带电粒子在静电场和重力场叠加区域运动问题

第30讲带电粒子在叠加场中运动问题的分析技巧【技巧点拨】1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况及分析方法(1)洛伦兹力、重力并存分类：①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动。

处理方法：因洛伦兹力不做功，机械能守恒，利用机械能守恒定律分析．(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)分类：①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动。

处理方法：洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．(3)静电力、洛伦兹力、重力并存分类：①若三力平衡，一定做匀速直线运动．②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动．③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动。

处理方法：可用能量守恒定律或动能定理求解问题．2．带电体在叠加场中有约束情况下运动问题分析方法带电体在有轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的运动，解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．【对点题组】1.如图所示，光滑绝缘轨道ABP竖直放置，其轨道末端切线水平，在其右侧有一正交的匀强电场、磁场区域，电场竖直向上，磁场垂直纸面向里．一带电小球从轨道上的A点由静止滑下，经P点进入场区后，恰好沿水平方向做直线运动．则可判定()A．小球带负电B．小球带正电C．若小球从B点由静止滑下，进入场区后将立即向上偏D．若小球从B点由静止滑下，进入场区后将立即向下偏2.如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场方向水平（图中垂直纸面向里），一带电油滴P恰好处于静止状态，则下列说法正确的是（）A．若仅撤去电场，P可能做匀加速直线运动B．若仅撤去磁场，P可能做匀加速直线运动C．若给P一初速度，P不可能做匀速直线运动D．若给P一初速度，P可能做匀速圆周运动3.如图所示的空间中存在着正交的匀强电场和匀强磁场，从A点沿AB，AC方向分别抛出两带电小球，关于小球的运动情况，下列说法中正确的是（）A．从AB，AC抛出的小球都可能做直线运动B．只有沿AB抛出的小球才可能做直线运动C．做直线运动的小球带正电，而且一定是做匀速直线运动D．做直线运动的小球机械能守恒4．一个带电微粒在如图所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，求：(1)该带电微粒的电性？(2)该带电微粒的旋转方向？(3)若已知圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则线速度为多少？【高考题组】5．（2010·安徽）如图所示，宽度为d的竖直狭长区域内（边界为L1、L2），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图2所示），电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上。

1.命题中经常出现带电粒子电场和磁场组合场运动的情况，即由电场进入磁场、由磁场进入电场或在电场和磁场中的往复运动。

2.命题中经常出现带电粒子在重力场、电场、磁场等叠加场中的运动。

既有直线运动，又有曲线运动。

要对带电粒子受力分析，运动过程分析，力学规律和能量观点解决问题。

一、带电粒子在组合场的运动1．两大偏转模型电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中；磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中．2．思维流程二、带电粒子在叠加场的运动1．解题规范(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力．(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．2．灵活选择运动规律(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE ＝q v B ；重力场与磁场中满足mg ＝q v B ；重力场与电场中满足mg ＝qE .(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg ＝qE ，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即q v B ＝m v 2r.(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．（建议用时：30分钟）A．氕11H B．氘21H【答案】C【解析】设核子的质量为m，带电量为进入偏转电场的速度为v0，进入磁场的速度为场运动过程，由动能定理得核子在偏转电场做类平抛运动，将运动沿极板方向和垂直极板方向分解。

沿极板方向做匀速直线运动，则有沿极板方向做匀加速直线运动，则有由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得由几何关系可得，射入磁场的点和射出磁场的点间距联立解得氕11H、氘21H、氚31H三种核子的电量相等，氚最大。

故选C。

2．（2023·山东日照·统考三模）如图所示，三个同心圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场1B的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为圆a边界上的A点沿半径方向以速度A．圆a区域内匀强磁场的磁感应强度B．圆a与圆b两边界间辐向电场的电势差为C．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为D．粒子从电场回到入射点A，在磁场中运动的最短时间为【答案】B【解析】A．如图根据由几何关系得，半径根据几何关系，在圆b和圆c间的环形区域的匀强磁场偏转半径又联立解得故B正确；CD．粒子运动轨迹如图A．5N/C，方向向上偏左B．5N/C，方向向上偏右C．4N/C，方向向上偏左D．4N/C，方向向上偏右【答案】A【解析】设电场方向与水平方向的夹角为重力做功，且沿一斜线向下做匀速直线运动，小球动能不变，应有得则有水平方向竖直方向代入整理后得解得可知电场方向向上偏左故选A。

微专题55 带电粒子(带电体)在叠加场中的运动【核心考点提示】1．带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况分类(1)洛伦兹力、重力并存①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．(3)静电力、洛伦兹力、重力并存①若三力平衡，一定做匀速直线运动．②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动．③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．【微专题训练】(2016·辽宁五校联考)有一个带电荷量为＋q、重力为G的小球，从两竖直的带电平行板上方h处自由落下，两极板间另有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图所示，则带电小球通过有电场和磁场的空间时，下列说法正确的是()A．一定做曲线运动B．不可能做曲线运动C．有可能做匀加速直线运动D．有可能做匀速直线运动【答案】A【2017·新课标Ⅰ卷】如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a 、b 、c 电荷量相等，质量分别为m a 、m b 、m c 。

已知在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动。

下列选项正确的是A ．a b c m m m >>B ．b a cm m m >>C ．a c b m m m >>D ．c b a m m m >>【答案】B【解析】由题意知，m a g =qE ，m b g =qE +Bqv ，m c g +Bqv =qE ，所以b a c m m m >>，故B 正确，ACD 错误。

专题22 带电粒子在叠加场中的运动一、叠加场1．叠加场电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。

2．带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况分类（1）洛伦兹力、重力并存①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。

（2）静电力、洛伦兹力并存（不计重力的微观粒子）①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。

②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。

（3）静电力、洛伦兹力、重力并存①若三力平衡，一定做匀速直线运动。

②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。

3．带电体在叠加场中有约束情况下的运动带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。

4．粒子在叠加场中运动分析思路（1）叠加场的组成——弄清电场、磁场、重力场叠加情况；（2）受力分析——先重力，再电场力和磁场力，然后分析其它力（先弹力，后摩擦力）；（3）运动分析——注意运动情况和受力情况的结合；（4）分段分析——粒子通过不同种类的场时，分段讨论；（5）画出轨迹——①匀速直线运动→平衡条件；②匀速圆周运动→牛顿运动定律和圆周运动规律；③复杂曲线运动→动能定理或能量守恒定律。

④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。

（6）记住三点：能够正确对叠加场中的带电粒子从受力、运动、能量三个方面进行分析①受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等。

微专题55 带电粒子(带电体)在叠加场中的运动【核心考点提示】1．带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况分类(1)洛伦兹力、重力并存①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．(3)静电力、洛伦兹力、重力并存①若三力平衡，一定做匀速直线运动．②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动．③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．【微专题训练】(2016·浙江4月选考·22)如图为离子探测装置示意图．区域Ⅰ、区域Ⅰ长均为L＝0.10 m，高均为H＝0.06 m．区域Ⅰ可加方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场；区域Ⅰ可加方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，区域Ⅰ的右端紧贴着可探测带电粒子位置的竖直屏．质子束沿两板正中间以速度v＝1.0×105m/s水平射入，质子荷质比近似为qm＝1.0×108C/kg.(忽略边界效应，不计重力)(1)当区域Ⅰ加电场、区域Ⅰ不加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加电场的最大值E max；(2)当区域Ⅰ不加电场、区域Ⅰ加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加磁场的最大值B max；(3)当区域Ⅰ加电场E小于(1)中的E max，质子束进入区域Ⅰ和离开区域Ⅰ的位置等高，求区域Ⅰ中的磁场B 与区域Ⅰ中的电场E 之间的关系式． 【解析】(1)质子在电场中做类平抛运动 v y ＝at ＝qEL mv tan α＝v y v ＝EqLmv2质子到达区域Ⅰ右下端时，有tan α＝H2L ＋L 2得E ＝Hmv 23qL 2＝200 V/m.(2)质子在磁场中运动有qvB ＝m v 2R ，即R ＝mvqB根据几何关系有R 2－(R －H2)2＝L 2得B ＝mvHq L 2＋H24≈5.5×10－3 T. (3)质子运动轨迹如图所示．设质子进入磁场时的速率为v ′， sin α＝v y v ′＝at v ′＝Eq m L vv ′＝EqLmvv ′由几何关系知sin α＝L 2R ＝L 2mv ′Bq ＝BqL2mv ′得B ＝2E v.【答案】(1)200 V/m (2)5.5×10－3 T (3)B ＝2E v如图，在竖直平面内建立直角坐标系xOy ，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里．一带电荷量为＋q 、质量为m 的微粒从原点出发沿与x 轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A (l ，l )时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y 轴穿出复合场．不计一切阻力，求：(1)电场强度E 的大小； (2)磁感应强度B 的大小； (3)粒子在复合场中的运动时间． 【答案】(1)mg q (2)mqg l (3)(3π4＋1)lg【解析】(1)微粒到达A (l ，l )之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲：所以，Eq ＝mg ，得：E ＝mgq(2)由平衡条件： qv B ＝2mg电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙：qvB ＝m v 2r由几何知识可得：r ＝2l v ＝2gl 联立解得：B ＝mqg l(3)微粒做匀速运动时间：t 1＝2l v＝l g做圆周运动时间：t 2＝34π·2l v ＝3π4l g在复合场中运动时间：t ＝t 1＋t 2＝(3π4＋1)l g (2015·福建理综·22)如图，绝缘粗糙的竖直平面MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E ，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的小滑块从A 点由静止开始沿MN 下滑，到达C 点时离开MN 做曲线运动．A 、C 两点间距离为h ，重力加速度为g .(1)求小滑块运动到C 点时的速度大小v C ；(2)求小滑块从A 点运动到C 点过程中克服摩擦力做的功W f ；(3)若D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D 点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P 点．已知小滑块在D 点时的速度大小为v D ，从D 点运动到P 点的时间为t ，求小滑块运动到P 点时速度的大小v P . 【解析】(1)小滑块沿MN 运动过程，水平方向受力满足 qvB ＋N ＝qE小滑块在C 点离开MN 时N ＝0 解得v C ＝EB(2)由动能定理得mgh －W f ＝12mv 2C －0解得W f ＝mgh －mE 22B2(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g ′g ′＝(qE m)2＋g 2 且v 2P ＝v 2D ＋g ′2t 2解得v P ＝v 2D ＋⎣⎡⎦⎤(qEm )2＋g 2t 2 【答案】(1)E B (2)mgh －mE 22B2 (3)v 2D ＋⎣⎡⎦⎤(qEm )2＋g 2t 2 如图所示，两块水平放置、相距为d 的长金属板接在电压可调的电源上．两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m 、水平速度均为v 0、带相等电荷量的墨滴．调节电源电压至U ，墨滴在电场区域恰能沿水平方向向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M 点．(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量； (2)求磁感应强度B 的值；(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置．为了使墨滴仍能到达下板M 点，应将磁感应强度调至B ′，则B ′的大小为多少？ 【解析】(1)墨滴在电场区域内做匀速直线运动，有 q Ud ＝mg ① 由①式得 q ＝mgd U②由于电场方向向下，电荷所受电场力向上，可知墨滴带负电荷(2)墨滴垂直进入电场、磁场共存区域，重力仍与电场力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，有 qv 0B ＝m v 20R③考虑墨滴进入磁场和撞板时的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径 R ＝d ④ 由②③④式得 B ＝v 0U gd2⑤(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图，设圆周运动半径为R ′，有qv 0B ＝m v 20R ′⑥由图示可得 R ′2＝d 2＋(R ′－d2)2⑦得R ′＝54d ⑧联立②⑥⑧式可得 B ′＝4v 0U 5gd 2.【答案】(1)负电荷mgd U (2)v 0U gd 2 (3)4v 0U5gd 2(2016·浙江名校协作体模拟)如图所示，LMN 是竖直平面内固定的光滑绝缘轨道，MN 水平且足够长，LM 下端与MN 相切。

4.3带电粒子在叠加场中的运动【学习目标】1.掌握带电粒子在叠加场中运动的两种常见情景(重点)。

2.会分析其受力情况和运动情况，能正确运用物理规律解决问题(难点)。

1．叠加场电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式运动性质受力特点方法规律匀速直线运动粒子所受的合力为0 平衡条件匀速圆周运动除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg牛顿第二定律，圆周运动的规律较复杂的曲线运动除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向动能定理、能量守恒定律【典例1】(多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A．该微粒一定带负电荷B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动C．该磁场的磁感应强度大小为mg qv cos θ知识点1 带电粒子在叠加场中的直线运动D ．该电场的电场强度大小为mg tan θq【答案】ACD【解析】若微粒带正电，静电力向左，洛伦兹力垂直于OA线斜向右下方，则静电力、洛伦兹力和重力不能平衡，故微粒带负电，故A正确；微粒如果做匀变速运动，重力和静电力不变，而洛伦兹力随速度变化而变化，微粒不能沿直线运动，故B错误；微粒受力如图所示，由平衡条件得qvB cos θ＝mg，qE＝mg tan θ，解得B＝mgqv cos θ，E＝mg tan θq，故C、D正确。

【典例2】(多选)如图所示，空间存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，磁场沿水平方向垂直纸面向里，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。

一个带电粒子以大小为v0的速度从M点沿垂直电场、磁场的方向向右射入场内，粒子恰好能做匀速圆周运动，重力加速度为g，则()A．带电粒子带负电B．带电粒子的比荷为g EC．粒子做圆周运动的半径为gv0 EBD．若使电场强度减小v0B，粒子从M点向右以v0做直线运动知识点2 带电粒子在叠加场中的圆周运动【答案】 BD【解析】 带电粒子带正电，静电力与重力平衡，A 错误；根据平衡条件mg ＝qE ，解得q m ＝g E ，B 正确；根据牛顿第二定律qv 0B ＝m v 02r ，解得r ＝Ev 0gB ，C 错误；若使电场强度减小v 0B ，粒子受到的合力为F ＝qv 0B ＋q (E －v 0B )－mg ，mg ＝qE ，解得F ＝0，粒子受力平衡，从M 点向右以v 0做直线运动，D 正确。