高等代数第6章习题解

。
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。

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解：1) 任取 γ ∈ L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) 设 γ = x1α1 + x2α 2 = y1 β 1 + y2 β 2 , 则有 x1α1 + x2α 2 − y1 β 1 − y2 β 2 = 0,
x1 − x2 − 2 y1 − y2 = 0 2 x1 + x2 + y1 + y2 = 0 即 x1 + x2 − 3 y2 = 0 x − y −7y = 0 1 1 2 x1 = − t 解 (＊) 得 x2 = 4t ＊ y = −3t 1 =t y2
返回
(＊) ＊
为任意数） （t 为任意数）
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∴ γ = t ( −α1 + 4α 2 ) = t ( β 2 − 3 β 1 )
令 t=1， ， 则得 L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) 的一组基
γ = −α1 + 4α 2 = ( −5,2, 3,4 )
∴ L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) = L(γ ) 为一维的 为一维的.
(Ⅰ)到基(Ⅱ)ε 过渡矩阵为 (Ⅰ)到基(Ⅱ) 2,…,εn,ε1的过渡矩阵为 到基(Ⅱ)
返回题（正确打√，错误打×） 判断题（正确打√ 错误打× 对任何单点集合V={x}，一定可以在其上定义线 ，一定可以在其上定义线 1. 对任何单点集合 性运算，使其成为一个实数域上的线性空间.（ 性运算，使其成为一个实数域上的线性空间 （√ ） 即可.） （如，取V={x}， 规定 ， 规定x+x= x，kx=x 即可 ） ， 2. 由r个向量生成的子空间一定是 维的 （× ） 一定是r维的 个向量生成的子空间一定是 维的.（ 可能这r个向量线性相关.） 个向量线性相关 （可能这 个向量线性相关 ） 3.若向量空间 中任何向量都可由向量组α 3.若向量空间V中任何向量都可由向量组 1,α2,…,αn 若向量空间 线性表示，则α1,α2,…,αn是V的一个基.（ ×） 线性表示， 的一个基 （ 的一个 可能α 线性相关.） （可能 1,α2,…,αn线性相关 ）

22
（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
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3
高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答
首都师范大学 数学科学学院 1100500070
28、（ 1）因为 ± 1 都不是它的根，所以 x2 +1在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取 p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约
1100500070
20、证 因为 f（x）的导函数
所以
于是
从而 f（x）无重根。
21、证 因为
，
，由于 a 是
的 k 重根，故 a
是
的 k+1 重根。代入验算知 a 是 g（x）的根。所以 s-2=k+1 ⇒ s=k+3，即证。
22、证 必要性：设 x0 是 f（x）的 k 重根，从而是
的 k-1 重根，是
33
33
（3）u（x）=-x-1, v(x) = x3 + x2 − 3x − 2
⎧u = 0 ⎧u = −2 7、 ⎨⎩t = 2 或 ⎨⎩t = 3
8、思路：根具定义证明
证：易见 d（x）是 f（x）与 g（x）的公因式。另设 ϕ(x) 是 f（x）与 g（x）的任意公因式，下证
ϕ(x) d(x) 。
⎧ p +1+ m2 = 0
⎧⎪m(2 − p − m2 ) = 0 ⎧m = 0 ⎧q = 1
2、（ 1） ⎨⎩q − m = 0
，
（2）由 ⎨ ⎪⎩q
+1−
p
− m2
=
0
得
⎨ ⎩
p
=
q
+

第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。

又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。

2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。

证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。

在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

高等代数习题答案高等代数习题答案高等代数是大学数学中一门重要的课程，它涉及到线性代数、矩阵论、群论、环论等多个分支。

对于学习者来说，解答高等代数习题是提高自己理论和实践能力的重要途径。

本文将为大家提供一些高等代数习题的答案，帮助大家更好地掌握这门课程。

1. 线性代数1.1 解答题1.1.1 设A为n阶方阵，若A的特征值都是实数，则A是否一定是实对称矩阵？答案：不一定。

特征值是实数并不意味着矩阵一定是实对称矩阵。

例如，对于下面的矩阵：A = [1 2; -2 1]它的特征值为1和-1，都是实数，但它并不是实对称矩阵。

1.1.2 设A为n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A是否一定是正定矩阵？答案：不一定。

特征值都是正实数并不意味着矩阵一定是正定矩阵。

例如，对于下面的矩阵：A = [1 0; 0 -1]它的特征值为1和-1，都是正实数，但它并不是正定矩阵。

1.2 计算题1.2.1 计算矩阵A = [1 2; 3 4]的特征值和特征向量。

答案：首先，计算A的特征多项式：|A - λI| = |1-λ 2; 3 4-λ| = (1-λ)(4-λ) - 6 = λ^2 - 5λ - 2解这个方程得到特征值λ1 ≈ 5.79和λ2 ≈ -0.79。

然后，代入特征值计算特征向量：对于λ1 ≈ 5.79，解方程组(A-λ1I)x = 0，得到特征向量x1 ≈ [0.82; -0.57]对于λ2 ≈ -0.79，解方程组(A-λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [0.57; -0.82]2. 矩阵论2.1 解答题2.1.1 什么是矩阵的秩？答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

它表示矩阵的行（或列）空间的维数。

2.1.2 若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，是否可以得出A=0或B=0？答案：不一定。

若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，不能直接得出A=0或B=0。

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习题 3-7 习题 3-6
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习题 4-1
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若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
x1 x2 xn 0
①
的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
§6.5 线性子空间
1 (1, 1,0, ,0), 2 (1,0, 1,0, ,0),
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
§6.5 线性子空间
例5 判断下列子集合哪些是Pn的子空间： W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P}
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
为V的一组基．即在 V中必定可找到 n－m 个向量
m1,m2 , ,n ，使 1,2 , ,n为 V 的一组基．
证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即 n＝m，
1,2 , ,m 就是V的一组基. 定理成立．
假设当n－m＝k时结论成立.
§6.5 线性子空间
下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形．
§6.5 线性子空间
同理可得， L(1, 2 , , s ) L(1,2, ,r ) 故， L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
2）设向量组 1,2 , ,r 的秩为 t，不妨设 1,2 , ,t (t r) 为它的一个极大无关组．
因为 1,2 , ,r 与 1,2 , ,t 等价， 所以,
1
3 1
,
1
3
(1 , 2
, 3 ,4
)
3 0 3
,

2）若M中不同元素的象也不同，即 ∀a1,a2 ∈ M ,若a1 ≠ a2 , 则σ (a1 ) ≠ σ (a2 ) （或 ∀a1,a2 ∈ M ,若σ (a1 ) = σ (a2 ), a1 = a2 ），
则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；
3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射, （或称σ为 1—1对应）
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.
M＝｛a1，a2，…，an｝
例1 M = {( x, y) x2 + y2 = 4, x, y ∈ R} 例2 N＝ {0,1, 2, 3,LL}， 2Z＝ {0, ±2,±4,±6,LL} 例3 M = { x x2 − 1 = 0, x ∈ R} = {−1,1}
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B，∴ A U B = B．
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M到M´的一个映射，记作 :σ : M → M'或 M ⎯σ⎯→M' 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′.
又对∀a ∈ R+，存在
x
=
log
a 2
∈
R
，使
σ
(log
a 2
)
=
2log
a 2
=a

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。

2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。

3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。

4. 线性方程组在实际应用中的例子。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。

2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。

3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。

4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。

2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。

3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。

4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。

四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。

2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。

3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。

4. 对称矩阵的特征值和特征向量。

五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。

2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。

3. 二次型的性质：正定、负定、不定。

4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。

六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。

2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。

3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。

4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。

七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。

2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。

3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。

4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。

八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。

2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。

3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。

教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。

证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。

又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。

从而证得A B 是数域。

2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。

证明：000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。

习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。

教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。

证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。

又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。

从而证得A B 是数域。

2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。

证明：000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。

习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。

（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。

解：（1）是。

因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）是。

因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）不是。

因为12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。

高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。

3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

(b) Span(S1 ∪ S2 ) = Span(S1) + Span(S2 ) .
(c) Span(S1 ∩ S2 ) ⊆ Span(S1) ∩ Span(S2 ) .
姓名
学号
(高等代数习题册)
3
6. 如果 f1, f2, f3 是实数域上一元多项式全体所成的线性空间 R[x] 中三个互素的多项式, 但其中任意两个 都不互素, 那么它们线性无关.试证之.
}∞ n=0
|
xn
∈
R}
关于数列的加法和数乘.
2. 设V 是数域 F 上的线性空间, 证明 k(α − β) = kα − kβ , 这里 α,β ∈V , k ∈ F.
姓名
学号
(高等代数习题册)
2
3. 下述集合是否是 M n (R) 的子空间
(a) V = {A∈ M n (R) | AT = − A}
姓名
学号
(高等代数习题册)
8
3. 设V ,W 是数域 F 上的两个线性空间, L(V ,W ) 是V 到W 的所有线性映射所组成的集合.证明 L(V ,W )
关于线性映射的加法与数量乘法, 成为数域 F 上的一个线性空间.
4.
在 F[x] 中,
定义
T1 (
f
( x))
:=
df (x) dx
,
T2 ( f (x)) := xf (x) , 证明: T1T2 − T2T1 = E
⎜⎝ 5 ⎟⎠
⎛1 5 8 1⎞
⎛0 2 3 4⎞
15.
设 AP = PB,
其中
P
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
2 0
6 3
9 7
⎟ ⎟ ⎟

111习 题 六1. 用矩阵的行初等变换法解方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−−=+−531322321321321x x x x x x x x x .（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−++=++−−=−++=+++56721145632434234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 (1) 1,1,1321===x x x(2) 1,2,1,34321==−==x x x x2. a 取什么值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解 2,1−≠a 时，唯一解；1=a 时，无穷解 ；2−=a 时，无解.3. 试证，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,22112222212*********n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L L L L L L L L L L L 对任何b 1, b 2, …, b n 都有解的充分必要条件是系数行列式D ≠0.证明 必要性： 设12,(,...,),1,2,, Ti i i ni a a a i n α==L ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+.12321321321a ax x x a x ax x x x ax ＋112 ),0,,0,1,0,,0,0(L L ii =ε.n i ,,2,1L =, 由已知,向量组nεεε...,,2,1可由向量组n ααα...,,2,1线性表示.因此，向量组n εεε...,,2,1与n ααα...,,2,1等价，从而n ααα...,,2,1线性无关，秩为n . 所以,.0≠D充分性：因为.0≠D 由克拉默法则可知，以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解.所以结论成立.4. 证明， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−−−−515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x ＝＝＝＝＝ 有解的充分必要条件是a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.证明 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为：⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−∑=5143210000011000011000011000011i i a a a a a 原方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等⇔.051=∑=i ia5. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：113(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=−+−−=+−+−=−+−.053052110325023421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−+−=+−+=+−=−−.0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x －＋＋ 解 (1),0,1,143,145T⎟⎠⎞⎜⎝⎛−,1,0,21,21T⎟⎠⎞⎜⎝⎛− (2) ().1,0,1,1T−−6. 设A 是n 阶方阵，证明，若秩A ＝秩A 2, 则齐次线性方程组AX ＝0与A 2X ＝0有完全相同的解.证明 设AX=0的解空间为1W ，A 2X=0的解空间为2W ，显然AX=0的解是A 2X=0的解.因此，1W ⊆2W .又dim 1W =n-秩A= n-秩A 2= dim 2W若秩A ＝n ，那么dim 1W = dim 2W =0，故1W =2W .若秩A ＝r<n,设r n −ααα...,,2,1是1W 的一个基，那么r n −ααα...,,2,1也是2W 中线性无关的向量，因此r n −ααα...,,2,1也是2W 的基. 所以,1W =2W .7. 设n 阶方阵A 的各行元素之和都为零，且秩A ＝n －1，求方114 程组AX ＝0的所有解.解 C ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛1..11,C 为任意常数.8. 已知A ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−11312221λ，三阶方阵B ≠0，且满足AB =0，求λ的值.解 Q,01321≠∴秩A .2≥又由已知，齐次线性方程组AX ＝0有非零解，∴秩A<3，秩A .2=因此，令detA=0,即可解得.1=λ 9. 应用线性方程组的理论证明，若m ×n 矩阵A 与n ×p 矩阵B 的积AB ＝0，则秩A ＋秩B ≤n .证明 若A=0或B=0，结论自然成立.不妨设秩A ＝r>0,作齐次线性方程组AX ＝0，该方程组的解空间的维数为n-r ，由AB ＝0知，B 的列向量是AX ＝0的解向量。

高等代数习题第一章基本概念§１.1 集合1、设Z是一切整数的集合,Ｘ是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集？2、设a是集Ａ的一个元素。

记号{a}表示什么? {a｝ A是否正确?３、设写出和。

4、写出含有四个元素的集合{｝的一切子集.5、设Ａ是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例，并且进行改正．（i)（ｉi)(iｉｉ)(ｉv)７．证明下列等式:（i)(ii)（ｉｉi）§1。

2映射１、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射,但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下:ｆ是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?５、令Ａ=｛1，2，3｝。

写出A到自身的一切映射。

在这些映射中那些是双射？6、设a ，ｂ是任意两个实数且a<b。

试找出一个[0，1］到[a ,b］的双射。

7、举例说明,对于一个集合Ａ到自身的两个映射f和ｇ来说，fｇ与gｆ一般不相等.８、设A是全体正实数所成的集合。

令（i)ｇ是不是A到Ａ的双射？(ii)g是不是f的逆映射?(iｉi)如果ｇ有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射，又令,证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii ）如果是满射,那么也是满射；（ｉii ）如果都是双射，那么也是双射,并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则１２34 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1。

3数学归纳法1、证明：2、设是一个正整数.证明，是任意自然数．3、证明二项式定理：这里，是个元素中取个的组合数.４、证明第二数学归纳法原理。

5、证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于。

§１.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;；; .２、设是整数且不全为0,而，，。