2019年高中人教A版数学选修2-1课件 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件(16张)

量及其运算（2）教案 新人教A版选修2-1

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

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第 1 页 共 2 页 第四课时3.1.3空间向量的数量积运算

教学要求：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

1.复习平面向量数量积定义：

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.

二、新课讲授

1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞． 当＜a、b＞＝０时，a与b同向； 当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝2时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b)

2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则''AB叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：''AB＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

1 3.1.3 空间向量的数量积运算

课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．

1．空间向量的夹角

定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

记法

范围

,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？

2．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数

量积的结合律 (λa)·b＝________

交换律 a·b＝______

分配律 a·(b＋c)＝____________

(3)数量积的性质

两个向

量数量

积的

性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.

②若a与b同向，则a·b＝________；

若反向，则a·b＝________.

特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a.

③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______

④|a·b|≤|a|·|b|.

一、选择题

1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：

①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的有( )

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 2 3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )

A.7 B.10 C.13 D．4

§3.1.3 空间向量的数量积运算

一．教学目标

1.知识与技能(幻灯片2)

(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律；

(2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；

(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。

2.过程与方法

引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。

3.情感态度与价值观

通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。

二．教学重点

空间向量数量积的概念以及实际应用。

三．教学难点

建立空间向量与空间图形的内在联系；

四．教学过程

教学环节 教学过程 设计意图

新

课

引 入 同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?

注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。

学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。（幻灯片4）

讲

授

新

课

零向量与任何向量的数量积为0。

性质1：

这个性质是证明两向量垂直的依据；

性质2：

这个性质是求向量模的依据。

思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）

空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。

空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。（幻灯片5--8）

（幻灯片10） 空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则acosa,叫做a,的数量积.记作,即acosa,.bbbbababbb22cos,aaaaaaaacos的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。ababaabab,02ababab讲