第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式整体设计教学分析本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课新知探究提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cos α-cos β的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cos α-cos β=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cos α-cos β. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cos α-cos β,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠P OP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为 C.那么,OA 表示cos β,AP 表示sin β,并且∠P AC =∠P 1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cos βcos α+sin βsin α,所以,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),∠A OB=α-β.由向量数量积的定义有·=||||·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有 ·=(cos α,sin α)(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β,于是,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cos θ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则·=cos θ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cos θ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cos α、cos β、sin α、sin β的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________等.因此,只要知道了sin α、cos α、sin β、cos β的值就可以求得cos(α-β)的值了.问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23,cos α=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.讨论结果:①—⑤略.应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sin α=54,α∈(2π,π),cos β=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sin α、cos α、sin β、cos β的值,然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看,还少cos α与sin β的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sin α=54,α∈(2π,π),得 cos α=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sin α=54,α∈(0,π),cos β=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:①当α∈［2π,π)时,且sin α=54,得cos α=53)54(1sin 122-=--=--a , 又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0,2π)时,且sin α=54,得 cos α=53)54(1sin 122=-=-a , 又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cos α的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路2例1 计算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15°)=cos15°再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C (α-β)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ (2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.(3)原式=cos ［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例2 已知cos α=71,cos(α+β)=1411-,且α、β∈(0, 2π),求cos β的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究α、α+β、β之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到β=(α+β)-α的关系式,然后利用公式C (α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α+β的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(α+β)的符号进而求出cos β.解:∵α、β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π). 又∵cos α=71,cos(α+β)=1411-, ∴sin α=,734cos 12=-a sin(α+β)=.1435)(cos 12=+-βa 又∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =.21734143571)1411(=⨯+⨯- 点评:本题相对于例1难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到β=(α+β)-α的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是α+β的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练1.求值:cos15°+sin15°.解:原式=22(2cos15°+22sin15°)=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°) =2cos(45°-15°)= 2cos30°=26. 2.已知sin α+sin β=53,cos α+cos β=54,求cos(α-β)的值. 解:∵(sin α+sin β)2=(53)2,(cos α+cos β)2=(54)2, 以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=21-. 点评:本题又是公式C (α-β)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式C (α-β)中cos αcos β和sin αsin β的值,即可求得cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.3.已知锐角α、β满足cos α=54,tan(α-β)=31-,求cos β. 解:∵α为锐角,且cos α=54,得sin α=53. 又∵0<α<2π,0<β<2π, ∴-2π<α-β<2π. 又∵tan(α-β)= 31-<0, ∴cos(α-β)=103.从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=101-.∴cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =54×).101(53103-⨯+ =50109. 知能训练课本本节练习.解答:1.(1)cos(2π-α)=cos 2πcos α+sin 2πsin α=sin α. (2)cos(2π-α)=cos2πcos α+sin2πsin α=cos α. 2.102. 3..348315- 4.125372-. 课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业课本习题3.1 A 组2、3、4、5.。
