin44°cs14°; （2）sin14°cs16°+sin76°cs74°;（3）sin(54°-)cs(36°+)+cs(54°-)sin(36°+) 解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-（2）原式=sin14°cs16°+cs14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21 （3）原式=sin ［(54°-)+(36°+)］=sin90°=12计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-例2 已知函数f()=sin(+θ)+cs (-θ)的定义域为R 设θ∈［02π］若f()为偶函数求θ的值活动本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题其难度较小只需利用偶函数的定义加上本节到的两角和与差的三角公式展开即可但不容易得到满分教师可先让生自己探究独立完成然后教师进行点评解∵f()为偶函数∴f(-)=f()即sin(-+θ)+cs(--θ)=sin(+θ)+cs(-θ) 即-sincsθ+cssinθ+cscsθ-sinsinθ =sincsθ+cssinθ+cscsθ+sinsinθ ∴sincsθ+sinsinθ=0∴sin(sinθ+csθ)=0对任意都成立∴2sin(θ+4π)=0即sin(θ+4π)=0 ∴θ+4π=π(∈)∴θ=π-4π(∈)又θ∈［02π)∴θ=43π或θ=47π点评本例生可能会根据偶函数的定义利用特殊值求解教师应提醒生注意如果将本例变为选择或填空可利用特殊值快速解题作为解答题利用特殊值是不严密的以此训练生逻辑思维能力变式训练 已知：2π<β<α<43πcs(α-β)=1312sin(α+β)=54-求cs2β的值解：∵2π<β<α<43π∴0<α-β<4ππ<α+β<23π又∵cs(α-β)=1312sin(α+β)= 54-∴sin(α-β)=135cs(α+β)=53-∴cs2β=cs［(α+β)-(α-β)］[]=cs(α+β)cs(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=53-×1312+(54-)×135=6556-例3 求证：csα+3sinα=2sin(6π+α) 活动：本题虽小但其意义很大从形式上就可看出左边是两个函数而右边是一个函数教师引导生给予足够的重视对于此题的证明，生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励同时教师可以有目的的引导生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数证明：方法一：右边=2(sin 6πcsα+cs 6πsinα)=2(21csα+23sinα)=csα+3sinα=左边 方法二：左边=2(21csα+23sinα)=2(sin 6πcsα+cs 6πsinα) =2sin(6π+α)=右边 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求生熟练掌握其精神实质本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦关于形如asin+bcs （a ，b 不同时为零）的式子引入辅助角变形为Asin(+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(+φ)的形式一般情况下，如果a=AC sφb=Asinφ那么asin+bcs=A(sincsφ+cssinφ)=Asin(+φ)由sin 2φ+cs 2φ=1可得 A 2=a 2+b 2A=±22b a +不妨取A=22b a +于是得到csφ=22ba a+sinφ=22ba b +从而得到tanφ=ba因此asin+bcs=22b a +sin(+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asin+bcs 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式化为这种形式可解决asin+bcs 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等教师应提醒生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质研究它的性质因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点再结合续内容的倍角公式在解答高考物理试题时也常常被使用，应让生领悟其实质并熟练的掌握它变式训练 化简下列各式：（1）3sin+cs;[] （2）2cs-6sin 解：（1）原式=2(23sin+21cs)=2(cs 6πsin+sin 6πcs)=2sin(+6π) （2）原式=22 (21cs-23sin)=22(sin 6πcs-cs 6πsin)=22sin(6π-)例4 （1）已知α+β=45°求(1+tanα)(1+tanβ)的值;（2）已知sin(α+β)=21sin(α-β)=31求.tan tan βα 活动：对于（1）教师可与生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanαtanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanαtanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcsβ和csαsinβ，而.t a n t a n βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路教中尽可能的让生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答解：（1）∵α+β=45°∴tan(α+β)=tan45°=1 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) 即tanα+tanβ=1-tanαtanβ∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2 （2）∵sin(α+β)=21sin(α-β)= 31 ∴sinαcsβ+csαsinβ=21①sinαcsβ-csαcsβ=31②[]①+②得sinαcsβ=125 ①-②得csαsinβ=121∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让生熟练掌握其解法变式训练1求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223 2计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1（四）作业已知一元二次方程a 2+b+c=0(ac ≠0)的两个根为tanα、tanβ求tan(α+β)的值解：由韦达定理得：tanα+tanβ=ab-tanαtanβ=a c∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα（五）课堂小结1先让生回顾本节课的主要内容是什么？我们习了哪些重要的解题方法？通过本节的习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题2教师画龙点睛：通过本节课的习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等推导并理解公式asin+bcs=22b a +sin(+φ)，运用它解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题。

人教版高中必修4(B版)3.1.2 两角和与差的正弦课程设计一、教学目的1.了解正弦函数的一般式和特征2.掌握两角和与差的正弦公式3.能够理解正弦函数图像的变换和性质4.能够解决有关正弦公式的课题二、教学重难点重点掌握两角和与差的正弦公式难点理解正弦函数图像的变换和性质三、教学过程1.导入（5分钟）上课前教师拿一张常用角度的表格，让学生通过几个简单的练习帮助他们回忆角度的正弦值、余弦值和正切值。

教师也会与学生讨论正弦等三角函数相关的某些实际应用，如高度和距离的测量。

2.讲授（35分钟）（1）公式的引入教师介绍两角和与差的公式，让学生了解公式的由来和作用。

（2）两角和公式教师让学生回忆两角和公式的推导和应用，然后给出一些例子，进行现场练习。

（3）两角差公式教师让学生回忆两角差公式的推导和应用，然后给出一些例子进行现场练习。

（4）公式的应用教师提供一些复杂的问题，让学生应用两角和与差的正弦公式解决。

确保学生掌握公式的用途。

3.练习（15分钟）教师提供一些有关两角和与差的正弦公式的习题，让学生进行练习，并在课堂上对解题方法进行讨论。

4.总结（5分钟）教师总结两角和差的正弦公式的应用，重点讲解两角和与差的正弦公式的应用和思考方式。

四、教学评价教师通过每周的练习后检查，测试，测验和其他家庭作业来评估学生掌握两角和差的正弦公式的能力。

此外，在教学过程中注意随时观察，及时将学生的不理解问题解决，以帮助学生尽可能全面地理解和掌握知识点。

五、板书设计二角和差的正弦公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB两角和差公式$sin(A+B) = 2sin\\frac{A+B}{2}cos\\frac{A-B}{2}$$sin(A-B) = 2sin\\frac{A-B}{2}cos\\frac{A+B}{2}$六、教学反思在教学中，教师应注重拓展学生的思维，引导学生不断进行思考和探索，注重实际应用，让学生知道学习的知识与实际生活的联系。

两角和与差的正弦公式学情分析：在学生掌握两角和与差的余弦公式前提下，学生的对知识和方法的学习有了一定的迁移能力，因此本节内容两角和与差的正弦公式的推导与应用让学生自主探究学习完成。

在新课程理念的指导下，本节课制订了以下的教学目标：一、教学目标(一)知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦公式的推导及方法；灵活应用两角和与差的正弦公式解决知角求值、知值求值、知值求角的问题。

(二)过程与方法目标：1、 通过公式的推导过程，在培养学生自主发现、探究、解决问题的基础上，着重培养学生获得数学知识的能力和数学交流的能力；2、 通过公式的灵活运用，培养学生的转化、分类讨论的思想及变换能力。

(三)情感与态度目标：1、 对比体会公式的形式美，提高学生的数学素养；2、 通过问题式的引导，培养学生勇于发问质疑、勇于探索创新的求知精神。

二、教学重难点教学重点：两角和与差的正弦公式的推导以及应用教学难点：两角和与差的正弦公式的灵活应用，学会恰当代换、转化、逆用等技能。

三、教学方法：探究式教学四、教学过程：（一）、复习引入两角和与差的余弦公式 ():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=+():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ++=-热身训练（1）cos15___________=o（2）cos75cos15sin 75sin15_________-=o o o o（3）sin 20cos 25cos 20sin 25_________+=o o o o（4）sin cos cos sin _________αβαβ+=根据题（4）的求解过程，你能得到什么结论？（二）、推进新课1、新知探究探究（学生动手）()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．分析：换元思想，将β-代β，得()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦归纳：对比分析公式的结构特征，归纳记忆。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二 给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

格一课堂教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。