2019届高三物理二轮复习素材：带电粒子在重力场和磁场中运动问题的研究

专题五 电场和磁场中的带电粒子一、考点回顾1．三种力：2．重力的分析：(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特殊交待就可以不计其重力，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；(2)对于一些实际物体，如带电小球、液滴等不做特殊交待时就应当考虑重力；(3)在题目中有明确交待是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单。

3．电场力和洛伦兹力的比较：(1)在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛伦兹力的作用；(2)电场力的大小与电荷的运动的速度无关；而洛伦兹力的大小与电荷运动的速度大小和方向均有关；(3)电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛伦兹力的方向始终既和磁场垂直，又和速度方向垂直；(4)电场既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向，而洛伦兹力只能改变电荷运动的速度方向，不能改变速度大小；(5)电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛伦兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能；(6)匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛伦兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为圆弧。

4．带电粒子在独立匀强场中的运动：(1)不计重力的带电粒子在匀强电场中的运动可分二种情况：平行进入匀强电场，在电场中做匀加速直线运动和匀减速直线运动；垂直进入匀强电场，在电场中做匀变速曲线运动(类平抛运动)；(2)不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动可分二种情况：平行进入匀强磁场时，做匀速直线运动；垂直进入匀强磁场时，做变加速曲线运动(匀速圆周运动)；5．不计重力的带电粒子在匀强磁场中做不完整圆周运动的解题思路：不计重力的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r=mv/Bq ；其运动周期T=2πm/Bq(与速度大小无关)(1)用几何知识确定圆心并求半径：因为F 方向指向圆心，根据F 一定垂直v ，画出粒子运动轨迹中任意两点(大多是射入点和出射点)的F 或半径方向，其延长线的交点即为圆心，再用几何知识求其半径与弦长的关系；(2)确定轨迹所对的圆心角，求运动时间：先利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于360°(或2π)计算出圆心角θ的大小，再由公式t=θT/3600(或θT/2π)可求出运动时间。

带电粒子在重力场与电场中的运动[学习目标] 1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的直线运动问题.2.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的类平抛运动问题和圆周运动问题．一、带电粒子在复合场中的直线运动讨论带电粒子在复合场中做直线运动(加速或减速)的方法(1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式．当带电粒子所受合力为恒力，且与速度方向共线时，粒子做匀变速直线运动，若题目涉及运动时间，优先考虑牛顿运动定律、运动学公式．在重力场和电场叠加场中的匀变速直线运动，亦可以分解为重力方向上、静电力方向上的直线运动来处理．(2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律．若题中已知量和所求量涉及功和能量，那么应优先考虑动能定理、能量守恒定律．例1如图所示，水平放置的平行板电容器的两极板M、N接直流电源，两极板间的距离为L＝15 cm.上极板M的中央有一小孔A，在A的正上方h处的B点有一小油滴自由落下．已知带正电小油滴的电荷量q＝3.5×10－14C、质量m＝3.0×10－9kg.当小油滴即将落到下极板时速度恰好为零．两极板间的电势差U＝6×105 V．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)(1)两极板间的电场强度E的大小为多少？(2)设平行板电容器的电容C＝4.0×10－12 F，则该电容器所带电荷量Q是多少？(3)B点在A点正上方的高度h是多少？针对训练1(多选)如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一恒压直流电源相连．若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子()A．所受重力与静电力平衡B．电势能逐渐增加C．动能逐渐增加D．做匀变速直线运动二、带电粒子的类平抛运动带电粒子在电场中的类平抛运动的处理方法：1．运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律．2．利用功能关系和动能定理分析：(1)功能关系：静电力做功等于电势能的减少量，W电＝E p1－E p2.(2)动能定理：合力做功等于动能的变化，W＝E k2－E k1.例2如图所示，空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q＞0)，A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t，B从O点到达P点所用时间为t2.重力加速度为g，求：(1)电场强度E的大小；(2)B运动到P点时的动能；(3)OP间的电势差U OP的大小．针对训练2(多选)如图所示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行金属板左侧中点以相同的初速度v0垂直于电场方向进入板间匀强电场，最后落在A、B、C 三点，可以判断()A．落到A点的小球带正电，落到B点的小球不带电，落到C点的小球带负电B．三个小球在电场中运动的时间相等C．三个小球到达极板时的动能关系为E k C＞E k B＞E k AD．三个小球在电场中运动时的加速度关系为a A＜a B＜a C三、带电粒子在电场(复合场)中的圆周运动解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力．例3(多选)(2022·广州市高二期末)如图所示，在竖直放置的半径为R的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处固定一点电荷，将质量为m，带电荷量为＋q的小球从圆弧管的水平直径端点A由静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力．已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．O处固定的点电荷带负电B．小球滑到最低点B时的速率为2gRC．B点处的电场强度大小为2mg qD．小球不能到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C例4(2021·六安市高二期中)如图所示，一个竖直放置的半径为R的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E，有一质量为m、电荷量为q的带正电荷的空心小球套在环上，并且Eq＝mg.(1)当小球由静止开始从环的顶端A 下滑14圆弧长到位置B 时，小球的速度为多少？环对小球的压力为多大？(2)小球从环的顶端A 滑至底端C 的过程中，小球在何处速度最大？最大速度为多少？专题强化5 带电粒子在重力场与电场中的运动探究重点 提升素养例1 (1)4×106 V/m (2)2.4×10－6 C (3)0.55 m解析 (1)由匀强电场的场强与电势差的关系式可得两极板间的电场强度大小为E ＝UL ＝4×106 V/m.(2)该电容器所带电荷量为Q ＝CU ＝2.4×10－6 C. (3)小油滴自由落下，即将落到下极板时，速度恰好为零 由动能定理可得：mg (h ＋L )－qU ＝0 则B 点在A 点正上方的高度是h ＝qU mg －L ＝3.5×10－14×6×1053.0×10－9×10m －15×10－2 m ＝0.55 m. 针对训练1 BD [对带电粒子受力分析如图所示，F 合≠0，A 错误．由图可知静电力与重力的合力方向与v 0方向相反，F 合对粒子做负功，其中重力mg 不做功，静电力Eq 做负功，故粒子动能减少，电势能增加，B 正确，C 错误．F 合恒定且F 合与v 0方向相反，粒子做匀减速直线运动，D 正确．] 例2 (1)3mg q (2)2m (v 02＋g 2t 2) (3)3mg 2t 22q解析 (1)设电场强度的大小为E ，小球B 运动的加速度为a ，OP 的竖直高度为h ， 根据牛顿第二定律：mg ＋qE ＝ma 由运动学公式和题给条件有：h ＝12gt 2＝12a (t 2)2 联立解得：E ＝3mg q(2)设小球B 从O 点发射时的速度为v 1，到达P 点时的动能为E k ，根据动能定理有： mgh ＋qEh ＝E k －12m v 12h ＝12gt 2 且小球B 水平方向位移：x ＝v 1t2＝v 0t联立得：E k ＝2m (v 02＋g 2t 2) (3)OP 间电势差为U OP ＝Eh 由(1)知E ＝3mgq联立解得：U OP ＝3mg 2t 22q.针对训练2 ACD [不带电小球、带正电小球和带负电小球在平行金属板间的受力如图所示：由此可知不带电小球做平抛运动，a 1＝Gm ，带正电小球做类平抛运动a 2＝G －F m ，带负电小球做类平抛运动，a 3＝G ＋F ′m.根据题意，三小球在竖直方向都做初速度为0的匀加速直线运动，到达下极板时，竖直方向的位移h 相等， 根据t ＝2ha得，带正电小球运动时间最长，不带电小球次之，带负电小球运动时间最短． 三小球在水平方向都不受力，做匀速直线运动，则落在板上时水平方向的距离与下落时间成正比，故水平位移最大的A 是带正电的小球，B 是不带电的小球，C 是带负电的小球，故A 正确，B 错误；根据动能定理，三小球到达下板时的动能等于这一过程中合外力对小球做的功．由受力图可知，带负电小球所受合力最大，为G ＋F ′，做功最多，动能最大，带正电小球所受合力最小，为G －F ，做功最少，动能最小，则小球到达极板时的动能关系为E k C ＞E k B ＞E k A ，故C 正确．因为落在A 点的小球带正电，落在B 点的小球不带电，落在C 点的小球带负电，所以a A ＝a 2，a B ＝a 1，a C ＝a 3，所以a A ＜a B ＜a C ，故D 正确．]例3 AB [小球从A 点由静止释放，运动到B 点的过程中，电场力不做功，则由机械能守恒定律可得mgR ＝12m v 2，即到达B 点的速度为v ＝2gR ，故B 正确；由题意可知，小球沿细管滑到最低点B 时，对管壁恰好无压力，则在B 点小球受重力和电场力，小球带正电受向上的电场力，则O 处固定的点电荷带负电，故A 正确；在B 点由牛顿第二定律k QqR 2－mg ＝m v 2R ，E ＝k Q R 2＝3mgq ，故C 错误；根据点电荷的电场分布特点，可知电场线沿着半圆轨道的半径方向，所以小球从A 点运动到C 点的过程中，电场力不做功，即小球从A 点运动到C 点的过程中，机械能守恒，即小球可以到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C ，故D 错误．] 例4 (1)4gR 5mg (2)BC 弧的中点2(2＋1)gR解析 (1)从A 到B 根据动能定理得：mgR ＋qER ＝12m v B 2－0，解得：v B ＝4gR .根据牛顿第二定律得：F N －qE ＝m v B 2R ，解得：F N ＝5mg .根据牛顿第三定律得，环对小球的压力为5mg .(2)由于小球所受的静电力与重力都是恒力，它们的合力也是恒力，小球从A 处下滑时，静电力与重力的合力先与速度成锐角，做正功，动能增大，速度增大，后与速度成钝角，做负功，动能减小，速度减小，所以当合力与速度垂直时速度最大，由于qE ＝mg ，所以速度最大的位置位于BC 圆弧的中点，设为D 点． 则从A 到D 过程，根据动能定理得： mg (R ＋22R )＋qE ·22R ＝12m v m 2 解得：v m ＝2(2＋1)gR .。

第二轮专题：带电粒子在电场和磁场中的运动第一部分 相关知识点归纳《考试大纲》对此部分的说明：①带电粒子在匀强电场中运动的计算，只限于带电粒子进入电场时速度平行或垂直于电场的情况 ②洛仑兹力的计算只限于速度与磁感应强度垂直的情况 一、不计重力的带电粒子在电场中的运动 1．带电粒子在电场中加速（或减速）当电荷量为q 、质量为m 、初速度为0v 的带电粒子经电压U 加速后，速度变为t v ，由动能定理得：2022121mv mv qU t -=。

若00=v ，则有mqUv t 2=，这个关系式对任意静电场都是适用的。

对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用。

有时也会碰到带电粒子在电场中即加速又减速，甚至是互逆的过程，此时要注意运用匀变速直线运动的相关知识进行分析和求解。

2．带电粒子在匀强电场中的偏转（类平抛）电荷量为q 、质量为m 的带电粒子由静止开始经电压U 1加速后，以速度1v 垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图所示)。

21121mv qU =设两平行金属板间的电压为U 2，板间距离为d ，板长为L 。

(1)带电粒子进入两板间后粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有：t v L v v x 11,==粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有： mdqU mqE a at y at v y 22,21,====(2)带电粒子离开极板时 侧移距离122212224221dU L U mdv L qU at y ===偏转角度ϕ的正切值1221212tan dU L U mdv L qU v at ===ϕ若距偏转极板右侧D 距离处有—竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板中心沿中心与射出点的连线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离ϕtan 2'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=L D y 。

在电、磁场中带电粒子的力和运动《电场》、《磁场》既是电磁学的基础、又是电磁学的重点内容，是历年高考命题选材的重点.本内容在复习时要抓住如下三方面问题.一要深刻理解有关“场”及场的性质有关概念《电场》部分主要有：电场强度、电势差、电势、电场线、等势面、静电平衡及平行板电容器的电容. 《磁场》部分主要有：磁感应强度、磁通量及其变化、磁感线、左、右手定则等都是重要概念，在复习时不仅要深刻理解概念的内涵，还要熟悉所述物理量之间的关系，如在匀强电场中E ＝dU 是联系电场强度和电势差的重要公式，在平行板电容器中U ＝S kdQ C Q επ4=是联系加在电容器两端电压和电容器的电容的重要公式. 在匀强磁场中R ＝qB m v 是联系带电粒子射入磁场中的速度和回转半径的重要推导式； T ＝vR π2是联系粒子射入电场中的速度和周期（频率）的关联式，左手定则是判断磁场方向、带电粒子所受洛仑兹力方向以及粒子运动方向的重要定则．特别要注意的是：在使用时，应与右手定则区分开来，两者不能混淆，切忌用错.二要掌握带电粒子在场中的受力和运动特点及规律带电粒子在场中的运动可分为：①带电粒子在电场中的加速和偏转，②带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，③带电粒子在电场、磁场中的运动，④带电粒子在重力场、电场、磁场三场并存的复合场中的运动. 带电粒子的上述运动均是因为受到不同的场力作用的结果，无论粒子在是在简单情景中的运动还是在复杂情景中运动，均将体现把场的性质、运动学知识、牛顿运动定律、功能关系、动量守恒定律和能量守恒定律有机的联系在一起，因而综合性较强，能力要求较高. 处理这类问题时，应以粒子受力分析为主线，仔细弄清运动过程，灵活选择解题方法，实现审题、解题的优化途径.三要是熟悉联系科技、联系实际的物理模型.近年来联系科技、联系实际的题型越来越多，如速度选择器、质谱仪、回旋加速器、磁流体发电机、电磁流量计、磁谱仪、霍尔效应等都成为高考命题的重要素材，因此，在专题复习时要尽可能选择一些联系科技，联系实际的试题进行训练.下面通过典型例题的分析解答来阐述带电粒子在场中运动的特点，解题方法和复习时的注意要点．一、电场中带电粒子的力和运动带电粒子在电场中的受力和运动状态主要有三种：受到平衡力的作用，粒子处于平衡状态；受到变力的作用，粒子处于变速直线运动状态；当所受的合力与粒子初速度方向垂直时，粒子将在电场中发生偏转――粒子将作类平抛运动. 解决这类问题，一是由电场知识结合静力学知识，运动学规律和牛顿运动定律求解；二是从能量角度求解，有时从能量角度考虑会更方便一些. 常见的带电粒子有：电子、质子、α粒子、离子等. 因这些粒子的重力较电场力小得多，常常忽略不计；另一类粒子，像带电微粒、油滴、尘埃等，因重力相对电场力较大，常不可忽略.（1）带电粒子的平衡：带电粒子在电场中处于静止状态，设匀强电场的两极板电压为U ，板间距离为d . 则mg =qE ,q ＝Umgd E mg = （2）带电粒子的加速：①运动状态分析，带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一直线上，粒子做匀加（减）速直线运动. ②用功能观点分析，粒子动能的变化量等于电场力做的功（电场可以是匀强电场，也可以是非匀强电场） 若粒子初速为零，则qU mv =221 若粒子初速度为v 0，则221mv －qU v v qU mv 2,212020+== （3）带电粒子的偏转（限于匀强电场）：若带电粒子以速度v 0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受到恒定与初速度方向成90°角的电场力作用而作匀变速曲线运动，处理方法与平抛运动的处理方法相同. 应用运动的合成与分解的知识、方法求解：沿初速度的方向为匀速直线运动，有： l =v 0t沿电场力方向为初速度为零的匀加速直线运动，有： a =mdqU m qE = 离开电场时偏移量y =dmv U ql at 2022221= 离开电场时偏转角ϕ：tan ϕ=dmv qlU v v y200= 【例1】 如图所示，虚线a 、b 、c 表示O 处点电荷的电场中的三个等势面，设两相邻等势面的间距相等. 一电子射入电场后的运动轨迹如图中实线所示，其中1、2、3、4表示运动轨迹与等势面的一些交点. 由此可以判定处的点电荷一定带正电、b 、c 三个等势面的电势关系是φa >φb >φc电子从位置1到2和从位置3到4的过程中电场力做功的大小关系是W 12=2W34电子在1、2、3、4四个位置处具有的电势能与动能的总和一定相等【解析】 做曲线运动的物体所受合力应指向轨迹的内侧，故O 处的点电荷应带负电，且φa<φb <φc . 由于越靠近点电荷场强越大，故U 12>2U 43，则W 12>2W 34.由以上分析，可知选项ABCε 均不正确， 电子只受电场力，故其电势能与动能的总和守恒，所以只有选项D 是本题的答案.【注意要点】本题考查的知识内容有电势、电势差、等势面、电场力做功、电势能、带电粒子的动能、带电粒子在电场中的运动，解题时运用到的规律有能量守恒定律．解答本题时必须抓住两个关键：其一是点电荷的电场是非匀强电场，两相邻等势面的间距相等，但两相邻等势面之间的电势差不相等。