高中数学 3.1.3 空间向量的数量积运算课件 新人教版选修21

1 3.1.3 空间向量的数量积运算

课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．

1．空间向量的夹角

定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

记法

范围

,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？

2．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数

量积的结合律 (λa)·b＝________

交换律 a·b＝______

分配律 a·(b＋c)＝____________

(3)数量积的性质

两个向

量数量

积的

性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.

②若a与b同向，则a·b＝________；

若反向，则a·b＝________.

特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a.

③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______

④|a·b|≤|a|·|b|.

一、选择题

1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：

①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的有( )

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 2 3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )

A.7 B.10 C.13 D．4

§3.1.3 空间向量的数量积运算

一．教学目标

1.知识与技能(幻灯片2)

(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律；

(2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；

(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。

2.过程与方法

引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。

3.情感态度与价值观

通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。

二．教学重点

空间向量数量积的概念以及实际应用。

三．教学难点

建立空间向量与空间图形的内在联系；

四．教学过程

教学环节 教学过程 设计意图

新

课

引 入 同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?

注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。

学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。（幻灯片4）

讲

授

新

课

零向量与任何向量的数量积为0。

性质1：

这个性质是证明两向量垂直的依据；

性质2：

这个性质是求向量模的依据。

思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）

空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。

空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。（幻灯片5--8）

（幻灯片10） 空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则acosa,叫做a,的数量积.记作,即acosa,.bbbbababbb22cos,aaaaaaaacos的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。ababaabab,02ababab讲

1 / 3

§3.1.3空间向量的数量积运算

【例1】已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

【例2】如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值. 2 / 3

参考

例1

【分析】利用向量证明两直线垂直，只要证明它们所在的向量的数量积为0即可.

【证明】()()ADBCABBDACAB2ABACBDACABABBD

()0ABACABBDABDC．

【点拨】 用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明

例2

【分析】欲求OA与BC的夹角的余弦值，可利用公式：cos,||||OABCOABCOABC，先算的数量积OABC，再算它们模的乘积||||OABC.

【解】∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

||||cos,||||cos,OAACOAACOAABOAAB

84cos13586cos12024162.

∴24162322cos,855||||OABCOABCOABC.

所以，OA与BC的夹角的余弦值为3225． O

A

B C 3 / 3

【点拨】由图形看向量的夹角时易出错，如,135OAAC，易错写成,45OAAC，另外要注意OA与BC的夹角和OA与BC的夹角的区别与联系.

第三章

3.1.3

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( )

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

解析： A中a·b＝0，则a⊥b，故A错误．B正确．C中a2＝b2，则|a|＝|b|，故C错误．D中a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0不一定b＝c.故D错误．

答案： B

2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )

A.97 B．97

C.61 D．61

解析： |2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a|×|b|cos 60°＝97－12×2×3×12＝61.

所以|2a－3b|＝61.

答案： C

3．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )

A．62 B．6

C．12 D．144

解析： PC→＝PA→＋AB→＋BC→，|PC→|2＝|PA→|2＋|AB→|2＋|BC→|2＋2PA→·AB→＋2PA→·BC→＋2AB→·BC→＝3×62＋2×6×6×12＝4×62，∴|PC→|＝12.

答案： C

4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

解析： AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→＝AC→·CD→＋CD2→＋DB→·CD→＝0＋12＋0＝1，

又|AB→|＝2，|CD→|＝1，

∴cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝12×1＝12.

∴a与b所成的角是60°.