专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理
1.函数的极值
（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都
有.就说是函数的一个极小值，记作y
极小值=，是极小值点。极大值与极
小值统称为极值.
(2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
(3)求可导函数f (x )的极值的步骤:
①确定函数的定义区间，求导数 ;
①求出方程的定义域内的所有实数根；
①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。
①根据表格下结论并求出需要的极值。
2. 函数的最值
（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;
（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．
（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：
①求在内的极值；
①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
考点探究
)(x f x 0x 0f (x )f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '¢f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ÎI f (x )£f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ÎI f (x )³f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,
考向1 利用导数研究函数的极值 【例】已知函数x x x f ln 1)(+=
，求函数()f x 的极值.
题组训练
1.函数的极大值是________，极小值是________．
2.已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，求f (2)的值。
3.（易错题）若函数在其定义域内的一个子区间内有极值．．．
，则实数k 的取值范围_____.
4.已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是 ．
考向2 利用导数研究函数的最值
【例】已知函数f (x )=x ln x .
f (x )=
13x 3-4x +132
()2ln f x x x =-(1,1)k k -+
(1) 求函数y =f (x )在e -2,e éëùû上的最值；
(2) 若函数F (x )=
f (x )-a x 在1,e []上的最小值为32，求实数a 的值．
题组训练
1.函数f (x )=
12
x +sin x 在区间0,2p []上的最小值为______． 2.设函数x x a x f ln )(-=)0(>a ．
（1）若)(x f 在[),1+∞上递增，求实数a 的取值范围；（2）求)(x f 在[],14上的最小值．
考向3 最（极）值的综合问题 【例】已知函数()ln ,0a f x x x a x
=-->．
(1)求函数()f x 的单调区间和极值点；
(2)若2()f x x x >-在(1,+¥)恒成立，求实数a 的取值范围．
题组训练
1.已知函数的定义域为为的导函数． （1）求方程的解集；
（2）求函数的最大值与最小值；
（3）若函数在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围.
2.设函数f (x )=x 3
-x 22-2x +5，若对任意的x Î-1,2[]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是____________．
3.已知函数2
()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．
()sin x x f x e
=[]()0,2,g x π()f x ()0g x =()g x ()()F x f x ax =-
（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ；
（2）若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x -≥
成立，求实数a 的最大值．
4.已知函数1()1ln a f x x x
=-+（为实数），2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在满足1()8
h a λ≥+
，求λ的取值范围_________．
