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高中数学的解析如何利用导数求函数的极值在高中数学中，求解函数的极值是一个常见的问题。
通过计算函数的导数，可以帮助我们找到函数的极大值或者极小值。
解析法是一种常用且简洁的方法，它基于导函数的性质进行推导和分析。
本文将介绍解析法如何利用导数求解函数的极值。
一、解析法的基本思想解析法利用导数的性质来求解函数的极值。
对于一个函数 f(x)，如果它在某个点 x0 处取得极大值或者极小值，那么 f'(x0) = 0。
此外，如果 f'(x0) 不存在，也可能代表 f(x) 在该点取得极值。
二、求解过程1. 求解导函数首先，我们需要求解原函数 f(x) 的导函数 f'(x)。
根据具体的题目，可以通过求导法则来计算函数的导数，例如常用的求导法则包括和差法、乘法法则、除法法则和链式法则等。
求导的过程需要运用高中数学中学过的求导公式和技巧。
2. 解方程 f'(x) = 0根据解析法的基本思想，我们需要找到函数导数为零的点。
因此，我们需要解方程 f'(x) = 0，找出满足条件的 x 值。
3. 判定极值类型在找到满足 f'(x) = 0 的 x 值后，我们可以通过二阶导数的符号来判定具体的极值类型。
如果 f''(x) > 0，那么函数在该点取得极小值；如果f''(x) < 0，那么函数在该点取得极大值。
如果 f''(x) = 0，则需要结合其他方法进一步进行判定。
4. 给出极值点和极值根据判定的结果，我们可以得到函数的极值点和极值。
我们可以通过代入原函数 f(x) 进行计算，得到极值点的具体数值和函数的极值。
三、解析法的应用举例为了更好地理解解析法的应用，以下以一个具体的数学问题为例来演示。
问题：已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) 的极值点和极值。
解答：1. 求解导函数将函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。
一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。
对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。
而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。
二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。
通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。
1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。
解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。
2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。
我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。
3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。
三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。
假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。
1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。
导数的应用二------函数的极值与最值【考点梳理】考点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：（1）一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（2）区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)注意：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
【典型例题】类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。
（1）2()x f x x e -=； 【解析】（1）函数的定义域为R 。
22'()2()'2(2)x x x x x f x xe x e x xe x e x x e -----=+⋅-=-=-。
令'()0f x =，得x=0或x=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且(0)0f =。
导数求极值的方法宝子们，今天咱们来唠唠导数求极值这个超酷的数学方法。
导数呢，就像是一个函数的小跟班，能告诉我们函数的好多小秘密。
那怎么用导数求极值呢？咱先得求出函数的导数。
这就好比是要找到函数变化的小线索。
比如说，有个函数f(x)，求出它的导数f'(x)。
这个导数啊，它反映了函数的斜率变化情况。
当导数f'(x) = 0的时候，这可是个关键的点哦。
这个点就像是函数的一个小站台，函数在这里可能会有极值。
为啥这么说呢？你想啊，导数是斜率嘛，如果斜率为0，那就说明函数在这个地方可能是到了“山顶”或者“山谷”，也就是极大值或者极小值的地方。
不过呢，这里面也有小陷阱。
当f'(x) = 0的点找出来后，咱还得看看这个点周围导数的情况。
如果在这个点的左边，导数是正的，右边是负的，那这个点就是极大值点。
就好像你爬山，爬到一个地方，左边是在往上爬（导数正），右边是在往下走（导数负），那这个地方就是山顶，是极大值啦。
反过来，如果左边导数是负的，右边是正的，这个点就是极小值点，就像到了山谷底部一样。
咱再举个小例子哈。
比如说函数f(x)=x^2，它的导数f'(x)=2x。
当f'(x)=0的时候呢，2x = 0，解得x = 0。
那我们再看x = 0周围，当x<0的时候，f'(x)<0，当x>0的时候，f'(x)>0，所以x = 0这个点就是极小值点，函数在这个点的值f(0)=0就是极小值。
宝子们，导数求极值其实也没有那么难啦，只要掌握了这个小窍门，就像拿到了打开函数极值大门的小钥匙。
多做几道题，你就会发现其中的乐趣啦，加油哦。
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化情况。
如果函数 y ＝ f(x) 在点 x ＝ x₀处的导数存在，那么这个导数表示函数在 x₀点处的切线斜率。
对于函数 y ＝ f(x)，其在 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝lim(Δx → 0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率，物理意义可以是瞬时速度等。
二、函数的极值1、极值的定义设函数 f(x) 在点 x₀及其附近有定义，如果在 x₀附近的左侧 f'（x) ＞ 0 ，右侧 f'（x) ＜ 0 ，那么 f(x₀) 是极大值；如果在 x₀附近的左侧f'（x) ＜ 0 ，右侧 f'（x) ＞ 0 ，那么 f(x₀) 是极小值。
2、求极值的步骤（1）求导数 f'（x) ；（2）解方程 f'（x) ＝ 0 ，找出所有可能的极值点；（3）判断在每个极值点左右两侧导数的符号，确定是极大值还是极小值。
三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间上的最大值和最小值分别称为函数在该区间上的最值。
2、求最值的方法（1）如果函数在闭区间 a, b 上连续，那么先求出函数在开区间（a, b) 内的极值，再将极值与区间端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
（2）如果函数在开区间内或无穷区间上，需要考虑函数的单调性、极限等情况来确定最值。
四、导数与函数单调性的关系设函数 y ＝ f(x) 在某个区间内可导，如果 f'（x) ＞ 0 ，则函数在该区间内单调递增；如果 f'（x) ＜ 0 ，则函数在该区间内单调递减。
五、利用导数求函数极值和最值的例子例 1：求函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 1 的极值。
解：首先求导数 f'（x) ＝ 3x² 6x ，令 f'（x) ＝ 0 ，即 3x² 6x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。
利用导数求极值问题在微积分中，利用导数求解极值问题是一种常见的方法。
本文将介绍利用导数求解极值问题的步骤和原理。
通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解决实际问题。
1. 导数的基本概念在了解如何求解极值问题之前，我们需要了解导数的基本概念。
导数描述了函数在某点的斜率，可以帮助我们理解函数的变化趋势。
函数f(x)在点x处的导数可以用f'(x)来表示，它的计算方法是求函数在该点的切线斜率。
2. 寻找极值的条件要寻找函数的极值，我们需要找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点。
函数在驻点处可能是极大值或极小值。
当导数从正数变为负数时，代表函数经过一个极大值点；当导数从负数变为正数时，代表函数经过一个极小值点。
3. 求解极值的步骤为了求解极值，我们需要按照以下步骤进行计算：- 求函数的导数；- 找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点；- 判断驻点处的极值类型，通过导数的变化来确定是极大值还是极小值；- 根据题目要求，计算函数在极值点处的函数值，得到最终的极值。
4. 实例分析为了加深对导数求极值问题的理解，我们来看一个实例。
假设我们要在一个长度为10的墙上建造一个矩形花坛，花坛的两边将与墙平行。
我们需要确定花坛的长和宽，使得花坛的面积最大。
首先，我们设矩形花坛的长为x，宽为y。
由题目可知，矩形花坛的面积为xy。
我们需要表示出面积函数S(x)。
根据题目要求，矩形花坛的两边将与墙平行，因此矩形的周长为2x+2y。
又因为墙的长度为10，所以2x+2y=10，由此得到y=5-x。
将y=5-x代入面积函数S(x)=xy中，得到S(x)=5x-x^2。
接下来，我们需要求解函数S(x)的驻点。
求导得到S'(x)=5-2x，令S'(x)=0，可以得到x=2.5。
我们可以通过计算S''(x)来判断这个点是极大值点还是极小值点。
因为S''(x)=-2，小于零，所以x=2.5是一个极大值点。
导数及其应用 利用导数研究函数的极值最值 课件 理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在某一点的斜率。
导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率，即物体运动的速度在某一时刻的变化率。
导数的物理意义导数的计算根据导数的定义，通过求极限来计算导数。
定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。
利用导数表来计算导数。
利用函数图像来估计导数。
最优问题导数可以帮助我们找到最优解，例如在经济学、工程学等领域中，利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。
导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态，例如速度、加速度等，利用导数可以解决运动问题，例如计算轨迹、碰撞时间等。
物理问题导数可以描述物理现象的变化规律，例如温度、压力、电流等，利用导数可以解决物理问题，例如计算热传导、弹性力学等。
02利用导数研究函数的极值最值极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。
若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。
在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法：判断导数由正变负的点，这些点为可能极值点，再检验这些点两侧的导数值，确定是否为极值点。
表格法：通过列表计算函数在各点的导数值，并判断其正负，从而得到极值点。
极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义：函数在某区间内取得最大（小）值的点称为最值点。
对于连续函数，还可以利用介值定理求解最值。
最值的求法利用定义法或表格法求极值点，然后比较极值与端点函数值的大小关系，从而得到最值。
1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛，例如在经济、物理、工程等领域都有应用。
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x2＝x－2x2，令f′(x)＝0得x＝2，又0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2 C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]【例1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 故函数在x ＝1a 处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数有一个极大值点．►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2020·成都模拟)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)(2)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x . 令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，g (0)＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，a ＋3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3，故选C.(2)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2.由f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6.当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.](1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f (x )的极小值．(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增； 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.【例4】 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．[解] 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，所以f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1. (2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2.①若k ＜0，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. ②若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0，所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 综上，k ＜1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝e －k －1.【例5】 已知函数f (x )＝e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x， 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点， 且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．]1．(2020·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)·e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0； －2<x <1时，f ′(x )<0；x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.]2．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；第11页 共11页 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．。
