人教A版数学必修五3.1《不等关系与不等式》宽屏课件

2 ab > b + b
3
例2 已知b＞a＞c2 ，a＞0，求证：
bc a + < b+ c
a
例3 已知a、b为正实数，求证：
ab a b
ba
例4 比较下列各组代数式的大小： （1）a2＋b2与2(a＋b－1)； （2）(a＋b)(a3＋b3)与(a2＋b2)2
(a＞0，b＜0).
例5 已知c＞a＞0， c＞b＞0，比较 a与c - c2 - ab .
所以－16<(a－b)c2<0
e
e
5. a b 0, c d 0, e 0,则
.
ac bd
证明:因为a b 0,c d 0,
所以 c d 0,a c b d 0.
所以0< 1 1 .因为e 0,所以 e e
ac bd
ac bd
应用举例
t
p
1 2
5730
例1 已知 a＞b＞1，求证：
(B )
A．ab>ac
B．(a-b)∣c-b∣>0
C．a∣c∣>b∣c∣ D．∣ab∣>∣bc|
4.(1)如果30 x 36, 2 y 6,求x-2y及 x 的取值范围. y
18<x－2y<32， 5 x 18 y
（2）若－3<a<b<1，－2<c<－1，求(a－b)c2
的取值范围. 因为－4<a－b<0，1<c2<4，
法的理论依据是 a > 1,b > 0 ?或a b
b
a
.
> 1,b < 0 ? a b
b
作业：

⑺ a b，ab 0 1 1
(倒数法则)
ab注:一定要在理解的基础,记准、记熟不等式的这些基本性质,这是我们对不等式进行变形的基础. 6
例 1 已知 a b 0 , c 0 ,求证: c a b c ab
解:法一:作差比较法
作差
∵ c a b c cb ab (ab ac) c(b a) 变形
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
3
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
4
答案
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
变形
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 0 定符号
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 确定大小
10
课堂练习:
用不等号 “<”或 “>”填空: ⑴ a b,c d a c ___>____ b d ;
ab
ab
ab
∵ a b 0,a b 0, ab 0 ∵ c 0
∴ c(b a) 0 ab
∴ca bc ab
定符号 确定大小
7
例 1 已知 a b 0 , c 0 ,求证: c a b c ab
解:法二:巧用不等式的性质(综合法)
∵a b0,c0,
从已知出发
∴1 1 ba
⑵ a b 0,c d 0 ac _<___ bd ;
⑶ a b 0 3 a _>_____ 3 b ;

练习6：证明：
性质5： a b a c b c.
a b 0, c d 性质6： a b0a 性质7：
性质8： a b0
n n
0 ac bd . b
n
(n N , n 2) (n N , n 2)
a b
n
所以b a.
性质2
a b, b c a c a b, b c a c （传递性）
(a b) (b c) 0
证明：a b，b c a b 0，b c 0
a c 0 a c.
求证： c b, b a c a. 练习4：
确定大小
练习3：比较(a+3) (a-5) 与 (a+2) (a-4)的大小. (a+3) (a-5) < (a+2) (a-4)
3.不等式的性质：
性质1
abba a b b a （对称性）
证明： 因为a b, 所以a b 0，
所以 (a b) 0,
即b a 0,
证明： 由a b, 得a b 0, 又c 0,
所以(a b)c 0,即ac bc 0,
所以ac bc.
c c 例2.已知 a > b >0, c <0, 求证 ＞ . a b
1 证明：因为a > b >0, 所以 , 于是 ab ab 思考？ 1 1 . 即 b a c c 能否用 , 由 c<0 , 得 作差法 b a 证明 ？ c c . 即 a b
2. 实数大小的比较
x A O B
如果 a-b 是正数，则 a >b；如果 a >b，则a-b为正数；

例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量 x 不能超过 500 mm 钢管数 y 的 3 倍. 写 出满足上述所有不等关系的不等式. 解: ① 600 mm 钢管数 x 不能超过 500 mm 钢管 数 y 的 3 倍: x≤3y, ② 总长度不能大于 4000 mm: 600x500y≤4000 x 3 y, ③ 钢管数不能为负: 600x 500 y 4000, x≥0, y≥0, x 0, 由①②③得: y 0.
2. 有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字 比十位数字大 2. 试用不等式表示上述关系, 并求出 这个两位数 (用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数 字和个位数字). 解: 10ab>50, ① 10ab<60, ② ③ b=a2. 48 ; a ③代入①得 ④ 11 58 ③代入②得 a . ⑤ 11 由④⑤得 a = 5, 则 b = 7. ∴这个两位数是 57.
f 2.5%, p 2.3%.
Hale Waihona Puke 例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (1) 设点 A 与平面 a 的距离为 d, B 为平面 a 上 任意一点, 写出 |AB| 与 d 的大小关系. (2) 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售 出 8 万本. 据市场调查, 若单价每提高 0.1 元, 销售 量就可能相应减少 2000本. 若把提价后杂志的定价设 为 x 元, 写出销售的总收入不低于20万元的不等式. (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍. 写出满足 上述所有不等关系的不等式.

因为 c d ，
所以 b＋c＞b＋d. ② 由①、②得，a＋c＞b＋d．
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6
（6）如果 a b 0, c d 0，那么 ac bd ；
（6）
a c
b,c d,b
0 0
ac bc
bc bd
ac
bd
；
（7）如果 a b 0 ，那么 an bn , (n N, n 2) ；
3.1 不等关系与不等式（题 1：等式的性质有哪些？请大家用符号表示出来.
①对称性： a b b a ； ②传递性 a b,b c a c ； ③加法法则： a b a c b c ； ④乘法法则： a b, c 0 ac bc .
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∴n a n b ．
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8
例题 1.已知 a b 0, c 0 ，求证： c c . ab
证明：因为 a b 0 ，所以 ab 0, 1 0 . ab
于是 a 1 b 1 ，即 ab ab 11. ab
由 c 0 ，得
cc. ab
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问题 7：请大家思考还有其它证明方法吗？ 请大家尝试一下.
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3
问题 3：上面得到的结论是否正确，需要我们给出证明.因为证明的不等式，是描述两个数之 间的大小关系，可以用什么方法比较呢？ 可以用作差法比较
其原理是什么呢？
ab0a b； ab0a b； a b 0 a b.
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4
问题 4：请大家用作差法证明性质（4）.
证明：因为 a b, c 0 ，
2
问题 2：根据等式的这些性质，你能猜想不等式的类似性质吗？ 请大家加以探究.
（1）如果 a b ，那么 b a ；如果 b a ，那么 a b .即 ab ba.

＞ y ； x______ ＞ x＞y＞0⇒x ______ y.
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
*
n
n
3
3
自测 自评
1．下面能表示“m与n的和是非正数”的不等式为 ( C ) A．m＋n＜0 B．m＋n＞0 C．m＋n≤0 D．m＋n≥0
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自测 自评
2．若f(x)＝3x －x＋1，g(x)＝2x ＋x－ 1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x) C．f(x)＜g(x) D．随x值变化而变化
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题型1
用不等式表示不等关系
例1 分别写出满足下列条件的不等关系：
(1)一个两位数的个位数字y比十位数字x大，且这 个两位数小于30； (2)某电脑用户计划用不超过 500元的资金购买单 价分别为60元的单片软件x片和70元的盒装磁盘y 盒．根据需要，软件至少买 3片，磁盘至少买2盒．
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基础 梳理 ＞ ⑤a＞b，c＞d⇒a＋c______ b＋d. x＞1，y＞2⇒x＋y＞______. 3 ＞ bd. ⑥a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac______ 6 x＞2，y＞3⇒x· y＞______. n ＞ b . ⑦a＞b＞0，n∈N*⇒an______
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⑧a＞b＞0，n∈N ，n＞1⇒ a______ b. ＞
2
2
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解析：∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞ g(x)． 答案：A
自测 自评
3．若b＜0，a＋b＞0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
)
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解析：∵b＜0，a＋b＞0， ∴a＞－b＞0， ∴a－b＞0. 答案：A

3. 判断符号；
4. 作出结论．
第十七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
课堂小结
1．通过具体情景，建立不等式模型； 2．比较两实数大小的方法——求差
比较法．
湖南省长沙市一中第十卫八页星，编远辑于程星期学日：校十三点 十七分。
课后作业
1. 比较 a m 与 a (其中b a 0, m 0) bm b
教材P.74练习第1、2题.
第七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
思考:
除了以上列举的现实生活中的不等 关系，你还能列举出你周围日常生活中
的不等关系吗？
第八页，编辑于星期日：十三点 十七分。
文字语言与数学符号间的转换：
文字语言 大于 小于
大于等于 小于等于
数学符号 > < ≥ ≤
文字语言 至多 至少
的大小. 2. 《习案》作业二十一.
湖南省长沙市一中第卫十九星页，远编辑程于星学期日校：十三点 十七分。
情境导入
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的 钢管截成500mm和600mm两种，按照生 产的要求，600mm钢管的数量不能超过
500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所 有不等关系的不等式呢？
500x 600 y 4000
3x y
x
0
y 0
第六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
练习:
米饭y百克，试写出x，y满足的条件．
第十页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲解范例:
例2. 配制A、B两种药剂需要甲、乙两种 原料，已知配A种药剂需甲料3毫克，乙 料5毫克，配B种药剂需甲料5毫克，乙
料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，
若两种药至少各配一剂，则A、B两种药 在配制时应满足怎样的不等关系.

跟踪训练1-1:配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料. 已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲 料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A、B两种药 至少各配一剂,设A、B两种药分别配x、y剂(x、y∈N),请 写出x、y应满足的不等关系式.
3x 5y 20,
解:根据题意可得
解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
=（x- 3 ）2+ 3 ≥ 3 >0, 2 44
∴x2+3>3x.
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2) =a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0且a≠b, ∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即a3+b3>a2b+ab2.
6天内它的行程为6(x-10)km,那么不等关系“在6天内它
的行程将不超过2000 km”可以用不等式6(x-10)≤2000
来表示.
答案:6(x-10)≤2000
课堂小结
1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b. 2.作差比较的一般步骤: 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒 等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号,就是确 定是大于0,等于0,还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是 目的,“变形”是关键. 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严 格依性质进行,千万不可想当然.

路程的速度为v1,而在后一半的路程为v2 (v1 v2 );乙 在前一半时间的速度为v1 , 而在后一半时间的速度 为v2.问: 两人中谁先到达B地?
三、总结作业
(乘法法则1)
(5)a b, c d a c b d; (加法法则2)
(6)a b 0, c d 0 ac bd; (乘法法则2)
一、新课引入
(7)a b 0 an bn , (n N , n 2); (乘方法则) (8)a b 0 n a n b (n N , n 2). (开方法则)
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§3.1不等关系与不等式 (二)
一、新课引入
不等式的性质 :
(1)a b b a; (对称性)
(2)a b,b c a c; (传递性)
(3)a b a c b c; (加法法则1)
(4)a b, c 0 ac bc; a b, c 0 ac bc;
例2.某商品计划两次提价,有甲,乙两种方案( p q 0) :
方案 第一次提价 第二次提价
甲
p%
q%
乙
1 ( p q)% 1 ( p q)%
2
2
经过两次提价后,哪种方案提价幅度大 ?
二、新课讲解
练2.已知 0,0 ,求2 取值范围.
2
2
练3.甲,乙两人同时从A出发去B地,已知甲在前一半
二、新课讲解
例1.已知a b 0, c 0,求证 : (1) 1 1 ;
ab (2) c c .
ab
练1.证明以下命题 : (1)若a b, c d,则a c b d; (2)若a b 0, c d 0,则ac bd;
二、新课讲解
(3)a b 0, c d 0, e 0,则 e e . ac bd