教材部分习题解答
高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.1
1．证明两个数域之交是一个数域。
证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。 又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。 从而证得A B 是数域。
2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。 证明：000,110,
0,1i i A =+=+∈
,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈
()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈
设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以
2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b
++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。 习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤
⎢⎥→⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ ()21231
34142(1)
3(1)5(1)12
3
2123212
3
2214103230323231210775077550
62010912010
912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥−−−→−−−→⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
----⎢
⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12
32
32422321032123
212
3
21
34032301310131013103230076010
912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥−−−→↔−−−→⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
4343
103
41
03
41
0301
0300131013101300130113()()00760
0760
0700
010*******
0010
0010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
----⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
习题1.3
()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。
()21
31
41
32
324242
23412222314124512321245231
4077142382133821301414284196419
60771412320771400000000r r r r r r r r r r r r r r r r ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥↔−−−→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
---⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦12212321
052011201120000000000000000r r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥−−−→⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
所以，方程组有无穷多解，通解为
2. 解下列齐次线性方程组：
3.讨论a , b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？
1231232
1232,23,(5).
x x x x x x x x a x a ⎧++=⎪
++=⎨⎪++-=⎩ 习题2.1
3、证明多项式的乘法消去律:()()()(),()0()()f x g x f x h x f x g x h x =≠⇒=
证明：()()()()()()()()0()[()()]0f x g x f x h x f x g x f x h x f x g x h x =⇒-=⇒-=， 现在()0f x ≠，所以必有()()0g x h x -=，即()()g x h x =。
（注：这里运用了乘法性质：若()()0f x g x =，则()0()0f x g x ==或至少有一个成立。）
习题2.2
1、求()g x 除()f x 所得的商和余式并用综合除法求 f (2), (1) ()()43241,31,f x x x g x x x =-+=-+
4
3224
32323
22
24131431344124
115
x
x x x x x x x x x x x
x
x
x x
x x x --+---+---+--+-+--+()()2(4)
115
f x
g x x x x ∴=---+
2、证明：2|()|()x f x x f x ⇔
证明：先证2|()|()x f x x f x ⇒, |()|()()x f x x f x f x ⇒⋅,即2|()x f x . 再证""|()x f x ⇐若，()()f x xq x r =+，r 是零次多项式，
222222()()2()[()2()]f x x q x rxq x r x xq x rq x r =++=++ ，r 2是零次多项式， 222()[()2()]r f x x xq x rq x =-+，而2|()x f x ，2|x r ，矛盾！故|()x f x 。
补充题 q p m ,,适合什么条件时，有
1）q px x mx x ++-+3
2
|1， 2）q px x mx x ++++2
4
2
|1。 解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2
=-+++m q x m p ，
所以当⎩⎨⎧=-=++0
012m q m p 时有q px x mx x ++-+3
2|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--0
10
)2(2
2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当
