高等代数习题及答案

高等代数习题答案高等代数习题答案高等代数是大学数学中一门重要的课程，它涉及到线性代数、矩阵论、群论、环论等多个分支。

对于学习者来说，解答高等代数习题是提高自己理论和实践能力的重要途径。

本文将为大家提供一些高等代数习题的答案，帮助大家更好地掌握这门课程。

1. 线性代数1.1 解答题1.1.1 设A为n阶方阵，若A的特征值都是实数，则A是否一定是实对称矩阵？答案：不一定。

特征值是实数并不意味着矩阵一定是实对称矩阵。

例如，对于下面的矩阵：A = [1 2; -2 1]它的特征值为1和-1，都是实数，但它并不是实对称矩阵。

1.1.2 设A为n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A是否一定是正定矩阵？答案：不一定。

特征值都是正实数并不意味着矩阵一定是正定矩阵。

例如，对于下面的矩阵：A = [1 0; 0 -1]它的特征值为1和-1，都是正实数，但它并不是正定矩阵。

1.2 计算题1.2.1 计算矩阵A = [1 2; 3 4]的特征值和特征向量。

答案：首先，计算A的特征多项式：|A - λI| = |1-λ 2; 3 4-λ| = (1-λ)(4-λ) - 6 = λ^2 - 5λ - 2解这个方程得到特征值λ1 ≈ 5.79和λ2 ≈ -0.79。

然后，代入特征值计算特征向量：对于λ1 ≈ 5.79，解方程组(A-λ1I)x = 0，得到特征向量x1 ≈ [0.82; -0.57]对于λ2 ≈ -0.79，解方程组(A-λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [0.57; -0.82]2. 矩阵论2.1 解答题2.1.1 什么是矩阵的秩？答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

它表示矩阵的行（或列）空间的维数。

2.1.2 若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，是否可以得出A=0或B=0？答案：不一定。

若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，不能直接得出A=0或B=0。

习题1.1解答1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？1）所有正实数所成的集合．2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合．4）F={Q b a b a ∈+,23}．解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域．2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．4）在F={Q b a b a ∈+,23} 中取32，显然32×32∉F ，即对乘法不封闭，所以F 不是数环，当然也非数域．2.证明：两个数域的交是一个数域．解 设A ，B 是两个数域，则0,1∈A ，0,1∈B ，从而0,1∈A ∩B ；对任意x,y ∈A ∩B ，有x,y ∈A 和x,y ∈B ，从而x+y ∈A ，x-y ∈A ，x ×y ∈A ，x ÷y ∈A （对y ≠0），同样也有x+y ∈B ，x-y ∈B ，x ×y ∈B ，x ÷y ∈B （对y ≠0），所以x+y ∈A ∩B ，x-y ∈A ∩B ，x ×y ∈A ∩B ，x ÷y ∈A ∩B （对y ≠0），故A ∩B 是数域．3*.证明：F={a+bi|a,b ∈Q}（i 是虚单位）是一个数域．解 显然0=0+0i ∈F ，1=1+0i ∈F ；对任意a+bi,c+di ∈F ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈F ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈F ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈F ，若c+di ≠0，则(a+bi)÷(c+di)=F i d c ad cb d c bd ac d c di c bi a ∈+-+++=+-+222222)())((．所以F 是数域．4*.证明：G={a+bi|a,b ∈Z}是数环而不是数域．解 对任意a+bi,c+di ∈G ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈G ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈G ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈G ，所以G 是数环．数1=1+0i ∈G ，2=2+0i ∈G ，2≠0，但1÷2∉G ，所以G 不是数域．习题1.2解答1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-213312011 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321③⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112110013 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213312011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-240330011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200110011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23/700200032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----200023/70032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112110013→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443100131211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564036401211 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200036401211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100006400211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100002/31002/101 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----231890126306600010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----660002318901263010521 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11000130001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40000110001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10000010000063000521 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100000310001012*.用行的与列的初等变换，将上题中的③化成形为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE 的矩阵． 解 接上题中的③的行最简形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100004/61002/101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000100001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********习题1.3解答1.写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解．①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032100301 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000010010011 解 ①对应的线性方程组可写为⎩⎨⎧+=-=32312330x x x x令x 3=c ，得x 1=-3c ，x 2=3+2c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=c x c x c x 321233 其中c 为任意数．② 对应的线性方程组可写为⎪⎩⎪⎨⎧==-=1014321x x x x令x 2=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=1014321x x c x c x 其中c 为任意数．2.解下列线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x③⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ④⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2/54/112/502/174/112/502124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110034111002124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2400034111002124 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以原方程组无解．② 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328341325421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----147702814140147705421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000021105421 对应的同解方程组可写为⎩⎨⎧+=--=-323212452x x x x x令x 3=c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=cx c x cx 321221 其中c 为任意数．③对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020000100011112 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧=+-=02/12/12/14321x x x x令x 2=c 1，x 3=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=021212142312211x c x cx c c x 其中c 1，c 2为任意数．④ 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111124312325341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------5957010181014025341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000005957025341 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧+-=--+-=+432432195575324x x x x x x x令x 3=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-=++=24132122117/97/57/57/7/7/6c x c x c c x c c x 其中c 为任意数．3.解下列齐次线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----430013101211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---430030103/4001 令x 4=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=cx c x c x c x 43213/433/4 中c 为任意数．② 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---040004001121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004001121对应的同解方程为⎩⎨⎧=-+-=+04234231x x x x x令x 2=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=2431221102c x x c x c c x ③ 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5132631472137421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----199703419901410707421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----51007/1127/43001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----510011243001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100051001410707421 系数矩阵的秩为4，对应的齐次线性方程组只有零解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x4.讨论a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？①⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-+b x a x x x x x x x x 3221321321)5(322 ②⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x ax x x 解 ①系数矩阵的行列式为5111211112--a =400211112--a =(a-2)(a+2)当a ≠2且a ≠-2时，方程组有唯一解。

《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。

2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。

3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。

4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。

5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。

6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。

7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21Λ是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j Λ21的逆序数为k ，则排列11j j j n n Λ-的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。

16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21Λ是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。

高等代数习题答案《高等代数习题答案》高等代数是数学中的一个重要分支，它研究的是抽象代数结构中的各种性质和规律。

在学习高等代数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识点的理解和掌握。

下面我们将通过一些高等代数习题的答案来探讨一些代数学中的基本概念和定理。

1. 求解方程组题目：求解线性方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - y = 3\end{cases}$$答案：通过消元法可以得到方程组的解为$x=2$，$y=1$。

2. 矩阵运算题目：计算矩阵乘法$$A = \begin{bmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix}5 &6 \\7 & 8\end{bmatrix}$$求$AB$的结果。

答案：$AB = \begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50\end{bmatrix}$。

3. 多项式求导题目：求多项式$f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1$的导数。

答案：$f'(x) = 9x^2 + 4x - 5$。

通过以上习题的答案，我们可以看到在高等代数中，求解方程组、矩阵运算和多项式求导等都是非常基础和重要的内容。

掌握了这些基本技能，才能够更好地理解和应用代数学中的定理和概念。

希望大家在学习高等代数的过程中能够多多练习习题，加深对知识点的理解，提高解题能力。

高等 代数试卷一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每题1 分，共 10分）1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。

（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。

（ ）3、实二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。

（ ）4、 Wx 1 , x 2 , x 3 x iR, i 1,2,3; x 1x 2x 3 是线性空间 R 3 的一个子空间。

（）5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。

（ ） 6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。

（ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。

（ ） 8、线性变换的属于特色根0 的特色向量只有有限个。

（ ）9、欧氏空间 V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（ ）nn10、若1, 2,, n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且xi i，那么x i 2 。

i 1i 1（ ）二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后边的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每题1 分，共 10 分） 1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x f x , g x n ；② f 1 , f 2 , , f n1f i , f j 1, ij ,i , j 1,2,, n ；③ f x , g x f x g x , g x ；④若 f x , g x1f xg x , f xg x1 。

2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等；② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

《高等代数（下）》课程习题集一、填空题1 1. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。

2. 如果24211()|x A x B x -++，则A =（ ），B =（ ）。

3. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是 .4. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是5. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则 。

6. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。

7. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果nm >.，则这组向量线性（ ）关8. 如果齐次线性方程组0=AX有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 向量α线性无关的充要条件是（ ）11. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。

12. 设行列式014900716=--k ，则=k （ ）13. 行列式2235007425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）14. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A=（ ）15. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）16. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）17. 设00A XC ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X-等于（ ）18. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3A B C A B +=+，则矩阵C =（ ）。

19. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。

20. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。

21. 线性空间 V 的变换A 如果满足条件 ，则称A 为线性变换。

《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

习题10.1解答1.设λ矩阵A(λ)=diag(d 1(λ), d 2(λ),..., d 5(λ))．如果d j (λ)|d j+1(λ),j=1,2,3,4，求λ的前三项行列式因子．解A(λ)的1阶行列式因子显然为d 1(λ), 2阶行列式因子显然为d 1(λ)d 2(λ), 3阶行列式因子显然为d 1(λ)d 2(λ)d 3(λ), 4阶行列式因子显然为d 1(λ)d 2(λ)d 3(λ)d 4(λ), 5阶行列式因子显然为d 1(λ)d 2(λ)d 3(λ)d 4(λ)d 5(λ)．2.设λ矩阵A(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-+--+-+--3231232534234342122222λλλλλλλλλλλλλλ把A(λ)写成A 2λ2+A 1λ+A 0的形式，其中A 2 ，A 1，A 0都是数字矩阵，又将(A(λ))2也写成上述形式．解A(λ)= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22222304000λλλλλ+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλλλλλλ222333+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------313524421=2301401100λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222333111+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------313524421 (A(λ)) 2=(A 2λ2+A 1λ+A 0)2=201001220110232112422)()()(A A A A A A A A A A A A A A A A ++++++++λλλλ=410031304301λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+323711339151024λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+21772251221853λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------362228563544272023+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2611164117272610213.求Jordan 块J(0,n)的平方的特征矩阵的各阶行列式因子． 解(J(0,n))2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001000000000000010000001000000000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-λλλλλλ0100000000000010000010000000000)),0((2n J E n 阶行列式因子为λn ．有一个n-2阶子式等于(-1)n-2，所以n-2阶行列式因子为1．阶数小于n-2的行列式因子均为1．n-1阶行列式因子一定整除n 阶行列式因子，且因为只有n-2个-1，要使n-1阶子式不为零，必须有λ，但多一个λ，就会少一个-1．可以从第2行开始，偶数行取λ，奇数行取-1相乘，当n 为奇数时，乘的结果取正号时为λ(n-1)/2；当n 为偶数时，乘的结果取正号时为λn/2．所以当n 为奇数时，A 的n-1阶行列式因子为λ(n-1)/2；当n 为偶数时，A 的n-1阶行列式因子为λn/2．10.2习题解答1.求A 的特征矩阵的不变因子组：①A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7137341024解 ① λE-A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---502613803λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+++8)5)(3(2/1002/32/310502λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+16)5)(3(00010001λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1(00010001λλ A 的不变因子组为{1，λ+1，(λ+1)2}．② λE-A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+7137341024λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+----7133/73/43/50103/23/10λλλλ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--103/23/103/73/43/50001λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--302074530001λλλ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3)2(00010001λ A 的不变因子组为{1，1，(λ-1)3}．2.求A(λ)的标准形：① A(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+-+-1133111700222λλλλλλλ② A(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-------+-11222223232423λλλλλλλλλλλλ ③A(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---222)1(00010λλλλλ 解① A(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+-+-1133111700222λλλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ00010001② A(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-------+-11222223232423λλλλλλλλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(0000001λλλ③A(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---222)1(0001000λλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2222)1(00011λλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--+-2222)1(00011011λλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-232)1(000011λλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-23)1(0000001λλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-233)1(0001λλλλλλλ →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-223)1(0022001λλλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-0)1(0220001232λλλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+--222)1)(1(2/1)1(0022001λλλλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--2)1)(1(000)1(0001λλλλλλ习题10.5解答1. 如果矩阵A 的不变因子组如下，求矩阵A 的若当标准形．①{1，1，(λ-1)，(λ-1) 3} ②{1，1，1，(λ-1)(λ-1) 3}③{1，1，1，1，1，(λ+1) 2，(λ+1) 2，(λ+2) 2(λ-3)2}解 ①A 的初等因子组为{(λ-1)，(λ-1) 3}，A 的若当标准形为J=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100011000100001 ②A 的初等因子组为{(λ-1) 4}，A 的若当标准形为J=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100011000110001 ③ A 的初等因子组为{(λ+1) 2，(λ+1) 2，(λ+2) 2，(λ-3)2}，A 的若当标准形为J=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------3100000003000000002100000002000000002100000002000000002100000002 2.求下述矩阵的若当标准形．①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7137341024 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10142681330 ④⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----244352341 ⑤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----01617121700140013 解 ① λE-A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---502613803λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1(00010001λλ A 的初等因子为{(λ+1),( λ+1)2}，A 的若当标准形为J=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110010001 ② λE-A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+7137341024λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----1024734713λλλ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+--1042743731λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+---422014105307312λλλλλλ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--422014105300012λλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-422024100012λλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3)2(00010001λ A 的初等因子为{(λ-2)3}，A 的若当标准形为J=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210021002 ③ λE-A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----1014268133λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2)1(0000001λλ A 的初等因子为{λ，(λ+1)2}，A 的若当标准形为J=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110010000 ④ λE-A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----+244352341λλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+--244341352λλλ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++----4620)1(2/3)34(2/103522λλλλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+-4620)1()34(00012λλλλλ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----462053200012λλλλ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----624032500012λλλλ →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-----)2153)(2153)(3(0032500012i i λλλλλ →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--)2153)(2153)(3(00010001i i λλλ ⑤ λE-A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--λλλλ1617121700140013→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22)1(00)1(000010001λλ A 的初等因子为{(λ-1)2，(λ-1)2}，A 的若当标准形为J=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100010000110001 3.设A ∈Mat n ×n (C)．证明A 的不变因子组中的最后一个不变因子恰是A 的最小多项式．证 设A 的初等因子组为{(λ-λ1)n1，(λ-λ2)n2，... ,(λ-λs )ns }，则A 的特征多项式为 f(λ)= (λ-λ1)n1(λ-λ2)n2...(λ-λs )ns其中λ1，λ2，...，λs 中有些是相同的，当λi 和λj 相同，则去掉(λ-λi )ni ，(λ-λj )nj ，中指数较小的一个，不妨设λ1，λ2，...，λt 中互不相同，且在{(λ-λ1)n1，(λ-λ2)n2，... ,(λ-λs )ns }对应最大指数，令m(x)= (x-λ1)n1(x-λ2)n2...(x-λt )nt设A的若当标准形为J，则存在可逆矩阵C使A=C-1JC，显然m(A)=C-1m(J)C =C-10C=0假设A的最小多项式为m1(x),则m1(x)|m(x)，根据初等因子与若当块的对应关系知，假若m1(x)= (x-λ1)p1(x-λ2)p2...(x-λt)pt的次数比m(x)小不妨设p1<n1，则m1(J)= (J-λ1E)p1(J-λ2E)p2...(J-λt E)pt，右边各项中第一个若当块对应的分块对角阵都不为零，从而m1(J)不为零，所以m1(A)不为零，矛盾．故m(x)是A的最小多项式．4.求(J(0,n))2的若当标准形．解在习题10.1的第3题中得(J(0,n))2的n阶行列式因子为λn；n-2阶行列式因子为1．阶数小于n-2的行列式因子均为1．当n为奇数时，(J(0,n))2的n-1阶行列式因子为λ(n-1)/2；当n为偶数时，(J(0,n))2的n-1阶行列式因子为λn/2．所以当n为奇数时，(J(0,n))2的初等因子组为{λ(n-1)/2，λ(n+1)/2}，对应的若当标准形为diag(J(0,(n-1)/2),J(0,(n+1)/2))；当n为偶数时，(J(0,n))2的初等因子组为{λn/2，λn/2}，对应的若当标准形为diag(J(0,n/2),J(0,n/2))．。