第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A,其中V 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A 其中V 是一固定的向量； 3） 在P 中，A ； 4） 在P 中，A ； 5） 在P[]中，A ；
6） 在P[]中，A 其中P 是一固定的数；
7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A 。 8） 在P 中，A X=BXC 其中B,CP 是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,
A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有
A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx
),,2()
,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=
= k A )(α，
故A 是P 上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
)()()(x g x f x u +=则
A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.
A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。
7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n
n P
?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
A (k X )=k BXC k kX
B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变
换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90
度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为
A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，
B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，
C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)，
所以A 4=B 4=C 4=E 。
2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB ≠BA 。
3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A 2B 2=B 2A 2。
3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB )2≠A 2B 2。
3.在P[x] 中，A '
)(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。 证 任取∈)(x f P[x]，则有
(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('
f ))(x =;
)(xf x f +)(x -'
xf )(x =)(x f
所以 AB-BA=E 。
4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A k
B-BA k
=k A 1
-k (k>1)。
证 采用数学归纳法。当k=2时
A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。
归纳假设m k =时结论成立，即A m
B-BA m
=m A
1
-m 。则当1+=m k 时，有
A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A 1-m A=
)1(+m A m 。
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。 证 设A 是可逆变换，它的逆变换为A
1
-。
若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。 其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A 1-b=a 即可。因此,A 是一个双射。 6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关。
证 因A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A ，
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；
2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的
垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→， 试求A 在基i ε=!
1
)1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1)下的矩阵A ； 4) 六个函数 1ε=e
ax
cos bx ,2ε=e
ax
sin bx ，3ε=x e
ax
cos bx ,4ε=x e
ax
sin bx ，
1ε=221x e ax cos bx ,1ε=2
1
e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性
空间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵；
5) 已知P 3
中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是
????
? ??-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3
中，A 定义如下：
???
??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()
3,0,5(3
21ηηηA A A ， 其中
???
??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3
21ηηη， 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。
解 1) A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，
故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???
?
? ??-001110012。
2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=
211ε+212ε，A 2ε=2
1
1ε+212ε，
故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????
?
??2121212
1
。 又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???
?
??1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=
2
1
1ε+212ε，
所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =?????
?
?
?
210210
。 3）因为 )!
1()]
2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε， 所以A 0110=-=ε，
A 01)1(εε=-+=x x ，
L L L L
A )!
1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=
-n n x x x n n x x x n K K ε
=
)!
1()]
3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }
=2-n ε，
所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =???????
?
?
?011010K
K K
。 4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,
D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，
所以D 在给定基下的矩阵为D =??????
??
?
?
?
?---00
0000010000100
001
00
01a b b a a b b a a
b b a
。 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
??
??--111101
011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???
?
?
??---101110111=(1η,2η,3η)X ，
故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为
B =X 1
-AX=????? ??--111101
011????? ??-121011101????? ??---101110111=?????
??--203022211。 6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)????
?
??--012110301，
所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???
?? ??--012110301,
但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
?? ??----963110505，
故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505??
?
?
? ??--0121103011
-
=(1ε,2ε，3ε)????? ?
?----963110505???????
?
??---717
172717672
737371
=(1ε,2ε，3ε)??
??
???
?
??-----7247
187
27727574
72072075。 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??
?
?? ??--0121103011
-，
所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)??
?
?
? ??--0121103011
-????
?
??----963110505 =(1η,2η,3η)????
? ??---011101532。 8．在P
2
2?中定义线性变换A 1(X )=????
??d c b a X, A 2(X )=X ???? ??d c b a , A 2(X )= ???? ??d c b a X ???
?
??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。 解 因 A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22,
A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,
故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=??????
?
d c
d
c b a 0
00000
。 又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12,
A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,
故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=???
?
??
?
?
?d b c a d
b c
a 00000000
。
又因A 3E 11= a 2
E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22，
A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2E 21+cd E 22， A 3E 21= ab E 11+b 2E 12+ad E 21+bd E 22， A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2E 22，
故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为????
??
?
?
?=22223d bd
cd bc cd ad c ac bd b ad
ab bc ab ac
a A 。 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
? ??3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a ， 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵；
2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵，其中且； 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。 解 1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε， A 2ε=+332εa +222εa 112εa ， A 1ε=+331εa +221εa 111εa ，
故A 在基123,,εεε下的矩阵为????
?=1112
13
212223
3132333a a a a a a B 。 2)因 A 1ε=111εa +
+)(221
εk k
a 331εa ， A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka ， A 3ε=13a 1ε+
k
a 23
(2εk )+333εa ， 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ?????
? ?
?=3332
31232221
131211
2a ka a k a a k a
a ka a B 。 3)
因
A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε， A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa ， A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa ，
故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为???
?
?
?
?+----+-=3332
3231132312
2212
11222113
1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A
ε1
-k ≠0,但A εk =0，求证：
ε,A ε,,Λ A ε1-k (k >0)线性无关。
证 设有线性关系01
21=+++-εεεk k A l A l l Λ，
用A
1
-k 作用于上式,得
1l A
ε1
-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立)， 又因为A
ε1
-k ≠0,所以01=l ,于是有
01232=+++-εεεk k A l A l A l Λ，
再用A
2
-k 作用之,得2l A
ε1
-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得
021====k l l l Λ,
即证ε,A ε,,Λ A ε1
-k (k >0)线性无关。
11.在n 维线性空间中，设有线性变换A 与向量ε使得A
ε1
-n 0≠，求证A 在某组下的矩阵
是 ???????
?
??01010
10O O
。 证 由上题知, ε,A ε,A ε2,,Λ A ε1-n 线性无关，故ε,A ε,A ε2,,Λ A ε1
-n 为线性空
间V 的一组基。又因为A ?+?+?=010εεεA A ε2+?+0Λ A
ε1
-n ，
A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2+?+0Λ A ε1-n ，
……………………………
A （A ε1-n ）=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0Λ A ε1-n ，
故A 在这组基下的矩阵为
???????
?
??01010
10
O O
。 12． 设V 是数域P 上的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数
乘变换。
证 因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。 13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
证 设A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵为A=(ij a )，只要证明A 为数量矩阵即可。设X 为任一非退化方阵，且
(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21Λ)X ，
则12,,,n ηηηL 也是V 的一组基，且A 在这组基下的矩阵是AX X 1
-，从而有AX=XA ，这说
明A 与一切非退化矩阵可交换。 若取
????
??
?
??=n X O
211， 则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j)，即得
A=??????? ?
?nn a a a O
22
11
， 再取
2X =???????
? ?
?00
1100001000010
Λ
ΛΛO ΛΛΛ
ΛΛ 由A 2X =2X A ，可得 nn a a a ===Λ2211。
故A 为数量矩阵，从而A 为数乘变换。
14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 在这组基下的矩阵为
????
??
?
??---21225521312112
01， 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵； 2) 求A 的核与值域；
3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵；
4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵。 解 1)由题设,知
(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)???
?
??
?
?
?---21110110003
20001， 故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为
B=AX X 1-=1
21110110003
20001-???
???
?
?
?---???????
??---21225521312112
01
???
?
??
?
??---211
1011
000320001 =?????
?
?
?
?
?-----871
03403403163831031034322332。 2) 先求A 1-(0).设∈ξ A 1-(0)，它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ)，且A ε 在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,)，则
???????
??---21225521312112
01
??????? ??4321x x x x =???
?
??? ??0000。
因rank(A)=2，故由 ??
?
=+++-=++0
32024321431x x x x x x x ，
可求得基础解系为X 1=)0,1,2
3
,2('-
-,X 2=)1,0,2,1('--。 若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1，2α=(321,,εεε,4ε)X 2， 则12,αα即为A 1
-(0)的一组基，所以
A
1
-(0)=12(,)L αα。
再求A 的值域A V 。因为
A 1ε=43212εεεε++-， A 2ε=432222εεε-+， A 3ε=432152εεεε+++， A 4ε3ε=4321253εεεε-++，
rank(A)=2，故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2，且A 1ε ,A 2ε线性无关，故A 1ε ,A 2
ε可组成A V 的基，从而A V=L(A 1ε ,A 2ε)。
4) 由2)知12,αα是A 1-(0)的一组基，且知,1ε2ε, 12,αα是V 的一组基，又
(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????
?
?
?--
-10
00010022310
120
1， 故A 在基,1ε2ε, 12,αα下的矩阵为
B=
1
10
0010022310120
1
-??????
? ?
?--
-???
???
?
??---21225521312112
01
??????
? ?
?--
-10
00010022310120
1
=????
?
?
?
??-0022002100129002
5
。
4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基，且
(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)???
?
??
?
?
?--10210121002
10001
， 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为
C=
1
1021012100210001
-???????
?
?--???????
??---21225521
312
112
01
????
??
?
??--102
1012
10021000
1 =??????
?
?
?00000000223129
1225。 15. 给定P 3
的两组基
?????===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(321εεε ???
??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3
21ηηη， 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)，
1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵； 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵。
解 1)由(321,,ηηη)=(321,,εεε)X ，引入P
3
的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0),
3e =(0,0,1)，则
(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???
?
?
??101110121=(1e ,2e ,3e )A ，
所以
(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???
?
? ??----111122
221
=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B ， 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为
X= A 1
-B=1
101110121-????? ??????
? ??----111122
221
=????
???
?
?
?
---252112323123232。 2)因
A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????
???
?
?
?
--
-252112323
1
23232， 故A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
???
?
??
--
-252112323
123232。 4) 因A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X ，
故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.。
16.证明
??????? ?
?n λλλO
2
1与????
??
?
?
?n i i
i λλλO
2
1相似，
其中(n i i i ,,,21Λ)是1,2,n ,Λ的一个排列。
证 设有线性变换A ，使
A )21,,,(n εεεΛ=)21,,,(n εεεΛ????
???
??n λλλO
2
1=)21,,,(n εεεΛD 1， 则A (K ,,21i i εε,n i ε)=(K ,,21i i εε,n i ε)????
??
?
?
?n i i
i λλλO
2
1=(K ,,21i i εε,n i ε)D 2， 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故
??????? ?
?n λλλO
2
1
与????
??
?
?
?n i i
i λλλO
2
1相似。 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似。 证 因A 可逆,故A
1
-存在，从而A
1
-(AB)A=( A 1
-A)BA=BA ，所以AB 与BA 相似。
18.如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明：0000A B B D ????
? ?????与相似。
证 由已知，可设B=X 1
-AX, D=Y 1
-CY ，则???? ??--1100Y X ????
??C A 00???? ??Y X
0=???
?
??D B 00，
这里???? ??--1100Y X =????
??Y X
001-，故???? ??C A 00与???
?
??D B 00相似。 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵
为：
1)A=???? ??2543 2)A=???? ??-00a a 3)A=?
???
??
? ??------111111*********
1 4)A=?????
??---121101365 5)A=????? ??001010100 6)A=????? ??---031302120 7)A=????
? ??----284014013
解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为
A E -λ=
2
5
4
3
----λλ=2
λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)，故A 的特征值为7，-2。
先求属于特征值λ=7的特征向量。解方程组???=+-=-0550442121x x x x ，它的基础解系为???
? ??11，因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=1ε+2ε。
再解方程组???=--=--0450452121x x x x ，它的基础解系为???
? ??-54，因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠)，其中2ξ=41ε-52ε。
2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且当a=0时，有A=0，所以A
E -λ=
λ
λ00=2
λ， 故A 的特征值为1λ=2λ=0。解方程组???=+=+0000002121x x x x ，它的基础解系为???? ??01,???
?
??10，因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε，2ξ=2ε，故A 以V 的任一非零向量为其特征向量。
当a ≠0时，A E -λ=λ
λa a -=2λ+a 2
=(ai +λ)(ai -λ)，故A 的特征值为1λ=ai ，
2λ= -ai 。
当1λ=ai 时，方程组??
?=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为?
??
?
??-1i ，故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠)，其中1ξ=-1εi +2ε。
当2λ= -ai 时，方程组???=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为???
?
??1i ，故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=1εi +2ε。 3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A ，因为A E -λ=(2-λ)3(2+λ)，故A
的特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ。
当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ????
??
?
??=??????? ??=??????? ??=1001,0101,0011321X X ，故A 的属
于特征值2的全部特征向量为 11εk +22k ε+k 33ε (k 321,,k k 不全为零)，其中1ξ=1ε+2ε，
2ξ=1ε+3ε，3ξ=1ε+4ε。
当2-=λ时，特征方程组的基础解系为X =4????
??
? ??---1111，故A 的属于特征值-2的全部特征
向量为 k 4ξ (k 0≠)，其中4ξ=1ε-2ε-43εε-。 4） 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ==+-----1
21
11
3
6
5λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ)，
故A 的特征值为1λ=2，2λ
=3λ
当1λ=2时, 方程组???
??=+--=-+=+--0320203633213
21321x x x x x x x x x 的基础解系为?
???
?
??-012，故A 的属于特征值2的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=12ε-2ε。
当λ=1+3时, 方程组??
?
??=++--=-++=+-+-0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?????
??--3213，故A
的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε。
当λ=1-3时, 方程组??
?
??=-+--=--+=+---0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为????? ??+-3213，故A
的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠)，其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε。 5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ=λ
λλ0
1
010
1
0---=(1-λ)2(1+λ)，
故A 的特征值为1,132
1-===λλ
λ。
当12
1==λ
λ，方程组??
?=+-=-00
3131x x x x 的基础解系为,101?
???
? ??010??
?
? ???
，故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零，其中311εεξ+=,22εξ=。
当13-=λ时，方程组?????=--=-=--0020
31
231x x x x x 的基础解系为101?? ?
? ?
-??，故A 的属于特征值-1的全
部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中313εεξ-=。 6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ==---λ
λλ31321
2)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ，
故A 的特征值为i i 14,14,032
1-===λλ
λ。
当01=λ时，方程组?????=+=-=--030320221
3132x x x x x x 的基础解系为312??
?
- ? ?
??，故A 的属于特征值0的全
部特征向量为)0(1≠k k ξ，其中321123εεεξ+-=。
当i 142=λ时，该特征方程组的基础解系为????
??
?
??-+-+101432146i
i ，故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ，其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i 。
当i 14-=λ时，该特征方程组的基础解系为????
??
?
??----101432146i
i ，故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 。
7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ=28
4
14
013+-+--λλλ=(1-λ)2
(2+λ)，
故A 的特征值为2,132
1-===λλ
λ。
当12
1==λ
λ，该特征方程组的基础解系为3620??
?
- ? ???
，故A 的属于特征值1的全部特征
向量为)0(1≠k k ξ，其中32112063εεεξ+-=。
当23-=λ，该特征方程组的基础解系为001?? ?
? ???
，故A 的属于特征值-2的全部特征向量
为)0(2≠k k ξ，其中32εξ=。
20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T ，并验算T
1
-AT 。
解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T 。 1) 因为12(,)ξξ=(21,εε)????
??-5141 ，所以过渡矩阵T=?
??
?
??-5141，
T 1-AT=?????? ??-919
19495???? ?
?2543???? ??-5141=???? ??-2007。 2)0,a =当时已是对角型。
???? ??-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当，过渡矩阵T=????
??-11i i ， T 1
-AT=???? ??-=???? ??-???? ??-?????
?
??-ai ai i i a a i i
001100212
212
。 3)因为(4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)???????
??---110010101001
11
11
，过渡矩阵T=??
??
?
?
?
?
?---110010101001
1111， T 1-AT=????
?
?
? ??-22
22。 4)因为(),,321ξξξ=(???
?
? ??+----32320111
332
),,321εεε， 过渡矩阵T=????? ??+----32320111332，T ???
??
??-+=-313121AT 。
5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)????? ??-101010101，过渡矩阵 T=???
?
?
??-101010101，
11
10001101100220100100100101110010100102
2T AT -?? ??????? ? ??? ?
== ? ??? ? ??? ? ?--??????-
???。
6)因为 (????
?? ??----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ,
即过渡矩阵为 T=????
?
?
??----+---+101021432143211461463i i i i ,
且T ???
?? ?
?-=-i i AT 14000140
1
。 21.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式，并证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。
解 取P[x]n 的一组基1,x,21
,...,2(1)!
n x x n --，则D 在此基下的矩阵为 D=???
???
?
?
?
?0 (00)
01...000...............0...1000 (010)
，
从而n D E λλλλλ=?????
??
?
?
?---=-...
0001...000.........
......0...
1
00 0
1， 故D 的特征值是n (0=λ重)，且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n ，故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。
22.设 A=142034043?? ?- ? ???
，求A k
。
解:因为=---+---=
-3
4
43
02
41
λλλλA E ()5)(5)(1+--λλλ，
故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ，且A 的属于特征值1的一个特征向量为
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ? ?-----=17 5131 023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 42 32 22 1x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的 子空间。（ ）
《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；
. . 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且= . 证明: 的值域与核都是 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ????????? ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 610210 2 2T ?-????-? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
高等代数习题 第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)
(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数 全体整数 全体有理数 b a b a+ → |) , ( 4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里 ， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; . 《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分） 一、（共12分）叙述下列概念或命题： （1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理. 答：（1）向量组 称为线性相关，如果有数域 中不全为零的数 ，使 . 注对如下定义也视为正确：如果向量组 （ ）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组 称为线性相关的. （2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身 是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关. 注对如下定义也视为正确：向量组 的一个部分组 称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ） 线性无关；（ⅱ） 可由 线性表出. （3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和. 注用公式写出按行（或列）展开定理亦可. 二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1． ． （×） 2．若向量组 （ ）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部 （ ）级排列中，奇排列的个数为 ．（√）4．若排列 为奇排列，则排列 为偶排 列．（×）5．若矩阵 的秩是 ，则 的所有高于 级的子式（如果有的话）全为零．（√） 6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比 例．（×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无 解．（×） 8．对 个未知量 个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无 解．（×） 9．等价向量组的秩相 等． （√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的 解．（√） 三、（共18分）计算行列式 （1） 解原式 ． 注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）《高等代数》月测试试题与及答案
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