2018年高中数学人教A版选修2-1： 3.1.1 空间向量及其加减运算 (17张)

第三章 3.1 3.1.1

3.1.2

请同学们认真完成练案[20]

A级 基础巩固

一、选择题

1．空间任意四个点A、B、C、D，则DA→＋CD→－CB→等于( D )

A．DB→ B．AC→

C．AB→ D．BA→

[解析] 解法一：DA→＋CD→－CB→＝(CD→＋DA→)－CB→

＝CA→－CB→＝BA→.

解法二：DA→＋CD→－CB→＝DA→＋(CD→－CB→)

＝DA→＋BD→＝BA→.

2．已知空间向量AB→、BC→、CD→、AD→，则下列结论正确的是( B )

A．AB→＝BC→＋CD→ B．AB→－DC→＋BC→＝AD→

C．AD→＝AB→＋BC→＋DC→ D．BC→＝BD→－DC→

[解析] 根据向量加减法运算可得B正确．

3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )

A．一个球 B．一个圆

C．半圆 D．一个点

[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．

4．如图所示，已知A、B、C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP→的为( C )

A．OA→＋2AB→＋2AC→ B．OA→－3AB→－2AC→

C．OA→＋3AB→－2AC→ D．OA→＋2AB→－3AC→

[解析] 根据A、B、C、P四点共面的条件可知AP→＝xAB→＋yAC→.由图知x＝3，y＝－2，∴OP→＝OA→＋3AB→－2AC→，故选C．

5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝xAA1→＋y(AB→＋AD→)，则( D )

量及其运算（2）教案 新人教A版选修2-1

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

高中数学人教A版选修2-1导学案设计：3.1.5--空间向量运算的坐标表示（学生版）

1 / 3 安阳县实验中学“四步教学法”导学案

Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean

课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示

制单人： 审核人：高二数学组

班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__

一. 自主学习

1学习目标

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 会用这些公式解决有关问题.

2学习指导

一：空间向量坐标表示夹角和距离公式

问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？

新知：

1. 向量的模：设a＝123(,,)aaa，则｜a｜＝

2. 两个向量的夹角公式：

设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，

由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，

又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，

由此可以得出：cos＜a,b＞＝

试试：

① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；

② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是 ；

③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，

即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 .

反思：

设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则

⑴ a//B.  a与b所成角是  a与b的坐标关系为 ； 高中数学人教A版选修2-1导学案设计：3.1.5--空间向量运算的坐标表示（学生版）

2 / 3 ⑵ a⊥ba与b的坐标关系为 ；

3. 两点间的距离公式：

安阳县实验中学“四步教学法”导学案

Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean

课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示

制单人： 审核人：高二数学组

班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__

一. 自主学习

1学习目标

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 会用这些公式解决有关问题.

2学习指导

一：空间向量坐标表示夹角和距离公式

问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？

新知：

1. 向量的模：设a＝123(,,)aaa，则｜a｜＝

2. 两个向量的夹角公式：

设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，

由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，

又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，

由此可以得出：cos＜a,b＞＝

试试：

① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；

② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是 ；

③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，

即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 .

反思：

设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则

⑴ a//B.  a与b所成角是  a与b的坐标关系为 ； ⑵

a⊥ba与b的坐标关系为 ；

3. 两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则线段AB的长度为：

222211212()()()ABxxyyzz.

4. 线段中点的坐标公式：