高等代数第6章习题解

第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。

又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。

2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。

证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。

若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。

在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

高等代数习题答案高等代数习题答案高等代数是大学数学中一门重要的课程，它涉及到线性代数、矩阵论、群论、环论等多个分支。

对于学习者来说，解答高等代数习题是提高自己理论和实践能力的重要途径。

本文将为大家提供一些高等代数习题的答案，帮助大家更好地掌握这门课程。

1. 线性代数1.1 解答题1.1.1 设A为n阶方阵，若A的特征值都是实数，则A是否一定是实对称矩阵？答案：不一定。

特征值是实数并不意味着矩阵一定是实对称矩阵。

例如，对于下面的矩阵：A = [1 2; -2 1]它的特征值为1和-1，都是实数，但它并不是实对称矩阵。

1.1.2 设A为n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A是否一定是正定矩阵？答案：不一定。

特征值都是正实数并不意味着矩阵一定是正定矩阵。

例如，对于下面的矩阵：A = [1 0; 0 -1]它的特征值为1和-1，都是正实数，但它并不是正定矩阵。

1.2 计算题1.2.1 计算矩阵A = [1 2; 3 4]的特征值和特征向量。

答案：首先，计算A的特征多项式：|A - λI| = |1-λ 2; 3 4-λ| = (1-λ)(4-λ) - 6 = λ^2 - 5λ - 2解这个方程得到特征值λ1 ≈ 5.79和λ2 ≈ -0.79。

然后，代入特征值计算特征向量：对于λ1 ≈ 5.79，解方程组(A-λ1I)x = 0，得到特征向量x1 ≈ [0.82; -0.57]对于λ2 ≈ -0.79，解方程组(A-λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [0.57; -0.82]2. 矩阵论2.1 解答题2.1.1 什么是矩阵的秩？答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

它表示矩阵的行（或列）空间的维数。

2.1.2 若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，是否可以得出A=0或B=0？答案：不一定。

若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，不能直接得出A=0或B=0。

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。

2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。

3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。

4. 线性方程组在实际应用中的例子。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。

2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。

3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。

4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。

2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。

3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。

4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。

四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。

2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。

3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。

4. 对称矩阵的特征值和特征向量。

五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。

2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。

3. 二次型的性质：正定、负定、不定。

4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。

六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。

2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。

3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。

4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。

七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。

2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。

3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。

4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。

八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。

2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。

3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。

教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。

证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。

又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。

从而证得A B 是数域。

2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。

证明：000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。

习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。

教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。

证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。

又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。

从而证得A B 是数域。

2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。

证明：000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。

习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。

（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。

解：（1）是。

因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）是。

因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）不是。

因为12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。

高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。

3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

111习 题 六1. 用矩阵的行初等变换法解方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−−=+−531322321321321x x x x x x x x x .（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−++=++−−=−++=+++56721145632434234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 (1) 1,1,1321===x x x(2) 1,2,1,34321==−==x x x x2. a 取什么值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解 2,1−≠a 时，唯一解；1=a 时，无穷解 ；2−=a 时，无解.3. 试证，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,22112222212*********n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L L L L L L L L L L L 对任何b 1, b 2, …, b n 都有解的充分必要条件是系数行列式D ≠0.证明 必要性： 设12,(,...,),1,2,, Ti i i ni a a a i n α==L ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+.12321321321a ax x x a x ax x x x ax ＋112 ),0,,0,1,0,,0,0(L L ii =ε.n i ,,2,1L =, 由已知,向量组nεεε...,,2,1可由向量组n ααα...,,2,1线性表示.因此，向量组n εεε...,,2,1与n ααα...,,2,1等价，从而n ααα...,,2,1线性无关，秩为n . 所以,.0≠D充分性：因为.0≠D 由克拉默法则可知，以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解.所以结论成立.4. 证明， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−−−−515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x ＝＝＝＝＝ 有解的充分必要条件是a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.证明 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为：⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−∑=5143210000011000011000011000011i i a a a a a 原方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等⇔.051=∑=i ia5. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：113(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=−+−−=+−+−=−+−.053052110325023421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−+−=+−+=+−=−−.0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x －＋＋ 解 (1),0,1,143,145T⎟⎠⎞⎜⎝⎛−,1,0,21,21T⎟⎠⎞⎜⎝⎛− (2) ().1,0,1,1T−−6. 设A 是n 阶方阵，证明，若秩A ＝秩A 2, 则齐次线性方程组AX ＝0与A 2X ＝0有完全相同的解.证明 设AX=0的解空间为1W ，A 2X=0的解空间为2W ，显然AX=0的解是A 2X=0的解.因此，1W ⊆2W .又dim 1W =n-秩A= n-秩A 2= dim 2W若秩A ＝n ，那么dim 1W = dim 2W =0，故1W =2W .若秩A ＝r<n,设r n −ααα...,,2,1是1W 的一个基，那么r n −ααα...,,2,1也是2W 中线性无关的向量，因此r n −ααα...,,2,1也是2W 的基. 所以,1W =2W .7. 设n 阶方阵A 的各行元素之和都为零，且秩A ＝n －1，求方114 程组AX ＝0的所有解.解 C ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛1..11,C 为任意常数.8. 已知A ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−11312221λ，三阶方阵B ≠0，且满足AB =0，求λ的值.解 Q,01321≠∴秩A .2≥又由已知，齐次线性方程组AX ＝0有非零解，∴秩A<3，秩A .2=因此，令detA=0,即可解得.1=λ 9. 应用线性方程组的理论证明，若m ×n 矩阵A 与n ×p 矩阵B 的积AB ＝0，则秩A ＋秩B ≤n .证明 若A=0或B=0，结论自然成立.不妨设秩A ＝r>0,作齐次线性方程组AX ＝0，该方程组的解空间的维数为n-r ，由AB ＝0知，B 的列向量是AX ＝0的解向量。

高等代数习题第一章基本概念§１.1 集合1、设Z是一切整数的集合,Ｘ是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集？2、设a是集Ａ的一个元素。

记号{a}表示什么? {a｝ A是否正确?３、设写出和。

4、写出含有四个元素的集合{｝的一切子集.5、设Ａ是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例，并且进行改正．（i)（ｉi)(iｉｉ)(ｉv)７．证明下列等式:（i)(ii)（ｉｉi）§1。

2映射１、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射,但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下:ｆ是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?５、令Ａ=｛1，2，3｝。

写出A到自身的一切映射。

在这些映射中那些是双射？6、设a ，ｂ是任意两个实数且a<b。

试找出一个[0，1］到[a ,b］的双射。

7、举例说明,对于一个集合Ａ到自身的两个映射f和ｇ来说，fｇ与gｆ一般不相等.８、设A是全体正实数所成的集合。

令（i)ｇ是不是A到Ａ的双射？(ii)g是不是f的逆映射?(iｉi)如果ｇ有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射，又令,证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii ）如果是满射,那么也是满射；（ｉii ）如果都是双射，那么也是双射,并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则１２34 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1。

3数学归纳法1、证明：2、设是一个正整数.证明，是任意自然数．3、证明二项式定理：这里，是个元素中取个的组合数.４、证明第二数学归纳法原理。

5、证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于。

§１.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;；; .２、设是整数且不全为0,而，，。

第六章 特征值习题精解1.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为:1)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00a a 3)A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111 4)A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121101365 5)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 6)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---031302120 7)A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----284014013解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且A 的特征多项式为A E -λ=2543----λλ=2λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)故A 的特征值为7,-2. 先求属于特征值λ=7的特征向量.解方程组⎩⎨⎧=+-=-0550442121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11,因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=1ε+2ε再解方程组⎩⎨⎧=--=--0450452121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54,因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠), 其中2ξ=41ε-52ε2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且当a=0时,有A=0.所以A E -λ=λλ00=2λ 故A 的特征值为1λ=2λ=0 解方程组⎩⎨⎧=+=+0000002121x x x x它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎪⎭⎫⎝⎛10因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε,2ξ=2ε,故A 以V 的任一非零向量为其特征向量. 当a ≠0时A E -λ=λλa a -=2λ+a 2=(ai +λ)(ai -λ)故A 的特征值为1λ=ai 2λ= -ai当1λ=ai 时,方程组⎩⎨⎧=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1i ,故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠),其中1ξ=-1εi +2ε 当2λ= -ai方程组⎩⎨⎧=-=--02121aix ax ax aix 的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1i ,故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=1εi +2ε3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A 因为AE -λ=(2-λ)3(2+λ)故A 的特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321X X故A 的属于特征值2的全部特征向量为 11εk +k22ξ+k33ε (k 321,,k k 不全为零),其中1ξ=1ε+2ε,2ξ=1ε+3ε,3ξ=1ε+4ε当2-=λ时,特征方程组的基础解系为X =4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111故A 的属于特征值-2的全部特征向量为 k 4ξ (k 0≠),其中4ξ=1ε-2ε-43εε-4)设A,在给定基321,,εεε下的矩阵为 A.因A E -λ==+-----12111365λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ) 故A 的特征值为1λ=2,2λ=1+,3=3λ1-,3当1λ=2时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-012故A 的属于特征值2的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠),其中1ξ=12ε-2ε当λ=1+3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++=+-+-0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213故A 的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠),其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε当λ=1-3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=--+=+---0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213故A 的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠),其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A.因A E -λ=λλλ101010---=(1-λ)2(1+λ)故A 的特征值为1,1321-===λλλ当121==λλ,方程组⎩⎨⎧=+-=-003131x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛故A 的属于特征值1的全部特征向量为),,(212211不全为零k k k k ξξ+,其中311εεξ+=,22εξ=当13-=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--002031231x x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中313εεξ-=6)设A在给定基321,,εεε下的矩阵为 A.因A E -λ==---λλλ313212)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ故A 的特征值为i i 14,14,0321-===λλλ当01=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=--0303202213132x x x x x x 的基础解系为,213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-故A 的属于特征值0的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中321123εεεξ+-=当i 142=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+101432146ii,故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i当i 14-=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----101432146ii ,故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 7) 设A在给定基321,,εεε下的矩阵为A.因A E -λ=28401413+-+--λλλ=(1-λ)2(2+λ) 故A 的特征值为2,1321-===λλλ当121==λλ,该特征方程组的基础解系为,2063⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-故A 的属于特征值1的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中32112063εεεξ+-=当23-=λ,该特征方程组的基础解系为,100⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛故A 的属于特征值-2的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中32εξ=2.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写出相应的基变换的过度矩阵T,并验算T1-AT.解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是必有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T. 1) 因为(21,εε)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141 所以过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141 2) 且T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-91919495⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2007.,0)2已是对角型时当=a⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当即过渡矩阵 T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i且 T 1-AT=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ai ai i i a a i i0011002122123)因为 (4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111即过渡矩阵 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111 且 T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2222 4)因为 (),,321ξξξ=(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332),,321εεε即过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----32320111332且 T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-313121AT 5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101即过渡矩阵 T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10001000110101010100101010021021010210211AT T 且6)因为 (⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ即过渡矩阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+101021432143211461463i i i i且T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i i AT 1400014013.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式,并证明,D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵.解 取P[x]n 的一组基1,x,,)!1(,...,212--n x x n 则D 在此基下的矩阵为D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0 (00)01...000...............0...1000 (010)从而n D E λλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-...0001 (00)0...............0...100 01 故D 的特征值是n (0=λ重),且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数.从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形.4.设 A=,340430241⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-求A .k解:因为=---+---=-34430241λλλλA E ()5)(5)(1+--λλλ故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ且A 的属于特征值1的一个特征向量为X '1)0,0,1(= A 的属于特征值5的一个特征向量为 X '2)2,1,2(= A 的属于特征值-5 的一个特征向量为X '3)1,2,1(-=于是只要记 T=(X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120210121),,321X X则 T B AT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-5000500011且 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k kk )5(00050001 于是A ==-1TTB k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5152052510101)5(00050001120210121k k =[][][][][][]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅--+⋅-+⋅⋅-+-+---+-k K k k k k k k k k k k )1(45)1(1520)1(152)1(41501)1(45)1(15211111111115.设εεε,,2143,ε是四维线性空间V 的一个基,线性变换A 在这组基下的矩阵为A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=7113102529213231334251) 求A 的基432112εεεεη+++=321232εεεη++=33εη=44εη=下的矩阵;2) 求A 的特征值与特征向量; 3) 求一可逆矩阵T,使TAT 1-成对角形.解 1)由已知得(X ),,,(10010*******0021),,,(),,,432143214321εεεεεεεεηηηη=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 故求得A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-2500232700450056001AX 2) A 的特征多项式为=)(λf )1)(21(2--=-=-λλλλλB E A E所以A 的特征值为1,21,04321====λλλλ A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为2211ξξk k +，其中21,k k 不全为零，且21=ξ,3321εεε++4212εεεξ+--=，A 的属于特征值21=λ的全部特征向量为33ξk ，其中 03≠k ，且321324εεεξ+--=+64εA 的属于特征值1=λ的全部特征向量为44ξk ,其中04≠k ，且4321423εεεεξ-++=3）因为（⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2610110112133412),,,(),,,43214321εεεεξξξξ所求可逆阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2610110112133412 且 T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121001AT 为对角矩阵.6.1)设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值,21,εε是分别属于21,λλ的特征向量,证明:21εε+不是A 的特征向量;2)证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么A 是数乘变换.证 1)由题设,知A 111)(ελε=, A 222)(ελε=, 且21λλ≠若21εε+是A 的特征向量，则存在0≠λ使 A （21εε+）=)(21εελ+=21λελε+ A （21εε+）=2211ελελ+=21λελε+ 即 0)()(2211=-+-ελλελλ再由21,εε的线性无关性，知021=-=-λλλλ，即21λλλ==，这是不可能的。

[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间]第六章 向量空间一、判断题 1.121{(,,,)|1,}nn i i i x x x x x R ==∈∑L 为nR 的子空间.( ).2、所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).3、n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ).4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,sαααL 线性表出，则维(W )＝s .5、 子空间12(,,,)rL αααL 的维数等于向量组12,,,rαααL 的秩 （ ） 6、sααα,,,21Λ为V 的基，sβββ,,,21Λ为V 中向量，且 As s ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，则sβββ,,,21Λ为V 的基当且仅当A可逆。

（ ）7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同. （ ）8. 设12,,,nαααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()nf f f αααL .9、.如果向量空间V 是3维的，那么V 中任意4个向量必是线性相关的( )。

10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间( )。

11、线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数.12、设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，满足12{0}V V =I ，则12V V V =⊕。

( ).14．若21V V V ⊕=，rααα,,,21Λ是1V 的基，sr r ααα,,,21Λ++是2V 的基，则sααα,,,21Λ是V 的基.二、填空题1、 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.2、在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是____________. 3、若12V V V =⊕，则12V V ⋂= ;4、若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂=;5、3][x P 中由基2,,1x x 到基2321,21,1x x x x ++++的过渡矩阵是 , 21x x ++在这两组基下的坐标分别是 , . 6、子空间33{|000a bc W A P A de f ⨯⎛⎫⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭的维数= ;7、设基11232123323,,βαααβααβα=-+=+=，则由基123123,,,,αααβββ到基的过渡矩阵T= ；8、在22⨯P 中，已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111A，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01112A，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00113A，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00014A是22⨯P 的基，那么，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A 在该基下的坐标为 。

第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。