高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的数乘运算 课件

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A版（理）

一、学习目标：

1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

2. 理解共线向量的定理及其推论．

3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．

4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

二、重点、难点：

重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．

难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．

三、考点分析：

本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．

一、空间向量的概念：

模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．方向相同且模相等的向量称为相等向量．

二、空间向量的加法和减法、数乘运算

1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．

2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．

3. 实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．

3.1.2 空间向量的数乘运算（一）

【学习目标】

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【重点难点】

向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题

【学习过程】

一、 自主预习

（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）

复习1：化简：

⑴ 5（32ab）+4（23ba）；

⑵ 63abcabc.

复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量,ab， 若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是

二、合作探究 归纳展示

探究任务一：空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

三、讨论交流 点拨提升

新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量,ab（0b）， //ab的充要条件是存在唯一实数，使得

推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是

试试：已知5,28,ABabBCab3CDab ，求证: A,B,C三点共线.

反思：充分理解两个向量,ab共线向量的充要条件中的0b，注意零向量与任何向量共线.

四、学能展示 课堂闯关

例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若OPxOAyOB，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？

变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若12OPOAtOB，那么t＝

3.1.2 空间向量的数乘运算

【使用说明及学法指导】

1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；

2．小组合作，动手实践。

【学习目标】

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题

【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

一、自主学习

1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题

复习1：化简：

⑴ 5（32ab）+4（23ba）；

⑵ 63abcabc.

复习2：在平面上有两个向量,ab， 若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是

2.导学提纲

1.空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________?

2. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫_____________

3.对空间任意两个向量,ab（0b）， //ab的充要条件是存在唯一实数，

使得 ______,为何要求0b？

4.如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是

5.对空间两个不共线向量,ab，向量p与向量,ab共面的充要条件是存在 ，

使得 .

6.空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

⑴ 存在 ，使

⑵ 对空间任意一点O，有

第三章 空间向量与立体几何

3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1.2 空间向量的数乘运算

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，1ABADAA

A．1AC B．1CA

C．1BC D．1CB

【答案】A

【解析】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，1()ABADAAABAD111CCACCCAC．故选A．

2．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若2CPCACB，则下列结论正确的是

A．22OPOAOBOC B．23OPOAOBOC

C．23OPOAOBOC D．22OPOAOBOC

【答案】D

3．若OA，OB，OC是空间不共面的三个向量，则与向量OAOB和OAOB不共面的向量是

A．BA B．OA

C．OB D．OC

【答案】D

【解析】由题意可知向量OAOB和OAOB是平面AOB内的向量，而OA，OB，BA都在平面AOB内，显然是共面向量，只有OC与向量OAOB和OAOB不共面．故选D．

4．如图，已知ABc，ACb，若点D满足2BDDC，则AD

A．2133bc

B．5233cb

C．2133bc

D．1233bc

【答案】A

【解析】221221()333333ADABBDABBCABACABABACbc．故选A．

5．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则1()2ABBDBC

A．BC B．CG

C．12BC D．AG

【答案】D

6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是与的交点,若,则下列向量中与相等的向量是

A．1122abc B．1122abc

C．1122abc

D．1122abc

【答案】A

【解析】∵=∴=