2013届人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值A

第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值2.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.min3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O 为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.4.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.7.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.8.设函数，则函数的各极小值之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，则，令，则，所以当时，取极小值，其极小值为所以函数的各极小值之和，故选D.【考点】1.函数的极值求解；2.数列的求和.9.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析10.已知函数在处取得极值，则取值的集合为 .【答案】.【解析】，，依题意有，从而有，且有，即，解得或，当时，，此时，此时函数无极值，当时，，此时，此时函数有极值，故.【考点】函数的极值11.函数最小值是___________.【答案】【解析】函数求导得.当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，因此函数在处取得最小值，即.【考点】利用导数求函数的最值.12.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.13.设函数，（1）求函数的极大值；（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】（1）由导函数或求得函数的单调区间，再找极大值;(2) 的导函数是一元二次函数，转化为一元二次函数在上的最值，再满足条件即可.试题解析：(1)令，且当时，得；当时，得或∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和，故当时，有极大值，其极大值为 6分（2）∵ 7分①当时，，∴在区间内单调递减∴，且∵恒有成立∵又，此时， 10分②当时，，得因为恒有成立，所以，即，又得， 14分综上可知，实数的取值范围 . 15分【考点】1.函数的极值；2.一元二次函数的最值.14.已知函数．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．【解析】（Ⅰ）由，得，令，得或．当变化时，及的变化如下表：由，，，即最大值为，． 4分（Ⅱ）由，得．，且等号不能同时取，，即恒成立，即． 6分令，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，． 8分（Ⅲ）由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于方程在且时是否有解． 10分①若时，方程为，化简得，此方程无解；②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． 14分【考点】利用导数研究函数的单调性、最值。

课时作业(十三) [第13讲 变化率与导数、导数的运算][时间：35分钟 分值：80分]基础热身图K13－11．如图K13－1，函数y ＝f (x )在A 、B 两点间的平均变化率是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．f (x )＝x ，则f ′(8)等于( )A ．0B ．2 2 C.28D ．－1 3． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．ln2 C.ln22D ．e 4． 函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角的度数为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2能力提升5．已知物体的运动方程是s ＝13t 3－6t 2＋32t (t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．2秒或4秒B ．2秒或16秒C ．8秒或16秒D ．4秒或8秒6． 曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.227．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )K13－A.13 B ．－13C.73 D ．－13或538． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．09．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为________．10．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．11．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数：①f (x )＝x 2＋2x ；②f (x )＝sin x ＋cos x ；③f (x )＝ln x －x ；④f (x )＝－x e x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________．(填序) 12．(13分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．难点突破13．(12分)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．课时作业(十三)【基础热身】1．D [解析] f (1)＝3，f (3)＝1，因此f (3)－f (1)3－1＝－1. 2．C [解析] f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x －12＝12x ，f ′(8)＝128＝28. 3．D [解析] f ′(x )＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，∴x 0＝e.4．B [解析] 由题意得f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B. 【能力提升】5．D [解析] 瞬时速度v ＝s ′＝t 2－12t ＋32，令v ＝0可得t ＝4或8.6．B [解析] 对y ＝sin x sin x ＋cos x －12求导得到 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2， 当x ＝π4时y ′⎪⎪x ＝π4＝1⎝⎛⎭⎫22＋222＝12. 7．B [解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a )2－1，∴y ＝f ′(x )是开口向上，以x ＝－a 为对称轴，(－a ，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y ＝f ′(x )的图象．∵由图象知f ′(0)＝0，对称轴x ＝－a >0.∴a 2－1＝0，a <0，∴a ＝－1，∴y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－13. 8．B [解析] 由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.9．4x －y －3＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则4x 30＝4，∴x 0＝1，y 0＝1，即切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝4，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.10．(－∞，0) [解析] 由题意可知f ′(x )＝3ax 2＋1x，又因为曲线存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x ＞0)⇒a ∈(－∞，0)． 11．②③④ [解析] 对于①f ′(x )＝2x ＋2，f ″(x )＝2>0，因此①不是凸函数；对于②f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin x >0，cos x >0， ∴f ″(x )<0，因此②是凸函数；对于③，f ′(x )＝1x －1，f ″(x )＝－1x2<0，因此③是凸函数；对于④，f ′(x )＝－e x －x e x ，f ″(x )＝－e x －e x －x e x ＝－(x ＋2)e x <0，因此④是凸函数．12．[解答] 当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0.【难点突破】13．[解答] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

课时作业(十) [第10讲 函数的图象及应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．函数y ＝x |x |图K102．把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋13． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图K10－2所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )－2图K10－34．函数y ＝2－xx －1的图象关于点________对称．能力提升5．已知图K10－4①是函数y ＝f (x )的图象，则图K10－4②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)6． 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图K10－5所示．设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是( )图K10－5K107．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0)，x 2＋1，x ∈[0，1]，则如图K10－7中函数的图象错误的是( )K10－78． 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个9．如图K10－8，正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B 22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是( )图K10－8图K10－910．函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，将y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，再将y ＝g (x )的图象向上平移1个单位，得到函数y ＝h (x )的图象，则函数y ＝h (x )的解析式是________．11． 若函数y ＝f (x ＋2)的图象过点P (－1,3)，则函数y ＝f (x )的图象关于原点O 对称的图象一定过点________．12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．13．已知函数y ＝f (x )K10－10所示：则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根；方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 14．(10分)已知函数f (x )＝x 2－2x ，且g (x )的图象与f (x )的图象关于点(2，－1)对称，求函数g (x )的表达式．15．(13分)若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．课时作业(十)【基础热身】1．A [解析] 因y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，又y ＝x |x |为奇函数，结合图象知，选A.2．C [解析] 把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2的图象，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3的图象．3．A [解析] f (x )的零点为a ，b ，由图可知0<a <1，b <－1，则g (x )是一个减函数，可排除C 、D ；再根据g (0)＝1＋b <0，可排除B ，故正确选项为A.4．(1，－1) [解析] y ＝2－x x －1＝－1＋1x －1，y ＝2－x x －1的图象是由y ＝1x 的图象先向右平移1个单位，再向下平移1个单位而得到，故对称中心为(1，－1)．【能力提升】5．C [解析] 由题图②知，图象对应的函数是偶函数，且当x <0时，对应的函数是y ＝f (x )，故选C.对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．6．A [解析] 依题意y ＝10x (2≤x ≤10)，所以图象为A.7．D [解析] 因f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0)，x 2＋1，x ∈[0，1]，其图象如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图象均正确，只有|f (x )|的图象错误．8．A [解析] 10个交点．9．C [解析] 当0<t f (t )＝1－12·(2－t )·2(2－t )＝－t 2＋22t －1，即函数f (t )在⎝⎛⎦⎤0，22上是开口向上的抛物线，在⎝⎛⎦⎤22，2上是开口向下的抛物线，故选C.10．y ＝ln(x ＋2)＋1 [解析] 依题意，f (x )＝ln x ，g (x )＝ln(x ＋2)，h (x )＝ln(x ＋2)＋1. 11．(－1，－3) [解析] 依题意得f (－1＋2)＝3，f (1)＝3，即函数f (x )的图象一定过点(1,3)，因此函数y ＝f (x )的图象关于原点O 对称的图象一定经过点(1,3)关于原点O 的对称点(－1，－3)．12.12≤a <1或1<a ≤2 [解析] 由题意可知a x >x 2－12在(－1,1)上恒成立， 令y 1＝a x ，y 2＝x 2－12，由图象知：⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥(－1)2－12，a 1≥1－12，a >0且a ≠1，∴12≤a <1或1<a ≤2. 13．6 5 [解析] 由图可知，方程上的根有三个，分别为x ＝0，x ＝a ∈(－2，－1)，x ＝b ∈(1,2)．①f [g (x )]＝0等价于g (x )＝0或g (x )＝a ∈(－2，－1)或g (x )＝b ∈(1,2)，结合y ＝g (x )在[－2,2]的图象，可以发现g (x )＝0，g (x )＝a ∈(－2，－1)，g (x )＝b ∈(1,2)各有两个解，合计为6个解；②f [f (x )]＝0等价于f (x )＝0或f (x )＝a ∈(－2，－1)或f (x )＝b ∈(1,2)，结合y ＝f (x )在[－2,2]的图象，可以发现f (x )＝0，f (x )＝a ∈(－2，－1)，f (x )＝b ∈(1,2)的根分别为3个，1个，1个，合计为5个解．14．[解答] 函数f (x )的定义域是R ，在函数f (x )的图象上任取一点(x 0，y 0)，它关于点(2，－1)对称的点为(x ，y )，根据两点连线段的中点坐标公式，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4－x ，y 0＝－2－y ，于是－2－y ＝f (4－x )＝(4－x )2－2(4－x )＝x 2－6x ＋8，所以y ＝－x 2＋6x －10. 故g (x )＝－x 2＋6x －10.15．[解答] 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ， 于是，设y 1＝|x 2－4x ＋3|，y 2＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图， 则当直线y 2＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y 2＝x ＋a 与抛物线y 1由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋a ，y 1＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知，a ∈⎣⎡⎦⎤－1，－34时，方程至少有三个根． 【难点突破】16．[解答] (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，则2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝x ＋1x .故f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4， 即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．。

2013年全国各省市高考文科数学试题分类汇编：函数与导数1.（2013年安徽卷文20题）（本小题满分13分）设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{}|()0I x f x =>.（Ⅰ）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-；（Ⅱ）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值.【解析】（1）令2()-10f x x a a x ⎡⎤=+=⎣⎦（） 解得 10x = 221a x a =+ 2|01a I x x a ⎧⎫∴=<<⎨⎬+⎩⎭I ∴的长度212-1a x x a =+ （2） ()0,1k ∈ 则0112k a k <-≤≤+<由 （1）21a I a =+2221'0(1)a I a -=>+，则01a << 故I 关于a 在(1,1)k -上单调递增，在(1,1)k +上单调递减.()1221-1-2211-kk I k k k ==+++22111k I k +=++（） m i n 21-22k I k k =++ 【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.2. （2013年北京卷文18题） (本小题共13分)已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。

3.（2013年福建卷文22题）（本小题满分14分） 已知函数()1x a f x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+，得()1xa f x e '=-． 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，得()10f '=，即10a e-=，解得a e =．（Ⅱ）()1xa f x e '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值．②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值．（Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+令()()()()111x g x f x kx k x e =--=-+， 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时，()10xg x e =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+． 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111x kx x e -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()11x k x e -= （*）在R 上没有实数解．①当1k =时，方程（*）可化为10x e =，在R 上没有实数解． ②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-． 令()x g x xe =，则有()()1x g x x e '=+．令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min g x e =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（*）无实数解，解得k 的取值范围是()1,1e -．综上，得k 的最大值为1．4. （2013年广东卷文21题）．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．【解析】：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3k x = ，且过()01，（i）当(241240k k k∆=-=+-≤，即k≤<时，()'0f x≥，()f x在[],k k-上单调递增，从而当x k=时，()f x取得最小值()m f k k==,当x k=-时，()f x取得最大值()3332M f k k k k k k=-=---=--.（ii）当(2412430k k∆=-=+->，即k<时，令()'23210f x x kx=-+=解得：12x x==,注意到210k x x<<<,(注：可用韦达定理判断1213x x⋅=，1223kx x k+=>,从而210k x x<<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min,,max,m f k f x M f k f x∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x-=-+-=-+>()f x∴的最小值()m f k k==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k--=-+---⋅-+-++<()f x∴的最大值()32M f k k k=-=--综上所述，当0k<时，()f x的最小值()m f k k==,最大值()32M f k k k=-=--解法2（2）当0k<时，对[],x k k∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k-=-+-+-=+-≥，故()()f x f k≥32332222()()()(221)()[()1]0 f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k--=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k≤-，而()0f k k=<，3()20f k k k-=-->所以3max()()2f x f k k k=-=--，min()()f x f k k==ks5u【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.5.（ 2013年广西卷文21题）．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围6.（全国新课标二卷文21题）．（本小题满分12分）已知函数2=（Ⅰ）求()f x x e-()xf x的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()=的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围y f xtm+≥22），为所求（所以37.（2013年海南卷文20题）(本小题满分12分)已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+。

课时作业 (四) [第 4 讲函数及其表示 ] [时间： 45 分钟分值： 100 分 ]基础热身11． 已知函数 f(x)＝ lg(x ＋ 3)的定义域为 M ， g(x)＝的定义域为 N ，则 M ∩N 等于2－ x()A ． { x|x>－ 3}B ． { x|－3<x<2}C ．{ x|x<2}D ． { x|－ 3<x ≤ 2}2．以下各组函数中表示同一函数的是() A ． f(x)＝ x 与 g( x)＝ ( x )2 B ．f(x)＝ |x|与 g(x)＝3x 3C ．f(x)＝ lne x 与 g(x)＝ e lnxx 2－ 1 D ． f(x)＝ x － 1 与 g(t)＝ t ＋ 1(t ≠ 1)3．以下对应中：① A ＝ { 矩形 } ， B ＝ { 实数 } ，f ：“求矩形的面积”；② A ＝ { 平面 α内的圆 } ， B ＝ { 平面 α内的矩形 } ， f ：“作圆的内接矩形”；③ A ＝ R ， B ＝ { y ∈ R |y ＞0} ， f ： x → y ＝ x 2＋ 1； ④ A ＝ R ， B ＝ R ， f ： x → y ＝1x ；⑤ A ＝ { x ∈R |1≤ x ≤ 2} ， B ＝ R ， f ：x → y ＝ 2x ＋ 1.是从会合 A 到会合 B 的映照的为 ________．4．已知 f(2x ＋1) ＝3x － 4，f(a)＝ 4，则 a ＝ ________. 能力提高a＋ 1， f(3) ＝ 2，则 f(－ 3)＝ ()5．已知 f(x)＝ x ＋ xA ．－ 2B ．－ 5C ．0D ． 26．下表表示 y 是 x 的函数，则函数的值域是( )x0＜x ＜ 5 5≤ x ＜ 10 10≤ x ＜ 15 15≤ x ≤ 20 y 2 34 5 A.[2,5] B ． N C ．(0,20] D ． {2,3,4,5}7 ． 依据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位：分钟) 为 f(x) ＝c， x ＜ A ，x4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用(A ，c 为常数 ). 已知工人组装第c， x ≥ AA时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 ()A ． 75,25B ． 75,16C ．60,25D ． 60,16f 2x的定义域是 ()8．若函数 y ＝ f(x)的定义域是 [0,2] ，则函数 g(x)＝x － 1A ． [0,1]B ． [0,1)C ．[0,1) ∪(1,4]D ． (0,1)2x ， x>0，若 f( a) ＋ f(1)＝ 0，则实数 a 的值等于 ( )9． 已知函数 f(x)＝x ＋ 1，x ≤ 0，A ．－ 3B ．－ 1C ．1D ． 31 2110． 已知函数 f x － x ＝ x ＋ x 2，则 f(3) ＝________.2x ＋ a ，x<1，11． 已知实数 a ≠ 0，函数 f(x)＝ － x － 2a ， x ≥ 1，若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，则 a 的值为________．12．设奇函数 y ＝ f(x)(x ∈ R )，知足对随意 t ∈ R 都有 f(1＋ t)＝ f(1－ t)，且 x ∈[0,1] 时， f(x) ＝－ x 2，则 f(3) ＋f －3的值等于 ________．213．定义在 R 上的函数 f(x)，假如存在函数 g(x)＝ kx ＋ b(k ， b 为常数 )，使得 f(x) ≥g( x)对一确实数 x 都建立，则称 g(x)为函数 f(x)的一个“承托函数”．现有以下命题：①对给定 的函数 f(x) ，其承托函数可能不存在， 也可能有无数个； ② g(x)＝ 2x 为函数 f(x) ＝ 2x 的一个承托函数；③定义域和值域都是R 的函数 f(x)不存在承托函数．此中正确的命题是 ________． 14．(10 分 ) 在计算机的算法语言中有一种函数 [x] 叫做取整函数 (也称高斯函数 )，表示x x － 1，求函数 y 不超出 x 的最大整数，比如 [2] ＝ 2，[3.3] ＝3，[－ 2.4]＝－ 3.设函数 f(x)＝ 21＋ 2 2 ＝[ f(x)] ＋[f(－ x)]的值域．15． (13 分 )设计一个水槽，其横截面为等腰梯形 ABCD ，要求知足条件 AB ＋ BC ＋ CD＝ a (常数 )，∠ ABC ＝ 120°，写出横截面面积 y 与腰长 x 之间的函数关系式，并求它的定义域和值域．难点打破16． (12分 )已知二次函数f(x)有两个零点 0 和－ 2，且 f(x)的最小值是－ 1，函数g(x)与f(x)的图象对于原点对称．(1)求 f(x)和 g(x)的分析式；(2)若 h(x)＝f(x)－ λg (x)在区间[ － 1,1]上是增函数，务实数λ的取值范围．课时作业 ( 四)【基础热身】1． B [ 分析 ] M ＝ { x|x>－ 3} ， N ＝ { x|x<2} ，因此 M ∩ N ＝ { x|－3<x<2} ．应选 B. 2． D [ 分析 ] 由函数的三因素中的定义域和对应关系进行一一判断，知 D 正确． 3．①③⑤ [分析 ] 由映照的定义可知，①③⑤是从会合 A 到会合 B 的映照．19[分析 ] 令 3x － 4＝4，得 x ＝ 8，∴ a ＝ 2x ＋ 1＝ 194. 3 3 3 .【能力提高】aa5． C [ 分析 ] f(3) ＝ 3＋ 3＋ 1＝ 2，因此 a ＝－ 6，因此 f( －3) ＝－ 3－ 3＋ 1＝ 0，应选 C. 6． D [ 分析 ] 函数值只有四个数 2、3、 4、 5，故值域为 {2,3,4,5} ．f 4 ＝ c＝ 30，c ＝ 60，7． D [ 分析 ] 由题意可知4c解得故应选 D.f A ＝ ＝ 15，A ＝ 16，A8．B [ 分析 ] 由于 f(x)的定义域为 [0,2] ，因此对 g( x)，0≤ 2x ≤2，且 x ≠ 1，故 x ∈ [0,1) ．9．A [ 分析 ] 当 a>0 时，由 f(a)＋ f(1) ＝ 0 得， 2a ＋ 2＝0，解得 a ＝－ 1，舍去；当 a ≤ 0 时，由 f(a) ＋f(1)＝ 0 得， a ＋ 1＋ 2＝ 0，解得 a ＝－ 3，选 A.10． 11 [分析 ] 由于 f x － 1 ＝ x －1 2＋ 2，因此 f(x)＝ x 2＋ 2，因此 f(3)＝ 32＋2＝ 11.xx11．－ 3[分析 ] 当 a>0 时， f(1－ a)＝ 2－2a ＋ a ＝－ 1－ 3a ＝f(1＋ a)， a ＝－ 3<0，不可4 2 立；当 a<0 时， f(1－ a)＝－ 1＋ a － 2a ＝ 2＋ 2a ＋ a ＝ f(1＋ a)，a ＝－3.5412.4 [分析 ]由于 f(1＋ t)＝ f(1－ t) ，因此 f(x)＝ f(2－ x)，因此 f(3)＝ f(2 －(－ 1)) ＝f(－ 1)＝－ f(1)＝ 1， f － 3 ＝－ f 2－ 1 ＝－ f 1 1 ，因此 f(3) ＋ f － 3 52 22 ＝ 2 ＝ .4 413．①[分析 ] 对于①，若 f( x)＝ x 2，则 g(x)＝ c(c ≤ 0)，就是它的一个承托函数，且有无数个．又 f(x)＝ lgx 就没有承托函数，∴①正确；对于②，∵x ＝ 3时， g 3 ＝ 3，f 3 ＝23＝2 2 2 2 8，∴ f( x)<g(x)，∴ g(x) ＝2x 不是 f(x)＝ 2x 的一个承托函数； 对于③， 若定义域和值域都是 R的函数 f(x) ＝2x ，则 g(x)＝ 2x － 1 是 f( x)的一个承托函数．14． [解答 ] f(x)＝ 2x ＋ 1－ 1 1 1 － 1 x ，x －2 ＝ 1＋ 1＋ 2 2 21 1 －x ，当 x>0 时， f(x)∈ 1 f(－x)＝2 －1＋2 0，2 ，1f(－x)∈ － ， 0 ，此时 [f(x)] ＋ [f(－x)] 的值为－ 1；当 x<0 时，同理 [f(x)] ＋ [f(－ x)] 的值为－ 1；当 x ＝ 0 时， [f(x)] ＋ [f(－ x)] 的值为 0，故值域为{ － 1,0} ．15． [解答 ] 如图，设 AB ＝CD ＝ x ，则 BC ＝a － 2x ，作 BE ⊥AD 于 E.∵∠ ABC ＝ 120°，∴∠ BAD ＝ 60°，BE ＝故梯形面积1 3y ＝ (a －2x ＋ a － x) · x223 12 x ， AE ＝2x ， AD ＝ a －x.＝－3 32333x－a2 3 2 4x ＋2ax＝－43＋12 a .x>0，1由实质问题意义得，a－ x>0，? 0<x<2a，a－ 2x>0即定义域为1. 0， a2a32当 x＝时， y 有最大值a，312即值域为32. 0，12 a【难点打破】2＋ 2ax(a>0)．16． [解答 ] (1) 依题意，设 f(x)＝ ax(x＋ 2)＝ axf(x)图象的对称轴是x＝－ 1，∴f(－ 1)＝－ 1，即 a－ 2a＝－ 1，得 a＝ 1.∴f(x)＝x2＋ 2x.由函数 g(x)的图象与f(x)的图象对于原点对称，∴g(x)＝－ f(－ x)＝－ x2＋ 2x.222(2)由 (1) 得 h( x)＝x ＋ 2x－λ(－ x ＋ 2x)＝ (λ＋ 1)x ＋ 2(1－λ)x.②当λ<－ 1 时， h( x)图象对称轴是x＝λ－1，λ＋ 1λ－1则≥ 1，又λ<－ 1，解得λ<－1；λ－1③当λ>－ 1 时，同理则需≤－1，又λ>－ 1，解得－ 1< λ≤ 0.综上，知足条件的实数λ的取值范围是(－∞， 0] ．。

课时作业(十五)B [第15讲 导数与函数的极值、最值][时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．[2012·济南模拟] 已知f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图像如图K15－3所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是下图中的( )图K15－2．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( ) A ．2 B ．1C ．0D ．由a 决定3．已知α、β是三次函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2bx (a ，b ∈R )的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则b －2a －1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，1B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，14 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 4．f (x )＝ax ln x的极大值为－2e ，则a ＝________.能力提升5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值为( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为5276．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2 B ．a <－3或a >6 C ．－3<a <6 D ．a <－1或a >27．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－5B ．－11C ．－29D ．－378．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21 D ．a ＝0或a ＝219．函数y ＝f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，F (x )＝f (x )－g (x )，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像如图K15－5所示，且a <x 0<b ，那么( )A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点 10．[2011·广东卷] 函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 11．[2011·绵阳模拟] 图K15－6①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．12．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取极值－43，则b ＝________，c ＝________.13．设a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－3x 2，若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )，x ∈[0,2]在x ＝0处取得最大值，则a 的取值范围是________．14．(10分)[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．15．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．难点突破16．(12分)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝12x 2－x ＋a .(1)当a ＝2时，求函数y ＝g (x )在[0,3]上的值域； (2)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有x ln x >g ′(x )＋1e x －2e成立．课时作业(十五)B【基础热身】1．B [解析] 根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B 正确．2．C [解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋4＝3(x ＋1)2＋1>0，则f (x )在R 上是增函数，故不存在极值点．3．A 【解析】 1<α＋β<3,0<αβ<2，f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，依题意有－a ＝α＋β，αβ＝2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <－1，0<b <1，阴影部分中的点M (a ，b )与点P (1,2)的连线的斜率的范围即为所求．当M坐标为(－1,0)时，b －2a －1＝1；当M 坐标为(－3,1)时，b －2a －1＝14.故选A.4．2 [解析] 函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝－a (ln x ＋1)x 2ln 2x，令f ′(x )＝0，得x＝1，当a >0时，列表如下： 当x ＝1e时，函数f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝a1e ln 1e＝－a e ，故－a e ＝－2e ，解得a ＝2；【能力提升】5．A [解析] 由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝⎛⎭⎫13是极大值，故选A.6．B [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，解得a <－3或a >6.7．D [解析] 由f ′(x )＝6x 2－12x >0得x <0或x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )在[－2,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．∴x ＝0时，f (x )max ＝m ＝3.又f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴f (x )min ＝－37.8．A [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，令f ′(x )＝0，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．9．B [解析] F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∴F ′(x 0)＝f ′(x 0)－g ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，且x <x 0时，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)<0，x >x 0时，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)>0，故x ＝x 0是F (x )的极小值点，选B.10．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值． 11．②③ [解析] 由函数y ＝f (x )的导函数的图像可知：(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．12．－1 3 [解析] f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，∴当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．13.⎝⎛⎦⎤－∞，65 [解析] g (x )＝ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ＝ax 2(x ＋3)－3x (x ＋2)． 当g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)时，g (0)≥g (2)，即0≥20a －24，得a ≤65.反之，当a ≤65时，对任意x ∈[0,2]，g (x )≤65x 2(x ＋3)－3x (x ＋2)＝3x5(2x 2＋x －10)＝3x5(2x ＋5)(x －2)≤0， 而g (0)＝0，故g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，65. 14．[解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.x 与f (x )、f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.15．[解答] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得 4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m .由原点到切线l 的距离为1010，得|m |32＋1＝1010，解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1.由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4， ∴c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23.∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13，在x ＝23处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.【难点突破】16．[解答] (1)∵g (x )＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]，当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝32；当x ＝3时，g (x )max ＝g (3)＝72.故当a ＝2时，g (x )在[0,3]上的值域为⎣⎡⎦⎤32，72.(2)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e，t 无解；②0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ； ③1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ； 所以f (x )min ＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(3)g ′(x )＋1＝x ，所以问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f (x )＝x ln x (x∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到．设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易得m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有x ln x >g ′(x )＋1e x －2e成立．。

课时作业(十三)A [第13讲 导数在研究函数中的应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x >0时，e x <1＋x ，当x <0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x <0时，e x <1＋x ，当x >0时，e x >1＋x2． 如图K13－1，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④3． 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．94． 已知a ≤1－x x＋ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3能力提升5． 函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－36．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7． 函数y ＝f ′(x )是函数y y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )＝f ′(x 0)·(x －x 0)＋f (x 0)图K13－2F (x )＝f (x )－g (x )，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象如图K13－2所示，且a <x 0<b ，那么( )A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点图K13－38．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图K13－3所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.459． 函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31610． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．11． 若x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x －x cos x 的单调递增区间是________．12．函数f (x )＝sin x 2＋cos x的单调递增区间是________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．14．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．15．(13分) 已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，a >1.(1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)对∀x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1恒成立，求a 的取值范围．难点突破16．(12分) 设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．课时作业(十三)A【基础热身】1．C [解析] 设y ＝e x －1－x ，∴y ′＝e x －1，∴x >0时，函数y ＝e x －1－x 是递增的，x <0时，函数y ＝e x －1－x 是递减的，∴x ＝0时，y 有最小值y ＝0.2．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变零点为函数的极值点，因此③④不正确．3．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.4．A [解析] 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在[1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.【能力提升】5．D [解析] f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 6．A [解析] f ′(x )＝3x 2－3，f (x )极大＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小＝f (1)＝－2＋a ，函数f (x )有3个不同零点，则2＋a >0，－2＋a <0，因此－2<a <2.7．B [解析] F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)，∴F ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，又当x <x 0时，从图象上看，x 越接近于x 0，函数f (x )的纵坐标与g (x )的纵坐标的差越小，此时函数F (x )＝f (x )－g (x )为减函数，同理，当x >x 0时，函数f (x )为增函数．8．C [解析] 从函数图象上可知x 1，x 2为函数f (x )的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b ，c ，d .根据函数图象得d ＝0，且f (－1)＝－1＋b －c ＝0，f (2)＝8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，故f ′(x )＝3x 2－2x －2.根据韦达定理x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 9．D [解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫163a ＋1⎝⎛⎭⎫56a ＋1<0，解得－65<a <－316. 10．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．11．[0，π] [解析] y ′＝x sin x ，令y ′>0，即x sin x >0，得0<x <π.又x ∈[0,2π]，所以所求的单调递增区间是[0，π]．12.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) [解析] f ′(x )＝(2＋cos x )cos x －sin x (－sin x )(2＋cos x )2＝2cos x ＋1(2＋cos x )2>0，即cos x >－12，结合三角函数图象知道，2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )． 13.12⎝⎛⎭⎫e ＋1e [解析] 设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，∴M (0，(1－x 0)e x 0)，过点P 作l 的垂线，y －e x 0＝－e －x 0(x －x 0)，∴N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，∴t ＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0) t ′＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以，t 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴x 0＝1，t max ＝12⎝⎛⎭⎫e ＋1e . 14．[解答] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y15．[解答] (1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a ，由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)可知，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(－∞，0)上单调递减．所以，f (x )在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}，f (－1)＝1a＋1＋ln a ，f (1)＝a ＋1－ln a ， f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a ， 记g (x )＝x －1x －2ln x ，g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x－12≥0， 所以g (x )＝x －1x －2ln x 递增，故f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a >0， 所以f (1)>f (－1)，于是f (x )max ＝f (1)＝a ＋1－ln a ，故对∀x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|f (1)－f (0)|＝a －ln a ，a －ln a ≤e －1，所以1<a ≤e.【难点突破】16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2， 令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42， 当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．(2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以 k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即 x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)(*)， 再由(1)知，函数h (t )＝t －1t －2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .。